高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质当堂达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质当堂达标检测题，共69页。

知识点01 双曲线的几何性质
【即学即练1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±xD．y=±5x
【答案】C
【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程.
【详解】由题意，若等轴双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
则a=b，则其渐近线方程为y=±bax=±x；
若等轴双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)，
则a=b，则其渐近线方程为y=±abx=±x，
综上，等轴双曲线的渐近线方程为y=±x.
故选：C
【即学即练2】（22-23高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x24-y2b2=1b>0的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，求双曲线C的焦距.
【答案】42
【分析】设点Px0,y0，利用直线PA与直线PB的斜率之积为1，可以列关于x0，y0的等式，再利用点P在双曲线上又可以得到于x0，y0的关系式，两式结合可以得到b，从而可以求出焦距.
【详解】解：设点Px0,y0，因为kPA⋅kPB=1，所以y0x0+2⋅y0x0-2=y02x02-4=1.
因为点P在双曲线C上，所以x024-y02b2=1，y02x02-4=b24，所以b24=1，即b＝2.
所以双曲线C的焦距为24+b2=42.
知识点02等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识
1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；
2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
3.巧设双曲线方程：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【即学即练3】（2022高二·全国·专题练习）等轴双曲线的一个焦点为-6,0，则它的标准方程是（ ）
A．x2-y2=-18B．x2-y2=18
C．x2-y2=-8D．x2-y2=8
【答案】B
【分析】由题意设等轴双曲线为x2a2-y2a2=1(a>0)，再由c=6可求出a2，从而可求出双曲线的方程.
【详解】由题意设等轴双曲线为x2a2-y2a2=1(a>0)，
因为等轴双曲线的一个焦点为-6,0，
所以a2+a2=c2=36，得a2=18，
所以等轴双曲线为x218-y218=1，即x2-y2=18，
故选：
【即学即练4】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A42,2，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x236-y236=1B．y236-x236=1C．x228-y228=1D．y228-x228=1
【答案】C
【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将A42,2代入即可求解.
【详解】设等轴双曲线C的方程为x2m-y2m=1，
将点A42,2代入得32m-4m=1，解得m=28.
所以双曲线C的标准方程为x228-y228=1.
故选:C.
知识点03 双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
【即学即练5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【答案】C
【分析】根据等轴双曲线的定义，可设a=b=1，以双曲线的中心为原点，焦点所在的射线为x轴建立直角坐标系，写出双曲线的方程，由此得到渐近线方程，从而求得两渐近线的夹角.
【详解】由等轴双曲线的定义可知双曲线的实轴与虚轴长度相等，∴实半轴与虚半轴的长度相等，设不妨设a=b=1，以双曲线的中心为原点，焦点所在的射线为x轴建立直角坐标系，可知双曲线的方程为x2-y2=1，两条渐近线方程为y=±x，这两条渐近线的夹角为π2．
故选：C．
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课后作业）已知双曲线16x2-9y2=144，求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
【答案】顶点坐标为±3,0，焦点坐标为±5,0，离心率为53，渐近线为y=±43x
【分析】将方程化为标准式，即可求出a、b、c，再解答即可.
【详解】双曲线16x2-9y2=144，即x29-y216=1，所以a=3,b=4，所以c=a2+b2=5，
故双曲线的顶点坐标为±3,0，焦点坐标为±5,0，离心率e=ca=53，渐近线为y=±43x；
难点：数形结合的运用
示例1：（多选）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设F为双曲线C:x22-y22=1的焦点，O为坐标原点，若圆心为0,m，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）.
A．C的离心率为2B．OA2+OB2=6
C．OA+OB≤4D．FA2+FB2≥16-83
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的标准方程及离心率公式可判断A；设Ax1,y1，Bx2,y2，联立双曲线与圆的方程结合韦达定理计算可判断B；由基本不等式链a+b2≤a2+b22，结合OA2+OB2=8可判断C；由题意得|FA|2+|FB|2=16-4x1+x2，结合基本不等式可判断D.
【详解】对于A，因为a=b=2，则c=2，
所以C的离心率为e=ca=2，故A正确；
对于B，设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x2-y2=2x2+y-m2=4，消去x可得2y2-2my+m2-2=0，
则Δ=-2m2-8m2-2>0，解得-20的焦距为43，则C的渐近线方程是（ ）
A．y=±77xB．y=±33x
C．y=±xD．y=±3x
【答案】C
【分析】根据焦距可求a，从而可求渐近线的方程.
【详解】因为焦距为43，故a2+6=4322=12，故a2=6，故ba=1
故渐近线方程为y=±x，
故选：C.
变式2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线x24-y216=1的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．5B．4C．455D．23
【答案】C
【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．
【详解】由双曲线的方程知两顶点A1-2,0，A22,0，
渐近线方程为y=±bax=±2x，
由对称性，不妨求A1到直线y=2x的距离，d=422+-12=455．
故选：C．
变式3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线x24-y23=1与y23-x24=1，有（ ）
A．相同的离心率B．公共焦点
C．公共顶点D．公共渐近线
【答案】D
【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案.
【详解】双曲线x24-y23=1的焦点在x轴上，双曲线y23-x24=1的焦点在y轴上，
所以BC选项错误.
双曲线x24-y23=1对应a1=2,b1=3,c1=3+7=7，
对应离心率为72，渐近线方程为y=±32x.
双曲线y23-x24=1对应a2=3,b2=2,c2=7，
对应离心率为73=213，渐近线方程为y=±32x，
所以A选项错误，D选项正确.
故选：D
变式4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线y=2x+m与双曲线Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)的一条渐近线平行，则Γ的实轴长为（ ）
A．22B．32C．62D．6
【答案】D
【分析】根据双曲线的渐近线和直线斜率可得2m+3m=2，求得m=32，进而可得实轴长.
【详解】由双曲线Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)可知：a=m,b=2m+3，且焦点在x轴上，
则双曲线Γ的渐近线为y=±2m+3mx，
且直线y=2x+m的斜率k=2，
若直线y=2x+m与双曲线Γ的一条渐近线平行，
则2m+3m=2，解得m=32，即a=m=62，
所以Γ的实轴长为2a=6.
故选：D.
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知a,b>0,a≠b，则关于双曲线C1:x2a2-y2b2=1与双曲线C2:y2a2-x2b2=1，下列说法中正确的是（ ）.
A．有相同的焦距B．有相同的焦点
C．有相同的离心率D．有相同的渐近线
【答案】AC
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线C1:x2a2-y2b2=1，可得c=a2+b2，则焦距为2c=2a2+b2，
焦点坐标为F1(-a2+b2,0),F2(a2+b2,0)，渐近线方程为y=±bax，离心率为e1=ca；
又由双曲线C2:y2a2-x2b2=1，可得c=a2+b2，则焦距为2c=2a2+b2，
焦点坐标为F1(0,-a2+b2),F2(0,a2+b2)，渐近线方程为y=±abx，离心率为e2=ca，
所以双曲线C1和C2有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同.
