重庆市沙坪坝区科学城巴蜀中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

这是一份重庆市沙坪坝区科学城巴蜀中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（ ）
A． B． C． D．
4．估计的运算结果应在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
5．若，与的面积比为，则AB与DE的比是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是的弦，交于点C，点D是上一点，连接BD，CD．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点D在的边BC上，添加下列条件，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，过点作轴，与直线交于点，以原点O为圆心，以长为半径画弧交x轴于点；再作轴，交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…按照这样的作法进行下去，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，CE与BF相交于点G，，线段BG的垂直平分线交BE于点H，若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．对整式进行如下操作：将与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：
①；②；③；④当n为奇数时，第n次操作结果；当n为偶数时，第n次操作结果；四个结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11．计算________．
12．如图，中，E是BC上一点，，AE交BD于点F，若，则的面积为________．
13．从数，，1，2中任取一个数记为k，再从余下的3个数中，任取一个数记为b，则一次函数不经过第一象限的概率是________．
14．如图，在中，，D是BC边上的点，，以CD为直径的与AB相切于点E．若弧DE的长为，则阴影部分的面积________．（保留）
15．如图在中，，且，，CD平分，则________．
16．若关于y的不等式组至少有4个整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的和是________．
17．如图，AB是的直径，BC是的切线，连接AC交于点D，点E为上一点，满足，连接BE交AC于点F，若，，则________，________．
18．对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为．例如：，因为，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：，，所以．若a是最大的“平衡数”，则________；若s，t都是“平衡数”，其中，，（，，，，x，y，m，n都是整数），规定：，当是一个完全平方数时，则k的最小值为________．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（本小题8分）
计算：
（1）；
（2）．
20．（本小题10分）
在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线AC，于点E，过点B作AC的垂线BF，垂足为F，试证明线段BF与DE相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．
请根据小刚的思路完成下面作图和解答：
用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作AC的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①________，．
∴．（②________）
∵，，
∴③________．
∴．
∴．
于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到④________相等．
21．（本小题10分）
“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：A：学校作业有明显减少；B：学校作业没有明显减少；C：课外辅导班数量明显减少；D：课外辅导班数量没有明显减少；E：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图．

请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有________人；________；________；
（2）若该校学生有640人，试估计只选C选项的学生有多少人？
（3）该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
22．（本小题10分）
某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．
（1）求A，B两款电器每台的售价；
（2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？
23．（本小题10分）
我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动．
（1）求此时巡逻船航行的距离BC的长；（保留整数，参考数据：，，）
（2）我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以40海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求从外国舰艇开始逃窜到被截获所花的时间．（结果保留根号）
24．（本小题10分）
如图，在四边形ABCD中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．

（1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值．
25．（本小题10分）
已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．

图1 图2
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PQ平行于y轴交BC于点Q，点D是PQ的中点，过点D作BC的平行线交y轴于点F，过点C作CH平行于x轴交DF于点H，点R在直线BC上，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值；
（3）如图2，点E坐标为，将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由．
26．（本小题10分）
四边形ABCD是菱形，，点E是AB边上一点，连接DE，CE．

