山东省德州市2023_2024学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份山东省德州市2023_2024学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则的真子集个数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可求得集合，由集合的元素个数可求得结果.
【详解】由得：，又，，共个元素，
的真子集个数为个.
故选：C.
2. 已知向量，，则（）
A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.
【详解】因为向量，，
所以，
又，所以，所以，
所以.
故选：B.
3. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.
【详解】
，
故选：C
4. 如果不等式的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合题意进行求解即可.
【详解】，
因为不等式的正整数解是1，2，3，
所以，
故选：C
5. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据）
A. 64个月B. 40个月C. 52个月D. 48个月
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得以及，根据题目要求列方程，化简求得正确答案.
【详解】依题意，，
两式相除得，则，
由两边取以为底的对数得，
由，得，
两边取以为底的对数得个月.
故选：B
6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（）
A. 30B. C. D. 41
【答案】B
【解析】
【分析】由题意数列是以首先为，公差为的等差数列，由此可以求出数列的通项公式以及前n项和为，进而结合基本不等式即可求解.
【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：，
该数列即为，
被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：，
该数列即为，
数列的第一个公共项为，
由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，
其首项即为数列的第一个公共项，其公差为数列的公差的最小公倍数，
所以数列的通项公式为，
由等差数列前项公式得，
所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 方程（x，，）解的组数为（）
A. 0B. 1C. 2D. 无数组
【答案】C
【解析】
【分析】将方程整理为，构造函数，利用导数研究函数的单调性得到的图象，然后结合且求解即可.
【详解】由题意得，即，即，
令，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，图象如下所示：
因为，，所以当时成立，
又，，
所以或，即或，
所以方程的解的组数为2组.
故选：C.
8. 已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）
A. -1B. -2C. -3D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到
,结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为,
由于圆的半径为，是圆的一条直径，
所以，，
又，所以
,
所以当时，，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算公式，准确化简是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列结论正确的是（）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，有”的否定是“，使”
D. “是方程的实数根”的充要条件是“”
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件，逐一检验，可得答案.
【详解】对于A，由不等式，则或，所以，但，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，由，则且；
当，时，则，显然，，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，“，有”的否定是“，使”，故C错误；
对于D，根据方程实数根的定义，故D正确.
故选：ABD
10. 设是R上的奇函数，且，当时，，则（）
A. B. 的图象关于点对称
C. 的周期为4D. 在上有7个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.
【详解】对于A，，所以，故A错误；
对于C，因为，则，
所以的一个周期为4，故C正确；
对于B，因为是上的奇函数，则，
即图象关于对称，因为关于点对称，所以的图象关于点对称，
又的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于D，由是上的奇函数，关于对称，周期为4，
又当时，，令，得，
从而作出在上的大致图象，
注意到，，
所以在上有8个零点，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数的图像过点和，的最小正周期为T，则（）
A. T可能取
B. 在上至少有3个零点
C. 若函数的图像在上的最高点和最低点共有4个，则
D. 直线可能是曲线的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．
【详解】由图可知，，即，而，所以，
又，所以，即，，
所以．
对A，若，则，，显然，无整数解，A错误；
对B，由可得，，因为，所以，
故有解，即在上至少有3个零点，B正确；
对C，因为，所以，
若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，
则，解得：，而，，
所以，当时，符合，C正确．
对D，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，
即，，又，，所以，，符合，D正确；
故选：BCD．
12. 已知集合，，集合，将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列，为数列的前n项和，则（）
A.
B. 或2
C.
D. 若存在使，则n的最小值为26
【答案】ABC
【解析】
【分析】由集合A和集合B中元素的特征，判断集合C中元素特征和顺序，验证各选项中结论.
