河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线l的方向向量为（1，﹣1），则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B等于（ ）
A．30°B．30°或150°
C．60°D．60°或 120°
3．（5分）三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知不重合的平面α、β、γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内的任何直线都与β平行
C．α⊥γ且γ⊥β
D．l⊥α且l⊥β
5．（5分）已知点M（2，5），在直线l：x﹣y+2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
6．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝2，若P是C1D与CD1的交点，则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么2x+y的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
8．（5分）已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）直线l过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是（ ）
A．3B．0C．D．1
（多选）10．（6分）设为夹角为120°的两个单位向量，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为
D．对任意的实数t有恒成立
（多选）11．（6分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AA1＝1，点P是经过点B1的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体PBCQ的体积的最大值为
B．的取值范围是[0，4]
C．若二面角C1﹣QB﹣C的平面角为θ，则
D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[4π，13π）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知直线l1：x+ay﹣a＝0，l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为 ．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+csinB＝a，b＝6，则＝ ．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝4，点E，F分别为A1B1，BB1的中点，则平面EFD1截正方体所得截面面积为 ，动点P满足，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，C1D1的中点．
（1）求点F到直线B1A的距离；
（2）求点F到平面A1BE的距离．
16．（15分）如图，已知△ABC的顶点为A（1，﹣1），C（3，0），B1（0，1）是边AB的中点，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
（1）求高AD所在直线的方程；
（2）求AE所在直线的方程．
17．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD＝1，求△ABC的面积．
18．（17分）如下图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且EF∥AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
（1）求证：EF⊥PC；
（2）若BE＝2AE，二面角P﹣EF﹣C是直二面角，求二面角P﹣CE﹣F的正切值；
（3）当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A（x1，y1），B（x2，y2），则欧几里得距离；曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，余弦距离e（A，B）＝1﹣cs（A，B），其中；（O为坐标原点）．
（1）若A（﹣1，2），，求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离e（A，B）；
（2）若点M（2，1），d（M，N）＝1，求e（M，N）的最大值；
（3）已知点P，Q是直线l：y﹣1＝k（x﹣1）上的两动点，问是否存在直线l使得d（O，P）min＝D（O，Q）min，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由．
2024-2025学年河南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）直线l的方向向量为（1，﹣1），则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可．
【解答】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（5分）在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B等于（ ）
A．30°B．30°或150°
C．60°D．60°或 120°
【分析】直接利用正弦定理，求出B的正弦函数值，即可求出B的值．
【解答】解：∵a＝2，b＝2，A＝30°，
∴由正弦定理得：sinB＝＝＝．
∵b＞a，
∴B＝60°或120°．
故选：D．
【点评】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正确利用正弦定理是解本题的关键，属于基础题．
3．（5分）三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，求解即可．
【解答】解：＝＝（）+（）＝（）+＝．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．
4．（5分）已知不重合的平面α、β、γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内的任何直线都与β平行
