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专题18 高一上学期期中考试（第一~三章）17大压轴考法专练原卷版-2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题18 高一上学期期中考试（第一~三章）17大压轴考法专练原卷版-2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型1
根据元素与集合的关系求参数
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，且，，，则取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 .
4．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ．
（2）若，则 ．
三、解答题
5．（22-23高一上·河南濮阳·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，则A中至少还有几个元素？
(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.
题型2
根据集合的包含关系求参数
一、单选题
1．（23-24高一下·云南昆明·期中）设集合，若，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）设集合，，如果，则可能的取值是（ ）
A．B．C．0D．
三、解答题
4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）（1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值.
（2）已知集合，若，求实数的值.
5．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若求实数的取值范围．
题型3
集合的交、并、补运算及参数问题
一、单选题
1．（22-23高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7B．8C．9D．10
二、解答题
2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合B=x2m(1)若，求
(2)若，求实数的取值范围．
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求m的取值范围.
4．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或x>7，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
5．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，
(1)若，求；
(2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．
题型4
集合的新定义问题
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述：
①若为一个“封闭集”，则；
②若为一个“封闭集”且，则；
③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是（ ）
A．①③④B．①②③④C．①②③D．①②④
二、多选题
2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．存在，使得
三、填空题
3．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 .
四、解答题
4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学考试）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值.
（2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：
①若，则集合中还有其他两个元素；
②集合不可能是单元素集合.
5．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知有限集，若，则称为“完全集”.
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）；
(3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2.
题型5
充分、必要条件及参数问题
一、单选题
1．（23-24高三上·天津·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
5．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
题型6
全称量词命题和存在量词命题及参数问题
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中真命题的个数是（ ）
①，；
②存在四边形不是菱形；
③存在一对整数，，使得．
A．0B．1C．2D．3
2．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题D．甲乙都不是真命题
3．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.
5．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围；
（2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
题型7
不等式比较大小
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·湖北黄冈·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知（，，），且，则（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
三、填空题
5．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
6．（22-23高一上·北京·期末）已知对于实数，，满足，，则的最大值为 .
题型8
基本不等式求最值
一、单选题
1．（24-25高一上·河南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一上·吉林·阶段练习）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（ ）
A．当时，的面积取得最大值
B．当时，的面积取得最大值
C．当时，的面积取得最大值
D．当时，的面积取得最大值
4．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
二、填空题
5．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若，，则的最小值为 ．
6．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ．
题型9
一元二次不等式中的参数问题
一、单选题
1．（2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题）设集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．或
二、多选题
3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为 .
5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ．
四、解答题
6．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合
(1)当，时，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
(2)若，且关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
7．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）设函数
(1)若，求的解集．
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：．
8．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
题型10
基本、一元二次不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）对任意的恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·山西·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·天津·阶段练习）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ）
A．或B．
C．D．
6．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题
7．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）关于不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
8．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 .
9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
10．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 .
12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若不等式对一切正实数，，恒成立，则实数的取值范围是 .
题型11
函数的定义域、值域中的参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
二、多选题
4．（23-24高一上·四川眉山·期中）若函数的定义域为，值域为，则可以取（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 .
四、解答题
6．（23-24高一上·山西临汾·期中）函数．
(1)若的定义域为，求实数的值；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围．
题型12
利用函数的单调性解不等式
一、单选题
1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）定义在0,+∞上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
3．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ）
A．B．任意给定，
C．D．若，则
三、填空题
4．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ．
5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 .
四、解答题
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数.
(1)若在上的最小值小于，求实数的取值范围；
(2)若，求不等式的解集.
题型13
函数的奇偶性及其应用
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
6．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．
三、解答题
7．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象．
(1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
8．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域；
(3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围.
题型14
抽象函数的性质及其应用
一、单选题
1．（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数的定义域是，则函数fx-3的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．③④C．②③D．②④
二、多选题
4．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递增
C．D．
三、填空题
5．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ．
6．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 .
四、解答题
7．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当.
