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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角习题，共18页。试卷主要包含了直线与平面垂直，直线与平面平行或在平面内，斜线和平面所成的角，能够应用所学知识解决相关的题目等内容，欢迎下载使用。
知识点01 直线与平面的夹角
1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.
2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.
3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
【即学即练1】（浙江省绍兴市2022-2023学年）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点.
(1)求三棱锥A-O1BC的体积；
(2)当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值.
【即学即练2】（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若PE=3，求点B到平面PEM的距离；
(3)若PE=3，求直线PB与平面PEM所成角的余弦值．
知识点02 用空间向量求直线与平面的夹角
1.定义：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，u与n 的角为φ，则有sinθ=__csφ ____=___u⋅nun____.
2.范围：[0,π2]
【即学即练3】若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的余弦值为______.
【即学即练4】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图所示，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E为等边三角形ACD的中心，F,G分别满足BF=12FC,BG=GA.
(1)用BA,BC,BD表示BE，并求出BE；
(2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.
难点：动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期末）如图，在边长为12的正方形ABCD中，E1,E2,F1,F2分别边AD,BC的三等分点，正方形内有两点P,Q，点P到AD,CD的距离分别为3a,2a，点Q到BC,AB的距离也是3a和2a，其中0A．直线PQ //平面E1E2F2F1
B．PQ的最小值为6105
C．线段PQ的中点到A的距离不超过35
D．异面直线PQ与AB成45°角时，a=32
【题型1：定义法求直线与平面所成的角】
例1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,E为棱AB的中点,则直线B1E与平面BB1C1C所成角的正弦值为（ ）
A．1510B．13C．23D．5117
变式1．（23-24高二下·河南·阶段练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘,AB=AC,AA1=BC，则BC1与平面ABB1A1所成的角为（ ）.
A．π6B．π4C．π3D．5π6
变式2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与平面ABC1D1所成的角为（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
变式3．（多选）（22-23高二上·贵州黔东南·开学考试）已知梯形ABCD，AB=AD=1，BC=2，AD//BC，AD⊥AB，P是线段BC的中点．将△ABD沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项正确的是（ ）
A．BD与AP始终垂直
B．当直线AP与平面BCD所成角为π6时，AP=62
C．四面体A-BCD体积的最大值为22
D．四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4π
变式4．（多选）（23-24高二下·四川泸州·期末）如图，在棱长为32的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一个动点，且满足PD+PB1=3+33，则下列结论正确的是（ ）
A．B1D⊥PB
B．直线B1P与平面A1BC1所成角为定值
C．点P的轨迹的周长为33π
D．三棱锥P-BB1C1体积的最大值为62
变式5．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，求tanθ的最大值．
变式6．（2024高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求证：平面AB1C//平面A1C1D；
(2)求直线AB1和平面BDD1B1所成角．
变式7．（24-25高二·上海·假期作业）已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC，并且与底面所成角是60°.设侧棱长为l
(1)求此三棱柱的高；
(2)求证：侧面BB'C'C是矩形；
(3)求证：A'在平面ABC上的射影O在∠BAC的平分线上.
【方法技巧与总结】
计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sinθ=hl（l为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sinθ=csa,n.
【题型2：向量法求直线与平面所成的角】
例2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面AA1C1C是长方形，AA1=6，平面AA1C1C⊥平面ABC,D为棱CC1上一点，CD=13CC1，且CD=12BB1，则B1D与平面AA1C1C所成角的正弦值为（ ）
A．35B．105C．255D．155
变式1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=4,BC=CD=22，现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的大小在[π6,π3]时，直线AB和CD所成角为α，则csα的最大值为（ ）
A．22-616B．28C．22+616D．68
变式2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，已知点A是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B,C在下底面圆O上，AO1=1，OO1=2，BO=3，BC=25，则直线AO与平面O1BC所成角的正弦值的最大值为 .
变式3．（贵州省黔东南州2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为BB1，CC1的中点.
(1)证明：A1F//平面CDE.
(2)求A1E与平面CDE所成角的正弦值.
变式4．（23-24高二下·广东·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是正三角形，AB=AA1=3，点E、F分别在AB、A1C1上，且AE=13AB，C1F=13A1C1．
(1)求证：A1E//平面BCF；
(2)求直线BB1与平面BCF所成角的余弦值．
变式5．（贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=2．
(1)在长方体中，过点C1作与平面AB1D1平行的平面α，并说明理由；
(2)求直线B1D与平面α所成角的正弦值．
变式6．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AE//BC，AB//CD，AC//ED，∠ABC=45∘，AB=22，BC=2AE=4．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)已知直线PB与平面PCD所成的角为30∘，求线段PA的长．
变式7．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在线段AB上.
