还剩54页未读，
继续阅读
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质练习
展开
这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质练习，共57页。
知识点01 椭圆的几何性质
【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为215的椭圆方程为（ ）
A．x264+y24=1B．x24+y264=1
C．x216+y2=1D．x2+y216=1
【答案】D
【分析】根据题意得到方程组，求出b=1,a=4，结合焦点位置，得到椭圆方程.
【详解】由题意得2a2b=4，2c=215，又c2=a2-b2，
解得b=1,a=4，
故椭圆方程为x2+y216=1.
故选：D
【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y28=1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 .
【答案】6
【分析】根据焦点以及焦距即可根据a,b,c的关系求解.
【详解】由于x2m+y28=1为焦点在x轴上，所以a2=m,b2=8,c=a2-b2=m-8，
由于焦距是2，所以2c=2⇒c=1=m-8，所以m=9，
故长轴长为2a=6，
故答案为：6
知识点02椭圆的离心率
1.定义：e＝eq \f(c,a).
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝eq \f(c,a)=1-b2a2
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23，则该椭圆的离心率为（ ）
A．12B．23C．32D．63
【答案】C
【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率.
【详解】由题的2b=2⇒b=1,2c=23⇒c=3，
所以a=b2+c2=2，
所以离心率为ca=32，
故选：C.
【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a=2b，则该椭圆的离心率e=（ ）
A．12B．32C．33D．54
【答案】B
【分析】由椭圆离心率的公式e=ca=1-b2a2计算.
【详解】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a=2b，
则该椭圆的离心率e=ca=c2a2=1-b2a2=1-14=32.
故选：B.
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与椭圆C交于M,N两点，若2S△MNF2=5S△MF1F2且∠F2F1N=∠F2NF1，则椭圆C的离心率为（ ）
A．35B．22C．13D．32
【答案】A
【分析】作F2E⊥MN，结合条件可得MF1MN=25，结合椭圆定义求出ME,MF2,F1E，在Rt△MEF2，Rt△F1EF2中，分别由勾股定理建立等式得到a,c的方程，求得答案.
【详解】如图，F2E⊥MN，垂足为E，
因为∠F2F1N=∠F2NF1，所以F1F2=NF2=2c，E为F1N的中点，
∴F1N=2a-2c，F1E=a-c，
∵2S△MNF2=5S△MF1F2，
∴2MN⋅F2E×12=5MF1⋅F2E×12，整理得MF1MN=25，
所以MF1=25MF1+2F1E，即MF1=43F1E，
∴ME=43a-c+a-c=73a-c，
MF2=2a-MF1=2a-232a-2c=4c+2a3，
在Rt△MEF2中，ME2+EF22=MF22，在Rt△F1EF2中，F1F22-F1E2=EF22，
∴2c2-a-c2+73a-c2=4c+2a32，
化简整理得5c2-8ac+3a2=0，
∴5e2-8e+3=0，解得e=1或35，又0∴e=35.
故选：A.
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．x29+y216=1B．x225+y216=1
C．x225+y216=1或x216+y225=1D．x216+y225=1
【答案】C
【分析】根据已知列方程结合a2=b2+c2计算得出a,b再结合椭圆的交点所在轴即可判断.
【详解】因为2a+2b=18, 2c=6,
又因为a2=b2+c2，
所以a2-b2=9=9a-b,
a-b=1a+b=9,
解得a=5,b=4,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：x225+y216=1;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：y225+x216=1.
故选：C.
变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-3,0,F23,0，上的顶点为P，且∠F1PF2=60°，则此椭圆长轴为（ ）
A．43B．23C．6D．12
【答案】D
【分析】根据焦点坐标得到c，再由∠F1PF2=60∘得到a，c的关系求解.
【详解】因为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-3,0,F23,0，则c=3，
又上顶点为P，且∠F1PF2=60∘，所以ca=sin30°=12，所以a=6，故长轴长为12.
故选：D
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C:x280+y235=1的长轴长与焦距之差等于（ ）
A．5B．25C．26D．36
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程求出a,b,c，再求长轴长2a与焦距2c之差.