(1)证明：在上是增函数；
(2)证明：是偶函数；
(3)如果，解不等式.
8．（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式.
9．（2024高三·全国·专题练习）设函数是R上的增函数，对任意，都有 .在①，②中任选一个条件，然后解答以下问题.
(1)求；
(2)求证：是奇函数；
(3)若，求实数x的取值范围.
题型15
函数性质的综合应用
一、单选题
1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数满足：①是偶函数；②在区间上是减函数．若，且，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
2．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）定义在R上的函数满足：①是奇函数；②与有且仅有三个不同的公共点，则（ ）
A．B．C．3D．6
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024高一上·江苏·专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，则下列说法错误的是（ ）
A．函数关于直线对称B．函数在区间上单调递减
C．D．
7．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知函数，的定义域为R，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ）
A．－5B．－6C．5D．6
10．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ）
A．B．图象关于对称
C．图象关于对称D．为偶函数
题型16
幂函数及其应用
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）若，则这四个数中（ ）
A．最大，最小B．最大，最小
C．最大，最小D．最大，最小
二、多选题
3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
4．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
三、填空题
5．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设幂函数，则不等式的解集为 ．
6．（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
7．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知a，b，c为实数，函数（）．
(1)若函数为幂函数，求a，b，c的值；
(2)若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．
8．（23-24高二下·福建南平·期中）已知幂函数（）在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数的取值范围．
题型17
二次、分段、幂函数的模型
一、解答题
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元?
2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里．
(1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？
3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节约成本，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下.当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
(1)求常数的值，并用表示；
(2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值.
(3)要使不超过万元，求的取值范围.
4．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）每年的10月到次年的3月是诺如病毒感染高发期，某学校在诺如病毒感染高发期间，购入了一种消毒制剂用于环境消毒.已知按照给定标准每喷洒1次消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于5（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的诺如病毒的作用．
(1)若按照给定标准喷洒一次消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若该校每天在12：00与18：00按照给定标准喷洒2次消毒剂，记从12：00经过小时消毒剂浓度为，求的解析式．
5．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.
(1)分别求年产量不足40台和年产量不少于40台时，年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
6．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，
题型1
根据元素与集合的关系求参数
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，且，，，则取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 .
4．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ．
（2）若，则 ．
三、解答题
5．（22-23高一上·河南濮阳·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，则A中至少还有几个元素？
(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.
题型2
根据集合的包含关系求参数
一、单选题
1．（23-24高一下·云南昆明·期中）设集合，若，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）设集合，，如果，则可能的取值是（ ）
A．B．C．0D．
三、解答题
4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）（1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值.
（2）已知集合，若，求实数的值.
5．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若求实数的取值范围．
题型3
集合的交、并、补运算及参数问题
一、单选题
1．（22-23高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7B．8C．9D．10
二、解答题
2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合B=x2m
(2)若，求实数的取值范围．
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求m的取值范围.
4．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或x>7，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
5．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，
(1)若，求；
(2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．
题型4
集合的新定义问题
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述：
①若为一个“封闭集”，则；
②若为一个“封闭集”且，则；
③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是（ ）
A．①③④B．①②③④C．①②③D．①②④
二、多选题
2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．存在，使得
三、填空题
3．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 .
四、解答题
4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学考试）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值.
（2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：
①若，则集合中还有其他两个元素；
②集合不可能是单元素集合.
5．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知有限集，若，则称为“完全集”.
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）；
(3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2.
题型5
充分、必要条件及参数问题
一、单选题
1．（23-24高三上·天津·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
5．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
题型6
全称量词命题和存在量词命题及参数问题
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中真命题的个数是（ ）
①，；
②存在四边形不是菱形；
③存在一对整数，，使得．
A．0B．1C．2D．3
2．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题D．甲乙都不是真命题
3．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.
5．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围；
（2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
题型7
不等式比较大小
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·湖北黄冈·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知（，，），且，则（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
三、填空题
5．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
6．（22-23高一上·北京·期末）已知对于实数，，满足，，则的最大值为 .