(1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值.
变式8．（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥P-ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD，已知CD=4AB=4，PM=13MD.
(1)证明：AM //平面PBC；
(2)若AC=AD,PA=32，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
求线面角的两种思路
（1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.
（2）向量法．
方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为 θ（θ∈[0,π2]），α与n的夹角为φ，则sin θ=lcs φ|=|an||a||n|
方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b，
则直线PA与平面α所成的角θ满足csθ=|cs|
【题型3：动点探索性习题】
例3．（多选）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段C1D1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．PM,B1C一定是异面直线
B．存在点P，使得MN⊥PM
C．直线NP与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为5
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为334
变式1．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点（异于点A），且AM<1，则（ ）
A．存在点M，使得CM⊥平面PAB
B．存在点M，使得直线PB与AM所成角为π3
C．当AM=12时，三棱锥P-BCM的体积最大值为14
D．当AM=22时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P-ABCD各面的交线长为2+64π
变式2．（多选）（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC1，λ∈0,1，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的λ，都有A1P//平面ACD1
B．对于任意的λ，都有A1P⊥B1D
C．若A1P⊥BC，则λ=0
D．存在λ，使A1P与平面BCC1B1所成的角为30°
变式3．（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期中）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M，N分别为棱BB1，AD上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．当M，N分别为棱BB1，AD的中点时，直线DM与D1N所成角的余弦值为5117
C．存在点M，使得∠A1MD为钝角
D．直线BD1与平面A1BN所成角的正弦值的取值范围是69,66
变式4．（23-24高三上·四川成都·期末）如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CE的中点，H是圆弧DF上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（ ）
A．存在点H，使得EH⊥BG
B．存在点H，使得EH//BD
C．存在点H，使得EH//平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°
变式5．（2024·四川南充·模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，PC//平面BDE.
(1)求证：AE=PE；
(2)若△PAD是等边三角形，AB=2AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P-ABCD的体积为93，试问在线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为3322？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.
变式6．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,∠ABC=60°,E,F分别在梭PD,PC上，M为BC的中点.
(1)若PE=2DE,F为PC中点，证明：BF ∥面ACE；
(2)若PE=DE，是否存在点F，使得ME与平面AMF所成角的正弦值为15？若存在，求出PCPF的值；若不存在，请说明理由.
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ADC为锐角．在梯形ABEF中，AF//BE，AF⊥AB，AB=BE=2AF=2，平面ABEF⊥平面ABCD．
(1)证明：BD⊥平面ACF;
(2)若VE-ABC=233，AG=λABλ∈0,1，是否存在实数λ，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为64，若存在，则求出λ，若不存在，说明理由.
变式8．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，CA=2AB=4，D，E分别是AC，BC的中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥P-ADE，M是AD中点，如图（2）.
(1)求证：PM⊥平面ADE；
(2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为14，求QM的值.
一、单选题
1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线l的一个方向向量为u=1,0,1，平面α的一个法向量为n=0,-1,1，则l与α所成角的正弦值为（ ）
A．12B．32C．22D．1
2．（22-23高一下·湖南·期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（ ）
A．13B．39C．29D．19
3．（23-24高三下·广东·阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，D1P=3PC1，平面α经过点A1，P，则（ ）
A．A1P⊥PC
B．直线A1P与直线BC所成角的正切值为34
C．直线A1P与平面ABB1A1所成角的正切值为43
D．若C∈α，则正方体截平面α所得截面面积为26
4．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90° PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为（ ）
A．55B．105C．155D．255
5．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段A1C1上任意一点，则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是（ ）
A．22B．53C．55D．1
6．（23-24高二上·河南郑州·期末）人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0x0,y0,z0，且以u=a,b,cabc≠0为法向量，设Px,y,z是平面α内的任意一点，由u⋅P0P=0，可得ax-x0+by-y0+cz-z0=0，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x+2y+z-7=0，直线l的方向向量为1,2,-2，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A．659B．49C．53D．59
7．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，Px,y,z是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1A=AB=2，直线PA和底面ABC所成的角为π3，则P点的坐标满足（ ）
A．x2+y2=43B．x2+y2=2
C．x2+y2=3D．x2+y2=4
8．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线A1C与BD所成的角为90°
B．线段A1C的长度为2
C．直线A1C与BB1所成的角为90°
D．直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为63
二、多选题
9．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）在如图所示的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=3．点M是侧面BCC1B1内的动点（不含边界），AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值可以为（ ）
A．377B．277
C．3D．2
10．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱BB1,DD1上的点，且BE=13BB1,DF=13DD1，平面AEF与棱CC1交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足AP=λAE+μAF,λ,μ∈0,1，则（ ）
A．点P的轨迹为四边形AEGF及其内部
B．当λ=1时，点P的轨迹长度为10
C．当λ=0,μ=12时，AF⊥A1P
D．当μ=12时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为2211
11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC1，λ∈0,1，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的λ，都有A1P//平面ACD1
B．对于任意的λ，都有A1P⊥B1D
C．若A1P⊥BC，则λ=0
D．存在λ，使A1P与平面BCC1B1所成的角为30°
三、填空题
12．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ的取值范围是 ．
13．（23-24高二上·浙江·期中）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AD=1,DD1=3，点P在线段CC1上，且C1P=2PC，则直线A1P与平面PBD所成角的正弦值是 .