故选：AC.
变式6．（多选）（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆C1:x216+y29=1与双曲线C2：x216-k-y2k-9=1（90)的渐近线方程为y=±mx，
故m3=m，解得m=3，
故C:x213-y2=1，焦距为213+1=433.
故答案为：433
变式8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程x2+my2-m=0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 .
【答案】2-m
【分析】化为y2-x2-m=1，根据双曲线方程的特征得到双曲线的虚轴长.
【详解】若方程x2+my2-m=0表示双曲线，显然m≠0，
则由x2+my2-m=0可得y2-x2-m=1，所以-m>0，
该双曲线的虚轴长为2-m，
故答案为：2-m.
【方法技巧与总结】
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质。
注意：求性质时一定要注意焦点的位置
【题型2：利用几何性质求标准方程】
例2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为y=±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）.
A．x24-y22=1B．x24-y28=1或y24-x28=1
C．x24-y28=1D．x24-y22=1或y24-x28=1
【答案】D
【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即可.
【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
因为实轴长为4，所以得2a=4⇒a=2，因为双曲线的渐近线方程为：y=±22x，所以有ba=22，
因此b=2，所以双曲线的方程为：x24-y22=1；
当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)，
因为实轴长为4，所以得2a=4⇒a=2，因为双曲线的渐近线方程为：y=±22x，所以有ab=22，
因此b=22，所以双曲线的方程为：y24-x28=1.
综上所述，双曲线的方程为x24-y22=1或y24-x28=1.
故选：D
变式1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点4,-3且与双曲线x24-y23=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A．y212-x29=1B．x212-y29=1C．y29-x212=1D．x29-y212=1
【答案】B
【分析】根据渐近线相同可设所求为x24-y23=tt≠0，将点4,-3代入求得t即可得解.
【详解】因为所求双曲线与双曲线x24-y23=1有相同的渐近线，所以设其方程为x24-y23=tt≠0，
又点4,-3在双曲线上，所以424-(-3)23=t，解得t=3，
则双曲线方程为x212-y29=1.
故选：B．
变式2．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】x2-y24=1
【分析】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由虚轴长为4，可知b=2，再由渐近线方程为y=±2x，可知ba=2,a=1，代入即可求解.
【详解】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
由虚轴长为4，可知b=2，再由渐近线方程为y=±2x，可知ba=2,a=1，
所以双曲线标准方程为：x2-y24=1.
故答案为：x2-y24=1.
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线C的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为3x+y=0，直线l:y=x-2截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 .
【答案】x2-y23=1
【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出AB，解出即可；
【详解】由于C的一条渐近线为3x+y=0，可设双曲线C的方程为3x2-y2=tt≠0，
将y=x-2代入双曲线C得2x2+4x-4-t=0，
若直线与双曲线交点为Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=-2,x1x2=-4-t2，
则AB=1+12x1+x22-4x1x2=2×-22-4×-4-t2=6，解得t=3，
经检验，t=3满足题意；
故该双曲线的方程为3x2-y2=3，即x2-y23=1.
故答案为：x2-y23=1.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点与椭圆x216+y29=1的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为y=22x，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】y23-x26=1
【分析】根据椭圆的顶点坐标得双曲线的交点坐标，结合渐近线方程求出参数即可.
【详解】椭圆的上、下顶点坐标为0,3,0,-3，
设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1a>0,b>0，其半焦距为cc>0，
由题得双曲线焦点为0,3,0,-3，即c=3.
因为其中一条渐近线方程为y=22x，
所以ab=22，即b=2a，结合c2=a2+b2，解得a2=3,b2=6，
所以双曲线的标准方程为y23-x26=1．
故答案为:y23-x26=1.
变式5．（23-24高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线x2-y22=1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程为 .
【答案】y22-x2=1（答案不唯一）
【分析】设所求双曲线的方程为x2-y22=λλ≠0，再根据焦点在y轴上，可得λ0的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，设P为线段AB的中点，若OP=PF2=24F1F2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．423C．233D．253
【答案】C
【分析】因为P为线段AB的中点，所以这是一个中点弦问题，采用点差法运算即可.
【详解】如图: F1(-c,0),F2(c,0)，
由|OP|=PF2=24F1F2=22c,OF2=c,
可得点 P 的坐标为 c2,c2，
则直线 OP 斜率为 kOP=1， 直线 AB 斜率为 kAB=kPF1=c2c2+c=13，
另一方面， 设 Ax1,y1,Bx2,y2, 则x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1
两式相减得 x12-x22a2=y12-y22b2， 整理得 b2a2=y1-y2y1+y2x1-x2x1+x2,
即 kAB·kOP=b2a2， 故b2a2=13⇒e=ca=1+b2a2=233.

故选：C
变式4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得PF2=4a，且S△PF1F2=12a2，则双曲线C的离心率e=（ ）.
A．5B．53C．6+1D．13
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到△PF1F2为直角三角形，进而由勾股定理可以求解.
【详解】由双曲线的定义可知得 |PF1|-|PF2|=2a
因为|PF2|=4a，∴|PF1|=6a，
设∠F1PF2=θ，则S△PF1F2=12×|PF1|×|PF2|×sinθ=12×6a×4a×sinθ=12a2sinθ=12a2，
∴sinθ=1,θ∈(0,π)，
∴θ=π2，
∴△PF1F2为直角三角形
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴36a2+16a2=4c2，即52a2=4c2，
∴e2=c2a2=524=13，
∴e=13
故选：D
变式5．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一条渐近线的方程为x+2y=0，则C的离心率的值为 .
【答案】52
【分析】由已知可得ba=12，进而可求双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一条渐近线的方程为x+2y=0，
所以ba=12，所以双曲线的离心率为e=1+(ba)2=52.
故答案为：52.
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2且在x轴上，且双曲线上存在一点P使得|PO|2=PF1⋅PF2，若PF2⊥x轴，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据给定条件，求出|PF2|，再利用双曲线定义，结合已知求解即得.
【详解】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，F2(c,0)，由PF2⊥x轴，得直线PF2:x=c，
于是c2a2-y2b2=1，解得|PF2|=|y|=b2a，|PF1|=b2a+2a，|PO|2=(b2a)2+c2，
而|PO|2=PF1⋅PF2，因此(b2a)2+c2=(b2a+2a)⋅b2a，整理得c2=2b2，
而c2=a2+b2，则a2=b2，
所以该双曲线离心率e=ca=1+b2a2=2.
