辽宁省沈阳市2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析

这是一份辽宁省沈阳市2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）
1. 已知集合，则一定有（）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断得解.
【详解】集合，则，，，，ABC都错，D正确.
故选：D
2. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式，直接求解.
【详解】全称命题“”的否定形式需要改量词，以及结论否定，
即否定是.
故选：D
3. 设a是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的不等式，求出的取值集合，再充分而不必要的条件的意义判断即可.
【详解】由得，，
，，即是成立的必要不充分条件，A不是；
，，即是成立必要不充分条件，B不是；
，，则是成立的充分不必要条件，C是；
显然是成立的充要条件，D不是.
故选：C
4. 设集合，，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简，即得解.
【详解】由题得，
因为，
所以
故选：A
5. 下列关于集合相等的说法正确的有（）
①；
②；
③；
④
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.
【详解】因为，所以①正确；
因，，所以②不正确；
因为，，故③正确；
，故④错误.
故选：C
6. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作差法比较出，，从而得到.
【详解】，故，
，故，
综上：
故选：A
7. 设，且，那么（）
A. ab有最大值B. ab有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定等式，利用基本不等式建立不等关系，求出取值范围，再逐项判断得解.
【详解】因为，，由，得，
则，解得，即，当且仅当时取等号，
因此当时，ab取得最小值，AB错误；
显然，当且仅当时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：D
8. 对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值.
【详解】由题设，令，则，
所以，在上恒成立，
当，则，不满足题设；
当，对称轴为，只需，可得.
综上，，故整数的最小值为2.
故选：B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集，类似地，对于集合A，B我们把集合，叫作集合A和B的差集，记作．例如：，，则有，，下列解答正确的是（）
A. 已知，，则
B. 已知或，，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集U、集合A、集合B关系如图中所示，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据所给新定义的理解，直接判断所给选项即可.
【详解】根据新定义，集合中的元素为A中元素去掉A与B集合交集中元素所构成.
由，，则，故A错误；
由或，，则或，故B正确；
，则，即，故C错误；
全集U、集合A、集合B关系如图中所示，则如图所示：
则，故D正确.
故选：BD
10. 下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）
A. “a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 设，则“”是“”充要条件
D. “，”是“”的充要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断得解.
【详解】对于A，命题“若a，b都是偶数，则是偶数”是真命题，而是偶数，a，b可以都是奇数，
即“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，A正确；
对于B，当，时，不成立，而当时，显然，有，则，
因此“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对于C，，
，C正确；
对于D，显然当时，不等式成立，而“，”不成立，D错误.
故选：ABC
11. 已知，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用韦达定理判断AB；借助韦达定理计算判断CD即可.
【详解】由是关于x的一元二次方程的两根，得，A错误，B正确；
，C正确；
，即有，
解得或，D错误.
故选：BC
12. 已知，，下列命题中正确的是（）
A. 若，则B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件变形，利用均值不等式求解即可判断A，取特殊值判断B，利用不等式判断C，根据条件化双变量为单变量，再由均值不等式求解即可判断D.
【详解】对A，由可得，解得或（舍），当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对B，当时，不成立，故B不正确；
对C，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对D，，，，由，
所以，所以
，当且仅当，即，
时等号成立，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸上．）
13. 已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】对分，两类讨论即可得解.
【详解】由题意，方程只有一个解，
当时，有一解，符合题意，
当时，一元二次方程有一解，
只需，解得，
综上，或，
故答案为：
14. 已知关于x的不等式的解集为，求的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式解集求出参数，再由一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以方程的根为，
所以，
解得，
所以由原不等式可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为
15. 已知集合，，，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，联立方程组并消去y，由关于x的方程有实数解求解即得.
【详解】由，得有解，消去y得有解，
依题意，方程在时有解，即当时，，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
16. 已知，，若它们同时满足：
①，或；
②，
则m取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由条件①可得及当时，再由条件②寻找的零点与的关系得解.
【详解】由，得，即，
，或，则当时，恒成立，于是，
此时的根为，
于是，，又，解得；
又，，显然，则，，而，
即，，显然，否则，，不符合题意，
当，即时，，解得，此时，符合题意，因此；
当，即时，，解得，与矛盾，
所以m取值范围是.
故答案为:
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置．）
17. 已知集合，，若．
（1）求实数a的值；
（2）设二次函数在处的y值为m，解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集分析集合中元素，分类讨论求解即可；
（2）解一元二次不等式求解即可.
【小问1详解】
，，
，
当时，，此时，
，
当时，，此时，
满足，
故.
【小问2详解】
二次函数在处的y值为3，即，
则，即，
，解得或，
所以不等式的解集为.
18. （1）求方程组的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）两式相减，再消元后代入，即可得解；
（2）转化为关于的一元二次不等式求解，再由绝对值的意义去掉绝对值号得解.
【详解】（1）由①，②，
①②可得，即③，
由③可得，
代入①可得，解得或，
代入③，时解得，时，，
所以方程组的解集为.
（2）由可得，
即，
解得，可得或，
解得或，
故不等式解集为.
19. 设实数集R为全集，集合，集合．
（1）当时，求及；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式与一元二次不等式，根据交集与并集的运算求解；
（2）根据条件转化为，分类讨论时，当时，列出不等式求解.
【小问1详解】
，
当时，，
所以，.
【小问2详解】
或，
由，即，
当时，即时成立，
当时，即时，，
则，解得.
综上的取值范围为.
20. 已知．
（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围；
（2）方程有两个不相等的实数根，
①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
②若均大于零，试求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）①不存在，理由见解析，②
【解析】
【分析】（1）根据不等式恒成立，分类讨论，当不等式为二次不等式时转化为判别式求解；
（2）①由根与系数的的关系列出方程求解；②根据两根之积大于0求解即可.
【小问1详解】
由可得，
又不等式解集为R，即恒成立，
当时，原不等式为，满足题意；
当时，只需且，
解得.
综上，
【小问2详解】
由题意，两个不相等的实数根，
则，即，解得，
则，，
①若存在k满足条件，则，
即，解得，
不满足，
故不存在使成立.
②若均大于零，则只需，
解得或，又，
所以.
故k的取值范围为.
21. 沈阳市地铁4号线开通后将给和平长白岛居民出行带来便利．已知该条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1300人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为660人．
（1）写出p关于t的函数表达式；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为多少?
【答案】（1）；
（2）发车时间间隔为分钟，该线路每分钟的净收益最大为元.
【解析】
【分析】（1）由题意分别写出与时，p关于t的关系式作答.
（2）分别求出时，时，每分钟的净收益的表达式，并求出其最大值，再比较大小即可得解.
【小问1详解】
依题意，当时，，
当时，设，为常数，
由时，，得，解得，则，
所以p关于t的函数表达式是.
【小问2详解】
当时，，
则当时，，
当时，
，
当且仅当时，即时取等号，而，
所以当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.
22. 设函数，函数．
（1）求的取值范围；
（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围；
（3）若关于的不等式在存在解集，求整数m的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）利用判别式法求值域即可得解；
（2）由题意可转化为，利用函数单调性求解即可；
（3）分离参数，转化为求函数的最大值，根据均值不等式求出最值即可得解.
【小问1详解】
，定义域为，
由，
当时，，符合题意，
当时，由，知，解得且，
综上，.
【小问2详解】
对于任意的，总存在，使得，
即
由（1）知，
因为是减函数，
所以当时，，
所以，解得.
【小问3详解】
由可得，，
分离参数可得，，
由题意，不等式在存在解集，
则
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，解得,