图1 图2 图3
（1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段CE的长；
（2）线段DE绕点D逆时针旋转得到线段DF，如图2，连接AF，点G是AF中点，连接DG．求证：；
（3）如图3，将线段DE绕点D逆时针旋转得到线段DF，连接CF，点E在射线AB上运动的过程中，当CF取最小值时，直接写出的值．
答案和解析
1．【答案】D
【解析】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．“汗滴禾下土”是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意．
故选：D．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是解题关键．
2．【答案】A
【解析】解：∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题关键．
3．【答案】A
【解析】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴与相似比为，
．
故选：A．
根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案．
本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
4．【答案】C【解析】解：原式，
∵，
∴，
∴，
即原式的值在8和9之间，
故选：C．
将原式计算后进行估算即可．
本题考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
5．【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
6．【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴点C为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
根据的度数，结合圆周角定理求出的度数，再根据垂径定理得出的度数，最后利用等边对等角即可解决问题．
本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：由图得：
∴当或或即时，与相似；
C选项中不是成比例的两边的夹角．
故选：C．
已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
8．【答案】C
【解析】解：∵，
把代入得，，即，
在中，由勾股定理得，，
∴坐标为．
同理可得，坐标为，坐标为．
根据，，，找规律，可得坐标为．
故答案为：C．
求出的坐标，再根据勾股定理求出的长，从而得到的坐标，依次类推，求出，……的坐标，找规律即可．
本题是在平面直角坐标系中根据规律求点的坐标的问题，其中涵盖了根据一次函数关系式利用横坐标求纵坐标，以及勾股定理的知识点．只要能逐次求出、、、的坐标，很容易就可以发现规律．
9．【答案】D
【解析】解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
∵，
∴四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H在线段BG的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
先证明，推出，可得，再证明即可解决问题．
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．【答案】A
【解析】解：根据题意可知，
，
，
，
，
以此类推，
可得．
由于，
，
，
，
以此类推，
可得，
当n为奇数时，，当n为偶数时，．
∴，
故结论①错误；
．
故结论②错误；
．
故结论③错误；
∵当n为奇数时，，当n为偶数时，，
故结论④正确．
故选：A．
根据题意可得出规律为，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即可得出答案．
本题考查规律型—数字的变化类、整式的混合运算，能够根据题意找出规律是解答本题的关键．
11．【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
将特殊角的三角函数值代入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．【答案】30
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴的面积为30，
故答案为：30．
根据平行四边形的性质得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中k、b都为负数的结果数为2种，
所以一次函数不经过第一象限的概率．
故答案为：．
先画树状图展示所有12种等可能的结果，再根据一次函数的性质确定k、b都为负数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或B的概率．也考查了一次函数的性质．
14．【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，得垂直．
首先由弧长公式求得；然后利用直角得到线段OB的长度，易得AC与BC的长度；最后根据解答．
【解答】
解：如图，连接OE，
∵以CD为直径的与AB相切于点E，
∴．
设，
∵，弧DE的长为，
∴．
∴，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴
．
故答案是．
15．【答案】
【解析】解：作于H．
在中，∵，，
∴，
∴，．
∵CD平分，，，
∴，设，易证，可得，，
在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
故答案为．
作于H．首先证明，设，易证，可得，，在中，根据，可得，求出x即可解决问题．
本题考查解直角三角形、角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
16．【答案】2
【解析】解：先解不等式组，
可得，
因为不等式组至少只有4个整数解，
所以，
所以，
再解方程，
可得，且，
因为是非负整数，
所以，且，a为整数，
所以，且，a为整数，
又因为，
所以，且，a为整数，
所以或或0或2或3，
综上，所有符合条件的a的值之和是：，
故答案为：2．
先根据y的不等式组至少有4个解集求得，再解关于x的方程得，根据关于x的分式方程有非负整数解，确定满足条件的a的值，进而求出之和．
此题考查了一元一次不等式整数解问题、解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题关键．
17．【答案】
【解析】解：连接AE、BD，
∵AB是的直径，BC是的切线，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
连接AE、BD，由AB是的直径，BC是的切线，推导出，则，，由，得，所以，则，，可证明，得，求得，则，再证明，得，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．【答案】15
【解析】解：根据如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”，
∴最大的平衡数为9876，
∴；
由题意得：
，
∴，
∵s是平衡数，
∴，
∴，
同理，，
∵t都是平衡数，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
∵是一个完全平方数，
∴，
∵，，
∴，或，，
当，时，，，
∴，
当，时，，，
∴，
∵，
∴k的最小值为，
故答案为：15；．
理解“平衡数”的定义，写出最大的平衡数，并根据的定义计算即可；根据的定义求出，，根据计算即可．
本题考查了新定义问题，一定要认真读题，理解“平衡数”的定义，并用来解决问题，找出平衡数中各数字之间的关系是解题的关键．
19．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【解析】（1）先算立方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和算术平方根，然后计算加减法即可；
