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湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−9<0}，集合B={−1,0,1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {3,4}B. {0,1,2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1}
2.若a，b，c∈R，且a>b，则( )
A. −a+c<−b+cB. a2>b2
C. 1a<1bD. 若a>b>c>0，则ab3.函数f(x)= 4−x2x−1的定义域是( )
A. [−2,2]B. (−2,2)C. (−2,1)∪(1,2)D. [−2,1)∪(1,2]
4.满足在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+2a+b，则x⊙(x−2)<0的实数x的取值范围是( )
A. (0,2)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
C. (−2,1)D. (−1,2)
5.已知函数f(x)=x−3,x≥10f[f(x+5)],x<10，其中x∈N，则f(9)=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.已知不等式ax2+bx−1>0的解集为(2,3)，则不等式x2−bx−a≥0的解集为( )
A. [−12,−13]B. (−∞,13]∪[12,+∞)
C. (−∞,−12]∪[−13,+∞)D. [13,12]
7.已知命题P:∃x∈R，ax2+2x+3≤0为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a>13}B. {a|08.若关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数，则实数 m的取值范围为( )
A. [5,6]B. (5,6]C. [5,6)D. (5,6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
A. f(x)=x−1与g(x)=x2x−1B. f(x)=x与g(x)=3x3
C. f(x)=x2与g(x)=( x)4D. f(x)=x2+1与g(x)=3x6+1
10.已知命题p:x−4x+1≥2，则命题p成立的一个充分不必要条件是( )
A. −611.下列命题是真命题的是( )
A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
B. 函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
C. 已知f(x)=ax3+bx+3，f(4)=5，则f(−4)=1
D. 若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−1或x≥4}，且x2+bx+c<0解集中仅有两个整数，则a的取值范围是(17,25]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集U={1,2,3,4,5}，A={3,5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________;最大值与最小值的差为__________.
13.已知函数f(x)=x−4 x+2m，当x∈[0,6]时，f(x)≥1恒成立，则实数 m的取值范围为__________.
14.记maxa,b为a，b两数的最大值，当正数x，y(x>y)变化时，t=maxx2,2y(x−y)的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设全集U=R，集合P={x|−2(1)若a=−1，求集合P∩(∁UQ);
(2)若P∩Q=⌀，求实数a的取值范围.
16.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)−f(x)=4x，且f(0)=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)≤−(2t+6)x−4t+1.
17.(本小题12分)
在“①充分不必要;②必要不充分;③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题：
已知集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，B={y|y= 6x+1,0≤x≤4}.
(1)若3∈A且5∉A，求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a，使得x∈A是x∈B的__________条件.若存在，求实数a的取值范围;若不存在，请说明理由.
18.(本小题12分)
新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)=10x2+100x,(0(1)求出2023年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售量×售价-成本)
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
19.(本小题12分)
(1)已知x>−1，求函数y=x2+4x+7x+1的最小值，并求出取最小值时x的值;
(2)问题：已知正数a，b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中的一种解法是：1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+2 2，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足x2a2−y2b2=1，试比较a2−b2和(x−y)2的大小，并指出等号成立的条件;
(3)利用(2)的结论，求M= 3m−2− m−1的最小值，并求出M取得最小值时m的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合A，由此能求出A∩B.
【解答】
解：∵集合A={x|x2−9<0}={x|−3集合B={−1,0,1,2,3,4}，
∴A∩B={−1,0,1,2}.
故选：C.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
结合不等式性质判断选项A，举出反例排除选项BCD.
【解答】
解：对于A，因为a>b，所以−a<−b，所以−a+c<−b+c，故A正确；
对于B，若a=1,b=−2，则a2对于C，若a=1,b=−2，则1a=1>1b=−12，故C错误；
对于D，若a=5,b=2,c=1，则ab=52>a+cb+c=63=2，故D错误.
故选：A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的定义域，属于基础题.
要使函数y= 4−x2x−1有意义则4−x2≥0x−1≠0，求解不等式组即可得出答案.
