贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题（含解析）

这是一份贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了100，635，879等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等差数列满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）
A．1或2B．2或4C．2或8D．4或8
5．已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）
A．20B．C．10D．
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．服从两点分布
C．D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为，当且仅当
B．的值域为，当且仅当
C．的最大值为2，当且仅当
D．有极值，当且仅当
11．设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．的一个周期是4D．
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为 .
13．今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有 种不同的游览顺序方案.（用数字作答）
14．已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为 .
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n个图形中实心区域的面积为.
(1)写出数列an和bn的通项公式；
(2)设，证明.
16．如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.
(1)若点为线段的中点，求证：平面；
(2)若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.
17．已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.
(1)分别求和的方程；
(2)已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.
18．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
单位：只
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
19．三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)已知函数有三个零点且.
（i）求的取值范围；
（ii）若，证明：.
2024
2025
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
1．D
【分析】先解一元二次不等式，确定集合，再根据交集的定义求两个集合的交集.
【详解】因为或，
所以，
又，所以.
故选：D
2．C
【分析】利用函数解析式直接确定单调性判断ABC；利用导数求出单调区间判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为，该函数在其定义域上不单调，A不是；
对于B，函数的定义域为，当时，在上单调递减，B不是；
对于C，函数的定义域为，，函数在上单调递增，C是；
对于D，函数的定义域为R，求导得，当时，，函数在上单调递减，D不是.
故选：C
3．B
【详解】在等差数列中，
故选：B.
4．C
【分析】由题意得到，，结合得到方程，求出的值.
【详解】由题意得，，
其中，故，解得或8，
故选：C
5．B
【分析】先利用抽象函数的定义域求得集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】的定义域为.
当时，的定义域为，即.
令，解得的定义域为1,2，即.
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
6．C
【分析】利用函数的奇偶性求出，然后利用基本不等式求最小值即可.
【详解】是偶函数，故，即，
是奇函数，故，即，
联立，解得，
当且仅当时，等号成立.
故选：C
7．A
【分析】求出二项式展开式，再利用古典概型求出这两项的乘积为有理项的概率.
【详解】展开式通项为，
则的二项展开式分别为：，，，
，，，
将这6项依次记为：，
从的二项展开式中随机取出不同的两项有种情况，
所以这两项的乘积为有理项的基本事件为：，，，共6种情况，
所以这两项的乘积为有理项的概率为.
故选：A.
8．A
【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解.
【详解】对于圆，整理可得：，
可知圆心为，半径为，
令，则，解得或，即；
令，则，解得或，即；
因为与相外切，则，
可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

则点的轨迹方程为，
可得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为20.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果.
9．ACD
【分析】根据分布列的性质，可得判定A正确；根据二点分布的定义，可判定B错误；根据分布列的期望和方差的计算公式，可判定C、D正确.
【详解】对于A中，由分布列的性质，则满足，所以A正确；
对于B中，根据二点分布知，随机变量的取值为和，所以B不正确；
对于C中，由期望的公式，可得，
因为，所以，即，所以C正确；
对于D中，由方差的公式，可得
，即，所以D正确.
故选：ACD.
10．BC
【分析】根据对数函数的性质，即可判断ABC，根据极值的定义，讨论的取值，结合二次函数的单调性，即可判断D.
【详解】A. 若函数的定义域为，则恒成立，
当时，恒成立，当时，，解得：，
综上可知，，故A错误；
B.当函数的值域为，则能取到的所有值，
当时，不成立，当时，，解得：，故B正确；
C. ，若函数的最大值为2，
则，，得，故C正确；
D. 若有极值，当时，，得，
当时，，得，或，即，
当时，不成立，
综上可知，的范围是，故D错误.
故选：BC
11．BCD
【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数的图象关于点对称，从而可得的图象关于x=2对称，所以是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为，且，所以，所以，可判断D项.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于中心对称，
两边求导得：，
所以的图象关于x=1对称，
因为，所以；
所以，又，所以，
所以函数的图象关于点对称；
所以的图象关于x=2对称，故B正确；
所以，即，
又，所以，即，
所以，所以是周期函数，且4是一个周期，
又因为，所以，
所以是周期函数，且4是一个周期，故C正确；
因为为奇函数，所以过，所以，
令x=0，代入，可得，故A错误；
令x=0代入，可得，
令x=1，代入，可得，
又因为的周期为4，所以，所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：
1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称；
2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称；
3.若，则为周期函数且周期为；
12．
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可.