故答案为：2

变式7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若MF=3FN,OM=3OP,OP⋅PF=0，则双曲线的离心率为 .

【答案】62
【分析】先设坐标再应用坐标的线性运算，最后结合数量积公式计算得出齐次式求出离心率.
【详解】设Mx1,bax1，Nx2,-bax2，
因为Fc,0，所以MF=c-x1,-bax1，FN=x2-c,-bax2.
又MF=3FN，所以c-x1=3x2-3c-bax1=-3bax2，则x1=2c，x2=2c3.
因为OP⋅PF=0，所以OP=a.
又OM=3OP，所以OM=3a，所以4c2+4b2c2a2=9a2，
则c4a4=94，则e=62.
故答案为:62.
变式8．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60∘，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2或233
【分析】本题根据渐近线的夹角求出渐近线的斜率，再根据渐近线的斜率与双曲线方程中参数以及离心率的关系即可求得结果.
【详解】双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，
若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
则ba=33，或ba=3，
此时e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+332=233，
或e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+32=2，
若双曲线的焦点在y轴上，同理可得离心率为2或233.
综上，离心率为2或233.
故答案为：2或233.
【方法技巧与总结】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合c2=a2+b2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的渐近线与圆x-22+y2=3没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．233,+∞B．2,+∞C．1,2D．1,233
【答案】B
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【详解】∵双曲线渐近线为bx±ay=0，且与圆x-22+y2=3没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即2ba2+b2>3，∴b2>3a2，∴b2=c2-a2>3a2，∴e=ca>2．
故选：B．
变式1．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2：x2a2-y2b2=1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于155，则e2e1的取值范围是（ ）
A．1,4B．4,+∞C．1,2D．2,+∞
【答案】C
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出00的左右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足F1F2=2OP，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．1,179B．179,+∞
C．173,+∞D．1,173
【答案】D
【分析】由F1F2=2OP，得F1P⊥F2P，然后利用双曲线的定义和勾股定理可求得PF1,PF2（用a,c表示），再由tan∠PF2F1≥4得出a,c的不等关系．
【详解】∵F1F2=2OP，∴F1P⊥F2P，
记PF1=x，PF2=y，则x2+y2=(2c)2=4c2，
又x-y=2a①，
∴2xy=4c2-4a2，∴(x+y)2=4c2+4c2-4a2=8c2-4a2，x+y=22c2-a2②，
由①②得x=2c2-a2+ay=2c2-a2-a，又tan∠PF2F1=xy≥4，
∴2c2-a2+a≥4(2c2-a2-a)，解得c2a2≤179，
即10,b>0的两个焦点，P为双曲线上一点，且PF1⋅PF2=-12c2.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．1,2B．1,2C．2,+∞D．2,+∞
【答案】C
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.
【详解】设PF1=m，PF2=n，∠F1PF2=θ，由PF1⋅PF2=-12c2，则mncsθ=-12c20,b>0的渐近线为ax±by=0，
∵圆与双曲线的渐近线有公共点，
∴圆心C(2,0)到渐近线的距离d=2aa2+b2≤1，
∴3a2≤b2，∴c2=a2+b2≥4a2，即c2a2≥4，
∴e=ca≥2．
故答案为：2,+∞．
变式6．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左，右焦点分别为F1、F2，焦距为2c．若以线段F1F2为直径的圆与直线ax-by+2ac=0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为
【答案】2,+∞
【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离d≤r，推得a与c的关系，再结合离心率公式，即可求解
【详解】以线段F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=c2，与直线ax-by+2ac=0有交点，
则圆心到直线的距离d=2aca2+-b2=2a≤c，
所以双曲线的离心率e=ca≥2．
故答案为：2,+∞．
变式7．（23-24高二上·江苏常州·期中）F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若PF22PF1最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是 .
【答案】1,3
【分析】由双曲线定义PF22PF1=PF1+2a2PF1，变形后由基本不等式得最小值，从而得PF1=2a，再利用双曲线中的范围有PF1≥c-a，由此结合可得离心率的范围．
【详解】F1,F2是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，
所以PF2-PF1=2a，代入PF22PF1，
得PF22PF1=PF1+2a2PF1=PF1+4a+4a2PF1≥2PF1×4a2PF1+4a=8a，
当且仅当PF1=2a时取等号，即PF1=2a，
又点P是双曲线左支上任意一点，所以PF1≥c-a，
即：2a≥c-a⇒e≤3,10，b>0)的左右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆的半径为r1，△BF1F2的内切圆的半径为r2，r1r2≤16a2，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】(1,5]
【分析】设圆O1切AF1、AF2、F1F2分别于点M、N、G，推导出△O1GF2∽△O1F2O2，可得出r1r2=c-a2，可得出关于c、a的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.
【详解】设△AF1F2、△BF1F2的内切圆圆心分别为O1、O2，
设圆O1切AF1、AF2、F1F2分别于点M、N、G，

过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，
由切线长定理可得AM=AN，F1M=F1G，F2G=F2N，
所以，AF2+F1F2-AF1=AN+F2N+F1G+F2G-AM+F1M
=F2N+F2G=2F2G=2c-2a，
则F2G=c-a，所以点G的横坐标为c-c-a=a.
故点O1的横坐标也为a，同理可知点O2的横坐标为a，故O1O2⊥x轴，
故圆O1和圆O2均与x轴相切于Ga,0，圆O1和圆O2两圆外切.
在△O1O2F2中，∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12∠AF2F1+∠BF2F1=90∘，
即O1O2⊥F2G，
∴∠GO1F2=∠F2O1O2，∠O1GF2=∠O1F2O2=90∘，所以，△O1GF2∽△O1F2O2，
所以，O1GO1F2=O1F2O1O2，则O1F22=O1G⋅O1O2，
所以F2G2=O1F22-O1G2=O1G⋅O1O2-O1G2=O1G⋅O2G，
即c-a2=r1⋅r2，
由题意可得：c-a2≤16a2，可得c-a≤4a，即a0-2k1-k2>0-21-k2>0，解得10)的离心率为5，右焦点为F，点E的坐标为(ba,cb)，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出b,c，进而求出直线OE的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解.
【详解】由双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率为5，得a2+b2a=5，则ba=2，cb=52，
因此点E的坐标为(2,52)，双曲线C的渐近线斜率为±2，而直线OE的斜率kOE=54∈(-2,2)，
所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．
故选：C
变式2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线C:x29-y216=1，过点P3,3作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】结合双曲线的性质与点P位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点F1-5,0,F25,0，顶点A3,0，渐近线为y=±43x，
由P3,3可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
故选：D.
变式3．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线C经过点2,2，且与y24-x2=1具有相同的渐近线，则经过点3,0且与双曲线C有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先求出双曲线C的方程，再分两类讨论直线即可.
