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专题10 高一上学期第一次月考（第一章+第二章）17大压轴考法专练原卷版-2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题10 高一上学期第一次月考（第一章+第二章）17大压轴考法专练原卷版-2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册），共63页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（ ）
A．19B．20C．81D．100
2．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是正整数集的非空子集，称集合为集合的生成集.若是由个正整数构成的集合，则其生成集中元素个数的最小值为 .
三、解答题
4．（2023高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
5．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合．
(1)设，求集合A的元素个数；
(2)设，证明：若，则．
题型2
根据元素与集合的关系求参数
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}B．{1}C．{－1，1}D．{0,-1，1}
2．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、解答题
4．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．
5．（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）设关于的不等式的解集为 .
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
题型3
根据集合的包含关系求参数
一、多选题
1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，则的值可以为（ ）
A．1B．6C．8D．10
2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8
二、填空题
3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 .
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
5．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 .
(1)若为非空集合，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
题型4
集合的交、并、补运算及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．32
二、填空题
2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
3．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知集合，，，若，，则 ．
4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 .
三、解答题
5．（23-24高一上·福建福州·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合，，若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
题型5
集合的新定义问题
一、单选题
1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ）
A．0B．0，C．0，D．，0，
2．（24-25高一·上海·课堂例题）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④；
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（ ）
A．②B．①③C．②④D．②③
二、解答题
3．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．
4．（23-24高一上·北京海淀·期中）对非空数集T，给出如下定义，
定义1：若，，当时，，则称T为强和差集；
定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集．
(1)分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由；
(2)若集合是弱和差集，求A；
(3)若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数．
5．（23-24高一下·全国·课后作业）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
题型6
充分、必要条件及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．（23-24高三上·河南·期中）“关于x的不等式的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
二、解答题
5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
题型7
全称量词命题和存在量词命题及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围．
4．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
5．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题.
(1)求实数m的取值集合A；
(2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
题型8
集合与常用逻辑用语相结合的问题
一、单选题
1．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是
②的必要不充分条件是
③的充分不必要条件是
④的充要条件是
其中，真命题有（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①④
2．（2025·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．或
二、解答题
3．（24-25高一·上海·课堂例题）设全集，已知命题p：集合或，命题q：集合．
(1)若时，求集合N、集合及；
(2)若且，求实数的取值范围；
(3)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
4．（23-24高一上·广西梧州·阶段练习）已知集合
(1)求集合A，B；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
5．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
(1)求实数取值的集合；
(2)设集合（其中），若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知集合，集合．
(1)存在，使，成立，求实数的值及集合；
(2)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(3)若任意的，都有，求实数的取值范围．
题型9
不等式中比较大小问题
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：① ② ③ ④其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一上·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价m+n2%，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法判断
4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．不等式和均不能成立
B．不等式和均不能成立
C．不等式和均不能成立
D．不等式和均不能成立
5．（23-24高一下·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
题型10
利用不等式求式子（值）的范围
一、多选题
1．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ．
三、解答题
4．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，.
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求的取值范围.
5．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知，，求的取值范围．
（2）已知，，求的取值范围．
题型11
基本不等式求最值
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）设正实数a，b，m，n有，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题
4．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
5．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为 ．
6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）设正实数满足，且，则的最小值为 .
题型12
不等式的证明
一、解答题
1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
(3)已知是正数，且，求证：．
2．（23-24高一上·云南·阶段练习）证明下列不等式：
(1)若，求证：；
(2)若，，，求证：．
3．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知均为正数，且，求证：；
(2)已知，求证：.
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式
(1)已知，，，且，求证：.
(2)已知，，，求证： .
5．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）问题：已知均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)求的最小值，并求出使得最小的的值.
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：． 证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值．
(2)若，解关于的方程．
(3)若正数，满足，求的最小值．
题型13
基本不等式的实际应用问题
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）一个矩形的周长为，面积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小．
三、解答题
4．（24-25高一上·全国·课后作业）经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？
5．（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润．
6．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？
题型14
基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高三上·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
6．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ．
题型15
含参数的一元二次不等式解法
一、单选题
1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
二、解答题
3．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
4．（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式．
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，
(1)解关于的不等式；
(2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：．
题型16
一元二次不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．D．
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 .
5．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 .
6．（23-24高二下·广东深圳·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
三、解答题
7．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数．已知关于的不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．
8．（23-24高二下·安徽合肥·期末）（1）解关于的不等式：.
（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
9．（2024·四川内江·模拟预测）已知．
(1)若，求的最大值，并求出此时的值；
(2)若且，求的最大值．
题型17
一元二次方程根的分布问题
一、解答题
1．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M.
