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数学必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数课后作业题
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这是一份数学必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数课后作业题，共22页。试卷主要包含了幂函数3，对勾函数8，解答题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135645" 题型一、幂函数3
\l "_Tc170135646" 题型二、对勾函数8
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（13题）14
一、幂函数
二、对勾函数
【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
【题型一 幂函数】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.
【详解】，当时，二次函数对称轴为，
对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；
对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；
对选项D：取，则，，满足图像；
故选：B
二、多选题
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由其单调性以及奇偶性即可得到结果.
【详解】因为幂函数的图像关于y轴对称，
所以函数为偶函数，则，即，
又，由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，故B正确，A错误；
因为，在上单调递减，且函数为偶函数
则，故D正确，C错误.
故选：BD
3．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．若正实数m，n满足，则
D．若函数，则对任意，，且，有
【答案】ACD
【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D.
【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确；
对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足，
所以，
因为函数在0,+∞上单调递减，则，故C正确；
对于选项D，由于，,\
则，，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：ACD．
三、解答题
4．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式；
（2）根据的单调性求解不等式.
【详解】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以解得，
所以实数的取值范围是.
5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得gx<0成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数的图象过点，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，，则，
由gx<0得，，
即，
令，根据题意，存在实数，，
则 ，由于，
所以当时，ℎx取最小值，故，
所以的取值范围为.
6．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.
(1)求的解析式；
(2)在时，解不等式；
(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，奇函数的性质进行求解即可；
（2）运用平方法进行求解即可；
（3）利用函数的奇偶性和单调性，结合配方法进行求解即可.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以有，或，
当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意；
当时，在区间上是单调递增，符合题意，
所以，
因为函数是定义域为R的奇函数，则，
所以当时，
因此的解析式为：；
（2）因为时，，
所以由，又，
所以，
所以不等式的解集为；
（3）当时，，此时函数单调递增，且，
当时，，此时函数单调递增，且，而，
因此奇函数是R上的增函数，于是由
恒成立，
又，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解.
【题型二 对勾函数】
一、多选题
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在上单调递减D．图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数有意义，则满足，
所以函数定义域为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以；
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.
故选：ABD.
二、填空题
2．（22-23高一上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 .
【答案】/0.75
【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.
【详解】因为，则，，即
当，因为，则，.
当即时，恒成立，所以.
综上,
所以实数的最大值为.
故答案为：
3．（23-24高一上·江西·阶段练习）形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 .
【答案】1
【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可.
【详解】j为奇函数，且在上的最大值比最小值大，
所以在上的最大值比最小值大.
由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增.
当时，即时，
在上单调递增.
则，
解得.
当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增.
，
因为，所以，
所以，
解得（舍去）或9（舍去）.
综上，
故答案为：1.
三、解答题
4．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)
【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解；
（2）设,然后由为上的增函数，则成立求解.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
对，，
所以函数为奇函数；
当时，的定义域为，
对，，
此时，
此时，函数是奇函数；
（2）设，
则，
，
因为，所以，，
若为上的增函数，则成立，
则成立，所以成立，解得，
所以实数的取值范围是.
5．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域；
(2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是；
(2).
【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得.
（2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得.
【详解】（1）函数，，令，则，
由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，又当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，，
所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是.
（2）当时，，
令，显然函数在上单调递增，
则当时，，于是当时，取得最小值5，
因为对，都有成立，则，
所以m的取值范围是.
6．（23-24高一上·河南郑州·期中）对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
(2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.
(3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)单调增区间是和；单调减区间是和；图象见解析
(3)
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；
（2）结合已知与奇函数的对称性写出单调区间，作出图象；
（3）求出的最大值为，将条件转化为，的恒成立问题，再利用已知函数的单调性，求出函数的最小值，则由可得的范围.
【详解】（1），
任取，不妨设，
因为，
因为，所以，，，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
（2）函数的单调增区间是和；单调减区间是和；
函数的图象如图：
（3）由题意
当时，，则，
由，，得，恒成立，
由题意知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
要使在恒成立，则
则，解得.
故实数的取值范围是.
一、单选题
1．（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系
【详解】因为是幂函数且在上是减函数，
故，故，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则下列选项错误的是（ ）
A．的图象过点B．的图象关于轴对称
C．在0,+∞上单调递增D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质求解即可.
【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确；
对于选项B，函数定义域为，且，所以为偶函数，图象关于轴对称，故B正确；
对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确；
对于选项D，因为，所以，故D错误.
故选：D
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可.
【详解】因为函数在上是增函数，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
4．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解.
【详解】由于，当，，由于是的最小值，
则为减区间，即有，则恒成立.
由，当且仅当时取等号，所以 ，解得.
综上，a的取值范围为.
故选：A.
5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论.