C．α⊥γ且γ⊥β
D．l⊥α且l⊥β
【分析】利用面面位置关系可判断AC选项；利用面面平行的定义可判断B选项；利用线面垂直的性质定理可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，若α内有无数条直线与β平行且这无数条直线是平行直线，则α、β平行或相交，
即“α内有无数条直线与β平行”推不出“α∥β”，A不满足；
对于B选项，由面面平行的定义可知，“α内的任何直线都与β平行”⇔“α∥β”，B不满足；
对于C选项，若α⊥γ且γ⊥β，则α、β平行或相交，
则“α⊥γ且γ⊥β”不能推出“α∥β”，C不满足；
对于D选项，由线面垂直的性质可知，若l⊥α且l⊥β，则α∥β，
反之，若α∥β，则“l⊥α且l⊥β”不一定成立，
故“l⊥α且l⊥β”是“α∥β”的充分不必要条件，D满足．
故选：D．
【点评】本题考查面面位置关系、面面平行的定义、线面垂直的性质定理等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
5．（5分）已知点M（2，5），在直线l：x﹣y+2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【分析】求得点M关于l的对称点M1，点M关于y轴的对称点M2，当M2，Q，P，M1四点共线时，可得△MPQ的周长最小值．
【解答】解：如图：
设点M（2，5）关于l：x﹣y+2＝0的对称点为M1（x，y），
则有，解得，即M1（3，4），
又点M关于y轴的对称点M2（﹣2，5），
如图所示，当M2，Q，P，M1四点共线时，△MPQ的周长最小，
故周长最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查点关于直线的对称性的应用，属中档题．
6．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝2，若P是C1D与CD1的交点，则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义用表示出，再应用向量数量积的运算律求即可．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形DD1C1C是平行四边形，
侧面A1ADD1是正方形，又P是C1D，CD1的交点，所以P是CD1的中点，
＝，因为∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝2，
所以＝（+）＝（+++）＝（++2），
所以||2＝（2+2+42+2•+4•+4•）
＝[4+4+4×4+2×2×2×（﹣）+0+4×2×2×]＝7，
所以||＝，||＝2，
•＝（++2）•＝（++2）•＝（•+2+2•）
＝（||•||cs120°+||2+2||•||cs60°）
＝[2×2×（﹣）+22+2×2×2×]＝3，
可得cs＜，＞＝＝＝．
所以异面直线AP与DC的夹角的余弦值为|cs＜，＞|＝
故选：A．
【点评】本题考查空间向量坐标运算公式、向量数量公式、线段长等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
7．（5分）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么2x+y的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算得到关于θ的三角函数，最后求三角函数的最值即可．
【解答】解：以O坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（1，0），B（），∴，，
∵＝，
设P（csθ，sinθ），其中，
∴，∴，∴，
∴2x+y＝＝
＝＝，其中，，
∴角φ的终边落在第一象限，∴存在，使得sin（θ+φ）＝1，
∴2x+y的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的最值和平面向量的坐标运算，属于中档题．
8．（5分）已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】设∠BDE＝α（30°＜α＜150°），EF＝x，然后利用两个未知数表示出AB，然后求面积化简即可．
【解答】解：由题意，作示意图如图所示，
设∠BDE＝α（30°＜α＜150°），EF＝x，
在△BDE中，，
得，
在△ADF中，∠AFD＝α﹣30°，DF＝2x，
得，
所以，
整理得，
所以，
显然当最大时，最小，
由辅助角公式可知，，
其中，，所以可知φ∈（0，30°），
因为30°＜α＜150°，所以30°＜α+φ＜180°，
所以当α+φ＝90°时，有最大值，
此时有最小值，且．
故选：C．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理及三角恒等变换，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）直线l过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是（ ）
A．3B．0C．D．1
【分析】通过讨论直线截距是否为0的情况，即可得出结论．
【解答】解：由题意，直线l过点A（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
当直线l的截距为0时，显然满足题意，l：y＝2x；
当直线l的截距不为0时，设横、纵截距分别为a，b，则直线方程为：，
∴，解得：b＝1或3，
∴直线l的纵截距可取0，1，3．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）设为夹角为120°的两个单位向量，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为
D．对任意的实数t有恒成立
【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可．
【解答】解：因为为夹角为120°的两个单位向量，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，
当且仅当时，有最小值为，故B错误；
对于C，，当且仅当时取得最小值，故C正确．
对于D，，两边平方可得：对任意的t恒成立，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查平面向量的数量积与模，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AA1＝1，点P是经过点B1的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体PBCQ的体积的最大值为