【解答】
解：要使函数y= 4−x2x−1有意义，
则4−x2≥0x−1≠0，
∴−2≤x≤2x≠1，
∴−2≤x<1或1即函数定义域为[−2,1)∪(1,2] .
故选D
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了创新问题专题和一元二次不等式的解法，属于基础题.
利用题目所给定义，结合一元二次不等式的解法计算得结论.
【解答】
解：因为a⊙b=ab+2a+b，
所以满足x⊙(x−2)<0的不等式为x(x−2)+2x+x−2<0，
即x2+x−2<0，解得−2所以所求的实数x的取值范围为(−2,1)
故选C.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．
由已知条件，利用分段函数的表达式得f(9)=f[f(14)]=f(11)=8.
【解答】解：∵f(x)=x−3,x≥10f[f(x+5)],x<10，其中x∈N，
∴f(9)=f[f(14)]=f(11)=8.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
由 ax2+bx−1>0的解集的(2,3)，得a<0，且a=−16，b=−5a=56，代入x2−bx−a≥0得6x2−5x+1≥0解出即可.
【解答】解：因为 ax2+bx−1>0的解集的(2,3)，
所以方程ax2+bx−1=0的根为x1=2, x2=3，且a<0，
故x1+x2=−ba=5,x1x2=−1a=6，
所以a=−16，b=−5a=56
则x2−bx−a≥0即x2−56x+16≥0，
所以有 6x2−5x+1≥0，
解得(−∞,13]∪[12,+∞)
故不等式x2−bx−a≥0的解集为(−∞,13]∪[12,+∞).
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题，属于基础题.
由已知“∀x∈R，ax2+2x+3>0”为真命题，然后求实数a的取值范围得答案.
【解答】解：∵命题P:∃x∈R，ax2+2x+3≤0为假命题，∴“∀x∈R，ax2+2x+3>0”为真命题
若a=0，则不等式等价为2x+3>0，对于∀x∈R不恒成立，
若a≠0，则a>0Δ=4−12a<0，解得：a>13，
∴实数a的取值范围为{a|a>13}，
故选A
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
根据题意写出不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集，根据解集中恰有3个正整数求出m的取值范围．
【解答】
解：关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0可化为
(x−m)(x−2)<0，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴不等式的解集为{x|2即实数m的取值范围是(5,6].
故选B.
9.【答案】BD
【解析】【分析】本题考查了判断两函数是否为同一函数的问题，是基础题．
判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可．
【解答】解：对于A，f(x)=x−1的定义域为R，函数g(x)=x2x−1=x−1的定义域为{x|x≠0}，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f(x)=x的定义域为R，g(x)= x3=x的定义域为R，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于C，f(x)=x2的定义域为R，函数g(x)=( x)4=x2的定义域为[0,+∞),
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D，f(x)=x2+1的定义域为R，g(x)=3x6+1的定义域为R，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：BD.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查分式不等式、充分、必要、充要条件与集合的关系，属于基础题．
解不等式得命题p的等价条件，然后根据充分、必要、充要条件与集合的关系判断.
【解答】
解：x−4x+1≥2⇔x+6x+1≤0⇔x+6x+1≤0x+1≠0，
解得−6≤x<−1，
所以p:−6≤x<−1，
所以p的一个充分不必要条件必须为集合{x|−6≤x<−1}的真子集，
选项AC符合题意.
故选AC.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定、由基本不等式求最值或取值范围、利用函数的奇偶性求函数值、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题.
利用特称命题的否定可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出−1和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，利用根与系数的关系，得出b=−3a，c=−4a，代入x2+bx+c<0，结合二次函数的性质即可判定.