14．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点D为CC1的中点，则B1D与平面ABD的位置是 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·安徽宣城·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AD ∥ BC,∠BAD=90∘,BC=1，AP=AB=3,∠ADC=60∘,M,N分别为棱PC,PB的中点.
(1)求证：平面PBC⊥平面ADMN；
(2)求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值.
16．（23-24高二下·广东·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是正三角形，AB=AA1=3，点E、F分别在AB、A1C1上，且AE=13AB，C1F=13A1C1．
(1)求证：A1E//平面BCF；
(2)求直线BB1与平面BCF所成角的余弦值．
17．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AE//BC，AB//CD，AC//ED，∠ABC=45∘，AB=22，BC=2AE=4．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)已知直线PB与平面PCD所成的角为30∘，求线段PA的长．
18．（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥P-ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD，已知CD=4AB=4，PM=13MD.
(1)证明：AM //平面PBC；
(2)若AC=AD,PA=32，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
19．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB=AP.
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3344，求线段AB的长.
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由.
课程标准
学习目标
1.掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法
2.灵活运用两种基本方法求线面角
1.理解直线与平面的夹角的概念。
2.学习如何计算直线与平面的夹角。
3.掌握求直线与平面夹角的方法。
4.能够应用所学知识解决相关的题目。
知识点01 直线与平面的夹角
1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.
2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.
3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
【即学即练1】（浙江省绍兴市2022-2023学年）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点.
(1)求三棱锥A-O1BC的体积；
(2)当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值.
【即学即练2】（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若PE=3，求点B到平面PEM的距离；
(3)若PE=3，求直线PB与平面PEM所成角的余弦值．
知识点02 用空间向量求直线与平面的夹角
1.定义：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，u与n 的角为φ，则有sinθ=__csφ ____=___u⋅nun____.
2.范围：[0,π2]
【即学即练3】若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的余弦值为______.
【即学即练4】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图所示，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E为等边三角形ACD的中心，F,G分别满足BF=12FC,BG=GA.
(1)用BA,BC,BD表示BE，并求出BE；
(2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.
难点：动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·江苏徐州·期末）如图，在边长为12的正方形ABCD中，E1,E2,F1,F2分别边AD,BC的三等分点，正方形内有两点P,Q，点P到AD,CD的距离分别为3a,2a，点Q到BC,AB的距离也是3a和2a，其中0
B．PQ的最小值为6105
C．线段PQ的中点到A的距离不超过35
D．异面直线PQ与AB成45°角时，a=32
【题型1：定义法求直线与平面所成的角】
例1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,E为棱AB的中点,则直线B1E与平面BB1C1C所成角的正弦值为（ ）
A．1510B．13C．23D．5117
变式1．（23-24高二下·河南·阶段练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘,AB=AC,AA1=BC，则BC1与平面ABB1A1所成的角为（ ）.