（2）先将括号内的式子通分，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．【答案】 两直线平行，内错角相等 另一组对角顶点连线的距离
【解析】解：如图，BF即为所求．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，，
∴．
∴．
∴．
于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到另一组对角顶点连线的距离相等．
故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④另一组对角顶点连线的距离．
根据垂线的作图方法可得BF；结合平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定填空即可．
本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21．【答案】200 144 20
【解析】解：（1）本次接受调查的学生共有（人）．
，
，
∴．
故答案为：200；144；20．
（2）（人），
答：估计只选C选项的学生有128人；
（3）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：AC，AD，AE，BC，BD，BE，CA，CB，DA，DB，EA，EB，共12种，
∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为．
（1）用选择D的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用360乘以本次调查中选择A的学生所占的百分比，即可求得m；用本次调查中选择C的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得，即可得出答案；
（2）用640乘以样本中C组人数所占的百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，概率公式，能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
22．【答案】解：（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：每台B款电器的售价为240元；
（2）设每台A款电器应降价m元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每台A款电器应降价40元．
【解析】（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键．
23．【答案】解：（1）过A点作于点D，如图，
根据题意得，，海里，
在中，∵，
∴（海里），
在中，∵，
∴（海里），
∴（海里），
答：此时巡逻船航行的距离BC的长为29海里；
（2）作交CD于E点，如图，
根据题意得，
唯一，，
∴，
在中，∵，
∴（海里），（海里），
∴海里，
∴海里，
在中，
海里，
∴从外国舰艇开始逃窜到被截获所花的时间为小时．
答：从外国舰艇开始逃窜到被截获所花的时间为小时．
【解析】（1）过A点作于点D，如图，由于，，则在中海里，在中海里，然后计算即可；
（2）作交CD于E点，如图，由于，则，所以，在中利用计算出海里，海里，所以海里，接着利用勾股定理计算出海里，然后利用速度公式计算出从外国舰艇开始逃窜到被截获所花的时间．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到余角或作垂线等知识转化为直角三角形的内角．也考查了勾股定理的应用．
24．【答案】解：（1）当时，，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
综上所述：；
（2）如图所示：
该函数的性质：函数值的最大值为8；
（3）当，时，则，
∴，
当，时，则，
∴，
综上所述：x的值为2或5．
【解析】（1）由三角形的面积公式可求解；
（2）根据题意画出图象；根据图象可得函数值的最大值为4；
（3）分两种情况讨论，列出等式可求解．
本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键．
25．【答案】解：（1）当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）设直线BC的表达式为，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为，
设，则，
∵点D是PQ的中点，
∴，
∴，
∵，
设直线DF的表达式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，
解得．
∵轴，
∴，
∴，
∴
，
∵点P是直线BC上方抛物线上一点，
∴，
∴当时，的最大值为9，此时；
（3）存在点M，满足，理由如下：
，
对于，当时，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，
∴抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度，沿y轴负半轴平移2个单位长度，
∴平移后的抛物线表达式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，解得，，
∴；
设BE的垂直平分线与x轴交于点G，连接GE，如图，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得，
∴，
设直线EG表达式为，
则，
解得，
∴直线EG表达式为，
联立方程组，
解得或，
∴，
综上，M的坐标为或．
图2
【解析】（1）求出B的坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，进而求出，求出直线DF的表达式为，可求，则，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线表达式为，求出，可知，当时，，把代入，可求M的坐标；设BE的垂直平分线与x轴交于点G，连接GE，则，进而得出，在中，利用勾股定理得出，则可求G的坐标，求直线EG表达式，与平移后的抛物线表达式联立方程组求解即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移，平行线的性质，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
26．【答案】（1）解：如图1，
作，交AB的延长线于点F，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
，
∴，
∴；
图1
（2）证明：如图2，
延长DG至H，使，连接AH，
∵点G是AF的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵线段DE绕点D逆时针旋转得到线段DF，
∴，，
∴，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
图2
（3）解：如图3，
作，交AB的延长线于点W，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵线段DE绕点D逆时针旋转得到线段DF，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴F在与AW垂直的直线上运动，
∴当时，CF最小，
∵，
∴点F在CD上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
图3
【解析】（1）作，交AB的延长线于点F，可得出是等腰直角三角形，从而得出AD和AE的值，同样得出BF和CF的值，进一步得出结果；
（2）延长DG至H，使，连接AH，可证得，从而得出，，进而证得，从而得出；
（3）作，交AB的延长线于点W，可证得，从而，，进而得出F在与AW垂直的直线上运动，从而得出当时，CF最小，进而得出，进一步得出结果．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．