【解答】
解：A选项，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故A正确；
B选项，易知 x2+4≥2，
由基本不等式知y= x2+4+1 x2+4≥2 x2+4⋅1 x2+4=2，
当且仅当 x2+4=1 x2+4，
即 x2+4=1时能取得等号，显然不成立，故B错误；
C选项，易知f(x)−3=ax3+bx，
令g(x)=ax3+bx，
易知g(−x)+g(x)=−ax3−bx+ax3+bx=0，
即g(x)为奇函数，
所以g(4)+g(−4)=f(4)−3+f(−4)−3=0，
则f(−4)=1，故C正确；
D选项，关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−1或x≥4}，
所以−1和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，
由根与系数的关系知，−1+4=−ba−1×4=ca，
所以b=−3a，c=−4a，
所以关于x的不等式x2+bx+c<0可化为x2−3ax−4a<0，
令f(x)=x2−3ax−4a，对称轴x=3a2>0，f(0)=−4a<0，
因为不等式的解集中仅有两个整数，
所以这两个整数是0，1或0，−1，
当这两个整数是0和1时，则f(1)=1−7a<0f(2)=4−10a≥0f(−1)=1−a≥0，解得17当整数是0和−1时，由于对称轴x=3a2>0时，根据对称性可知，此时显然不符合题意，
综上，a的取值范围是(17,25],故D正确.
故选ACD.
12.【答案】7 ； 24
【解析】【分析】本题考查了集合交集、并集和补集的定义及运算，真子集个数的计算公式，是基础题．根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案．
【解答】解：阴影部分表示∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)={1,2,4}∪(∁UB)，
若{1,2,4}∪(∁UB)={1,2,4}，真子集有23−1=7个．
若{1,2,4}∪(∁UB)={1,2,3,4,5}，真子集有25−1=31个．
所以真子集个数的最大值与最小值的差为31−7=24.
13.【答案】m≥52
【解析】【分析】
本题主要考查恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，求参数范围的，一般先分离参数，再求对应函数的最值，属于中档题先令t= x∈[0, 6]，则问题转化为y=t2−4t+2m≥1，t∈[0, 6]时恒成立，采用分离参数法，求出函数y=−t2+4t+1，t∈[0, 6]的最大值即可．
【解答】
解：令t= x∈[0, 6]，则问题转化为y=t2−4t+2m≥1，t∈[0, 6]时恒成立，
即2m≥−t2+4t+1，t∈[0, 6]恒成立，
而函数y=−t2+4t+1=−(t−2)2+5，当t=2∈[0, 6]时，ymax=5
∴2m≥5即m≥52为所求．
故答案为：m≥52.
14.【答案】2 2
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
利用基本不等式求得2y(x−y)≥8x2，根据t=maxx2,2y(x−y)，可得t≥x2，t≥2yx−y≥2y+x−y22=8x2，由此可求得2t≥x2+8x2≥2 x2⋅8x2=4 2，即得解t的范围.
【解答】解：
∵x，y为正数，且x>y，
∴2y(x−y)≥2y+x−y22=8x2，
当且仅当y=x−y，即x=2y时取等号，
∵t=max{x2,2y(x−y)}，
∴t≥x2，t≥2yx−y≥2y+x−y22=8x2，
∴2t≥x2+8x2≥2 x2⋅8x2=4 2，
当且仅当x2=8x2，即x=48是取等号，
∴t≥2 2.
故答案为2 2.
15.【答案】解：(1)当a=−1时，Q={x|3aCUQ={x|x≤−3或x>0}，所以P∩(CUQ)={x|0(2)由题意，需分为Q=⌀和Q≠⌀两种情形进行讨论：
当Q=⌀时，即3a≥a+1，解得a≥12，满足题意;
当Q≠⌀时，因为P∩Q=⌀，
所以a+1≤−23a综上所述， a的取值范围为(−∞,−3]∪[12,+∞).
【解析】本题考查交、并、补集的混合运算，以及子集的定义的应用，注意端点的取值．
(1)把a的值代入求出集合Q，再由交集、并集、补集的运算求出P∩(∁UQ)；
(2)分Q=⌀和Q≠⌀两种情况求解即可.
16.【答案】解：(1)因为f(0)=1，c=1，所以f(x)=ax2+bx+1，
又因为f(x+1)−f(x)=4x，所以[a(x+1)2+b(x+1)+1]−(ax2+bx+1)=4x，
所以2ax+a+b=4x，所以2a=4a+b=0，
所以a=2b=−2，即f(x)=2x2−2x+1.