【详解】因为函数在上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数的取值范围为.
故选：B
6．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.
【详解】，，
，，
设，则，则函数等价为，
由对勾函数的单调性可得，
时，单调递减，
时，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，当时，，
设函数的值域为，则函数的值域；
由，在0,1上是减函数，
则最大值为，最小值，，
设的值域为，则，
若对于任意，总存在，使得成立，
则等价为，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键.
二、多选题
7．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象经过原点B．为偶函数
C．的值域为D．在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可.
【详解】由题意，，所以，即
对于A，的定义域为，
故的图象不经过原点，A错误；
对于B，因为的定义域为，
，故为偶函数，B正确；
对于C，由于，故值域为，C正确；
对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．
故选：BC．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【答案】AD
【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
当，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
当，即时，在上单调递减，所以，
，
所以，解得，不符合题意，故舍去；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或，两个解均舍去；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
三、填空题
9．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或，
当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，
解得或.
故答案为：.
10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式.
【详解】因为为幂函数，
则，解得，或，
当时，，为奇函数，不符合题意；
当时，，为偶函数，符合题意，
且在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
解得或，即不等式的解集为.
故答案为：.
11．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为 ．
【答案】/0.75
【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.
【详解】因为，则，
所以，即
当，即时，因为，不合题意；
当即时，恒成立，所以.
所以实数的最大值为.
故答案为：
四、解答题
12．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)求在上的最大值及最小值．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)最大值、最小值分别为.
【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明.
（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论.
（3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值．
【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数，
对任意的，，
所以函数为奇函数.
（2）对区间上的任意两个数，且，
则，
由，则，，，
从而，即，
所以函数在区间上为增函数.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，，，
所以函数在上的最大值、最小值分别为.
13．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数．
(1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值；
(2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可；
（2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或，
当时，，此时是奇函数，符合题意，
当时，，此时是偶函数，不符合题意，
所以；
（2）若在第一象限内是严格增函数，
则需满足或，
解得或，
即或或，
所以的取值范围是.
解析式
图像
在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。
定义域
当取正整数时，定义域为R；
当取零或负整数时，定义域为；
当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域；
定点
图像过点和点
图像过点
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸
在第一象限内，图像都下凸
奇偶性
当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数
微结论
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(互质且)
奇偶性
都为奇数
奇函数
为奇数，为偶数
既不是奇函数，也不是偶函数
为偶数，为奇数
偶函数
解析式
图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数，在是减函数
在上是增函数，在是减函数
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135645" 题型一、幂函数3
\l "_Tc170135646" 题型二、对勾函数8
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（13题）14
一、幂函数
二、对勾函数
【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
【题型一 幂函数】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.
【详解】，当时，二次函数对称轴为，
对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；
对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；
对选项D：取，则，，满足图像；
故选：B
二、多选题
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由其单调性以及奇偶性即可得到结果.
【详解】因为幂函数的图像关于y轴对称，
所以函数为偶函数，则，即，
又，由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，故B正确，A错误；
因为，在上单调递减，且函数为偶函数
则，故D正确，C错误.
故选：BD
3．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．若正实数m，n满足，则
D．若函数，则对任意，，且，有
【答案】ACD
【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D.
【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确；
对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足，
所以，
因为函数在0,+∞上单调递减，则，故C正确；
对于选项D，由于，,\
则，，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：ACD．
三、解答题
4．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式；
（2）根据的单调性求解不等式.
【详解】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以解得，
所以实数的取值范围是.
5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得gx<0成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数的图象过点，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，，则，
由gx<0得，，
即，
令，根据题意，存在实数，，
则 ，由于，
所以当时，ℎx取最小值，故，
所以的取值范围为.
6．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.
(1)求的解析式；
(2)在时，解不等式；
(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，奇函数的性质进行求解即可；
（2）运用平方法进行求解即可；
（3）利用函数的奇偶性和单调性，结合配方法进行求解即可.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以有，或，
当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意；
当时，在区间上是单调递增，符合题意，
所以，
因为函数是定义域为R的奇函数，则，
所以当时，
因此的解析式为：；
（2）因为时，，
所以由，又，
所以，
所以不等式的解集为；
（3）当时，，此时函数单调递增，且，
当时，，此时函数单调递增，且，而，
因此奇函数是R上的增函数，于是由
恒成立，
又，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解.
【题型二 对勾函数】
一、多选题
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在上单调递减D．图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数有意义，则满足，
所以函数定义域为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以；
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.
故选：ABD.
二、填空题
2．（22-23高一上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 .
【答案】/0.75
【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.
【详解】因为，则，，即
当，因为，则，.
当即时，恒成立，所以.
综上,
所以实数的最大值为.
故答案为：
3．（23-24高一上·江西·阶段练习）形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 .
【答案】1
【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可.
