广西壮族自治区贵港市平南县中学2025届高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区贵港市平南县中学2025届高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了下列四个命题中，是真命题的为，若函数则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．64种B．48种C．36种D．24种
4．下列四个命题中，是真命题的为（ ）
A．任意，有B．任意，有
C．存在，使D．存在，使
5．已知，，动点满足，则点的轨迹方程是
A．（）B．（）
C．（）D．（）
6．若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．方差不变D．极差不变
10．若函数则（ ）
A．的最小正周期为10B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．在上有最小值
11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．当最小时，切线与准线的交点坐标为
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
13．已知向量，，且．则的值为 .
14．已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
16．某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：
根据上述信息，解决下列问题：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
(2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
17．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．

(1)证明：；
(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
19．已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
喜欢
不喜欢
合计
男性
40
30
70
女性
35
15
50
合计
75
45
120
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
1．C
【分析】求得集合，可求得.
【详解】依题得，则．
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数满足，可得，则，
则复数 对应的点为位于第四象限.
故选：D.
3．B
【分析】由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】因甲不选A景点，应该分步完成：
第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法；
第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法．
由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．
故选：B．
4．C
【分析】根据不等式性质推证或举例子说明.
【详解】由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．
由于，当x=0时，不成立，故B为假命题．
由于，当x=-1时，，故C为真命题．
由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．
故选：C
5．A
【详解】∵ 点，
∴
又∵动点满足
∴点的轨迹方程是射线：（），故选A
6．D
【分析】根据两向量垂直数量积等于0，联立，得，利用两向量的夹角公式计算即可.
【详解】因为，，所以，
即，
化简得，所以．
所以．因为，所以．
故选：D．
7．D
【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系．
【详解】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为，
所以，，
可得.
故选：D.
8．A
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.
【详解】由题意可知的定义域为R，且，所以为偶函数．
当时，，则函数在0,+∞上单调递减，且．
所以不等式成立，需，
解得或，又，
所以，即正实数的取值范围是．
故选：A．
9．AD
【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令取特殊值，验证B的真假；利用方差的计算公式求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D的真假.
【详解】对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；
对于B选项，取，，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误；
对于C选项，新数据的方差为，错误；
对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．
故选：AD
10．AC
【分析】运用周期公式判定A，代入验证判定B,C,整体代入计算,转化为正弦函数值域判定D.
【详解】，A正确．
因为，所以的图象不关于点对称，B错误．
因为，所以的图象关于直线对称，C正确．
若，则，由的图象可知，
在上有最大值，没有最小值，D错误．
故选：AC．
11．ACD
【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，，再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A；先结合A得到，，再根据题意得到，，进而即可判断B；设，，在准线上的射影为，，，根据题意求得即可判断C；结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程，再抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，从而得到切线方程，再联立准线方程即可求出交点，进而即可判断D．
【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，
联立，消整理得，
则，代入得，
则，当且仅当时取等号，
所以 的最小值为，故A正确；
对于B，结合A可得，，
由，得，解得，，故B错误；
对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点，
设，，在准线上的射影为，，，
则，，，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，
则可设切线的方程为，
联立，消整理得，
则，解得，所以切线的方程为，
联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数.
【详解】由题设，展开式通项为，
所以，令有，则的系数为.
故答案为：
13．
【分析】根据二倍角公式、向量共线的坐标表示及平方关系式求得结果.
【详解】因为，，且，
所以，即，即，
因为，所以，
所以，又，
所以.
故答案为：.
14．3
【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值.
【详解】设直线l与曲线相切于点，
由，得，因为l与曲线相切，
所以消去，得，解得．
设l与曲线相切于点，由，得，即，
因为是l与曲线的公共点，
所以消去，得，即，解得．
故答案为：3.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式列方程组求得和公比后可得通项公式；
（2）按奇数项与偶数项分组求和．
【详解】（1）由题知，设等比数列的公比为，显然，
则有
由①÷②得，所以，代入①得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
16．(1)不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关
(2)分布列见解析；
【分析】（1）计算的值，与临界值表比较，可得结论；
（2）确定随机抽取6人中男性和女性的人数，进而确定随机变量X的可能取值，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.
【详解】（1）由题意得，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；
（2）由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，
由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，
故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，
故X的取值可能为0，1，2，
则，
故X的分布列为：
故
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证平面得，再证，推得平面,得，推得平面，即得；
（2）依题建系，根据（1）的结论，可得平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得.
【详解】（1）∵四边形为矩形，∴，
∵平面，平面，∴，
又， 平面，∴平面，
又平面，∴．
∵，点E是的中点，∴．
又， 平面，∴平面．
平面，∴．
又，,平面，∴平面，
平面，∴．
（2）

如图，因两两垂直，
故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，P0,0,1，，D0,1,0，
∴，．
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量．
设平面与平面的所成角为，
∴，∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；
当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以的取值范围为.
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，
【分析】（1）结合长半轴、焦距与通径定义计算即可得；
（2）（ⅰ）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，通过计算得到其范围后，即可得的范围；（ⅱ）结合点到直线的距离公式，由题意可得距离相等，代入计算可得点纵坐标，代入方程可得横坐标，即可得解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则：；
（2）（ⅰ）设直线：，，，
联立，得，
则有，，
且，则，
则
，
设，
则，
则.
（ⅱ）设，则，
设直线，：，，
即分别为：，，
由，则到直线，的距离相等，
联立，有是其中一组解，
又与等价，
不妨设，则有，
即，即，
可得，
又，即，
则有，
通分并整理得：
.
代入得
.
化简得.
故，则，则.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
X
0
1
2
P