(2)由f(x)≤−(2t+6)x−4t+1，可得不等式2x2+(2t+4)x+4t≤0，
即x2+(t+2)x+2t≤0，所以(x+2)(x+t)≤0，
当−t=−2，即t=2时，不等式的解集为{x|x=−2}，
当−t<−2，即t>2时，不等式的解集为{x|−t≤x≤−2}，
当−t>−2，即t<2时，不等式的解集为{x|−2≤x≤−t}，
综上所述，当t=2时，不等式的解集为{x|x=−2}，
当t>2时，不等式的解集为{x|−t≤x≤−2}，
当t<2时，不等式的解集为{x|−2≤x≤−t}.
【解析】本题主要考查函数的解析式，考查不等式的解集，属于中档题.
(1)由f0=1，得c=1，再根据f(x+1)−f(x)=2ax+a+b=4x，求出a和b即可得解；
(2)由(1)知，(x+t)(x+2)≤0，分情况讨论a的范围即可得解.
17.【答案】解：(1)∵A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，3∈A且5∉A，
∴{2−a⩽3⩽1+2a5<2−a或5>1+2aa⩾13所以{a⩾1a<−3或a⩾13a⩾1故1≤a<2，
所以实数a的取值范围为[1,2) ，
(2)若选①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
因为B=1,5，集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，
所以2−a≥11+2a≤5a≥13且等号不能同时成立，所以13≤a≤1，
所以实数 a的取值范围是13 , 1 ；
若选②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
因为B=1,5，集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，
所以2−a≤11+2a≥5a≥13且等号不能同时成立，所以a≥2 ，
所以实数 a的取值范围[2,+∞) ；
若选③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，集合A等于集合B，
因为B=1,5，集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，
所以2−a=11+2a=5a≥13，方程组无解，
所以满足题意的a不存在.
【解析】【分析】本题考查了充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件的判定及其应用，集合关系中参数的取值问题，属于中档题．
(1)由于3∈A且5∉A，
可得{2−a⩽3⩽1+2a5<2−a或5>1+2aa⩾13，求解即可得到答案.
(2)利用(1)中的集合A，B对①②③中的三个条件分别进行判断即可得.
18.【答案】解：(1)每辆车售价8万元，年产量x(百辆)时销售收入为800x万元，
总成本为4000+C(x)=10x2+100x+4000(0L(x)=800x−(10x2+100x+4000)(0(2)由(1)当0所以x=35(百辆)时，L(x)max=8250(万元)；
当x≥40时,L(x)=−(4x+8100x)+9000≤−2 4x⋅8100x+9000=8640，
当且仅当4x=8100x即x=45(百辆)时，L(x)max=8640(万元)，
因为8640万元>8250万元，
所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元.
【解析】【分析】【分析】本题考查了分段函数应用题，二次函数的最值，基本不等式求最值，属于一般题.
(1)根据利润=销售量×售价-成本，即可写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当019.【答案】解：(1)∵x>−1，∴x+1>0，又y=x2+4x+7x+1=(x+1)2+2(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+2
≥2 (x+1)⋅4x+1+2，
∴y≥6，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时取“=”，故当x=1时，函数y=x2+4x+7x+1的最小值为6;
(2)a2−b2=a2−b2×1=a2−b2x2a2−y2b2=x2+y2−b2x2a2+a2y2b2，
又b2x2a2+a2y2b2≥2 b2x2a2⋅a2y2b2=2xy，当且仅当b2x2a2=a2y2b2时等号成立，
所以x2+y2−b2x2a2+a2y2b2≤x2+y2−2xy≤x2+y2−2xy=x−y2，
所以a2−b2≤x−y2，当且仅当b2x2a2=a2y2b2且x，y同号时等号成立.