【详解】由题得a2=80，b2=35，所以a=45，c=a2-b2=35，
所以长轴长2a=85，焦距2c=65，
所以长轴长与焦距之差等于2a-2c =25．
故选：B
变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2a2-6=1的离心率为32，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
【答案】B
【分析】首先得到b2=a2-6，即可求出c2=6，再由离心率公式求出a2，最后再求出长轴长.
【详解】因为a2>a2-6，
依题意可得b2=a2-6，
所以c2=a2-b2=a2-a2-6=6，
则离心率e=ca=c2a2=6a2=32，解得a2=8，则a=22，
所以椭圆C的长轴长为2a=42.
故选：B
变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆C:x2m+y2m+6=1的离心率为22，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
【答案】C
【分析】由离心率公式首先求得参数m的值，进一步可得a以及长轴长.
【详解】因为方程C:x2m+y2m+6=1表示椭圆，所以m+6>m>0，
从而e=ca=1-b2a2=1-mm+6=22，解得m=6，
所以a=m+6=23，则椭圆C的长轴长为2a=43.
故选：C.
变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆x2t+12+y2t=1的离心率为63，则椭圆的长轴长为（ ）
A．122B．62C．32D．6
【答案】B
【分析】根据离心率的公式，求解t，再根据方程求椭圆的长轴长.
【详解】由条件可知，t+12=a2，t=b2，则c2=a2-b2=12，
由条件可知，e2=12t+12=23，得t=6，
所以a2=18，椭圆的长轴长2a=62.
故选：B
变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C:x28+y228=1，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为47B．椭圆C的焦距为12
C．椭圆C的短半轴长为42D．椭圆C的离心率为357
【答案】AD
【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.
【详解】因为椭圆C:x28+y228=1，所以a=27,b=22,c=25，
且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为47，焦距为45，短半轴长为22，离心率e=ca=357．
故选：AD
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x216+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，若AF1⊥AF2，则C的短轴长为 .
【答案】42
【分析】由题意可得△AF1F2为等腰直角三角形，又a=4，计算可求c=22，可求C的短轴长.
【详解】设|F1F2|=2c，易知AF1=AF2=a=4，
结合AF1⊥AF2，可知△AF1F2为等腰直角三角形，
所以F1F2=42=2c，故c=22，
所以b=a2-c2=16-8=22，
所以C的短轴长为2b=42.
故答案为：42.
变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x225-m+y216+m=1表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ．
【答案】0或9
【分析】根据方程的形式，结合长轴概念，分类讨论得出结果.
【详解】当焦点在x轴上时，有25-m>16+m>0,25-m=5解得m=0；
当焦点在y轴上时，有16+m>25-m>0,16+m=5,解得m=9．
综上，实数m的值为0或9．
故答案为：0或9.
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点Pm,n与椭圆x27+y25=1的位置关系是（ ）
A．在椭圆内B．在椭圆外
C．在椭圆上D．不确定
【答案】A
【分析】由直线与圆没有公共点得m2+n2<5，再利用放缩法得m27+n25<1，可判断点与椭圆的位置关系.
【详解】∵直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，
∴圆心(0,0)到直线的距离d=5m2+n2>5，即m2+n2<5，
∴0≤m2<5，
又∵m27+n25≤m25+n25<1，
∴点Pm,n在椭圆内部.
故选：A.
变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x225+y29=1的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上B．点在椭圆内
C．点在椭圆外D．不确定
【答案】B
【分析】将点代入椭圆即可求解.
【详解】由于125+19<1，所以1,1在x225+y29=1内，
故选：B
变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点Pa,1在椭圆x22+y23=1的外部，则a的取值范围为（ ）
A．-233,233 B．233,+∞∪-∞,-233
C．43,+∞ D．-∞,-43
【答案】B
【解析】根据题中条件，得到a22+123>1，求解，即可得出结果.
【详解】因为点Pa,1在椭圆x22+y23=1的外部，
所以a22+123>1，即a2>43，解得a>233或a<-233.
故选：B.
变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,-2∪2,+∞B．-2,2C．-2,2D．-2,2
【答案】B
【分析】由题意可得a24+12<1，解不等式即可得解.