【详解】由题可设双曲线C的方程为y24-x2=λ（λ≠0），
将点(2,2)代入上式得：λ=-3，
故双曲线C的方程为x23-y212=1，显然其右顶点的坐标为3,0，渐近线方程为y=±2x，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为x=3，符合题意，
当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为y=±2x-3时，此时也符合题意，
综上，这样的直线共有3条.
故选：D.
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点4,33作直线，使它与双曲线x24-y29=1只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解.
【详解】当x=4时，164-y29=1，所以y=±33，故点4,33在双曲线上，
因此过点4,33且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点，
设y=kx-4+33（k≠±32,且k≠0）
将其代入双曲线方程可得x24-kx-4+3329=1，化简得14-k29x2+8k2-63k9x-16k2-243k+369=0，
令Δ=8k2-63k92+414-k2916k2-243k+369=0，化简得k-32=0，
解得k=3，
故过点4,33处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
或者由x24-y29=1得y=±32x2-4，
当y>0时，y=32x2-4，故y'=32×122x1x2-4，故4,33处的切线斜率为y'x=4=32×12×2×4×123=3，
故过点经过点4,33的直线方程为y=3x-4+33，即y=3x-1，
联立x24-y29=1与y=3x-1可得x24-3x-129=1，解得x=4，
因此在点4,33处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
综上可知：过点4,33的直线有3条与双曲线有一个交点，
故选：C
变式5．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知双曲线x2-y23=1，与直线y=kx-k+2只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ．
【答案】3
【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数.
【详解】解：联立x2-y23=1y=kx-k+2，
消去y得(3-k2)x2+(2k2-4k)x-k2+4k-7=0，
当3-k2=0，即k=±3时，
直线y=3x-3+2和直线y=-3x+3+2分别与双曲线的渐近线平行，
故只有一个交点；
当3-k2≠0时，由Δ=(2k2-4k)2-4(3-k2)(-k2+4k-7)=0，
可得k=74，此时直线y=74x+14与双曲线相切，故只有一个公共点.
故答案为：3
变式6．（2024高三·全国·专题练习）过点P7,5且与双曲线x27-y225=1有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
【答案】 2 x=7和y=-577x+10
【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为x=7满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为y-5=kx-7，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案．
【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x=7，此时仅有一个交点7,0，满足条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为y-5=kx-7，
联立方程组y=kx+5-7kx27-y225=1，
整理得到25-7k2x2-7×2kx5-7k-75-7k2-7×25=0，
当k=577时，方程无解，不满足条件；
当k=-577时，方程2×57x×10=875有一解，满足条件；
当k≠±577时，令Δ=14k5-7k2-425-7k2⋅-75-7k2-175=0，
解得k=577，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件，
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x=7和y=-577x+10．
故答案为：2；x=7和y=-577x+10.
变式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，点P1,32在E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l与C相交于A,B两点，AB中点W在曲线x2+4y232=x2-4y23上，探究直线AB与双曲线C1:x2-4y23=1的位置关系．
【答案】(1)x24+y23=1
(2)相切
【分析】（1）根据题意列式可求a,b，进而可得椭圆方程；
（2）设l:y=kx+m，Wx0,y0与椭圆方程联立，利用韦达定理可得x0=-4km3+4k2，y0=3m3+4k2，结合题意可得4m2=4k2-3，再联立直线l与双曲线方程分析判断位置关系，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）由于椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，故ca=32，
又a2=b2+c2，得3a2=4b2，设所求椭圆方程为3x24b2+y2b2=1，
把点P1,32代入，得b2=3,a2=4，
椭圆方程为x24+y23=1．
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，若直线l斜率存在，设l:y=kx+m，
因为y=kx+m,x24+y23=1,得3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0，
所以x1+x2=-8km3+4k2，
所以x1+x22=-4km3+4k2，y1+y22=kx1+x2+2m2=3m3+4k2，
设Wx0,y0，所以x0=-4km3+4k2，y0=3m3+4k2，所以x02=16k2m23+4k22，y02=9m23+4k22，
所以x02+4y023=m212+16k23+4k22=4m23+4k2，
同理x02-4y023=m216k2-123+4k22=4m24k2-33+4k22，
因为W在曲线x2+4y232=x2-4y23上，
所以4m23+4k22=4m24k2-33+4k22，解得4m2=4k2-3，
又因为y=kx+m,x2-4y23=1,得3-4k2x2-8kmx-4m2-3=0，
所以Δ=123+4m2-4k2=0，直线AB与C1相切，
若直线l斜率不存在，由对称性知W在x轴上，W在曲线x2+4y232=x2-4y23，
所以W±1,0，此时也有直线AB与C1相切，
综上知直线AB与C1相切．
变式8.（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线x2-y22=1在点2,2处的切线方程；
（2）已知P1,1是双曲线外一点，过P引双曲线x2-y22=1的两条切线PA,PB，A，B为切点，求直线AB的方程．
【答案】（1）2x-y-2=0；（2）2x-y-2=0.
【分析】
（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别表示出直线PA,PB的方程，再将点P的坐标代入计算，即可得到结果.
【详解】
（1）由双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一点Px0,y0处的切线方程为xx0a2-yy0b2=1，
所以双曲线x2-y22=1在点2,2处的切线方程为2x-22y=1，
化简可得2x-y-2=0.
（2）设切点Ax1,y1,Bx2,y2，则PA:xx1-yy12=1，PB:xx2-yy22=1，
又点P1,1在直线上，代入可得x1-y12=1，x2-y22=1，
所以点Ax1,y1,Bx2,y2均在直线x-y2=1上，
所以直线AB的方程为x-y2=1，即2x-y-2=0.
【方法技巧与总结】
将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程x2a2-y2b2=1,a>0,b>0联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点
【题型6：双曲线弦长问题】
例6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：2x2-y2=2，过点P1,2的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段MN的中点，则弦长MN= .
【答案】42
【分析】设直线MN为y-2=k(x-1)，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过P(1,2)的直线MN为y-2=k(x-1)，
联立y-2=k(x-1)2x2-y2=2，得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k4-4k+6)=0，
设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1+x2=-2k(k-2)2-k2=2xP，
所以-2k(k-2)2-k2=2，解得k=1，经检验符合题意；
则x1+x2=2，x1x2=-3.
弦长MN=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=2⋅4+12=42.
故答案为：42.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为5的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为右支上的一点，若PF2=2a，则S△PF1F2=（ ）
A．8a2B．4a2C．42a2D．43a2
【答案】B
【分析】由离心率得F1F2=2c=25a，利用双曲线定义可得PF1=4a，由勾股定理逆定理可知△PF1F2为直角三角形进而得面积.