此时x，y满足x2a2−y2b2=1；
(3)令x= 3m−2，y= m−1，构造x2a2−y2b2=1，x2−3y2=1，即x21−y213=1，可得a2=1，b2=13，
因为M= 3m−2− m−1，所以m≥1，3m−2=m−1+2m−1>m−1，M>0，
所以M=x−y≥ a2−b2= 1−13= 63，当且仅当x=3y>0时取等号，
且x= 62y= 66，即 3m−2= 62，m=76，
故M的最小值为 63，此时m=76.
【解析】本题考查了基本不等式求解最值，属于较难题.
(1)直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果;
(2)直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果;
(3)利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果.
1.已知集合A={x|x2−9<0}，集合B={−1,0,1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {3,4}B. {0,1,2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1}
2.若a，b，c∈R，且a>b，则( )
A. −a+c<−b+cB. a2>b2
C. 1a<1bD. 若a>b>c>0，则ab
A. [−2,2]B. (−2,2)C. (−2,1)∪(1,2)D. [−2,1)∪(1,2]
4.满足在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+2a+b，则x⊙(x−2)<0的实数x的取值范围是( )
A. (0,2)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
C. (−2,1)D. (−1,2)
5.已知函数f(x)=x−3,x≥10f[f(x+5)],x<10，其中x∈N，则f(9)=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.已知不等式ax2+bx−1>0的解集为(2,3)，则不等式x2−bx−a≥0的解集为( )
A. [−12,−13]B. (−∞,13]∪[12,+∞)
C. (−∞,−12]∪[−13,+∞)D. [13,12]
7.已知命题P:∃x∈R，ax2+2x+3≤0为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a>13}B. {a|0
A. [5,6]B. (5,6]C. [5,6)D. (5,6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
A. f(x)=x−1与g(x)=x2x−1B. f(x)=x与g(x)=3x3
C. f(x)=x2与g(x)=( x)4D. f(x)=x2+1与g(x)=3x6+1
10.已知命题p:x−4x+1≥2，则命题p成立的一个充分不必要条件是( )
A. −6
A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
B. 函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
C. 已知f(x)=ax3+bx+3，f(4)=5，则f(−4)=1
D. 若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−1或x≥4}，且x2+bx+c<0解集中仅有两个整数，则a的取值范围是(17,25]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集U={1,2,3,4,5}，A={3,5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________;最大值与最小值的差为__________.
13.已知函数f(x)=x−4 x+2m，当x∈[0,6]时，f(x)≥1恒成立，则实数 m的取值范围为__________.
14.记maxa,b为a，b两数的最大值，当正数x，y(x>y)变化时，t=maxx2,2y(x−y)的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设全集U=R，集合P={x|−2
(2)若P∩Q=⌀，求实数a的取值范围.
16.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)−f(x)=4x，且f(0)=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)≤−(2t+6)x−4t+1.
17.(本小题12分)
在“①充分不必要;②必要不充分;③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题：
已知集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，B={y|y= 6x+1,0≤x≤4}.
(1)若3∈A且5∉A，求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a，使得x∈A是x∈B的__________条件.若存在，求实数a的取值范围;若不存在，请说明理由.
18.(本小题12分)
新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)=10x2+100x,(0
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
19.(本小题12分)
(1)已知x>−1，求函数y=x2+4x+7x+1的最小值，并求出取最小值时x的值;
(2)问题：已知正数a，b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中的一种解法是：1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+2 2，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足x2a2−y2b2=1，试比较a2−b2和(x−y)2的大小，并指出等号成立的条件;
(3)利用(2)的结论，求M= 3m−2− m−1的最小值，并求出M取得最小值时m的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合A，由此能求出A∩B.
【解答】
解：∵集合A={x|x2−9<0}={x|−3
∴A∩B={−1,0,1,2}.
故选：C.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
结合不等式性质判断选项A，举出反例排除选项BCD.
【解答】
解：对于A，因为a>b，所以−a<−b，所以−a+c<−b+c，故A正确；
对于B，若a=1,b=−2，则a2
对于D，若a=5,b=2,c=1，则ab=52>a+cb+c=63=2，故D错误.
