安徽省县中联盟2023_2024学年高二数学上学期10月联考试题含解析

这是一份安徽省县中联盟2023_2024学年高二数学上学期10月联考试题含解析，共20页。试卷主要包含了本卷命题范围， 已知向量，集合，其中，则， 已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教版必修第一册､第二册，选择性必修第一册2.2结束.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，，则（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用复数相等列出方程组，求得的值，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由，可得，解得，则.
故选：D.
2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
又因为，所以，
故选：C.
3. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用向量加法法则得到，再应用向量数量积的运算律求模.
【详解】由题设，易知是边长为的正三角形，
所以
.
故选：A
4. 已知直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转后与轴交于点，要使直线平移后经过点，则应将直线（）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】求得旋转后直线的斜率、方程以及点的坐标，再根据直线平移即可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
旋转后的直线斜率为，
又点坐标为，所以旋转后的直线方程为，
因为直线过点，所以把直线向右平移个单位长度后经过点，
故选：D.
5. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得.
【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，
于是，
所以在上的投影向量的模为.
故选：B
6. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（）
AB.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.
【详解】设点关于直线的对称点为，则，
解得，故.
由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
故选：C.
7. 已知向量，集合，其中，则（）
A.
B.
C. 若，则为钝角
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，令，求得，得到，可判定A、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确.
【详解】由向量，
可得，
令，可得，解得，
此时，所以，所以A、B错误；
又由，可得，所以为锐角，所以C错误；
由向量，可得，所以D正确.
故选：D.
8. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】采用放缩法和中间值比较大小，得到.
【详解】因为，
，故，
，
所以.
故选：A.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（）
A.
B.
C. 为偶函数
D. 不等式的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，可得判定A正确，B错误；结合函数的图象变换，可判定C错误；结合题意，分和，两种情况，结合函数的单调性，求得不等式的解集，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，且在上单调递减，可得，所以A正确；
对于B中，由函数为奇函数，且在上单调递减，
可函数的图象关于原点对称可知在上单调递减，且，
则，所以，所以B错误；
对于C中，函数向左平移2个单位，可得为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D中，由函数是的奇函数，满足，且在上单调递减，可得，且在上单调递减，
又由不等式，可得当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为，所以D正确.
故选：AD.
10. 如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（）
A. 点关于直线的对称点的坐标为
B. 点关于点的对称点的坐标为
C. 夹角的余弦值为
D. 平面的一个法向量的坐标为
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：由以及对称点构成正方形，即可求得对称点坐标；对B：由中点坐标公式，即可判断；对C：利用余弦定理求得，即可判断；对D：写出平面中两个不共线的向量坐标，求平面法向量即可.
【详解】对A：设点关于直线的对称点为，
则四边形为正方形，所以坐标为，A正确；
对B：设点关于点的对称点为，则中点为，
由得，B错误；
对C：由，
得，
所以夹角的余弦值为，C错误；
对D，因为，
设平面的一个法向量的坐标为,，则，
取得平面的一个法向量的坐标为，D正确；
故选：AD.
11. 已知，点及直线，则（）
A. 直线恒过的定点在直线上
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则
C. 若直线过第二、四象限，则
D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，得到所过定点，得到答案；B选项，分析出直线过原点或直线不过原点且斜率为-1两种情况，求出的值；C选项，根据直线的斜率小于0，得到；D选项，根据题意得到只有时满足题意，求出.
【详解】对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为，
直线斜率存在时，其方程为，得其过定点，
综上，直线过点，其不在直线上，错误；
对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1，
当直线过原点时，解得，
直线不过原点且斜率为-1时，解得，错误；
对于，直线过第二、四象限，则直线斜率，解得，正确；
对于D，若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补，
又直线过定点，经分析知只有时满足题意，
此时直线的斜率为，D正确.
故选：CD.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 都是周期函数，且有相同的最小正周期
B. 若在上有2个不同实根，则的取值范围是
C. 若方程在上有6个不同实根，则的值可以是
D. 若方程在上有5个不同实根，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出周期可判断A；利用在上的单调性可判断B；根据都是最小正周期为2的周期函数，结合图象可判断C；结合图象可判断D.