【详解】因为点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，所以有a222+122<1，即a24+12<1，
解得-2故选：B.
【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx+ny=4与圆O:x2+y2=4相切，椭圆C:x29+y25=1，则（ ）
A．点P(m,n)在圆O内B．点P(m,n)在圆O上
C．点P(m,n)在椭圆C内D．点P(m,n)在椭圆C上
【答案】BC
【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到m2+n2=4，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系.
【详解】由直线l与圆O相切，可知，圆心到直线l的距离d=4m2+n2=2，
即m2+n2=4，所以点Pm,n在圆O上，
并且2<5，所以圆在椭圆C内，P(m,n)在椭圆C内.
故选：BC
变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点Aa,1在椭圆x24+y22=1的内部，则a的值可以是（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】BC
【分析】由点与椭圆的位置关系得出a的值.
【详解】由题意知a24+12<1，解得-2故选：BC
变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点，在椭圆C上满足∠F1PF2=90∘的点P的个数为 ．
【答案】2
【分析】分析可知，点P在圆x2+y2=2上，联立圆与椭圆的方程，求出公共解的个数即可.
【详解】在椭圆C中，a=2，b=2，则c=a2-b2=4-2=2，
若∠F1PF2=90∘，易知原点O为F1F2的中点，则OP=12F1F2=c=2，
所以，点P在以原点为圆心，半径为2的圆上，即点P在圆x2+y2=2上，
联立x2+y2=2x24+y22=1，可得x=0y=±2，即点P0,2或P0,-2，
即满足条件的点P的个数为2.
故答案为：2.
变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】由A在椭圆的内部有m24+122<1，即可求参数m的范围.
【详解】∵点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部，
∴m24+122<1，整理得m2<2，解得-2故答案为：(-2,2)
变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x2m+y2n=1(m>0, n>0)上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【答案】点在椭圆外
【分析】由已知得9m+4n=1，继而有9m+9n>1，由此可得答案.
【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以9m+4n=1，又m>0, n>0，所以9m+9n>1，故点(-3，3)在椭圆外.
故答案为：点在椭圆外.
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；
点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；
点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若FM=33a2-b22，则椭圆的离心率等于（ ）
A．15B．13C．265D．223
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，取FA的中点N，连接MN,BF，分别求出MN,FN和cs∠MNF，利用余弦定理即可求得离心率.
【详解】如图，取FA的中点N，连接MN,BF,则易得|BF|=b2+c2=a，|MN|=12|BF|=12a，
在Rt△BOF中，cs∠BFO=ca，则cs∠MNF=-cs∠BFO=-ca,又|FN|=a+c2，
在△FMN中，由余弦定理，|FM|2=|FN|2+|MN|2-2|FN|⋅|MN|cs∠MNF，
即33c24=(a+c)24+a24-2⋅a+c2⋅a2⋅(-ca)，整理得，a2+2ac-15c2=0，
解得a=3c或a=-5c（舍去），则e=13.
故选:B.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P,Q为C在第一象限的两个动点，且PF1=λQF2,∠PF1F2=π6，若PF1=3QF2，则C的离心率为（ ）
A．33B．12C．52D．104
【答案】A
【分析】结合椭圆定义在△PF1F2中由余弦定理求得PF1= 2b22a-3c，同理在△QF1F2中利用余弦定理可得QF2=2b22a+3c，再由PF1=3QF2可得a,c关系，进而得离心率.
【详解】连接PF2,QF1，设PF1=x，则PF2=2a-x，
在△PF1F2中，由余弦定理可得
PF22=PF12+F1F22-2PF1F1F2csπ6，
即(2a-x)2=x2+4c2-23cx，
解得x=2b22a-3c，即PF1= 2b22a-3c.
由PF1=λQF2可知PF1∥QF2，
在△QF1F2中利用余弦定理可得
QF12=QF22+F1F22-2QF2F1F2cs5π6，
同理可解得QF2=2b22a+3c，
又因为PF1=3QF2，即2a+3c=32a-3c，
所以e=ca=33．
故选：A.