故选：A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的定义域，属于基础题.
要使函数y= 4−x2x−1有意义则4−x2≥0x−1≠0，求解不等式组即可得出答案.
【解答】
解：要使函数y= 4−x2x−1有意义，
则4−x2≥0x−1≠0，
∴−2≤x≤2x≠1，
∴−2≤x<1或1
故选D
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了创新问题专题和一元二次不等式的解法，属于基础题.
利用题目所给定义，结合一元二次不等式的解法计算得结论.
【解答】
解：因为a⊙b=ab+2a+b，
所以满足x⊙(x−2)<0的不等式为x(x−2)+2x+x−2<0，
即x2+x−2<0，解得−2
故选C.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．
由已知条件，利用分段函数的表达式得f(9)=f[f(14)]=f(11)=8.
【解答】解：∵f(x)=x−3,x≥10f[f(x+5)],x<10，其中x∈N，
∴f(9)=f[f(14)]=f(11)=8.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
由 ax2+bx−1>0的解集的(2,3)，得a<0，且a=−16，b=−5a=56，代入x2−bx−a≥0得6x2−5x+1≥0解出即可.
【解答】解：因为 ax2+bx−1>0的解集的(2,3)，
所以方程ax2+bx−1=0的根为x1=2, x2=3，且a<0，
故x1+x2=−ba=5,x1x2=−1a=6，
所以a=−16，b=−5a=56
则x2−bx−a≥0即x2−56x+16≥0，
所以有 6x2−5x+1≥0，
解得(−∞,13]∪[12,+∞)
故不等式x2−bx−a≥0的解集为(−∞,13]∪[12,+∞).
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题，属于基础题.
由已知“∀x∈R，ax2+2x+3>0”为真命题，然后求实数a的取值范围得答案.
【解答】解：∵命题P:∃x∈R，ax2+2x+3≤0为假命题，∴“∀x∈R，ax2+2x+3>0”为真命题
若a=0，则不等式等价为2x+3>0，对于∀x∈R不恒成立，
若a≠0，则a>0Δ=4−12a<0，解得：a>13，
∴实数a的取值范围为{a|a>13}，
故选A
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
根据题意写出不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集，根据解集中恰有3个正整数求出m的取值范围．
【解答】
解：关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0可化为
(x−m)(x−2)<0，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴不等式的解集为{x|2
故选B.
9.【答案】BD
【解析】【分析】本题考查了判断两函数是否为同一函数的问题，是基础题．
判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可．
【解答】解：对于A，f(x)=x−1的定义域为R，函数g(x)=x2x−1=x−1的定义域为{x|x≠0}，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f(x)=x的定义域为R，g(x)= x3=x的定义域为R，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于C，f(x)=x2的定义域为R，函数g(x)=( x)4=x2的定义域为[0,+∞),
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D，f(x)=x2+1的定义域为R，g(x)=3x6+1的定义域为R，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：BD.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查分式不等式、充分、必要、充要条件与集合的关系，属于基础题．
解不等式得命题p的等价条件，然后根据充分、必要、充要条件与集合的关系判断.
【解答】
解：x−4x+1≥2⇔x+6x+1≤0⇔x+6x+1≤0x+1≠0，
解得−6≤x<−1，
所以p:−6≤x<−1，
所以p的一个充分不必要条件必须为集合{x|−6≤x<−1}的真子集，
选项AC符合题意.
故选AC.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定、由基本不等式求最值或取值范围、利用函数的奇偶性求函数值、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题.
利用特称命题的否定可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出−1和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，利用根与系数的关系，得出b=−3a，c=−4a，代入x2+bx+c<0，结合二次函数的性质即可判定.