B．的取值范围是[0，4]
C．若二面角C1﹣QB﹣C的平面角为θ，则
D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[4π，13π）
【分析】对于A首先判断出点Q的位于半圆弧上的中点时体积最大，然后根据锥体体积公式求出体积即可；
对于B，由•＝•，根据向量的数量积定义即可求得结果；
对于C，首先根据题意知，∠C1QC是二面角C1﹣QB﹣C的平面角，表示出tan∠C1QC＝，根据边的范围，即可求得结果；
对于D，首先确定球心的位置，然后求出球半径的范围，即可求得结果．
【解答】解：对于A，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，AB＝1，∠ABD＝90°，
∴BC＝2，点P到底面ABCD的距离为AA1＝1，
当点Q位于半圆弧上的中点时体积最大，则VP﹣BCQ＝××2×1×1＝，故A正确；
对于B，∵＝，•＝•，
∵在Rt△PA1D1中，cs∠D1A1P＝，
•＝•＝||•||cs∠D1A1P＝4cs2∠D1A1P，
∵∠D1A1P∈（0，），∴cs∠D1A1P∈（0，1），则•∈（0，4），故B错误；
对于C，∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1QC是二面角C1﹣QB﹣C的平面角，
则tan∠C1QC＝，
∵CQ∈（0，2），∴tan∠C1QC＞，故C正确；
对于D，设线段BC的中点为N，线段B1C1的中点为K，球心O在NK上，
设PK＝t，0≤t＜，在Rt△OQN和在Rt△OPK中，＝1，
整理得R2＝，∴R2∈[1，），
∴三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S＝4πR2∈[4π，13π），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查二面角的平面角，球的体积和表面积，锥体的体积，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知直线l1：x+ay﹣a＝0，l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为 a＝0或a＝2 ．
【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解此方程即可得出a的值．
【解答】解：∵直线x+ay﹣a＝0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直
∴1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或a＝2
故答案为a＝0或a＝2
【点评】本题考查两条直线垂直关系与两直线系数之间的关系，解题的关键是正确利用此垂直关系建立方程，本题考查了方程的思想
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+csinB＝a，b＝6，则＝ ．
【分析】利用正弦定理及sinA＝sin（B+C）得到sinB＝csB，求出，再利用正弦定理得到，代入得到答案．
【解答】解：由正弦定理得sinBcsC+sinCsinB＝sinA，
即sinBcsC+sinCsinB＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，∴
sinCsinB＝csBsinC，
∵C∈（0，π），
∴sinC≠0，
∴sinB＝csB，tanB＝1，
∵B∈（0，π），
∴，
由正弦定理得，
则，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式的应用，属于中档题．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝4，点E，F分别为A1B1，BB1的中点，则平面EFD1截正方体所得截面面积为 18 ，动点P满足，且，则的最小值为 ．
【分析】先画出截面计算面积即可；先计算||，然后利用x+y+2z＝，能求出结果．
【解答】解：连接CF，CD1，如图，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝4，点E，F分别为A1B1，BB1的中点，
∴由题意得EF∥CD1，
∴梯形EFCD1是平面EFD1截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面，
由题意得CD1＝4，EF＝2，FC＝ED1＝2，
∴截面面积为（2）＝18，
由题可知||＝＝4，
由柯西不等式（）（）≥（x1x2+y1y2+z1z2）2，
当且仅当＝＝时等号成立，
∴（x2+y2+z2）（1+1+4）≥（x+y+2z）2＝，
∴x2+y2+z2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，
∴||＝4的最小值为．
故答案为：18；．
【点评】本题考查正方体的结构特征、截面面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，C1D1的中点．
（1）求点F到直线B1A的距离；
（2）求点F到平面A1BE的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点F到直线B1A的距离；
（2）利用向量法能求出点F到平面A1BE的距离．
【解答】解：（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（2，0，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，2，2），
则＝（2，0，2），＝（1，2，2），
∴点F到直线B1A的距离为：
d1＝＝．
（2）设平面A1BE的法向量为＝（x，y，z），
＝（﹣2，2，1），＝（﹣2，0，2），＝（﹣1，2，2），
则，取x＝2，得＝（2，1，2），
∴点F到平面A1BE的距离为：
d2＝＝．
【点评】本题考查点到直线的距离、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．（15分）如图，已知△ABC的顶点为A（1，﹣1），C（3，0），B1（0，1）是边AB的中点，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
