广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试 数学试题（含解析）

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本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. 9D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.
【详解】因为，所以，
故得，化简得，
所以，故，故D正确.
故选：D.
2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案.
【详解】，则，
即，故.
故选：C
3. 若，则m可能取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得.
【详解】由，得，则，
由，得，此时，符合题意；
或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意，
所以m可能取值的集合为.
故选：B
4. 已知随机变量，若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的期望、方差公式列方程，从而求得.
【详解】依题意满足二项分布，且，
即，
即，解得，（舍去）.
故选：D
5. 甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ）
A. 6种B. 12种C. 24种D. 48种
【答案】D
【解析】
【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n个不同元素围成的环状共有 种排法求解.
【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法，
由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法.
甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法，
又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种.
故选：D
6. 已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】函数的图象关于直线对称，可得到，再根据列出方程式可求解
【详解】根据题意知，函数的图象关于直线对称，
则得到，又因，
则令或解之可得.
故选：B
7. 已知正棱锥的侧棱长为3，则其体积可能为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为，利用棱锥的体积公式，可得正棱锥的体积，令，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合选项，即可求解.
【详解】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为，可得外接圆的面积为
因为正棱锥的侧棱长为，所以底面正多边形的外接圆的半径，
又由正棱锥的高为，
设正棱锥的底面多边形的面积为，
所以正棱锥的体积，其中，
令，可得，
设，可得，
当时，f'x>0，函数单调递增；
当时，f'x0,t20 ,
解得且．
由韦达定理可得
注意到 ，因此线段 AD和线段 具有相同的中点．
记上述中点为 ，注意到,所以 .
（ⅱ）由（ i ）可知和的面积相等．
记的面积为 , 的面积为 , 的面积为.
由 与 的方向相同可知 .
因为 ，
同理
所以 ，
,
设,
则,
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此,
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最小值为．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为，设函数借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值.
19. 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
（1）求；
（2）求；
（3）已知，证明：随着n的增大而增大．
【答案】（1）6 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求；
（2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论；
（3）由（2）可知，可求得，进而可得.
【小问1详解】
在事件发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则，，
所以，．
【小问2详解】
由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，
有个个体分裂，则的取值为．
在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则且．
因此．
设的取值集合为，则由全期望公式可知
．
这表明是常数列，所以．
【小问3详解】
由（2）可知
，
这表明是公差为10的等差数列．
又因为，所以，
从而．
可以看出，随着n的增大而增大．
【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是理解期望与方差的计算公式以及题意，尤其是二项分布的期望公