广东省肇庆市端州区2024-2025学年高三上学期10月联考 数学测试一（含解析）

这是一份广东省肇庆市端州区2024-2025学年高三上学期10月联考 数学测试一（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合,集合，则=（ ）
A．{}B．{,,0}C．{2}D．{0,1}
2．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知是第四象限角且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
6．若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）

A．的最小正周期为
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递增区间为
11．在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ）
A．是直角三角形
B．是等腰三角形
C．的周长为32
D．的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设，且，，则的最大值为 .
13．已知函数在区间单调递减，则的最小值为 .
14．已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．（本题13分）
已知函数满足对任意的，都有，且的最小值为4．
（1）求的解析式；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
16．（本题15分）
在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
17．（本题15分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
18．（本题17分）
已知函数
(1)若函数只有一个零点，求的值；
(2)证明：曲线是轴对称图形；
(3)若函数的值域为，求的取值范围．
19．（本题17分）
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值；
(3)若，求实数的最小值.
答案
1．【详解】由可得,又，
故 故选：C
2．【详解】由于，，，
所以， 故选：A
3．【详解】当时，，，则，排除选项B和C；
当时，，排除选项D，选项A符合题意. 故选：A
4．【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D.
5．【详解】因为是第四象限角且，所以，则，
因为，所以，
所以， 故选：C．
6．【详解】因为，所以，又，所以，则，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，则. 故选：B.
7．【详解】在中，由正弦定理可得，即，
解得，且不等于0，
当为锐角时，，
当为钝角时，.
综上所述：. 故选：B.
8．【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为x∈−1,1，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于ℎx有且仅有一个零点，
因为，
则ℎx为偶函数，
根据偶函数的对称性可知ℎx的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即ℎx有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D.
9．【详解】由，解得.
要满足题意，只需在的子集中确定即可，
显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB.
10．【详解】对于函数，
由图可知，
则，
所以，
又，
所以，
解得，又，
所以；
则，
所以
，
对于A：的最小正周期为，A 正确；
对于B：对于，令，得对称轴方程为，B错误；
对于C：当时，，所以，
即在上的值域为，C正确；
对于D：令，解得，
即的单调递增区间为，D正确； 故选：ACD.
11．【详解】因为，所以，
所以.因为，所以.因为，
所以.因为16，所以，可得，则，
即.又因为，所以，A正确.
由上知，可得，B错误.
的周长为，C错误，D正确. 故选：AD
12．【详解】由题意，，而，
设，
所以，即，
所以.
即的最大值为14.
13．【详解】，
由复合函数单调性可知，，所以.
所以的最小值为.
14．【详解】由A+C＝2B及A+B+C＝180°知，B＝60°，
由正弦定理知，，
即；
由a＜b知，A＜B＝60°，则A＝30°，C＝180°﹣A﹣B＝90°，
于是sinC＝sin90°＝1．
15．【详解】（1）因为函数满足对任意的，都有，
所以函数关于直线对称，………………………………………………2分
即，解得；…………………………………………………………4分
又的最小值为4，所以，则，……………………5分
所以；…………………………………………………………6分
（2）因为不等式的解集为，所以只需，…………8分
即，………………………………………………………………11分
解得，
即实数的取值范围为.………………………………………………13分
16．【详解】由及正弦定理可知：，…………2分
所以，…………………………………………………4分
所以，即，…………………………………………………5分
又，…………………………………………………………………6分
所以.………………………………………………………………………7分
由余弦定理，得，………………………9分
所以，……………………………………………………………10分
所以舍去，……………………………………………………………12分
从而.…………………………………15分
17．【详解】（1）由题意得，………………3分
则，……………………………………4分
即，………………………………………………………………5分
由余弦定理得，整理得，则，………………6分
又，则，，……………………8分
则；…………………………………………………………9分
（2）由正弦定理得：，
则，……………………………………13分
则，…………………………………………………………………………14分
.…………………………………………………………………………15分
18．【详解】（1）依题意，
所以方程有一个解，……………………………………………………2分
即方程只有一个根，
所以，…………………………………………………………4分
解得.…………………………………………………………………………6分
（2）因为，…………10分
所以y=fx关于直线对称，
因此曲线y=fx是轴对称图形.……………………………………………………12分
（3）若函数的值域为R，
只需能取遍所有正数即可，………………………………………………15分
因此方程的判别式，……………………………………16分
解得.…………………………………………………………………………17分
第二问补充解法一：
因为

------------------------------------------------------------------------------10分
所以y=fx关于直线对称，
因此曲线y=fx是轴对称图形.……………………………………………………12分
第二问补充解法二：
要证y=fx关于直线对称，只需证为偶函数
设=
可得，可得为偶函数， …………10分
即y=fx关于直线对称，因此曲线y=fx是轴对称图形.…………………12分
19．【详解】（1）因为，
所以，………………………………………………2分
即，………………………………………………………………3分
由正弦定理得.………………………………………………………………4分
所以.…………………………………………………………………………5分
（2）由（1）知，所以的三个角都小于，………………6分
因为点为的费马点，所以.
由得：
，…………7分
整理得.………………………………8分
又因为，所以，当且仅当时等号成立.…………9分
所以，……………………10分
所以的最大值为.……………………11分
（3）由（2）知.
设，
由得.………………………………………………12分
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，
整理得.………………………………………………………………15分
因为m+n+2=mn≤m+n22，当且仅当时等号成立， …………16分
所以，整理得，
解得或者（舍去），
所以实数的最小值为.……………………………………………………17分
第三问补充解法
由（2）知.
设，
由得.………………………………………12分
由余弦定理得：
在中，由的余弦定理化简得
在中，由的余弦定理化简得，
在中，由的余弦定理化简得
因为，化简可得，等式两边除以得…15分
又，当且仅当时等号成立。 …………16分
所以，整理得，
解得或者（舍去），
所以实数的最小值为.……………………………………………………17分