（1）求高AD所在直线的方程；
（2）求AE所在直线的方程．
【分析】（1）先计算B点坐标，再求BC的斜率，进而可求直线AD的斜率，进而可求高线AD所在的直线方程；
（2）利用角平分线上的点到角的两边距离相等，可求角平分线上的一点的坐标，从而求出角平分线的方程．
【解答】解：（1）∵△ABC的顶点为A（1，﹣1），C（3，0），B1（0，1）是边AB的中点，
可得B（﹣1，3），∴kBC＝＝﹣，
∵AD⊥BC，
∴kBC•kAD＝﹣1，
∴kAD＝，
∴高线AD所在的直线方程是 y+1＝（x﹣1），
即高线AD所在的直线方程是4x﹣3y﹣7＝0．
（2）设AE上的任意一点P（x，y），又直线AC方程为：x﹣2y﹣3＝0，直线AB的方程为2x+y﹣1＝0，
∴点P到直线AC距离等于点P到直线AB距离，＝，解得3x﹣y﹣4＝0或x+3y+2＝0（外角平分线舍去）
∴角平分线AE所在直线方程为：3x﹣y﹣4＝0．
【点评】本题考查的重点是直线方程，解题的关键是利用已知条件，求直线的斜率与求点的坐标．判断所求直线方程是关键，是基础题．
17．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD＝1，求△ABC的面积．
【分析】（1）由题设及正弦定理，结合和、差角公式及三角恒等变换，可求得A；
（2）由等面积法可得，再由余弦定理，可解得bc＝2，即可求得三角形面积．
【解答】解：（1）由及正弦定理，
可得，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
则有，
又C∈（0，π），sinC≠0，所以，
即，又，
所以，即；
（2）由AD为∠BAC的平分线，可得，
由S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
可得，
整理得，即，①
由余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，
即6＝（b+c）2﹣3bc，②
由①②可得：b2c2﹣bc﹣2＝0，解得bc＝2或bc＝﹣1（舍去），
故．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属中档题．
18．（17分）如下图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且EF∥AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
（1）求证：EF⊥PC；
（2）若BE＝2AE，二面角P﹣EF﹣C是直二面角，求二面角P﹣CE﹣F的正切值；
（3）当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦，应用对勾函数得出范围即可．
【解答】解：（1）因为AC⊥BC，AC∥EF，
所以EF⊥BC，即EF⊥FC，EF⊥PF，PF∩FC＝F，PF，FC⊂平面PFC，
EF⊥平面PFC，PC⊂平面PFC，
所以EF⊥PC．
（2）因为二面角P﹣EF﹣C是直二面角，
所以平面PEF⊥平面EFC，平面PEF∩平面EFC＝EF，PF⊥EF，PF⊂平面PEF，PF⊥平面EFC，
以FE，FC，FP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设平面CEF法向量为，
，
设平面PCE法向量为，
则，即，
令z＝1，得y＝2，x＝1，所以，
设二面角P﹣CE﹣F为θ，
，
，
；
（3）分别以，方向分别为x，y轴的正方向，过F作BC的垂线为z轴，
设P（0，m，n），F（0，t，0），D（﹣1，0，0），A（﹣2，0，0），E（t﹣2，t，0），显然n＞0，
，，
，得出m＝﹣1，
则P（0，﹣1，n），，
根据翻折后勾股定理得n2+（t+1）2＝（2﹣t）2，
化简得n2＝3﹣6t，因为构成直角三角形，
则2﹣t＞t+1，且t＞0，
解得，
设平面ABC的法向量为，
设直线PE与平面所成角为β，
＝，
则＝，
令，
令1﹣2t＝a，则，且a∈（0，1），
，
根据对勾函数在（0，1）上单调递减，且恒大于0，
则函数在（0，1）单调递增，则，即，
则，即正弦值的取值范围是．
【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．
19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A（x1，y1），B（x2，y2），则欧几里得距离；曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，余弦距离e（A，B）＝1﹣cs（A，B），其中；（O为坐标原点）．
（1）若A（﹣1，2），，求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离e（A，B）；
（2）若点M（2，1），d（M，N）＝1，求e（M，N）的最大值；
（3）已知点P，Q是直线l：y﹣1＝k（x﹣1）上的两动点，问是否存在直线l使得d（O，P）min＝D（O，Q）min，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）代入d（A，B）和e（A，B）的公式，即可求解；
（2）首先设N（x，y），代入d（M，N）＝1，求得点N的轨迹，再利用数形结合，结合公式e（A，B），结合余弦值，即可求解；
（3）首先求D（O，P）的最小值，分k＝0和k≠0两种情况求d（O，P）的最小值，对比后，即可判断直线方程．
【解答】解：（1），
，
；
（2）设N（x，y），由题意得：d（M，N）＝|2﹣x|+|1﹣y|＝1，
即|x﹣2|+|y﹣1|＝1，而|x﹣2|+|y﹣1|＝1表示的图形是正方形ABCD，
其中A（2，0）、B（3，1）、C（2，2）、D（1，1）．
即点N在正方形ABCD的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的e（M，N）有最大值，
因此，点N有如下两种可能：
①点N为点A，则，可得；
②点N在线段CD上运动时，此时与同向，取，
则，
因为，所以e（M，N）的最大值为．
（3）易知，设P（x，k x﹣k+1），则d（O，P）＝h（x）＝|x|+|k x﹣k+1|，
当k＝0时，d（O，P）＝h（x）＝|x|+|1|，则d（O，P）min＝1，D（O，P）min＝1，满足题意；
当k≠0时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当k＝1时等号成立，
综上，满足条件的直线有且只有两条，l：y＝1和y＝x．
【点评】本题考查向量的综合应用，属于难题．