【详解】由题意可知e=ca=5，所以F1F2=2c=25a，
由双曲线定义可得PF1-PF2=2a，则PF1=4a，
则PF12+PF22=F1F22，
所以△PF1F2为直角三角形，
所以S△PF1F2=12PF1⋅PF2=4a2．
故选：B.
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线x24-y25=1的右焦点为F，过F作PF垂直于一条渐近线，垂足为P，若点P,Q关于原点对称，则S△PQF= ．
【答案】25
【分析】由双曲线方程得出F3,0,a=2,b=5,c=3，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得PF，再计算S△PQF即可．
【详解】由题可得F3,0,a=2,b=5,c=3，渐近线方程为y=±52x，
不妨取y=52x，即5x-2y=0，
所以PF=355+4=5=b,PQ=2PO=2a=4，
所以S△PQF=12×4×5=25，
故答案为：25．
变式3.（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线M与双曲线N：x26-y23=1有共同的渐近线．
(1)若M经过抛物线y=-x2+8x-14的顶点，求双曲线M的方程；
(2)若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且PF1=PF2+10，求双曲线M的方程．
【答案】(1)x28-y24=1
(2)x225-y2252=1或y225-x250=1
【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线M，再代入顶点坐标，即可求解；
（2）根据双曲线的定义求2a，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解.
【详解】（1）依题意可设M的方程为x26-y23=λλ≠0．
抛物线y=-x2+8x-14=-x-42+2，顶点为4,2，
将4,2代入M的方程，得λ=43，则M的方程为x28-y24=1．
（2）由题意易知PF1-PF2=10=2a，a=5．
当焦点在x轴上时，λ>0，可设双曲线M的方程为x26λ-y23λ=1，则6λ=25，3λ=252，
则双曲线M的方程为x225-y2252=1．
当焦点在y轴上时，λ0，即直线y=x-3与双曲线C相交，满足条件.
所以直线AB的方程为y=x-3.
（2）由（1）知，直线AB的方程为y=x-3，
联立方程组y=x-3x24-y2=1，整理得3x2-24x+40=0，
则Δ>0，且x1+x2=8,x1x2=403，
所以A,B两点间的距离为：AB=1+12x2-x1=2x1+x22-4x1x2=2⋅64-4×403=833.
变式6．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±22x.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且AB=42，求实数m的值.
【答案】(1)x22-y2=1
(2)m=±3.
【分析】（1）由双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±22x，得c=3，ba=22，由此能求出双曲线方程；
（2）联立方程组x22-y2=1y=x+m，得x2+4mx+2m2+2=0，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.
【详解】（1）双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±22x，
设双曲线的方程x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），
由已知得c=3，ba=22，所以a=2，b=1.
所以双曲线方程为x22-y2=1.
（2）直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且AB=42，
联立方程组x22-y2=1y=x+m，得x2+4mx+2m2+2=0，
当Δ>0时，设Ax1,y1,Bx2,y2，
x1+x1=-4m，x1⋅x1=2m2+2.
所以AB=2x1-x2=2x1+x22-4x1x2=2×(-4m)2-42m2+2
令2×(-4m)2-42m2+2=42，解得m=±3.
经检验Δ>0符合题意，所以m=±3.
变式7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，O为坐标原点，点P(3,2)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于M,N两点，且OM⋅ON=0，求|MN|的最小值．
【答案】(1)x2-y22=1
(2)22
【分析】（1）依题意可得ba=23a2-4b2=1，解得a2、b2，即可得解；
（2）解法一：设Mx1,y1, Nx2,y2，直线l的方程为x=ty+mt≠±22，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由OM⋅ON=0整理得到m2=2t2+1，即可表示出MN2，从而求出其最小值；
解法二：设OM:y=kx，ON:y=-1kx，联立直线与双曲线方程，即可求出xM2、yM2，即可得到OM2，同理得到ON2，从而得到1|OM|2+1|ON|2=12，再由基本不等式计算可得.
【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，且双曲线过P(3,2)，
所以ba=23a2-4b2=1，解得a2=1b2=2，
故双曲线C的方程为x2-y22=1.
（2）解法一：设Mx1,y1, Nx2,y2，直线l的方程为x=ty+mt≠±22，
联立x=ty+mx2-y22=1，得2t2-1y2+4tmy+2m2-1=0，
则y1+y2=-4tm2t2-1y1y2=2m2-12t2-1，且Δ=m2+2t2-1>0，
由OM⋅ON=0，即x1x2+y1y2=0，即ty1+mty2+m+y1y2=0，
即t2+1y1y2+tmy1+y2+m2=0，
即t2+12m2-12t2-1-4t2m22t2-1+m2=0，整理得m2=2t2+1，
所以MN2=x1-x22+y1-y22
=ty1-ty22+y1-y22
=t2+1y1-y22
=t2+1y1+y22-4y1y2
=t2+1-4tm2t2-12-8m2-12t2-1
=81+t2m2+2t2-12t2-12
=81+9t22t2-12≥8，当且仅当t=0时，等号成立，
故MN的最小值为22.
方法二：由题意知直线OM,ON的斜率存在且不等于0，
设OM:y=kx，ON:y=-1kx，
由-20,b>0)的左焦点F1的直线l（斜率为正）交双曲线于A,B两点，满足F1B=3F1A，设M为AB的中点，则直线OM（O为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．26B．3C．43D．5
【答案】C
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得tanθ=e2-42，然后利用点差法可得kABkOM=b2a2，进而可得kOM=2e2-1e2-4，然后利用基本不等式即得.
【详解】首先证明：双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的任意点Px0,y0到左焦点F1-c,0与左准线x=-a2c的距离之比为常数e（离心率）.
依题意x02a2-y02b2=1，则点Px0,y0到直线x=-a2c的距离d=a2c+x0，
所以PF1=x0+c2+y02，则PF1d=x0+c2+y02a2c+x0 =x02+2cx0+c2+b2x02a2-1a2c+x0=a+cax0aca+cax0=ca=e.
由题可知A在左支上B在右支上，如图，设∠AF1O=θ，A,B在左准线上的射影为A1,B1，因为F1B=3F1A，
则csθ=BB1+AA1AB=BF1+AF1eBF1-AF1=2e且e>2，所以tanθ=e2-42，
设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1，
所以x12-x22a2-y12-y22b2=0，y1-y2x1-x2⋅y1+y2x1+x2=y1-y2x1-x2⋅y0x0=b2a2，即kABkOM=b2a2，
所以kABkOM=kOMtanθ=kOM⋅e2-42=b2a2=e2-1，
所以kOM=2e2-1e2-4=2e2-4+3e2-4≥43，当且仅当e2-4=3e2-4即e=7时，等号成立，
故选：C.