A．π6B．π4C．π3D．5π6
变式2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与平面ABC1D1所成的角为（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
变式3．（多选）（22-23高二上·贵州黔东南·开学考试）已知梯形ABCD，AB=AD=1，BC=2，AD//BC，AD⊥AB，P是线段BC的中点．将△ABD沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项正确的是（ ）
A．BD与AP始终垂直
B．当直线AP与平面BCD所成角为π6时，AP=62
C．四面体A-BCD体积的最大值为22
D．四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4π
变式4．（多选）（23-24高二下·四川泸州·期末）如图，在棱长为32的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一个动点，且满足PD+PB1=3+33，则下列结论正确的是（ ）
A．B1D⊥PB
B．直线B1P与平面A1BC1所成角为定值
C．点P的轨迹的周长为33π
D．三棱锥P-BB1C1体积的最大值为62
变式5．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，求tanθ的最大值．
变式6．（2024高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求证：平面AB1C//平面A1C1D；
(2)求直线AB1和平面BDD1B1所成角．
变式7．（24-25高二·上海·假期作业）已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC，并且与底面所成角是60°.设侧棱长为l
(1)求此三棱柱的高；
(2)求证：侧面BB'C'C是矩形；
(3)求证：A'在平面ABC上的射影O在∠BAC的平分线上.
【方法技巧与总结】
计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sinθ=hl（l为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sinθ=csa,n.
【题型2：向量法求直线与平面所成的角】
例2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面AA1C1C是长方形，AA1=6，平面AA1C1C⊥平面ABC,D为棱CC1上一点，CD=13CC1，且CD=12BB1，则B1D与平面AA1C1C所成角的正弦值为（ ）
A．35B．105C．255D．155
变式1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=4,BC=CD=22，现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的大小在[π6,π3]时，直线AB和CD所成角为α，则csα的最大值为（ ）
A．22-616B．28C．22+616D．68
变式2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，已知点A是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B,C在下底面圆O上，AO1=1，OO1=2，BO=3，BC=25，则直线AO与平面O1BC所成角的正弦值的最大值为 .
变式3．（贵州省黔东南州2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为BB1，CC1的中点.
(1)证明：A1F//平面CDE.
(2)求A1E与平面CDE所成角的正弦值.
变式4．（23-24高二下·广东·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是正三角形，AB=AA1=3，点E、F分别在AB、A1C1上，且AE=13AB，C1F=13A1C1．
(1)求证：A1E//平面BCF；
(2)求直线BB1与平面BCF所成角的余弦值．
变式5．（贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=2．
(1)在长方体中，过点C1作与平面AB1D1平行的平面α，并说明理由；
(2)求直线B1D与平面α所成角的正弦值．
变式6．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AE//BC，AB//CD，AC//ED，∠ABC=45∘，AB=22，BC=2AE=4．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)已知直线PB与平面PCD所成的角为30∘，求线段PA的长．
变式7．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在线段AB上.
(1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值.
变式8．（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥P-ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD，已知CD=4AB=4，PM=13MD.
(1)证明：AM //平面PBC；
(2)若AC=AD,PA=32，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
求线面角的两种思路
（1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.
（2）向量法．
方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为 θ（θ∈[0,π2]），α与n的夹角为φ，则sin θ=lcs φ|=|an||a||n|
方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b，
则直线PA与平面α所成的角θ满足csθ=|cs
【题型3：动点探索性习题】
例3．（多选）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段C1D1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．PM,B1C一定是异面直线
B．存在点P，使得MN⊥PM
C．直线NP与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为5
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为334
变式1．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点（异于点A），且AM<1，则（ ）
A．存在点M，使得CM⊥平面PAB
B．存在点M，使得直线PB与AM所成角为π3
C．当AM=12时，三棱锥P-BCM的体积最大值为14
D．当AM=22时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P-ABCD各面的交线长为2+64π
变式2．（多选）（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC1，λ∈0,1，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的λ，都有A1P//平面ACD1
B．对于任意的λ，都有A1P⊥B1D
C．若A1P⊥BC，则λ=0
D．存在λ，使A1P与平面BCC1B1所成的角为30°
变式3．（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期中）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M，N分别为棱BB1，AD上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．当M，N分别为棱BB1，AD的中点时，直线DM与D1N所成角的余弦值为5117
C．存在点M，使得∠A1MD为钝角
D．直线BD1与平面A1BN所成角的正弦值的取值范围是69,66
变式4．（23-24高三上·四川成都·期末）如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CE的中点，H是圆弧DF上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（ ）
A．存在点H，使得EH⊥BG
B．存在点H，使得EH//BD
C．存在点H，使得EH//平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°
变式5．（2024·四川南充·模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，PC//平面BDE.
(1)求证：AE=PE；
(2)若△PAD是等边三角形，AB=2AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P-ABCD的体积为93，试问在线段DE上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为3322？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.
变式6．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,∠ABC=60°,E,F分别在梭PD,PC上，M为BC的中点.