题型8
基本不等式求最值
一、单选题
1．（24-25高一上·河南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一上·吉林·阶段练习）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（ ）
A．当时，的面积取得最大值
B．当时，的面积取得最大值
C．当时，的面积取得最大值
D．当时，的面积取得最大值
4．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
二、填空题
5．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若，，则的最小值为 ．
6．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ．
题型9
一元二次不等式中的参数问题
一、单选题
1．（2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题）设集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．或
二、多选题
3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为 .
5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ．
四、解答题
6．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合
(1)当，时，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
(2)若，且关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
7．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）设函数
(1)若，求的解集．
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：．
8．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
题型10
基本、一元二次不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）对任意的恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·山西·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·天津·阶段练习）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ）
A．或B．
C．D．
6．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题
7．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）关于不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
8．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 .
9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
10．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 .
12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若不等式对一切正实数，，恒成立，则实数的取值范围是 .
题型11
函数的定义域、值域中的参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
二、多选题
4．（23-24高一上·四川眉山·期中）若函数的定义域为，值域为，则可以取（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 .
四、解答题
6．（23-24高一上·山西临汾·期中）函数．
(1)若的定义域为，求实数的值；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围．
题型12
利用函数的单调性解不等式
一、单选题
1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）定义在0,+∞上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
3．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ）
A．B．任意给定，
C．D．若，则
三、填空题
4．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ．
5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 .
四、解答题
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数.
(1)若在上的最小值小于，求实数的取值范围；
(2)若，求不等式的解集.
题型13
函数的奇偶性及其应用
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
6．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．
三、解答题
7．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象．
(1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
8．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域；
(3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围.
题型14
抽象函数的性质及其应用
一、单选题
1．（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数的定义域是，则函数fx-3的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．③④C．②③D．②④
二、多选题
4．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递增
C．D．
三、填空题
5．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ．
6．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 .
四、解答题
7．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当.
(1)证明：在上是增函数；
(2)证明：是偶函数；
(3)如果，解不等式.
8．（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式.
9．（2024高三·全国·专题练习）设函数是R上的增函数，对任意，都有 .在①，②中任选一个条件，然后解答以下问题.
(1)求；
(2)求证：是奇函数；
(3)若，求实数x的取值范围.
题型15
函数性质的综合应用
一、单选题
1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数满足：①是偶函数；②在区间上是减函数．若，且，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
2．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）定义在R上的函数满足：①是奇函数；②与有且仅有三个不同的公共点，则（ ）
A．B．C．3D．6
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024高一上·江苏·专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，则下列说法错误的是（ ）
A．函数关于直线对称B．函数在区间上单调递减
C．D．
7．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知函数，的定义域为R，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ）
A．－5B．－6C．5D．6
10．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ）
A．B．图象关于对称
C．图象关于对称D．为偶函数
题型16
幂函数及其应用
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）若，则这四个数中（ ）
A．最大，最小B．最大，最小
C．最大，最小D．最大，最小
二、多选题
3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
4．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
三、填空题
5．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设幂函数，则不等式的解集为 ．
6．（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
7．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知a，b，c为实数，函数（）．
(1)若函数为幂函数，求a，b，c的值；
(2)若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．
8．（23-24高二下·福建南平·期中）已知幂函数（）在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数的取值范围．
题型17
二次、分段、幂函数的模型
一、解答题
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元?
2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里．
(1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？
3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节约成本，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下.当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
(1)求常数的值，并用表示；
(2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值.
(3)要使不超过万元，求的取值范围.
4．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）每年的10月到次年的3月是诺如病毒感染高发期，某学校在诺如病毒感染高发期间，购入了一种消毒制剂用于环境消毒.已知按照给定标准每喷洒1次消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于5（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的诺如病毒的作用．
(1)若按照给定标准喷洒一次消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若该校每天在12：00与18：00按照给定标准喷洒2次消毒剂，记从12：00经过小时消毒剂浓度为，求的解析式．
5．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.
(1)分别求年产量不足40台和年产量不少于40台时，年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
6．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，
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