湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试 数学试题（含解析）

这是一份湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合， ，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．将这个数据作为总体，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．或7B．或C．7或-7D．-7或
6．已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为
C．函数的所有零点构成的集合为
D．函数在上是增函数
10．已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点成中心对称
C．
D．
11．在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线与圆相切
C．的周长的最小值为
D．的面积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知某种商品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的对应数据如下表：
根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当广告费为10万元时，销售额预测值为 万元.
13．过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 .
14．已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.
（1） ；（写出所有可能的取值）
（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．如图，长方体中，点分别在上，且，.
(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程.
18．如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.

(1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；
(2)求的分布列和数学期望；
(3)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.
19．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在1,+∞上恒成立，求实数的取值范围；
(3)帕德近似（Pade apprximatin）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.
（i）当且时，试比较与的大小；
（ii）当时，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【分析】先求出集合，再根据集合间的运算即可求解.
【详解】，
，
，
故.
故选C.
2．【答案】A
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】D
【分析】求出复数后可求，从而可得复数在复平面中的对应点，故可得正确的选项.
【详解】，故，其对应的点为，
该点在第四象限.
故选D.
4．【答案】D
【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】依题意可知，总体平均数为，
从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，情况如下：
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.
故选D.
5．【答案】B
【分析】根据辅助角公式可求，故可求的值.
【详解】因为，故，
故，故，故.
故选B.
6．【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.
【详解】

设的中点为，连接，则，
故即，故为的中点，
因为三点共线，故存在实数，使得，
故，而，
因为不共线，故即，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选C.
7．【答案】A
【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积.
【详解】
，而为三角形内角，故，
故，故，故，
故几何体的体积为
故选A.
8．【答案】B
【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解.
【详解】令，则恒成立，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即的取值范围是.
故选B.
【关键点拨】本题关键是推导出，从而得到.
9．【答案】BC
【分析】利用倍角公式求出，再求其周期判断A的真假；利用辅助角公式化简与，分析函数的性质，判断B，C，D的真假.
【详解】对A：，所以.故A错误；
对B：因为，
当即时，函数有最大值，故B正确；
对C：由，故C正确；
对D：，
由，
令得，函数在上递增，在右侧一定是先单调递减，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ABD
【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解.
【详解】对A，满足，
令，
则，即f1=0，
又为偶函数，，故A对；
对B，，
，
故的周期，
再根据，即，
∴fx的图象关于点成中心对称，故B对；
对C，由B知：的周期，
故，
，
令，
则f2=−f0，
又当时，
，
即，
即，
，
故，故C错误；
对D，满足，
∴fx关于1,0中心对称，
又当时，
∴fx在0,2上单调递增；
当时，，
当时，为偶函数，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
，故D对.
故选ABD.
【关键点拨】解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.
11．【答案】BD
【分析】分别对直线，的斜率是否存在进行讨论，对各种情况下各选项的内容进行判断即可.
【详解】如图，不妨设点位于第一象限，直线在圆的左边，直线在圆的右边.
首先，若直线的斜率不存在，则，，
设直线的方程为：即.
因为直线与圆相切，所以，
此时直线：与曲线只有1个交点，不合题意；
其次，若直线的斜率不存在，则，，
设直线的方程为：即.
因为直线与圆相切，所以，
此时直线：，所以.
此时：，，，.
所以，故A不成立；
直线：，由得直线与圆相切，故B成立；
因为，所以的周长为，满足C选项；
，满足D选项.
最后，直线，的斜率都存在时：
设（且），，.
所以，
所以直线的方程为：，即.
因为直线与圆相切，所以：.
同理可得：.
所以为方程的两根.
所以：，.
又直线的方程为：，
点到直线的距离为：.
所以直线与圆相切，故B正确；
又，
又，点到直线的距离为：.
所以.
令，，
.
设
当时，恒成立.
所以当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以在和上单调递增，在0,2上单调递减.
又因为，，所以.
所以，符合D.
综上可知，的面积的最小值为，故D正确.
又的内切圆半径为1，所以，
所以.
即周长的最小值为，故C错误.
故选BD.
【关键点拨】若的内切圆半径为，三边长分别为，则，故求周长的最小值，可以利用三角形面积的最小值来求.
12．【答案】66
【分析】先根据经验回归方程过样本中心点求出，再将代入经验回归方程即可求解.
【详解】由题意知：，
，
将样本中心点代入，
即，解得：，故，
将代入，
即.
故答案为：66.
13．【答案】
【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积.
【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点，