变式1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线l:y=x+2与双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0交于A、B两点，点M1,3是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．2C．3D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求a,b的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则x12a2-y12b2=1，且x22a2-y22b2=1，
所以x12-x22a2-y12-y22b2=0，整理得到：x1-x2x1+x2a2=y1-y2y1+y2b2，
因为M1,3是弦AB的中点，
所以x1+x2=2,y1+y2=6,y1-y2x1-x2=1，所以2a2=6b2即b2a2=3
所以e=1+b2a2=2，
故选：A.
变式2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线l过双曲线C：x2-y24=1的左焦点F，且与C的左、右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ）
A．±102B．±132C．±133D．±63
【答案】D
【分析】利用点差法求得直线AB,OP斜率的关系式，然后利用二倍角公式列方程来求得正确答案.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，x12-y124=1x22-y224=1，
两式相减并化简得y1+y2x1+x2⋅y1-y2x1-x2=4，即kOP⋅kAB=4,kOP=4kAB，
当kAB>0时，设直线AB的倾斜角为α，
△OFP是以FP为底边的等腰三角形，所以∠POx=2α，
所以kOP=tan2α=2tanα1-tan2α，
则4kAB=2kAB1-kAB2,kAB2=23,kAB=63.
根据对称性可知，当kAB0,b>0上的三点，直线AB,AC,BC的斜率分别是k1,k2,k3，点D,E,F分别是线段AB,AC,BC的中点，O为坐标原点，直线OD,OE,OF的斜率分别是k1',k2',k3'，若1k1'+1k2'+1k3'=5，则k1+k2+k3= ．
【答案】15
【分析】由点差法得到k1k1'=b2a2=3，同理得到k2k2'=3,k3k3'=3，从而得到k1+k2+k3=3k1'+3k2'+3k3'=15.
【详解】因为双曲线Γ的离心率为2，所以ba=3，
不妨设Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0，
因为点A,B在Γ上，所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，
得x1+x2x1-x2a2=y1+y2y1-y2b2，
因为点D是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0，
所以y1+y2y1-y2x1+x2x1-x2=b2a2，即y0y1-y2x0x1-x2=b2a2，
所以k1k1'=y1-y2x1-x2⋅y0-0x0-0=b2a2=3，同理k2k2'=3,k3k3'=3，
因为1k1'+1k2'+1k3'=5，所以k1+k2+k3=3k1'+3k2'+3k3'=15．
故答案为：15
变式6.（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线Γ：x24-y2=1的左右顶点分别为A1、A2．
(1)求以A1、A2为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程；
(2)直线l过点C1,1与双曲线Γ交于A,B两点，若点C恰为弦AB的中点，求出直线l的方程；
【答案】(1)x216+y212=1.
(2)x-4y+3=0.
【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点A1-2,0，A22,0，再结合离心率为12，求出a2,b2得解；
（2）利用点差法求出直线l的斜率进而求出直线方程；
【详解】（1）由题意可得，A1-2,0，A22,0，则c=2，
又e=ca=12，∴a=4,b2=a2-c2=12，
所以椭圆的标准方程为x216+y212=1.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，点C恰为弦AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，
又因为A,B两点在双曲线上，
可得x124-y12=1x224-y22=1，两式相减得x12-x224-(y12-y22)=0，
化简整理得x1+x24(y1+y2)=y1-y2x1-x2=14，即kAB=14，
所以直线l的方程为y-1=14(x-1)，即x-4y+3=0，
经检验，满足题意.
变式7.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±2x，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M3,2，求直线l的斜率.
【答案】(1)x2-y24=1
(2)6
【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出a,b可得答案；
（2）设直线l的方程为y-2=kx-3，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为双曲线C的渐近线方程是y=±2x，实轴长为2，
所以a=1,ba=2，b=2，
所以双曲线C的方程为x2-y24=1；
（2）双曲线的渐近线方程为y=±2x，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，
若线段AB的中点为M3,2，则直线l的斜率存在，
设为k，且k≠±2，k≠0，
可得直线l的方程为y-2=kx-3，
与双曲线方程联立y-2=kx-3x2-y24=1，
可得4-k2x2+6k2-4kx-9k2+12k-8=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=-6k2-4k4-k2=6，
解得k=6，经检验符合题意.
变式8.（2024高二·全国·专题练习）过点P4,1的直线l与双曲线x24-y2=1相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】x-y-3=0
【分析】由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】解：设Ax1,y1，Bx2,y2，则x124-y12=1，x224-y22=1，
两式相减得14x1+x2x1-x2-y1+y2⋅y1-y2=0．
∵P为线段AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2．
∴y1-y2x1-x2=1，即所求直线l的斜率为1，
∴直线l的方程为y-1=x-4，即x-y-3=0．经检验符合题意．
【方法技巧与总结】
双曲线中点弦的斜率公式：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【题型8：解答题】
例8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为5x-2y=0，且点-22,5在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2,P为双曲线右支上任意一点，求PA1⋅PF2的最小值.
【答案】(1)x24-y25=1;
(2)-4.
【分析】（1）利用渐近线方程巧设双曲线方程，再由待定系数法即可求解；
（2）利用向量数量积的坐标运算，再结合二次函数性质，即可得出结果.
【详解】（1）由双曲线一条渐近线方程为5x-2y=0，可以该双曲线方程为5x2-4y2=λ,λ≠0，
由点-22,5在双曲线上，可得5×8-4×5=λ，即λ=20，
所以双曲线标准方程为x24-y25=1.
（2）由双曲线标准方程为x24-y25=1可知：左顶点A1的坐标为-2,0，右焦点为F2的坐标3,0，
可设双曲线右支上任意一点Pm,n，且m≥2，则PA1=-2-m,-n,PF2=3-m,-n，
所以PA1⋅PF2=-2-m,-n⋅3-m,-n=m2-m-6+n2，
又因为Pm,n满足双曲线方程，则m24-n25=1，
所以PA1⋅PF2=m2-m-6+n2=m2-m-6+5m24-5=9m24-m-11，
由于二次函数y=9m24-m-11的对称轴是m=29，
所以当m≥2，y=9m24-m-11单调递增，
即当m=2时，二次函数y=9m24-m-11有最小值-4，
所以PA1⋅PF2的最小值是-4.
变式1．（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线C1过点(-4,32)且与双曲线C2:x22-y23=1有共同的渐近线，F1，F2分别是C1的左、右焦点．
(1)求C1的标准方程；
(2)设点P是C1上第一象限内的点，求PF1⋅PF2的取值范围．
【答案】(1)x24-y26=1
(2)(-6,+∞)
【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解；
（2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围.
