山东省潍坊市高密市银鹰文昌中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷

这是一份山东省潍坊市高密市银鹰文昌中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每题4分，共32分）
1．（4分）习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于x轴的对称点P2的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
3．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立，那么添加的条件是（ ）
A．AC∥DFB．BC＝EFC．AC＝DFD．∠B＝∠DEF
4．（4分）如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．14B．12C．10D．7
5．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠CDE＝∠CAB；
结论Ⅱ：AB+EC＝AC．
A．Ⅰ，Ⅱ都对B．Ⅰ对，Ⅱ错C．Ⅰ错，Ⅱ对D．Ⅰ，Ⅱ都错
6．（4分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
7．（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠ODE＝99°，则∠CDE的度数是（ ）
A．68°B．69°C．72°D．75°
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．21B．7C．6D．3.5
二．多项选择题（每题5分，共20分）
（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．角是轴对称图形
B．角的对称轴是角的平分线
C．等腰三角形内角的平分线与底边上的高、底边上的中线重合
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（多选）10．（5分）如图，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，添加的条件可能是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．CD＝BED．∠ADC＝∠AEB
（多选）11．（5分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则等腰△ABC的特征值k＝（ ）
A．B．C．D．4
（多选）12．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
三．填空题（每题4分，共16分）
13．（4分）如图，已知∠MON，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是 （请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
14．（4分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDB的度数为 ．
15．（4分）如图，将一张长方形纸片，分别沿着EP，FP对折，使点B落在点B'，点C落在点C'．若点P，B'，C'不在同一直线上，∠B'PC'＝14°，则∠EPF＝ ．
16．（4分）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 ．
四．解答题（共82分）
17．（10分）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（10分）已知：如图，△ABC．求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：用两种不同的方法在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据）．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．
（1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长．
20．（10分）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．
（1）若∠A＝60°，请直接写出∠BOC的度数；
（2）已知AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．
21．（10分）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．
（1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．
乙： ；丙： ．
（2）请你选择其中一种方案进行说明理由．
22．（11分）如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，求证：
（1）△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD，CE有何特殊的位置关系，并说明理由．
23．（10分）在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
24．（11分）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
2024-2025学年山东省潍坊市高密市银鹰文昌中学八年级（上）月考
数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题4分，共32分）
1．（4分）习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．（4分）已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于x轴的对称点P2的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【分析】首先根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得P点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：∵点P关于y轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴P（﹣2，3），
∴点P关于x轴的对称点P2的坐标为（﹣2，﹣3），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立，那么添加的条件是（ ）
A．AC∥DFB．BC＝EFC．AC＝DFD．∠B＝∠DEF
【分析】根据每个选项的条件以及三角形全等的判定方法进行逐项分析，即可得到结果．
【解答】解：．∵AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB，
∵AB＝DE，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故A选项不符合题意；
∵BC＝EF，AB＝DE，∠A＝∠D，
∴无法证明△ABC≌△DEF成立，
故B选项符合题意；
∵AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故C选项不符合题意；
∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．14B．12C．10D．7
【分析】过D点作DF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，然后利用三角形面积公式，利用S△ABC＝S△ABD+S△ACD进行计算．
【解答】解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝×7×2+×5×2
＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠CDE＝∠CAB；
结论Ⅱ：AB+EC＝AC．
A．Ⅰ，Ⅱ都对B．Ⅰ对，Ⅱ错C．Ⅰ错，Ⅱ对D．Ⅰ，Ⅱ都错
【分析】根据尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，DE为AC的垂线，可得△ABD≌△AED，可判断结论Ⅱ，再由∠DCE+∠CDE＝90°，∠DCE+∠CAB＝90°，可得结论Ⅰ正确．
【解答】解：由尺规作图痕迹可知，
AD为∠BAC的角平分线，DE为AC的垂线，
∴∠BAD＝∠EAD，△AED为直角三角形，
∴∠B＝90°，∠AED＝90°，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（AAS），
∴AB＝AE，
∵AE+EC＝AC，
∴AB+EC＝AC，
故结论Ⅱ正确；
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∠DCE+∠CAB＝90°，
∴∠CDE＝∠CAB，
故结论Ⅰ正确，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线和垂线段的画法以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
6．（4分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
【分析】证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，即可解决问题．
【解答】解：∵∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA，
∵∠BDO＝∠OEC＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
在△OBD和△COE中，
，
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，
∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m），
即小丽距离地面的高度是1.4m，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠ODE＝99°，则∠CDE的度数是（ ）
A．68°B．69°C．72°D．75°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝81°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝180°﹣99°＝81°，
∴∠ODC＝27°，
∵∠CDE+∠ODC＝99°，
∴∠CDE＝99°﹣∠ODC＝99°﹣27°＝72°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．21B．7C．6D．3.5
【分析】连接AD，由AB＝AC，点D是BC边的中点可得 AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM，
∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD＝7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二．多项选择题（每题5分，共20分）
（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．角是轴对称图形
B．角的对称轴是角的平分线
C．等腰三角形内角的平分线与底边上的高、底边上的中线重合
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】根据角平分线的性质判断①；根据轴对称图形的定义判断②③；根据线段垂直平分线的性质判断④．
【解答】解：角是轴对称图形，对称轴就是角平分线所在的直线，A说法正确，B说法错误；
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，所以C错误；