【详解】对于选项A，由题意的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9，，故A正确；
对于选项B，集合A为奇数集，集合B中的元素都是偶数，按照从小到大排列，
若连续的两个数是奇数，则，
若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则，故B正确；
对于选项C，令，∵比小1，
∴的前k项中，来自集合A的有个，来自集合B的有n个，
∴，
即，故C正确；
对于选项D，的前26项包括A集合的1，3，5，…，41共21个，B集合的2，4，8，16，32共5个，
∴，
∵，，，不符合条件，故D错误．
故选:ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果.
【详解】由得：，，，，
.
故答案为：
14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.
【详解】由，得，
令，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，取最大值，最大值为0；
又，，如下图，
令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，
由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，
因此，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 在中，点是上的点，平分，面积是面积的3倍，且，则实数的取值范围为______；若的面积为1，当最短时，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合，求得，进而求得，得到，再由的面积为，求得可得，根据由余弦定理得，令，化简得到，结合基本不等式，得到时，取得最小值，进而求得，即可求得的值.
【详解】设的三个角对的边分别为，
因为且平分，
可得，可得，
由三角形的内角平分线定理，可得，
又由，
则，
因为，可得，所以，
则，所以，
由的面积为，可得，可得，
又由余弦定理得，
令，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，此时，
则，
所以，可得，
即当最短时，.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，.
（1）求向量与的夹角的余弦值；
（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【小问1详解】
，，，则；
【小问2详解】
，，与同向的单位向量.
∴在上的投影向量，.
18. 已知集合，．
（1）是否存在正实数a使集合A，B相等？若能，求出a的值，若不能，试说明理由；
（2）若命题p：，命题q：且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）存在；
（2）或
【解析】
【分析】（1）化简集合A，根据集合相等列方程即可求解，
（2）根据充分不必要条件转化为真子集的关系，即可对分类讨论求解.
【小问1详解】
∵，∴，
若使，则，
解得，故存在使集合A，B相等．
【小问2详解】
依题意，有，，故是的真子集，
由得，
当时，，不满足题意；
当时，，则或，解得，
当时，，则，解得，
所以实数a的取值范围是或．
19. 数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可；
（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.
【小问1详解】
∵，，则，
∴，两式相除得：，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
综上所述，的通项公式为：；
【小问2详解】
由题设及（1）可知：，
20. 已知函数，．
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，当时，函数存在零点，求实数m的取值范围；
（3）定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界．若函数在上是以为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义即可化简求解，
（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，
（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解，的最值即可求解.
【小问1详解】
因为为奇函数，所以对定义域内的x，有恒成立，
即，即，解得，
经检验，不合题意，故；
【小问2详解】
由（1）得，
令，则，由，所以，
当时，，当时，，
所以值域为，
又因为函数存在零点，等价于方程有解，
所以实数m取值范围是；
【小问3详解】
由已知，在上恒成立，即在上恒成立，
令，由，所以，得，
即在上恒成立，记，，
易得在上单调递增，所以，
由于，当且仅当时取等号，故，
因此实数a的取值范围是．
21. 如图，四边形ABCD中，已知，.
（1）若ABC的面积为，求ABC的周长；
（2）若，，，求∠BDC的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，结合余弦定理可得，由ABC的面积为可得，后由余弦定理可得AC即可得周长；
（2）由（1）结合，，可设，则，后由正弦定理可得，即可得答案.
【小问1详解】
由余弦定理，在中，.
又，，则.
又ABC的面积为，则.
则，则ABC的周长为
.
【小问2详解】
由（1）可知，又，，四边形内角和为，则.设，则.
在中，由正弦定理，.
在中，由正弦定理，.
消去，得
.
因，则，则.则.
22. 已知函数，且．
（1）求实数a的取值范围；
（2）已知，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数最小值，通过最小值，即可得出答案；
（2）利用小问（1）构造函数，利用累加法，即可得出答案.
【小问1详解】
，
由解得，故在区间上单调递增，
由解得，故在区间上单调递减，
故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．
【小问2详解】
由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，
所以，，，
令，则，
所以，函数在上单调递增，故时，，即．
所以，，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是借助得出，结合累加求和可证结论.