由双曲线可得渐近线方程为，
双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为，
过倾斜角为的直线方程为，
由可得交点坐标为，
由可得交点坐标为，
倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为，
故答案为：.
14．【答案】 1047
【分析】①根据题意代入即可求解；②先根据题意分析出具有性质的 项，易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，再根据等差数列求和即可求解.
【详解】当时，，
当时，，或 ，
当时，，或，或时有或，
当时，，或，或时有或，或时有或或，
综上所述：的所有可能取值为：.
中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，
，即具有性质，
则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，
所以.
故答案为：；1047.
【关键点拨】本题考查数列新定义问题的求解，涉及到根据新定义求解数列中的项、数列求和等知识；关键是能够准确理解所给的新定义，得到所给数列性质与等差数列之间的关系.
15．【答案】(1)，
(2)，.
【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；
（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．
【详解】（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面.
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦.
【详解】（1）因为平面平面，所以，
又且，平面，所以平面，
且平面，故，同理，，
平面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，
在平面中，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，可取
由（1）知，平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则
故所求的夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆上一点，求的值，确定椭圆的标准方程.
（2）分直线不存在斜率和存在斜率两种情况讨论.当直线存在斜率时，设直线方程，与椭圆处联立，消去，得到关于的一元二次方程，用韦达定理表示出与，再把转化成的关系，求出的值即可.
【详解】（1）联立
得，故所求椭圆的方程为.
（2）如图：
易知.
①当斜率为0时，或，不符合题意.
②当斜率不为0时设，设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立
消去得.
所以，
由得，代入以上两式消去得.
故，化为一般方程为.
18．【答案】(1)或
(2)分布列见解析，1
(3)
【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得.
（2）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望.
（3）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.
事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
故，解得或.
（2）由题知，
时分3类情形，
①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；
②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，
通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；
③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，
所以，
同理，
，
所以所求的分布列为
所以所求数学期望.
（3）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，
“两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”，
则，
，
则.
故.
19．【答案】(1)减区间为，无增区间
(2)
(3)（i）答案见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，判断导函数的符号，可得函数的单调区间.
（2）采用分离常数的方法得（），设，求ℎx在1,+∞上的最小值即可.
（3）（i）构造函数，利用函数的单调性及，比较与的大小；（ii）利用（i）的结论，进行证明.
【详解】（1）当时，，则.
所以的减区间为0,+∞，无增区间.
（2）因为在1,+∞上恒成立，
所以，所以（）
设，则
再设，则，
则在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞单调递增，
所以，
所以ℎ′x>0在1,+∞上恒成立，所以ℎx在1,+∞单调递增，
所以.
又在1,+∞上恒成立，所以.
（3）（i）记，则，
所以Fx在0,+∞上单调递增，而，
于是，当时，，当时，.
（ii）当时，原不等式即.
由于当时，，所以，
当时，也成立.
所以对任意的恒成立.
在中取，则有，也即，
所以（a）
记函数，
由于，所以只需考虑的符号，
易知在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，.
所以（b）
由（a）（b）得，
故.
【关键点拨】求参数的取值范围问题，一般思路有：
（1）分离参数，把参数分离出来，问题转化为不含参数的函数的值域问题，通过求函数的值域求解参数的取值范围.
（2）直接求函数的值域，此时可能要根据参数的值进行分类讨论.1
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5
7
14
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X
0
1
2
P