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，D说法正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的性质，轴对称图形的定义，是基础知识，需熟练掌握．
（多选）10．（5分）如图，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，添加的条件可能是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．CD＝BED．∠ADC＝∠AEB
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：在△ADC和△AEB中，
∵AC＝AB，∠A＝∠A，
如果根据ASA证明△ADC≌△AEB，需要添加∠C＝∠B，
如果根据SAS证明△ADC≌△AEB，需要添加AD＝AE，
如果根据AAS证明△ADC≌△AEB，需要添加∠ADC＝∠AEB，
添加的条件可能是ABD．
故选：ABD．
【点评】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（多选）11．（5分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则等腰△ABC的特征值k＝（ ）
A．B．C．D．4
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝，
综上所述，特征值k为或，
故选：AC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．
（多选）12．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】分两种情况讨论：若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP；若△BPE≌△CPQ，则BP＝CP＝5厘米，BE＝CQ＝6厘米；
【解答】解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t＝＝2.5（秒），
故选：CD．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意分类思想的运用．
三．填空题（每题4分，共16分）
13．（4分）如图，已知∠MON，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是 HL （请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
【分析】据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．
【解答】解：由题意知OA＝OB，∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故答案为：HL．
【点评】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．
14．（4分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDB的度数为 15° ．
【分析】根据等边三角形的性质可得，再由AE＝AD，可得，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴，
∴∠ADB＝90°，
∵AE＝AD，
∴，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝15°．
故答案为：15°
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
15．（4分）如图，将一张长方形纸片，分别沿着EP，FP对折，使点B落在点B'，点C落在点C'．若点P，B'，C'不在同一直线上，∠B'PC'＝14°，则∠EPF＝ 97° ．
【分析】由折叠的性质得到∠BPE＝∠B'PE，∠CPF＝∠C'PF，再根据平角的定义求出∠B'PE+∠C'PF＝83°，最后根据∠EPF＝∠B'PE+∠C'PF+∠B'PC'计算即可．
【解答】解：由折叠的性质得，∠BPE＝∠B'PE，∠CPF＝∠C'PF，
∵∠B'PC'＝14°，
∴∠BPE+∠B'PE+∠CPF+∠C'PF＝180°﹣∠B'PC'＝180°﹣14°＝166°，
即∠B'PE+∠C'PF＝83°，
∴∠EPF＝∠B'PE+∠C'PF+∠B'PC'＝83°+14°＝97°，
故答案为：97°．
【点评】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 （6，10） ．
【分析】过点C作 CD⊥y轴于点D，由△ABC 为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90° 即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
，
∴△AO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为（6，10），
故答案为：（6，10）．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．熟悉全等三角形的判定方法是解答的关键．
四．解答题（共82分）
17．（10分）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P．
【解答】解：如图，点P为所求．
【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质．
18．（10分）已知：如图，△ABC．求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：用两种不同的方法在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据）．
【分析】方法一利用SSS作出图形；方法二利用ASA作出图形．
【解答】解：方法一：如图，△DEF即为所求，理由SSS；
方法二：如图，△DEF即为所求，理由ASA．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．
（1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长．
【分析】（1）根据DE是AB的垂直平分线，∠ABE＝50°得AE＝BE，则∠ABE＝∠A＝40°，根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定理得∠ABC＝70°，则∠ABC＝∠C＝70°，即可得；
（2）根据△ABC的周长为41cm，BC的长为11cm得AB+AC＝30，AB＝AC＝15cm，根据AE＝BE即可得．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∠ABE＝40°，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE
＝70°﹣40°
＝30°；
（2）∵△ABC的周长为41cm，BC的长为11cm，
∴AB+AC＝30，
∴AB＝AC＝15cm，
∵AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE
＝BC+AC
＝11+15
＝26（cm）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线
20．（10分）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．
（1）若∠A＝60°，请直接写出∠BOC的度数；
（2）已知AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，再根据等角对等边可得BM＝OM，
（2）同理ON＝NC，由MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝60°
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）
＝180°﹣60°
＝120°，
（2））∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO
又∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠ABO＝∠CBO
∴OM＝BM；OM＝MB，同理ON＝NC，
∴△AMN周长＝AM+MN+AN＝AM+OM+ON+AN＝AB+AC＝13．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出三角形AMN的周长是AB+AC．
21．（10分）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．
（1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．
乙： BC＝CD ；丙： ∠BDC＝∠BDA ．
（2）请你选择其中一种方案进行说明理由．
【分析】（1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可．
【解答】解：（1）乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离；
丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．
故答案为：BC＝CD；∠BDC＝∠BDA；
（2）答案不唯一．
选甲：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝ED；
选乙：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B＝∠CDE＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED；
选丙：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．
22．（11分）如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，求证：
（1）△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD，CE有何特殊的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，由三角形内角和定理可求解．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD﹣∠BAC＝∠CAD﹣∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）BD⊥CE，理由如下：
如图，设AB与CD于G，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGD，∠BAC＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
23．（10分）在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
【分析】过E作EF∥BC交AC于F，可以证得△AEF为等边三角形，得到AE＝EF，要证明DB＝AE，只需要证明DB＝EF，再由已知条件ED＝EC，故联想到证明△EDB≌△CEF，即可解决．
【解答】解：AE＝BD，理由如下：
过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，∠FEC＝∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠CEF，
在△EDB与△CEF中，
∴△EDB≌△CEF（AAS），
∴DB＝EF，
∵△AEF是等边三角形，
∴DB＝EF＝AE，
即DB＝AE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，过等边三角形一边上的点，构造底边平行线，是等边三角形的常用辅助线之一．
24．（11分）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
方法一
方法二
作图区域


结论


依据


方法一
方法二
作图区域


结论
△DEF即为所求
△DEF即为所求
依据
SSS
ASA