【详解】j为奇函数，且在上的最大值比最小值大，
所以在上的最大值比最小值大.
由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增.
当时，即时，
在上单调递增.
则，
解得.
当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增.
，
因为，所以，
所以，
解得（舍去）或9（舍去）.
综上，
故答案为：1.
三、解答题
4．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)
【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解；
（2）设,然后由为上的增函数，则成立求解.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
对，，
所以函数为奇函数；
当时，的定义域为，
对，，
此时，
此时，函数是奇函数；
（2）设，
则，
，
因为，所以，，
若为上的增函数，则成立，
则成立，所以成立，解得，
所以实数的取值范围是.
5．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域；
(2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是；
(2).
【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得.
（2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得.
【详解】（1）函数，，令，则，
由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，又当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，，
所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是.
（2）当时，，
令，显然函数在上单调递增，
则当时，，于是当时，取得最小值5，
因为对，都有成立，则，
所以m的取值范围是.
6．（23-24高一上·河南郑州·期中）对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
(2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.
(3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)单调增区间是和；单调减区间是和；图象见解析
(3)
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；
（2）结合已知与奇函数的对称性写出单调区间，作出图象；
（3）求出的最大值为，将条件转化为，的恒成立问题，再利用已知函数的单调性，求出函数的最小值，则由可得的范围.
【详解】（1），
任取，不妨设，
因为，
因为，所以，，，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
（2）函数的单调增区间是和；单调减区间是和；
函数的图象如图：
（3）由题意
当时，，则，
由，，得，恒成立，
由题意知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
要使在恒成立，则
则，解得.
故实数的取值范围是.
一、单选题
1．（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系
【详解】因为是幂函数且在上是减函数，
故，故，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则下列选项错误的是（ ）
A．的图象过点B．的图象关于轴对称
C．在0,+∞上单调递增D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质求解即可.
【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确；
对于选项B，函数定义域为，且，所以为偶函数，图象关于轴对称，故B正确；
对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确；
对于选项D，因为，所以，故D错误.
故选：D
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可.
【详解】因为函数在上是增函数，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
4．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解.
【详解】由于，当，，由于是的最小值，
则为减区间，即有，则恒成立.
由，当且仅当时取等号，所以 ，解得.
综上，a的取值范围为.
故选：A.
5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论.
【详解】因为函数在上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数的取值范围为.
故选：B
6．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.
【详解】，，
，，
设，则，则函数等价为，
由对勾函数的单调性可得，
时，单调递减，
时，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，当时，，
设函数的值域为，则函数的值域；
由，在0,1上是减函数，
则最大值为，最小值，，
设的值域为，则，
若对于任意，总存在，使得成立，
则等价为，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键.
二、多选题
7．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象经过原点B．为偶函数
C．的值域为D．在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可.
【详解】由题意，，所以，即
对于A，的定义域为，
故的图象不经过原点，A错误；
对于B，因为的定义域为，
，故为偶函数，B正确；
对于C，由于，故值域为，C正确；
对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．
故选：BC．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【答案】AD
【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
当，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
当，即时，在上单调递减，所以，
，
所以，解得，不符合题意，故舍去；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或，两个解均舍去；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
三、填空题
9．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或，
当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，
解得或.
故答案为：.
10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式.
【详解】因为为幂函数，
则，解得，或，
当时，，为奇函数，不符合题意；
当时，，为偶函数，符合题意，
且在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
解得或，即不等式的解集为.
故答案为：.
11．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为 ．
【答案】/0.75
【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.
【详解】因为，则，
所以，即
当，即时，因为，不合题意；
当即时，恒成立，所以.
所以实数的最大值为.
故答案为：
四、解答题
12．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)求在上的最大值及最小值．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)最大值、最小值分别为.
【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明.
（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论.
（3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值．
【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数，
对任意的，，
所以函数为奇函数.
（2）对区间上的任意两个数，且，
则，
由，则，，，
从而，即，
所以函数在区间上为增函数.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，，，
所以函数在上的最大值、最小值分别为.
13．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数．
(1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值；
(2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可；
（2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或，
当时，，此时是奇函数，符合题意，
当时，，此时是偶函数，不符合题意，
所以；
（2）若在第一象限内是严格增函数，
则需满足或，
解得或，
即或或，
所以的取值范围是.
解析式
图像
在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。
定义域
当取正整数时，定义域为R；
当取零或负整数时，定义域为；
当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域；
定点
图像过点和点
图像过点
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸
在第一象限内，图像都下凸
奇偶性
当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数
微结论
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(互质且)
奇偶性
都为奇数
奇函数
为奇数，为偶数
既不是奇函数，也不是偶函数
为偶数，为奇数
偶函数
解析式
图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数，在是减函数
在上是增函数，在是减函数
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