【详解】（1）由题意可设C1的方程为x22-y23=λ(λ≠0)，
将(-4,32)代入可得，162-183=λ，解得λ=2，
∴ C1的标准方程为x24-y26=1．
（2）设P(x,y)，则y2=6x24-1，
∵点P在第一象限，∴x>2，且F1(-10,0)，F2(10,0)，
∴ PF1⋅PF2=(-10-x,-y)⋅(10-x,-y)=x2-10+y2=52x2-16∈(-6,+∞)，
∴ PF1⋅PF2的取值范围是(-6,+∞)．
变式2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知曲线C的方程为x-102+y2-x+102+y2=2．
(1)说明C为何种圆雉曲线，并求C的标准方程；
(2)已知直线y=x-4与C交于A，B两点，与C的一条渐近线交于D点，且D在第四象限，O为坐标原点，求OA⋅OD+OB⋅OD．
【答案】(1)C是以10,0，-10,0为焦点，实轴长为2的双曲线，x2-y29=1
(2)26
【分析】（1）结合双曲线的定义即可求解；（2）应用韦达定理结合数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）因为x-102+y2-x+102+y2=20，b>0），则c=10，a=1，b=3，
所以C的方程为x2-y29=1．
（2）由（1）可得C的渐近线方程为y=±3x，
由y=-3x,y=x-4,得x=1,y=-3,即D1,-3．
设Ax1,y1，Bx2,y2，由y=x-4,x2-y29=1得8x2+8x-25=0，
由韦达定理得x1+x2=-1,x1x2=-258,
则OA⋅OD+OB⋅OD=x1+x2-3y1+y2=x1+x2-3x1-4+x2-4=26
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25-x2m=1的离心率e∈52,2．
(1)若命题q为真，求实数m的取值范围；
(2)若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)0,3；
(2)0,54∪3,5.
【分析】（1）根据椭圆方程的结构特征列不等式组求解可得；
（2）分别记p，q为真时m的取值范围为集合A,B，然后由p和q一真一假，利用集合运算求解即可.
【详解】（1）若方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则2m09-m>0，
解得00）经过点2,2，且其离心率为5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，C的一条渐近线上有一点P，满足PF2恰好垂直于这条渐近线，求△PF1F2的面积．
【答案】(1)x2-y24=1
(2)2
【分析】（1）根据所给条件得到关于a、b、c的方程组，解得a2、b2，即可求出双曲线方程；
（2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出PF2，由勾股定理求出OP，即可求出S△OPF2，从而得解.
【详解】（1）依题意可得2a2-4b2=1e=ca=5c2=a2+b2，解得a2=1b2=4c2=5，
所以双曲线方程为x2-y24=1.
（2）由（1）可知左，右焦点分别为F1-5,0，F25,0，
双曲线的渐近线为y=±2x，
不妨取其中一条渐近线为y=2x，
则F2到直线y=2x的距离d=PF2=2522+-12=2，
所以OP=OF22-PF22=52-22=1，
所以S△OPF2=12×1×2=1，
又S△OPF2=S△OPF1，所以S△PF1F2=2S△OPF2=2.
变式6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1过点M3,4，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q（P在第一象限）两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
【答案】(1)x2-y22=1
(2)E-3459,-4339或E3459,-4339
【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出a2，将点的坐标代入方程求出b2，即可得解；
（2）设Px1,y1，Qx2,y2，直线l的方程为x=ty+3，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由PF2=3F2Q得到y1=-3y2，即可求出y2，即可求出yE=2y2，从而求出xE，即可得解.
【详解】（1）依题意左、右顶点分别为A-a,0，Ba,0，
所以kMA+kMB=43+a+43-a=249-a2=3，解得a2=1，
将M3,4代入x2-y2b2=1得9-16b2=1，解得b2=2，
故双曲线方程为x2-y22=1；
（2）设Px1,y1，Qx2,y2，直线l的方程为x=ty+3，
将x=ty+3代入2x2-y2=2整理得(2t2-1)y2+43ty+4=0，Δ=16t2+1>0，
∴y1+y2=-43t2t2-1，y1y2=42t2-1，又由PF2=3F2Q⇒y1=-3y2，
代入上式得-2y2=-43t2t2-1-3y22=42t2-1，解得t2=111，-3y22=42t2-1=-449⇒y2=-4427，
因为△PQE的重心在x轴上，所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=-4339，代入双曲线得xE=±3459，
故E-3459,-4339或E3459,-4339．
变式7．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线Γ:x23-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q.
(1)当直线l平行于Γ的斜率大于0的渐近线l1时，求直线l与l1的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足F1P⋅F1Q=0?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由;
【答案】(1)1
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）首先得到双曲线的渐近线方程及直线l的方程，再由两平行线间解距离公式计算可得；
（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点P的坐标，根据F1P⋅F1Q=0得出点P的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去y，由韦达定理即可解答.
【详解】（1）双曲线Γ:x23-y2=1，焦点在x轴上，a=3,b=1,c=3+1=2，
则双曲线左、右焦点分别为F1-2,0，F22,0，渐近线方程为y=±33x，
当直线l平行于Γ的斜率大于0的渐近线l1时，则直线l的方程为y=33x-2，即x-3y-2=0，
又渐近线l1为x-3y=0，
所以直线l与l1的距离d=-2-012+-32=1.
（2）不存在，理由如下：
当直线l的斜率为1时，直线方程为y=x-2，因此Q0,-2，
又F1-2,0，所以F1Q=2,-2，
设Γ的右支上的点P(x,y)(x>3)，则F1P=(x+2,y)，
由F1P⋅F1Q=0得2(x+2)-2y=0，
又x23-y2=1，联立消去y得2x2+12x+15=0，
因为Δ=122-4×2×15>0，但是x1+x2=-6，x1x2=152，所以此方程无正根，
因此，在Γ的右支上不存在点P，满足F1P⋅F1Q=0.
变式8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：x+52+y2=9的圆心为M，圆N：x-52+y2=1的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点P2,0，不经过点P的直线l与曲线C交于A，B两点，且PA⋅PB=0．直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线l恒过定点，(103，0)
【分析】（1）根据题意利用圆与圆的位置关系结合双曲线的定义，即可证明结论；
（2）设直线l的方程为x=my+t，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据数量积的坐标运算求出PA⋅PB的表达式，化简PA⋅PB=0，即可求得t的值，即可求得答案.