变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且PF1=2PF2，则椭圆E的离心率为（ ）
A．102B．104C．53D．56
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得：PF1+PF2=2a，又因为PF1=2PF2，
所以解得：PF1=43a,PF2=23a，
再由于PF1⊥PF2，F1F2=2c，结合勾股定理可得：
43a2+23a2=2c2，解得c2a2=59，所以椭圆E的离心率为53，
故选：C.
变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘，∠PAF2=45∘，则椭圆的离心率为（ ）
A．57B．63C．2-1D．3-1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出P点坐标，代入PF1⋅PF2=2a2-2c2中形成齐次方程，解出离心率即可.
【详解】
如图：由题意不妨设Px1,y1在第一象限，知PF1+PF2=2a ①，
因为∠F1PF2=90∘，所以PF12+PF22=4c2 ②，
所以PF1+PF22-PF12+PF22=2PF1⋅PF2=4a2-4c2，
则PF1⋅PF2=2a2-2c2，且OP=c，即x12+y12=c2，
又由∠PAF2=45∘，所以HA=PH=y1，又OH=x1，即x1+y1=a，
结合S△F1PF2=b2解得x1=ac-b2c,y1=b2c，
代入x2a2+y2b2=1a>b>0中，整理得-2ac+2a2-c2=0，
即e2+2e-2=0，解得e=3+1（舍）或e=3-1.
故选：D.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点M,N在C上（M位于第一象限），且点M,N关于原点O对称，若MF1⋅MF2=0,15MF2=NF2，则C的离心率为（ ）
A．154B．157C．215-27D．15-24
【答案】C
【分析】根据对称以及垂直可证四边形MF1NF2是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解x=a-a2-2b2，根据15MF2=NF2得2c=4a-a2-2b2，即可求解离心率.
【详解】点M,N关于原点对称，所以线段MN,F1F2互相平分，故四边形MF1NF2为平行四边形，
又MF1⋅MF2=0，故∠F1MF2=π2，所以四边形MF1NF2是矩形，故MN=F1F2，其中NF1=MF2，
设MF2=x，则MF1=2a-x，由MF12+MF22=F1F22，得(2a-x)2+x2=4c2，整理得x2-2ax+2b2=0，
由于点M在第一象限，所以x=a-a2-2b2，
由15MF2=NF2，得MN=4MF2，即2c=4a-a2-2b2，
整理得7c2+4ac-8a2=0，即7e2+4e-8=0，解得e=215-27．
故选：C
变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上、下顶点分别为A，B，点P在以OF为直径的圆上，若PA⊥PB，sin∠PFO=33，则E的离心率为（ ）
A．22B．32C．12D．14
【答案】B
【分析】由已知可得点P在以AB为直径的圆上，P在以OF为直径的圆上，进而可得sin∠PFO=OPOF=bc=33，即可得椭圆离心率.
【详解】
由PA⊥PB易知，点P在以AB为直径的圆上，
又P在以OF为直径的圆上，则PO⊥PF，且OF=c，OP=b，
可知sin∠PFO=OPOF=bc=33，所以c2=3b2，
结合b2=a2-c2可得，c2=3a2-c2，
解得e=ca=32，
故选：B.
变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0【答案】53
【分析】根据椭圆对称性以及MF1≥2NF1可得|F2M|≤23a，根据勾股定理可得|F2M|=a-2c2-a2，即可代入求解59a2≤c2，结合已知条件得到59a2=c2，即可求解.
【详解】因为过原点的直线与C相交于M，N两点，MF1⋅NF1=0,故四边形MF1NF2为矩形，故MF2=F1N，又|F1M|+|F2M|=2a，MF1≥2NF1，
所以2a-|F2M|≥2|F2M|，则|F2M|≤23a，
又|F1M|2+|F2M|2=4c2，
即(2a-|F2M)2+|F2M|2=4c2，且2c2>a2，
解得|F2M|=a-2c2-a2，|F2M|=a+2c2-a2（由于|F2M|≤23a，故舍去）
结合|F2M|≤23a，故a-2c2-a2≤23a，即59a2≤c2
又a≤3b2⇒a2≤94a2-c2⇒59a2≥c2，
因此59a2=c2，故e2=59，解得e=53，
故答案为：53
【点睛】关键点点睛：由|F1M|2+|F2M|2=4c2解方程得到|F2M|=a-2c2-a2，结合椭圆定义得到|F2M|≤23a，联立可得59a2≤c2.
