河南省沈丘县2024届高三数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份河南省沈丘县2024届高三数学上学期第一次月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定集合N,根据集合的交集运算，可求得答案.
【详解】由题意，，所以,
故选:B
2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：
命题“p：，”的否定式为“，”.
故选：D.
3. 若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的对称轴，依题意可得，解得即可.
【详解】解：因为函数在区间上单调递减，函数的对称轴为，开口向上，
所以，解得，即
故选：A.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
5. 已知函数满足，恒成立，则函数是
A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又偶函数D. 非奇非偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶函数的定义，判断与的关系．
【详解】解：由已知，，，，
，
为奇函数；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的情况下，判断与的关系，属于基础题．
6. 已知正实数、满足，则最小值为（ ）
A. B. 4
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】命题人以已知条件为依托，经过巧妙的构思设制一道组合优题，考查了考生灵活的运用均值公式和探究问题的能力，这体现了数学的理性思维、等价转化、恒等变形的数学核心素养，落实了基础性、探究开放的考查要求．试题难度：中．
【详解】∵，则，于是整合得，当且仅当时取等号，于是的最小值为3．故选:D．
7. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（）
A. B. 0C. 1D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案.
【详解】因为，所以，
所以的周期为4，
函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，
.
故选：B.
8. 若，为真命题，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可.
【详解】由题意知，，恒成立，
设函数，
即，恒成立.
则，即，
解得，或.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（）
A. 解集为
B. 不等式的解集为
C. 如果中，，则的解集是
D. 的解集和不等式组的解集相同
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，的解集为，A错误；
对于B，，的解集为，B正确；
对于C，若，，则解集为，C错误；
对于D，的解集为；不等式组的解集为，D错误.
故选：ACD.
10. 当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】将时，不等式恒成立，转化为时，不等式恒成立求解.
【详解】解：因为时，不等式恒成立，
所以时，不等式恒成立，
令，由对勾函数的性质得在上递减，
所以，则，
所以，
所以m的范围可以是，，
故选：AB
11. 已知且，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式，判断不等关系，即可求解.
【详解】A.，，当且仅当时等号成立，故A正确；
B.，当且仅当时，即时等号成立，故B错误；
C.，当且仅当时，等号成立，
所以，故C正确；
D.，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（）
A. 的一个周期为4B. 是函数的一条对称轴
C. 时，D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．
【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；
对于C、D，∵当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 集合，，若，则实数的范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】由可知集合与集合没有公共的元素,由此可得的范围
【详解】由题,因为,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查由集合的运算结果求参数问题,做题时合理利用数轴会更清晰直观地得到结果
14. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
【详解】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，
故答案为：.
15. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】根据题意得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16. 函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．
【详解】因为
设，
所以 ；
则是奇函数，
所以在区间上的最大值为，即，
在区间上的最小值为，即，
∵是奇函数，
∴， 则 .
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，集合．
（1）求,；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案；
（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.
【小问1详解】
全集，集合；
∴；
，
∴；
【小问2详解】
∵，
又集合，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
18. 已知函数（）是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断函数在的单调性，并证明.
【答案】(1)，；(2)单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由奇函数的性质及所给的值列式即可得解；
(2)利用函数单调性定义通过“取值，作差，判断符号”的步骤即可作答.
【详解】(1)因函数是上的奇函数，于是有，解得，即有，
，解得，此时是上的奇函数，
所以，；
(2)函数在上单调递增，
，，而，，，
于是得，即，
所以函数在上单调递增.
19. 已知函数.
（1）当时，求在上的最值；
（2）若在上有最大值2，求实数的值.
【答案】（1）最大值为1，最小值为；
（2）或2.
【解析】
【分析】（1）把代入函数式，再利用二次函数性质求出最值作答.
（2）根据二次函数图象对称轴与区间的关系分类，探讨取得最大值2的a值作答.
【小问1详解】
当时，函数，，
显然函数在上递增，在上递减，
当时，，当时，，
所以函数的最大值为1，最小值为.
【小问2详解】
函数，，
当时，函数在上单调递减，，由，得，则；
当时，函数在上单调递增，，即有，则，
当时，，由，解得，无解，
所以实数的值为或2.
20. 已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出，结合对数的运算性质可求得的值，对参数的值进行检验，即可得出实数的值；
（2）求出函数在上值域为，令，则，由已知不等式结合参变量分离法可得出在上恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由是奇函数，得，
即，所以，
整理得，对于定义域内的每一个恒成立，
所以，解得．
当时，为奇函数，符合题意；
当时，，不存．
综上，.
【小问2详解】
解：，其中，
易知在上单调递减，所以．
设，则，
由，得在上恒成立，
令，其中，
因为函数、均为上的增函数，故在上单调递增，
所以，则，
故实数的取值范围为．
21. 已知函数.
（1）当时，求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.
（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.
（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.
【小问1详解】
当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
【小问2详解】
由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问3详解】
由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当，即时取等号.
则，.故实数a的范围是
22. 已知奇函数和偶函数满足
（1）求和的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性
（3）若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围
【答案】（1），
（2）在上单调递增，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；
（2）先判断，在利用定义法证明；
（3）设A=，B=，由可知，
A，列出不等式组即可求出k的范围．
【小问1详解】
由奇函数和偶函数可知，
，，
因为，①
用替换得
故，即，②
联立解得，，
【小问2详解】
在上单调递增；证明如下：
取
所以
因为
所以，
所以
所以在上单调递增
【小问3详解】
设A=，
令，则化为，
易知在上单调递增，
故，，
故；
设B=，
令，则化为，
易知在单调递增，
故，
则时，．
若对于任意的，存在，
使得可知A，
则A，则显然，则B=，
则，
则，解得．