(1)若，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.
2．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数．
(1)不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围．
3．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在内，另一个根在内；
一、单选题
1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（ ）
A．19B．20C．81D．100
2．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是正整数集的非空子集，称集合为集合的生成集.若是由个正整数构成的集合，则其生成集中元素个数的最小值为 .
三、解答题
4．（2023高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
5．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合．
(1)设，求集合A的元素个数；
(2)设，证明：若，则．
题型2
根据元素与集合的关系求参数
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}B．{1}C．{－1，1}D．{0,-1，1}
2．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、解答题
4．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．
5．（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）设关于的不等式的解集为 .
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
题型3
根据集合的包含关系求参数
一、多选题
1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，则的值可以为（ ）
A．1B．6C．8D．10
2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8
二、填空题
3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 .
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
5．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 .
(1)若为非空集合，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
题型4
集合的交、并、补运算及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．32
二、填空题
2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
3．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知集合，，，若，，则 ．
4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 .
三、解答题
5．（23-24高一上·福建福州·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合，，若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
题型5
集合的新定义问题
一、单选题
1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ）
A．0B．0，C．0，D．，0，
2．（24-25高一·上海·课堂例题）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④；
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（ ）
A．②B．①③C．②④D．②③
二、解答题
3．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．
4．（23-24高一上·北京海淀·期中）对非空数集T，给出如下定义，
定义1：若，，当时，，则称T为强和差集；
定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集．
(1)分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由；
(2)若集合是弱和差集，求A；
(3)若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数．
5．（23-24高一下·全国·课后作业）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
题型6
充分、必要条件及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．（23-24高三上·河南·期中）“关于x的不等式的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
二、解答题
5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
题型7
全称量词命题和存在量词命题及参数问题
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围．
4．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
5．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题.
(1)求实数m的取值集合A；
(2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
题型8
集合与常用逻辑用语相结合的问题
一、单选题
1．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是
②的必要不充分条件是
③的充分不必要条件是
④的充要条件是
其中，真命题有（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①④
2．（2025·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．或
二、解答题
3．（24-25高一·上海·课堂例题）设全集，已知命题p：集合或，命题q：集合．
(1)若时，求集合N、集合及；
(2)若且，求实数的取值范围；
(3)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
4．（23-24高一上·广西梧州·阶段练习）已知集合
(1)求集合A，B；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
5．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
(1)求实数取值的集合；
(2)设集合（其中），若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知集合，集合．
(1)存在，使，成立，求实数的值及集合；
(2)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(3)若任意的，都有，求实数的取值范围．
题型9
不等式中比较大小问题
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：① ② ③ ④其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一上·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价m+n2%，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法判断
4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．不等式和均不能成立
B．不等式和均不能成立
C．不等式和均不能成立
D．不等式和均不能成立
5．（23-24高一下·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
题型10
利用不等式求式子（值）的范围
一、多选题
1．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ．
三、解答题
4．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，.
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求的取值范围.
5．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知，，求的取值范围．
（2）已知，，求的取值范围．
题型11
基本不等式求最值
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）设正实数a，b，m，n有，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题
4．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
5．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为 ．
6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）设正实数满足，且，则的最小值为 .
题型12
不等式的证明
一、解答题
1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
(3)已知是正数，且，求证：．
2．（23-24高一上·云南·阶段练习）证明下列不等式：
(1)若，求证：；
(2)若，，，求证：．
3．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知均为正数，且，求证：；
(2)已知，求证：.
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式
(1)已知，，，且，求证：.
(2)已知，，，求证： .
5．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）问题：已知均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)求的最小值，并求出使得最小的的值.
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：． 证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值．
(2)若，解关于的方程．
(3)若正数，满足，求的最小值．
题型13
基本不等式的实际应用问题
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）一个矩形的周长为，面积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小．
三、解答题
4．（24-25高一上·全国·课后作业）经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？
5．（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润．
6．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？
题型14
基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高三上·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
6．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ．
题型15
含参数的一元二次不等式解法
一、单选题
1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
二、解答题
3．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
4．（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式．
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，
(1)解关于的不等式；
(2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：．
题型16
一元二次不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．D．
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 .
5．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 .
6．（23-24高二下·广东深圳·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
三、解答题
7．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数．已知关于的不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．
8．（23-24高二下·安徽合肥·期末）（1）解关于的不等式：.
（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
9．（2024·四川内江·模拟预测）已知．
(1)若，求的最大值，并求出此时的值；
(2)若且，求的最大值．
题型17
一元二次方程根的分布问题
一、解答题
1．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M.
(1)若，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.
2．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数．
(1)不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围．
3．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在内，另一个根在内；
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