数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程当堂达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了定义，焦距， 若常数满足约束条件等内容，欢迎下载使用。

知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线C：x2-y215=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，若PF1=7，则PF2=（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
知识点02双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点-1,0，焦点分别为F1-2,0、F22,0，则双曲线的方程为（ ）
A．x22-y2=1B．x2-y22=1C．x23-y2=1D．x2-y23=1
【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A．x2-y224=1B．x224-y2=1
C．x249-y224=1D．x24-y221=1
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，直线l：y=x与E交于A，B两点，且AF⊥BF，则b2a2= .
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．直线C．双曲线D．两条射线
变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足PF1-PF2=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线x264-y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是 ．
变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆x2+y2=4及x2+y2-8x+15=0都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆
变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．一条直线C．两条射线D．双曲线
变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1(-3,0),F2(3,0)，满足条件PF1-PF2=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（ ）
A．12B．2C．-1D．-3
变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线x29-y216=1的左右焦点分别是F1与F2,M是双曲线右支的一点，且MF1=7，则MF2= ．
变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x24-y23=1右支上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为 .
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1(-13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且PF1-PF2=10，则双曲线C的方程是（ ）
A．x25-y212=1B．x212-y25=1C．x2144-y225=1D．x225-y2144=1
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,b=8，则其标准方程是（ ）
A．y236-x264=1B．x264-y236=1C．x236-y264=1D．x236-y264=1或y236-x264=1
变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,-5，P是双曲线上一点且满足PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x216-y29=1B．x29-y216=1C．y216-x29=1D．y29-x216=1
变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为5,0，一个顶点为3,0，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．y216-x29=1B．x225-y29=1
C．x225-y216=1D．x29-y216=1
变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2(0,-4)，P是双曲线上一点且PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x27-y29=1B．x29-y27=1C．y29-x27=1D．y27-x29=1
变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点(433,23)且焦点为0,-5，0,5的双曲线的标准方程是 ．
变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A-2,-3，B153,2，则双曲线Γ的标准方程是 ．
变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点4,13，则双曲线C的标准方程为 .
变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 ．
变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与Q(26,22)的双曲线的标准方程．
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线x2k+4+y2k-1=1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A．-4,1B．-∞,-4∪1,+∞
C．-4,1D．-∞,-4∪1,+∞
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程x24-t+y2t-2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2