【详解】（1）证明：由题意知圆M：x+52+y2=9的圆心为M(-5,0)，圆N：x-52+y2=1的圆心为N(5,0)
如图，设圆E的圆心为E(x,y)，半径为r，
由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则|EM|=r+3，|EN|=r-1，
所以|EM|-|EN|=40,
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，其中x1≥2，x2≥2，
由韦达定理得：y1+y2=-2mtm2-4，y1y2=t2-4m2-4，
又点P(2,0)，所以PA⃗=(x1-2, y1)，PB⃗=(x2-2, y2)，
因为PA⋅PB=0，所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
则(my1+t-2)(my2+t-2)+y1y2=(m2+1)y1y2+(mt-2m)(y1+y2)+(t-2)2
=(m2+1)(t2-4)-2mt(mt-2m)+(t-2)2(m2-4)m2-4=0，
即3t2-16t+20=0，解得t=103（t=2舍去），
当t=103，直线l的方程为x=my+103，m≠±12，
故直线l恒过点(103，0)．
一、单选题
1．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）方程x2-23x+1=0的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率B．两双曲线的离心率
C．两椭圆的离心率D．以上皆错
【答案】A
【分析】求出方程的根，根据椭圆和双曲线的离心率取值范围得到.
【详解】由方程x2-23x+1=0解得，
x=23±222=3±2，因为椭圆的离心率为(0,1)，双曲线的离心率为(1,+∞)，
故可以作为双曲线和椭圆的离心率.
故选：A
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线mx2-y2=1的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±2xD．y=±22x
【答案】A
【分析】由实轴长可列方程求得参数m的值，进一步即可求得渐近线方程.
【详解】由题可知双曲线的实轴长为21m，则21m=1，解得m=4，所以该双曲线的渐近线方程为y=±2x．
故选：A.
3．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1a>0,b>0下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．y212-x24=1B．3y24-x24=1C．x24-y24=1D．y216-x24=1
【答案】B
【分析】由题意根据点到直线的距离公式、离心率公式和平方关系即可求出a2,b2，由此即可得解.
【详解】设双曲线的下焦点为(0,-c)，一条渐近线方程为y=abx，即ax-by=0，
则焦点到渐近线的距离-bca2+b2=2，因为e=ca=2,a2+b2=c2，
联立解得a2=43,b2=4，
∴双曲线方程为：3y24-x24=1.
故选：B.
4．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线x2-y23=1的离心率为（ ）
A．12B．2C．2D．22
【答案】B
【分析】根据双曲线方程求出a,c即可得解.
【详解】由双曲线x2-y23=1知，a2=1,b2=3，
所以c2=a2+b2=4，
所以e=ca=21=2.
故选：B
5．（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线C:x23-y24=1的左顶点为A1，右焦点为F2，虚轴长为m，离心率为e，则（ ）
A．A1-3,0B．F21,0C．m=2D．e=213
【答案】D
【分析】由双曲线的方程可求得a=3,b=2,c=7，计算可判断每个选项的正确性.
【详解】由双曲线C:x23-y24=1，可得a2=3,b2=4，所以a=3,b=2,c=3+4=7，
所以双曲线的左顶点A1(-3,0)，右焦点F2(7,0)，故AB错误；
虚轴长m=2b=4，故C错误；
离心率e=73=213，故D正确.
故选：D.
6．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线x2m2+1-y2=1的实轴长为4，则正数m=（ ）
A．3B．2C．94D．72
【答案】A
【分析】依题意可得2m2+1=4，解得即可.
【详解】由双曲线实轴长为4，有2m2+1=4，又m>0，
∴m=3.
故选：A.
7．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为54，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±43xD．y=±34x
【答案】D
【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解.
【详解】由题知，e=ca=1+ba2=54，解得ba=34，
又双曲线x2a2-y2b2=1的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y=±34x.
故选：D
8．（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x2-y2=8B．x2-y2=4
C．y2-x2=8D．y2-x2=4
【答案】A
【分析】由题意可求出直线3x-4y+12=0与x轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论．
【详解】解：令y=0 ，得x=-4，
又∵双曲线焦点在x轴上，
∴等轴双曲线的一个焦点为-4,0，
即c=4，
∴a2=b2=12c2=8，
故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.
故选：A.
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线C：x2m-y2m+3=1，则“m=3”是“双曲线C的离心率为3”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率为3，可得m=-6或m=3，即可由充分不必要条件求解.
【详解】C：x2m-y2m+3=1的离心率为3时，当焦点在x轴时，3=2m+3m，解得m=3，
当焦点在y轴时，3=-2m-3-m-3，解得m=-6，
故“m=3”是“双曲线C的离心率为3”的充分不必要条件，
故选：B
二、多选题
10．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为x225+y29=1，双曲线的方程为y28-x28=1，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为y=x
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率e=45
D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程求得a1=5,b1=3,c1=4，双曲线方程求得a2=b2=22,c2=4，且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，结合椭圆和双曲线的性质逐项分析判断.
【详解】对于椭圆的方程为x225+y29=1，可得a1=5,b1=3,c1=a12-b12=4，
对于双曲线的方程为y28-x28=1，可得a2=22,b2=22,c2=a22+b22=4，
且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，
对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为y=±a2b2x=±x，
所以双曲线的一条渐近线方程为y=x，故A正确；
对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，
所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误；
对于选项C：椭圆的离心率e=c1a1=45，故C正确；
对于选项D：因为a20，则C是圆，其半径为nn
B．若m>0，n=0，则C是两条直线
C．若n>m>0时，则C是椭圆，其焦点在y轴上
D．若mn0， x2+y2=1n，则C是圆，半径为nn，故A正确；
对于B，若m>0，n=0时，x=±1m，则C是两条直线，故B正确；
对于C，若n>m>0时，x21m+y21n=1，则1m>1n>0，则C为焦点在x轴的椭圆，故C错误；
对于D，若mn0）的右焦点为F(2,0)，则 W的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据双曲线焦点在x轴上，得出b2=3,c=2，计算得出a=1,最后得出离心率.
【详解】由题意可得双曲线焦点在x轴上，且b2=3,c=2，
则a2=c2-b2=4-3=1，由a>0得a=1，
故W的离心率e=ca=21=2.
故答案为：2.
14．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线W:x23-y2=1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A,B两点，若∠PAB=30∘，则△PAB的周长为 .
【答案】32+6/6+32
【分析】结合双曲线方程求出a与b，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得AB为直径，解直角三角形可得.
【详解】由双曲线W:x23-y2=1可知，a=3,b=1.
则W的蒙日圆圆心为(0,0)，半径为2，其蒙日圆方程为x2+y2=2，
由已知可得PA⊥PB，
所以AB为圆的直径，所以AB=22.
又∠PAB=30∘，所以PB=12AB=2,PA=(22)2-(2)2=6.
所以△PAB的周长为32+6.
故答案为：32+6.
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x24-y2m=1m>0的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是 ．
【答案】4,+∞
【分析】根据题意可知双曲线C的离心率大于等轴双曲线的离心率，进而列出不等式求解即可.
【详解】∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，
∴双曲线C：x24-y2m=1的离心率e>2，则e2>2，即4+m4>2，
∴m>4．
故答案为：(4,+∞).
四、解答题
16．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线x2-y2=4，直线l:y=k(x-1)，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1)-233