【解答】
解：A选项，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故A正确；
B选项，易知 x2+4≥2，
由基本不等式知y= x2+4+1 x2+4≥2 x2+4⋅1 x2+4=2，
当且仅当 x2+4=1 x2+4，
即 x2+4=1时能取得等号，显然不成立，故B错误；
C选项，易知f(x)−3=ax3+bx，
令g(x)=ax3+bx，
易知g(−x)+g(x)=−ax3−bx+ax3+bx=0，
即g(x)为奇函数，
所以g(4)+g(−4)=f(4)−3+f(−4)−3=0，
则f(−4)=1，故C正确；
D选项，关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−1或x≥4}，
所以−1和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，
由根与系数的关系知，−1+4=−ba−1×4=ca，
所以b=−3a，c=−4a，
所以关于x的不等式x2+bx+c<0可化为x2−3ax−4a<0，
令f(x)=x2−3ax−4a，对称轴x=3a2>0，f(0)=−4a<0，
因为不等式的解集中仅有两个整数，
所以这两个整数是0，1或0，−1，
当这两个整数是0和1时，则f(1)=1−7a<0f(2)=4−10a≥0f(−1)=1−a≥0，解得17
综上，a的取值范围是(17,25],故D正确.
故选ACD.
12.【答案】7 ； 24
【解析】【分析】本题考查了集合交集、并集和补集的定义及运算，真子集个数的计算公式，是基础题．根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案．
【解答】解：阴影部分表示∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)={1,2,4}∪(∁UB)，
若{1,2,4}∪(∁UB)={1,2,4}，真子集有23−1=7个．
若{1,2,4}∪(∁UB)={1,2,3,4,5}，真子集有25−1=31个．
所以真子集个数的最大值与最小值的差为31−7=24.
13.【答案】m≥52
【解析】【分析】
本题主要考查恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，求参数范围的，一般先分离参数，再求对应函数的最值，属于中档题先令t= x∈[0, 6]，则问题转化为y=t2−4t+2m≥1，t∈[0, 6]时恒成立，采用分离参数法，求出函数y=−t2+4t+1，t∈[0, 6]的最大值即可．
【解答】
解：令t= x∈[0, 6]，则问题转化为y=t2−4t+2m≥1，t∈[0, 6]时恒成立，
即2m≥−t2+4t+1，t∈[0, 6]恒成立，
而函数y=−t2+4t+1=−(t−2)2+5，当t=2∈[0, 6]时，ymax=5
∴2m≥5即m≥52为所求．
故答案为：m≥52.
14.【答案】2 2
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
利用基本不等式求得2y(x−y)≥8x2，根据t=maxx2,2y(x−y)，可得t≥x2，t≥2yx−y≥2y+x−y22=8x2，由此可求得2t≥x2+8x2≥2 x2⋅8x2=4 2，即得解t的范围.
【解答】解：
∵x，y为正数，且x>y，
∴2y(x−y)≥2y+x−y22=8x2，
当且仅当y=x−y，即x=2y时取等号，
∵t=max{x2,2y(x−y)}，
∴t≥x2，t≥2yx−y≥2y+x−y22=8x2，
∴2t≥x2+8x2≥2 x2⋅8x2=4 2，
当且仅当x2=8x2，即x=48是取等号，
∴t≥2 2.
故答案为2 2.
15.【答案】解：(1)当a=−1时，Q={x|3a
当Q=⌀时，即3a≥a+1，解得a≥12，满足题意;
当Q≠⌀时，因为P∩Q=⌀，
所以a+1≤−23a
【解析】本题考查交、并、补集的混合运算，以及子集的定义的应用，注意端点的取值．
(1)把a的值代入求出集合Q，再由交集、并集、补集的运算求出P∩(∁UQ)；
(2)分Q=⌀和Q≠⌀两种情况求解即可.
16.【答案】解：(1)因为f(0)=1，c=1，所以f(x)=ax2+bx+1，
又因为f(x+1)−f(x)=4x，所以[a(x+1)2+b(x+1)+1]−(ax2+bx+1)=4x，
所以2ax+a+b=4x，所以2a=4a+b=0，
所以a=2b=−2，即f(x)=2x2−2x+1.