变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1,F2在x轴上，A,B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2//AB，则此椭圆的离心率是 ．
【答案】55
【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由PF1⊥x轴，PF2//AB即可得b=2c，可求得离心率为55.
【详解】根据题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
如图所示则有F1-c,0,F2c,0,Aa,0,B0,b，
直线PF1方程为x=-c，代入方程x2a2+y2b2=1可得y=±b2a，所以P-c,b2a，
又PF2//AB，所以kPF2=kAB，
即b2a-0-c-c=b-00-a，整理可得b=2c；
所以a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，即c2a2=15，
即可得椭圆的离心率为e=ca=c2a2=15=55.
故答案为：55
变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2B=-32F2A，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】55/155
【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个a,b,c的齐次式，求解离心率.
【详解】令椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距为c，
设|AF2|=m，则|AF1|=2a-m，由点B在y轴上，
F2B=-32F2A，得|BF1|=|BF2|=32m，
而|AB|=52m，F1A⊥F1B，因此|AF1|2+|BF1|2=|AB|2，
即(2a-m)2+(32m)2=(52m)2，解得m=23a，
在Rt△BF2O中，cs∠OF2B=|OF2||BF2|=c32m=ca，
在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2||F1F2|cs∠AF2F1，
即(43a)2=(23a)2+(2c)2-2⋅23a⋅2c⋅(-ca)，
整理得5c2=a2，而e2=c2a2=15，
所以椭圆C的离心率为55．
故答案为：55．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2c，点P为直线x=a2c上一点，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．0,33C．22,1D．33,1
【答案】D
【分析】由题意可得PF2≥a2c-c，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，可得PF2=F1F2=2c，即2c≥a2c-c，运算求解即可.
【详解】由题意可知：F2c,0，
因为点P为直线x=a2c上一点，则PF2≥a2c-c，
若点F2在线段PF1的垂直平分线上，可得PF2=F1F2=2c，
则2c≥a2c-c，整理可得c2a2≥13，即e=ca≥33，
所以C的离心率的取值范围是33,1.
故选：D.
变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈π6,π4，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．22,3-1B．22,1C．22,32D．33,63
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为F1，根据AF⊥BF，得到四边形为AF1BF为矩形，再由∠ABF=α，结合椭圆的定义得到2a=2csinα+2ccsα，然后由e=ca=1sinα+csα求解.
【详解】设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1，
因为AF⊥BF，所以四边形为AF1BF为矩形，所以AB=FF1=2c，
因为∠ABF=α，
所以AF=2csinα，BF=2ccsα，则BF1=AF=2csinα，
由椭圆的定义得2a=2csinα+2ccsα，
所以e=ca=1sinα+csα=1222sinα+22csα=12sinα+π4，
因为α∈π6,π4，所以α+π4∈5π12,π2，
所以sinα+π4∈2+64,1，
其中sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6
=22×32+22×12=6+24，
所以2sinα+π4∈1+32,2，
所以e∈22,3-1.
故选：A
变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1，P为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为A､B,kAP⋅kBP≤-23，则离心率e的范围为（ ）
A．33,1B．0,33C．63,1D．33,63
【答案】B
【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.
【详解】设Px0,y0，x0≠±a，A-a,0，Ba,0，
kAP⋅kBP=y0x0+a×y0x0-a=y02x02-a2=-b2a2，
由题意可知，-b2a2≤-23，即a2-c2a2≥23，得c2a2≤13，
则e=ca∈0,33.
故选：B
变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，OP为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q．若PA≥PQ，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,22C．12,1D．22,1
【答案】B
【分析】由题意可推得要使PA≥PQ，只需-kPQ≥12，由此设直线AP方程，并联立椭圆方程，求出点Q的坐标，进而得到kPQ，令-kPQ≥12，，即可得到a,b的不等关系，求得答案.