【详解】设切点的坐标为，由，所以，
所以，所以过切点的切线方程为：，
把代入得：，即，
所以，则切点坐标为：，即，即.
所以切点的纵坐标为.
故答案为：.
13．
【分析】先将荔波小七孔和西江千户苗寨看成一个景点，利用排列有种排法，再利用分步计数原理，即可求解.
【详解】将荔波小七孔和西江千户苗寨捆绑到一起，看成一个景点，有种排法，
又铜仁梵净山不安排在首末位置，有种排法，
所以共有种不同的游览顺序方案，
故答案为：.
14．
【分析】作出函数y=fx的图象，根据图象分析可知与y=fx有三个交点，可得，，代入可得，令，利用导数求其最值，即可得结果.
【详解】根据题意作出函数y=fx的图象，如图所示，
令，解得或，
令，解得或或，
由题意可知：与y=fx有三个交点，则，
此时，且，
令，可得，
则，
令，则，
可知在内单调递增，则的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
15．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由图形可判断数列an和bn都是等比数列，根据等比数列的通项公式可得；
（2）先由，，得，根据利用单调性得，进而可得.
【详解】（1）由图知后一个图形中实心三角形的个数是前一个的倍，
所以an是以为首项，为公比的等比数列，故，
由图知后一个图形中实心区域的面积是前一个的倍，第一个三角形的面积为，
故bn是以为首项，为公比的等比数列，故
（2）
，
故，因为，故单调递增，
故，又，故，
故，又，故
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用体积比为确定点的位置，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）连接，设连接，
三棱台 ，则，又
∴四边形为平行四边形，
故是的中点，且点是的中点，
故,且平面，平面，
故平面
（2）
，且面，则 面，
故，,
且三棱台中， ,故，
则，
平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，
故，化简得：,
故此时点和点重合，
又为等腰直角三角形，则，又（1） 知，则面，
故建立如图所示的坐标系，
则 ，，
设平面的法向量
则，令解得，
设平面的法向量，
则，令，解得，
设二面角 的平面角为， ，
所以.
17．(1)双曲线的方程分别为，；
(2)相切或相交.
【分析】（1）由焦距求出的值即得双曲线的方程，再由双曲线的离心率及所过点，求出双曲线的方程.
（2）设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，求出，结合已知求出的关系即可判断得解.
【详解】（1）依题意，双曲线N的焦距为，解得，
所以双曲线的方程为；
由双曲线与双曲线的离心率相同，得，又，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
依题意，直线的斜率，设，直线交轴于点，
直线的方程为，由消去得，
，，
由消去得，
，，
，
整理得，因此，即点在圆上或内，
而直线为时，，，满足，
所以直线与圆相切或相交.
18．(1)列联表见解析，不能
(2)（i）；（ii），
【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，得到，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据条件得到，利用二项分布的期望公式，即可求出期望；先设时，最大，根据最大，结合二项分布概率求法列出不等式组，即可求出结果.
【详解】（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在）内有（只）；
在）内有（只）；
在）内有（只）；
在内有（只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件发生的概率分别为，则，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，所以.
又，设时，最大，
所以
解得，因为是整数，所以.
19．(1)证明见解析；
(2)（i）0,4；（ii）证明见解析；
【分析】（1）转化为两角和的公式求解；
（2）（i），分和，根据函数有三个零点求解；
（ii）设，由，，得到，利用零点存在定理得到方程的三个根均在内，将方程变形为，令，再利用三倍角公式求解.
【详解】（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解：，
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；
当时，令，得；
令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
若有三个零点，则即解得，
当时，，
且，
所以在上有唯一一个零点，
同理
所以在上有唯一一个零点.
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
（ii）证明：设，
则.
又，所以.
此时，
方程的三个根均在内，
方程变形为，
令，则由三倍角公式.
因为，所以.
因为，所以，
所以
.
【点睛】关键点点睛：第二问的（ii）中，由零点存在定理得到方程的三个根均在内，将方程变形为，再利用（1）的结论，令，转化为三倍角公式而得证.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200