(2)由f(x)≤−(2t+6)x−4t+1，可得不等式2x2+(2t+4)x+4t≤0，
即x2+(t+2)x+2t≤0，所以(x+2)(x+t)≤0，
当−t=−2，即t=2时，不等式的解集为{x|x=−2}，
当−t<−2，即t>2时，不等式的解集为{x|−t≤x≤−2}，
当−t>−2，即t<2时，不等式的解集为{x|−2≤x≤−t}，
综上所述，当t=2时，不等式的解集为{x|x=−2}，
当t>2时，不等式的解集为{x|−t≤x≤−2}，
当t<2时，不等式的解集为{x|−2≤x≤−t}.
【解析】本题主要考查函数的解析式，考查不等式的解集，属于中档题.
(1)由f0=1，得c=1，再根据f(x+1)−f(x)=2ax+a+b=4x，求出a和b即可得解；
(2)由(1)知，(x+t)(x+2)≤0，分情况讨论a的范围即可得解.
17.【答案】解：(1)∵A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，3∈A且5∉A，
∴{2−a⩽3⩽1+2a5<2−a或5>1+2aa⩾13所以{a⩾1a<−3或a⩾13a⩾1故1≤a<2，
所以实数a的取值范围为[1,2) ，
(2)若选①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
因为B=1,5，集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，
所以2−a≥11+2a≤5a≥13且等号不能同时成立，所以13≤a≤1，
所以实数 a的取值范围是13 , 1 ；
若选②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
因为B=1,5，集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，
所以2−a≤11+2a≥5a≥13且等号不能同时成立，所以a≥2 ，
所以实数 a的取值范围[2,+∞) ；
若选③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，集合A等于集合B，
因为B=1,5，集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13}，
所以2−a=11+2a=5a≥13，方程组无解，
所以满足题意的a不存在.
【解析】【分析】本题考查了充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件的判定及其应用，集合关系中参数的取值问题，属于中档题．
(1)由于3∈A且5∉A，
可得{2−a⩽3⩽1+2a5<2−a或5>1+2aa⩾13，求解即可得到答案.
(2)利用(1)中的集合A，B对①②③中的三个条件分别进行判断即可得.
18.【答案】解：(1)每辆车售价8万元，年产量x(百辆)时销售收入为800x万元，
总成本为4000+C(x)=10x2+100x+4000(0
当x≥40时,L(x)=−(4x+8100x)+9000≤−2 4x⋅8100x+9000=8640，
当且仅当4x=8100x即x=45(百辆)时，L(x)max=8640(万元)，
因为8640万元>8250万元，
所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元.
【解析】【分析】【分析】本题考查了分段函数应用题，二次函数的最值，基本不等式求最值，属于一般题.
(1)根据利润=销售量×售价-成本，即可写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当0
≥2 (x+1)⋅4x+1+2，
∴y≥6，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时取“=”，故当x=1时，函数y=x2+4x+7x+1的最小值为6;
(2)a2−b2=a2−b2×1=a2−b2x2a2−y2b2=x2+y2−b2x2a2+a2y2b2，
又b2x2a2+a2y2b2≥2 b2x2a2⋅a2y2b2=2xy，当且仅当b2x2a2=a2y2b2时等号成立，
所以x2+y2−b2x2a2+a2y2b2≤x2+y2−2xy≤x2+y2−2xy=x−y2，
所以a2−b2≤x−y2，当且仅当b2x2a2=a2y2b2且x，y同号时等号成立.
此时x，y满足x2a2−y2b2=1；
(3)令x= 3m−2，y= m−1，构造x2a2−y2b2=1，x2−3y2=1，即x21−y213=1，可得a2=1，b2=13，
因为M= 3m−2− m−1，所以m≥1，3m−2=m−1+2m−1>m−1，M>0，
所以M=x−y≥ a2−b2= 1−13= 63，当且仅当x=3y>0时取等号，
且x= 62y= 66，即 3m−2= 62，m=76，
故M的最小值为 63，此时m=76.
【解析】本题考查了基本不等式求解最值，属于较难题.
(1)直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果;
(2)直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果;
(3)利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果.
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