广东省江门市新会华侨中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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6．【答案】C
【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解
【详解】因为，所以.又，
所以，即，所以，则.
所以.又，所以.
故选：C.
7．【答案】B【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a1，a2，…，a50，
则a1+a2+…+a50＝50×70，即60+90+a3+…+a50＝50×70，
（a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，
即102+202+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75．
更正后平均分为＝×（80+70+a3+…+a50）＝70；
方差为s2＝×[（80﹣70）2 +（70﹣70）2 +（a3﹣70）2 +…+（a50﹣70）2]
＝×[100+（a3﹣70）2 +…+（a50﹣70）2]
＝×[100+50×75﹣102 ﹣202 ]＝67．
故选B．
8．【答案】D
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.故选：D
9．ACD
【详解】A选项，22出现了3次，出现次数最多，故众数为22，A正确；
B选项，将数据从小到大进行排列，20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，
，故选取第8个和第9个数的平均数作为80百分位数，
即，B错误；
C选项，，故平均数为30，C正确；
D选项，前4个数据的平均数为，
故前4个数据的方差为，
最后4个数据的平均数为，
故最后4个数据的方差为，
，故前4个数据的方差比最后4个数据的方差小.故选：ACD
10．【答案】ACD
【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，
故事件A与事件C互斥，故A正确；
若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；
对C，，所以C正确；
对D，，所以D正确；故选：ACD．
11．【答案】AC【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确；
对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确；
对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C正确；
对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，总体的平均数为，方差为，
因为
，
而，
所以，
同理可得，
所以，
故选项D不正确；故选：AC
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．【答案】
【详解】已知空间向量和，则在上的投影向量为
.故答案为：.
13．
【详解】（2）以O为原点,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，
设是平面的一个法向量，则，令，则.
因此，直线到平面的距离为
14．【答案】
【详解】由题意，满足集合 的基底集可以为：
，，，，，，
，，，，，共有11组；
再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组，
综上可得，共计22组，其中满集合中元素之和小于4的有9组，所以概率为.故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．【详解】（1）（5分）由已知得：＝（0，3，3），＝（－1，1，0），
，所以，向量与的夹角为60°．
（2）（5分），
∵ ，
∴，
∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0，解得 k＝3或k＝－3 ．∴ 实数k的值是3或－3．
（3）（5分）由（1）得
16．【详解】（1）（3分）因为，所以
（2）（6分）由图可得，评分在所占比例为
评分在所占比例为
所以75%分位数一定位于，由
估计该企业的职工对该部门评分的75%分位数约为86.8.
（3）（6分）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，记为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，记为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为
17．【详解】（1）（5分）因为平面，平面，
所以，可以建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示，
则，，， B(0,2,0), M(1,1,1)


（2）（5分）所以易知平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为；
（3）（5分）易知平面的一个法向量为：，
，
设平面的一个法向量为，所以，
令，可得，即平面的一个法向量为，
显然，平面和平面的夹角，设为，
则，即平面和平面的夹角的余弦值为.
18．【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；
【详解】（1）（7分）根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）（8分）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.
19．【详解】（1）（6分）证明：由题意，，
∴，，即，，
∵，是平面内两相交直线，∴平面，
∴平行六面体是直四棱柱；
（2）（11分）解：，
由题意，，，
，所以，
，，
∴.
∴，
故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
C
A
B
B
C
C
B
D
ACD
ACD
AC