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人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课后作业题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课后作业题，共21页。试卷主要包含了条件等式求最值2，常数代换法5，消参法8，双换元法11，二次商式的最值12，常见求最值模型等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、条件等式求最值2
\l "_Tc170135645" 题型二、常数代换法5
\l "_Tc170135646" 题型三、消参法8
\l "_Tc170135647" 题型四、双换元法11
\l "_Tc170135648" 题型五、二次（一次）商式的最值12
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（13题）14
一、重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立.
二、基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立.
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
五、利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
六、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号
【题型一 条件等式求最值】
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以.
故选：A.
2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.
【详解】因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.
二、填空题
3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是 .
【答案】7
【分析】由题设可得，利用基本不等式可得即可求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】由，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是7.
故答案为：7
4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值.
【详解】已知实数且，
则，
，
当或时等号成立，即的最大值为1；
，当，或时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值.
5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为
【答案】
【分析】设，则利用基本不等式计算可得.
【详解】设，因为，
所以
，
令，解得或（舍去），
因此，即，当且时取等号，
故的最大值为.
故答案为：
【题型二 常数代换法】
一、单选题
1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用基本知识点“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，且，易知，，则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.
【详解】由得，
于是，
又，，所以，
因此，
当且仅当，即时，等号成立.
故.
故选：B.
3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可.
【详解】因为，且，又，
所以，
当且仅当时取最小值，此时，
故所求为6.
故选：D.
4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，，
，
，
当且仅当，且，即时等号成立，
的最小值为.
故选：A
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.
【详解】设，
则且，解得.
所以，
因为，所以，
当时取等号，即且，
解得.
故选：B.
【题型三 消参法】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，当且仅当，
即，时取得等号．
故选：B．
2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．
【答案】B
【分析】根据题意对进行适当变形，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，
即，因为，
所以，
又
得，
因为，所以
由，
所以
，
当且仅当即时取“=”，
所以的最小值为3.
故选：B
3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（ ）
A．15B．C．17D．
【答案】C
【分析】利用，可将消元为只含或只含的式子，再利用基本不等式求解.
【详解】∵，
∴，其中，
∴，
又∵，∴，
则
，
当且仅当即时，等号成立.
∴的最小值为17.
故选：C
4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.
【详解】由题设，，而，，
所以，
所以且，
又，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即目标式最大值为.
故选：D
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
6．（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 .
【答案】17
【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，化简得，故，
故，
令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，解得，
当时，，，满足要求，
当时，，，满足要求，
故答案为：17
【题型四 双换元法】
一、填空题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为实数，满足，
化为，
令，，则．
联立可得，，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令，，
则，，，，，所以，
所以
，
当且仅当，，即，时等号成立．
故答案为：
3．（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值 .
【答案】20
【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，
去分母化简得：，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：20
【题型五 二次（一次）商式的最值】
一、单选题
1．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．
故选：A.
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
二、填空题
3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
，
当且仅当，，即时，等号成立.
故答案为：
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可.
【详解】由，则，
而，故当时，目标式最小值为16.
故答案为：16
5．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是，故答案为:.
一、单选题
1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：D.
2．（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．11
【答案】D
【分析】根据条件得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，显然，得到，所以，
又，为正实数，所以，得到，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
3．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
【答案】B
【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.
故选：B
4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值.
【详解】，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5.
故选：A.
5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】由，得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：A
6．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围.
【详解】因为，，则，所以．
又，
即，即，解得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
即的取值范围为.
故选：D．
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值.
【详解】令，，则，
因为，所以，
因为，所以，
则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
二、多选题
8．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解.
【详解】因为正数满足，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，因为，由，
可得，所以，当且仅当时，等号成立，
所以B不正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，因为，可得，且，
则，所以D不正确.
故选：AC.
9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
【答案】BC
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
三、填空题
10．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）．
【答案】③
【分析】对于①③，利用基本不等式分析判断，对于②，作差分析判断.
【详解】对于①，∵、是正实数时，，
∴，当且仅当时等号成立，∴①不恒成立；
对于②，∵，当且仅当时取等号，∴②不恒成立；
对于③，∵，∴③恒成立．
故答案为：③
11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ．
（2）设，则的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】（1）根据题意，结合，得到，即可求解；
（2）化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】解：（1）因为，
由，可得，解得，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为.