【详解】对于A，周期为，的周期为，
所以都是周期函数，且最小正周期都是2，A正确；
对于B，时，在上单调递减，
在上单调递增，且，所以，
因为时，所以，所以的取值范围是，
B正确；
对于C，都是最小正周期为2的周期函数，
，
，在上两函数图象有1个交点，
，在每个周期上两函数图象有2个交点，
所以方程在上有5个实根，C错误；
对于D，方程在上有5不同实根，
，所以的取值范围是，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是结合函数的图象得到答案.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可结合必要不充分条件求解.
【详解】由不能得到与互斥而不对立，
若与互斥而不对立，则，
所以“”是“与互斥而不对立”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
14. 已知平面的一个法向量，点，且，则__________.
【答案】##5.25
【解析】
【分析】根据题意得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，所以，因为，所以，
所以，所以.
故答案为：
15. 已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜率公式，求得斜率，结合的范围，即可求得结果.
【详解】因为点分别在直线上移动，
所以0，
两式相减得，
所以直线的斜率，
因为，所以，
所以，
即直线斜率的取值范围是.
故答案为：.
16. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据截角四面体的定义，还原为正四面体，然后利用正四面体的相关性质即可求解.
【详解】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，
设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则，
所以，解得，
所以该截角四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.
17. 已知直线.
（1）若，求的值；
（2）若，求过原点与点的直线的方程.
【答案】（1）3或-1
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案；
（2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程.
小问1详解】
因为，所以，
化简得，解得或，
当或时，与均不重合，
所以的值为3或-1.
【小问2详解】
因为，所以，解得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
（1）利用空间向量证明；
（2）求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；
（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.
【小问1详解】
证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以
.
所以.
19. 2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名：
（1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数；
（2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）；
（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件A与事件是否相互独立.
【答案】（1）4.4，77.2
（2）平均数82.3，方差4.6
（3）事件A与事件相互独立.
【解析】
【分析】（1）利用极差的定义和百分数的定义进行计算；
（2）先计算出平均数，进而求出方差；
（3）列举法求古典概型的概率，得到事件，事件和事件的概率，进而得到事件A与事件相互独立.
【小问1详解】
这8家企业综合得分的极差为，
因为，所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列，
则第45百分位数为第4个数据77.2.
【小问2详解】
，
，
【小问3详解】
把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，前5个数据依次为：
，从中任取2个不同数据，结果有：
，共有10种，
，
，
，
，
，
，
，即事件A与事件相互独立.
20. 已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.
（1）求的最小值；
（2）若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.
【答案】（1）4（2）.
【解析】
【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点，
如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为，
则，所以，
可得，
所以当时，即时，取得最小值.
【小问2详解】
接：根据题意，设直线的方程为，即，
可得，所以，
整理得，
因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，
则满足，解得，所以的取值范围是.
21. 已知中，内角所对的边分别为，且.
（1）若的平分线与边交于点，求的值；
（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）联立所给等量可得，进而根据余弦定理即可求解，根据角平分线结合三角形面积公式可得，结合即可求解，
（2）根据余弦定理，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
可得，
解得，
设，则，
由余弦定理得，
所以.
因为为的平分线，
所以，
又，则.
【小问2详解】
因为，由（1）得，
设，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，当时取等号，
所以，
所以，当时取等号，
所以的最小值为.
22. 如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解线面角大小，
（2）求解法向量，根据点面距离的向量法即可求解.
【小问1详解】
因为四棱锥正四棱锥，连接交于点，则，
连接，则平面，所以两两垂直.
如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，因为，,则，
设与交于点，则为的中点，
所以，
，
所以，,
设平面的一个法向量为，则有，得，
取，得，
直线的一个方向向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问2详解】
因为四棱柱的体积为，所以，
由（1）知，，
.
因为，则，
所以，
，
设平面的一个法向量为，则有，得，
取，得，
所以点到平面的距离为.
企业
数字人丰富度
数字人传播声量
数字人应用潜力
综合得分
百度
780
89.0
85.0
84.1
科大讯飞
78.4
84.3
84.9
82.8
360集团
82.3
82.2
83.1
82.6
小冰公式
85.0
81.9
81.3
82.6
华为
77.0
90.0
79.1
81.7
阿里巴巴
77.0
78.8
84.1
80.4
抖音集团
77.0
80.9
80.9
79.8
哗哩哗哩
77.2
81.8
80.0
79.7