(1)若PE=2DE,F为PC中点，证明：BF ∥面ACE；
(2)若PE=DE，是否存在点F，使得ME与平面AMF所成角的正弦值为15？若存在，求出PCPF的值；若不存在，请说明理由.
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ADC为锐角．在梯形ABEF中，AF//BE，AF⊥AB，AB=BE=2AF=2，平面ABEF⊥平面ABCD．
(1)证明：BD⊥平面ACF;
(2)若VE-ABC=233，AG=λABλ∈0,1，是否存在实数λ，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为64，若存在，则求出λ，若不存在，说明理由.
变式8．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，CA=2AB=4，D，E分别是AC，BC的中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥P-ADE，M是AD中点，如图（2）.
(1)求证：PM⊥平面ADE；
(2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为14，求QM的值.
一、单选题
1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线l的一个方向向量为u=1,0,1，平面α的一个法向量为n=0,-1,1，则l与α所成角的正弦值为（ ）
A．12B．32C．22D．1
2．（22-23高一下·湖南·期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（ ）
A．13B．39C．29D．19
3．（23-24高三下·广东·阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，D1P=3PC1，平面α经过点A1，P，则（ ）
A．A1P⊥PC
B．直线A1P与直线BC所成角的正切值为34
C．直线A1P与平面ABB1A1所成角的正切值为43
D．若C∈α，则正方体截平面α所得截面面积为26
4．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90° PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为（ ）
A．55B．105C．155D．255
5．（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段A1C1上任意一点，则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是（ ）
A．22B．53C．55D．1
6．（23-24高二上·河南郑州·期末）人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0x0,y0,z0，且以u=a,b,cabc≠0为法向量，设Px,y,z是平面α内的任意一点，由u⋅P0P=0，可得ax-x0+by-y0+cz-z0=0，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x+2y+z-7=0，直线l的方向向量为1,2,-2，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A．659B．49C．53D．59
7．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，Px,y,z是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1A=AB=2，直线PA和底面ABC所成的角为π3，则P点的坐标满足（ ）
A．x2+y2=43B．x2+y2=2
C．x2+y2=3D．x2+y2=4
8．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线A1C与BD所成的角为90°
B．线段A1C的长度为2
C．直线A1C与BB1所成的角为90°
D．直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为63
二、多选题
9．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）在如图所示的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=3．点M是侧面BCC1B1内的动点（不含边界），AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值可以为（ ）
A．377B．277
C．3D．2
10．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱BB1,DD1上的点，且BE=13BB1,DF=13DD1，平面AEF与棱CC1交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足AP=λAE+μAF,λ,μ∈0,1，则（ ）
A．点P的轨迹为四边形AEGF及其内部
B．当λ=1时，点P的轨迹长度为10
C．当λ=0,μ=12时，AF⊥A1P
D．当μ=12时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为2211
11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC1，λ∈0,1，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的λ，都有A1P//平面ACD1
B．对于任意的λ，都有A1P⊥B1D
C．若A1P⊥BC，则λ=0
D．存在λ，使A1P与平面BCC1B1所成的角为30°
三、填空题
12．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ的取值范围是 ．
13．（23-24高二上·浙江·期中）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AD=1,DD1=3，点P在线段CC1上，且C1P=2PC，则直线A1P与平面PBD所成角的正弦值是 .
14．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点D为CC1的中点，则B1D与平面ABD的位置是 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·安徽宣城·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AD ∥ BC,∠BAD=90∘,BC=1，AP=AB=3,∠ADC=60∘,M,N分别为棱PC,PB的中点.
(1)求证：平面PBC⊥平面ADMN；
(2)求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值.
16．（23-24高二下·广东·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是正三角形，AB=AA1=3，点E、F分别在AB、A1C1上，且AE=13AB，C1F=13A1C1．
(1)求证：A1E//平面BCF；
(2)求直线BB1与平面BCF所成角的余弦值．
17．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AE//BC，AB//CD，AC//ED，∠ABC=45∘，AB=22，BC=2AE=4．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)已知直线PB与平面PCD所成的角为30∘，求线段PA的长．
18．（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥P-ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD，已知CD=4AB=4，PM=13MD.
(1)证明：AM //平面PBC；
(2)若AC=AD,PA=32，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
19．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB=AP.
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3344，求线段AB的长.
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由.
课程标准
学习目标
1.掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法
2.灵活运用两种基本方法求线面角
1.理解直线与平面的夹角的概念。
2.学习如何计算直线与平面的夹角。
3.掌握求直线与平面夹角的方法。
4.能够应用所学知识解决相关的题目。
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