安徽省合肥市2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析

这是一份安徽省合肥市2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为，
所以.
故选：B.
2. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由得，再利用充分条件、必要条件的定义即得.
详解】由得，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3. 已知集合，，则集合非空真子集的个数为（）
A. 14B. 15C. 30D. 62
【答案】D
【解析】
【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由集合B中元素的条件得到集合B，再求集合，由集合中元素的个数，判断非空真子集的个数.
【详解】不等式解得，由，得集合，
则集合，所以集合，
集合中有6 个元素，所以集合的非空真子集的个数为．
故选：D．
4. 若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用解集的区间端点值，代入方程中，解出，再将其代入中，直接解一元二次方程即可.
【详解】由题意可知，和是关于的方程的解，将其代入方程得解得,
所以即，化简得，解得.
即不等式的解集是.
故选：C
5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
6. 若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
集合是空集的时候满足题意，求无解时的取值范围即可.
【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集，
当时，，满足条件；
当时，有，即，集合是空集，满足条件，
综上所述，集合的子集只有一个时，，
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质.
7. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为为真命题，所以或，
对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，
对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，
对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，
对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，
故选：A
8. 若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
【详解】不等式化为，即，
当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；
当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，
不等式的解为，由题意，，解得；
当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是.
故选：C
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列四个命题：其中不正确的命题为（）
A. 是空集B. 若，则；
C. 集合中只有一个元素D. 集合是有限集.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断.
【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误；
对于B：当时，，则，故B错误；
对于C：只有一个元素，故C正确；
对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误.
故选：ABD.
10. 对于实数，下列说法正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.
故选：BC.
11. 已知正数a，b满足，则（ ）
A. ab的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】对于选项A，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则A正确；
对于选项B，，当且仅当时取等号，则B正确；
对于选项C，，当且仅当时取等号，即，则C错误；
对于选项D，，则，
，
当且仅当，即时，取等，但，故等号无法取到，故D错误．
故选：AB.
12. 对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（）
A. 若且，则B. 若且，则
C. 若且，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证.
【详解】根据定义.
对于A：若,则,,,,∴,故A正确;
对于B：若,则,,,,∴,故B正确;
对于C：若,则,,则.故C错;
对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.
故选：ABD.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 命题“，”的否定是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可.
【详解】解：命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故答案为：，
14. 已知集合，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由集合，得出，，进而得出结果.
【详解】由集合，得出，，解得，，
当，时， ，满足题意，此时;
当，时，，满足题意，此时.
故答案为： .
【点睛】本题考查集合相等，属于基础题.
15. 若实数x，y满足，，则的取值范围为______．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质由条件求出的取值范围，将结果用区间表示即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以，所以的取值范围为，
故答案为：.
16. 已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是_________.
【答案】或
【解析】
【分析】将不等式分离常数，再结合基本不等式求得，进而求得的取值范围.
【详解】因在上恒成立，即≤2在x>0上恒成立，
因为，当且仅当x＝1时等号成立.所以≤4，解得a<0或a≥.
故答案为：或
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，属于中档题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，，.
（1）若，求；.
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据并集、补集、交集的概念进行计算；
（2）根据交集为空集列出不等式，求得结果即可.
【小问1详解】
若时，，又
∴，由或
所以.
【小问2详解】
由知
或
或.
18. （1）当时，求的最大值；
（2）设，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先进行变形，再结合基本不等式得出结果；
（2）设，利用换元法结合基本不等式得出结果.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立，
（2）由题意，设，则，
则，
当且仅当时，即时，即时取等号，
所以函数的最小值为.
19. 设全集，集合，非空集合，其中．
（1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围；
（2）“，”为真命题，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得出，从而列出不等式组，求的范围即可，
（2）由题意可知，当时，能成立，根据二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
若“”是“”的必要条件，则，又集合为非空集合，
故有，解得，所以的取值范围，
【小问2详解】
“，”为真命题，
即当时，能成立，
因为时，单调递减，
所以，即的取值范围．
20. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40元（2）10.2万件，30元
【解析】
【分析】（1）设每件定价为t元，依题意列出不等式，结合一元二次不等式的解集公式求得结果；
（2）改革后的销售收入为元，总投入包括技改费用、固定宣传费用、浮动宣传费用，列出不等式结合基本不等式进行求解.
【小问1详解】
设每件定价为t元，依题意得，
整理得，
解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元.
【小问2详解】
依题意，，
不等式有解
等价于时，有解
（当且仅当时，等号成立）
．此时该商品的每件定价为30元
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
21. 已知关于不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出､的值；
（2）由题意可得，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可.
【小问1详解】
因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得或（舍）.
小问2详解】
由（1）知，于是有，
故
当且仅当，时，即时，等号成立.
依题意有，即，
得，
所以的取值范围为.
22. 已知．
（1）若对，求实数a的取值范围；
（2）当时，求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）题意可转化成，恒成立，利用基本不等式求的最小值即可；
（2）将不等式整理成，分，和三种情况进行讨论，即可得到答案
【小问1详解】
依题意得，即，恒成立，
所以只需，
又（当且仅当时取等号），所以，
所以，即，
故实数a的取值范围为；
【小问2详解】
不等式即化简为，
，
当时，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
综上，当时，解集为；当时，解集为；时，解集为．