（2）因为
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】
将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】
，
所以，
当且仅当时取到等号，
故答案为：
13．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【详解】因为，故.
又，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、条件等式求最值2
\l "_Tc170135645" 题型二、常数代换法5
\l "_Tc170135646" 题型三、消参法8
\l "_Tc170135647" 题型四、双换元法11
\l "_Tc170135648" 题型五、二次（一次）商式的最值12
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（13题）14
一、重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立.
二、基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立.
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
五、利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
六、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号
【题型一 条件等式求最值】
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以.
故选：A.
2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.
【详解】因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.
二、填空题
3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是 .
【答案】7
【分析】由题设可得，利用基本不等式可得即可求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】由，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是7.
故答案为：7
4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值.
【详解】已知实数且，
则，
，
当或时等号成立，即的最大值为1；
，当，或时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值.
5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为
【答案】
【分析】设，则利用基本不等式计算可得.
【详解】设，因为，
所以
，
令，解得或（舍去），
因此，即，当且时取等号，
故的最大值为.
故答案为：
【题型二 常数代换法】
一、单选题
1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用基本知识点“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，且，易知，，则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.
【详解】由得，
于是，
又，，所以，
因此，
当且仅当，即时，等号成立.
故.
故选：B.
3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可.
【详解】因为，且，又，
所以，
当且仅当时取最小值，此时，
故所求为6.
故选：D.
4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，，
，
，
当且仅当，且，即时等号成立，
的最小值为.
故选：A
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.
【详解】设，
则且，解得.
所以，
因为，所以，
当时取等号，即且，
解得.
故选：B.
【题型三 消参法】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，当且仅当，
即，时取得等号．
故选：B．
2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．
【答案】B
【分析】根据题意对进行适当变形，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，
即，因为，
所以，
又
得，
因为，所以
由，
所以
，
当且仅当即时取“=”，
所以的最小值为3.
故选：B
3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（ ）
A．15B．C．17D．
【答案】C
【分析】利用，可将消元为只含或只含的式子，再利用基本不等式求解.
【详解】∵，
∴，其中，
∴，
又∵，∴，
则
，
当且仅当即时，等号成立.
∴的最小值为17.
故选：C
4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.
【详解】由题设，，而，，
所以，
所以且，
又，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即目标式最大值为.
故选：D
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
6．（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 .
【答案】17
【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，化简得，故，
故，
令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，解得，
当时，，，满足要求，
当时，，，满足要求，
故答案为：17
【题型四 双换元法】
一、填空题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为实数，满足，
化为，
令，，则．
联立可得，，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令，，
则，，，，，所以，
所以
，
当且仅当，，即，时等号成立．
故答案为：
3．（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值 .
【答案】20
【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，
去分母化简得：，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：20
【题型五 二次（一次）商式的最值】
一、单选题
1．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．
故选：A.
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
二、填空题
3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
，
当且仅当，，即时，等号成立.
故答案为：
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可.
【详解】由，则，
而，故当时，目标式最小值为16.
故答案为：16
5．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是，故答案为:.
一、单选题
1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：D.
2．（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．11
【答案】D
【分析】根据条件得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，显然，得到，所以，
又，为正实数，所以，得到，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
3．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．D．
【答案】B
【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.
故选：B
4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值.
【详解】，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5.
故选：A.
5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】由，得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：A
6．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围.
【详解】因为，，则，所以．
又，
即，即，解得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
即的取值范围为.
故选：D．
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值.
【详解】令，，则，
因为，所以，
因为，所以，
则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
二、多选题
8．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解.
【详解】因为正数满足，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，因为，由，
可得，所以，当且仅当时，等号成立，
所以B不正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，因为，可得，且，
则，所以D不正确.
故选：AC.
9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
【答案】BC
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
三、填空题
10．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）．
【答案】③
【分析】对于①③，利用基本不等式分析判断，对于②，作差分析判断.
【详解】对于①，∵、是正实数时，，
∴，当且仅当时等号成立，∴①不恒成立；
对于②，∵，当且仅当时取等号，∴②不恒成立；
对于③，∵，∴③恒成立．
故答案为：③
11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ．
（2）设，则的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】（1）根据题意，结合，得到，即可求解；
（2）化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】解：（1）因为，
由，可得，解得，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为.
（2）因为
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】
将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】
，
所以，
当且仅当时取到等号，
故答案为：
13．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【详解】因为，故.
又，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
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