【详解】要使PA≥PQ，只要∠PQA≥∠PAQ，只要-kPQ≥kPA，
因为直线l的斜率为12，
即只要-kPQ≥12，
设直线AP方程为：y=12x+a，
联立x2a2+y2b2=1y=12x+a，整理可得：a2+4b2x2+2a3x+a4-4a2b2=0,*
因为x1=-a为方程(*)的一个根，
故x2=a4-4a2b2a2+4b2-a=-a3+4b2aa2+4b2,y2=12x2+a=4ab2a2+4b2，
所以点P-a3+4b2aa2+4b2,4ab2a2+4b2，
可得kOP=4ab2-a3+4ab2=4b24b2-a2，
由于OP⊥PQ，故kPQ=a2-4b24b2，
令-kPQ≥12，可得a2-4b24b2≥12，
可得b2所以离心率的取值范围是0,22．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且PF1-PF2=4b，则M的离心率的取值范围为（ ）
A．0,255B．255,1C．0,32D．32,1
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的定义，分别表示出PF1,PF2，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得PF1+PF2=2a,PF1-PF2=4b,则PF1=a+2b,PF2=a-2b，
由PF1=a+2b≤a+c,PF2=a-2b≥a-c，得2b≤c，
即4b2=4a2-c2≤c2，得ca≥255．
故M的离心率的取值范围为255,1．
故选：B
变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1:x2m+y22=1与椭圆C2:x28+y2m=1的离心率分别为e1, e2，若m∈(2,8)，则（ ）
A．e1e2的最小值为14B．e1e2的最小值为12
C．e1e2的最大值为14D．e1e2的最大值为12
【答案】D
【分析】由椭圆的离心率，结合椭圆的性质及对勾函数的单调性求解．
【详解】已知椭圆C1:x2m+y22=1与椭圆C2:x28+y2m=1的离心率分别为e1，e2，
又m∈(2,8)，
则e1=m-2m，e2=8-m22，
则e1e2=-m2+10m-1622m=10-(m+16m)22，
设f(m)=m+16m，m∈(2,8)，
则根据对勾函数知f(m)在(2,4)为减函数，在(4,8)为增函数，
则f(m)∈[8,10)，
则e1e2∈(0,12]，
即e1e2的最大值为12，无最小值．
故选：D．
变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长大于43，当m变化时直线x-my+2-2m=0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．22,1C．0,12D．12,1
【答案】B
【分析】先求出直线所过的定点，由题，此定点也在椭圆上，从而得出a，b，c的关系，用离心率表示出a，再由题目中长轴长的范围列出关于离心率的不等式，求解即可.
【详解】直线x-my+2-2m=0即x+2=my+2，该直线过定点-2,-2，所以点-2,-2在C上，4a2+4b2=1，即4a2+b2=a2b2，
设c=a2-b2，则42a2-c2=a2a2-c2，
所以a2=42a2-c2a2-c2 =42-e21-e2，
因为C的长轴长大于43，所以a>23，a2>12，
所以2-e21-e2>3，解得12故选：B.
变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为Fc,0，上顶点为A0,b，直线上l:x=a2c上存在一点P满足FP+FA⋅AP=0，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】5-12,1
【分析】由(FP+FA)⋅AP=0可得|FA|=|FP|=a，又点P在右准线上可得|FP|≥a2c-c，解关于e的一元二次不等式，结合0【详解】取AP的中点Q，连接FQ，如图所示，
则FQ=12(FP+FA)，所以(FP+FA)⋅AP=2FQ⋅AP=0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|=|FP|，且|FA|=b2+c2=a，所以|FP|=a，
又因为点P在右准线x=a2c上，
所以|FP|≥a2c-c，即a≥a2c-c，
所以ac≥a2c2-1，即e2+e-1≥0，解得e≥5-12或e≤-5-12，
又0故答案为：[5-12,1).
变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P是C上的一点，直线l的方程为x=a2+b2a，且PQ⊥l于Q．若四边形PQF2F1为平行四边形，求C的离心率的取值范围．
【答案】2-1,1
【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可.
【详解】注意到直线l:x=a2+b2a=2a2-c2a，设Pm,n，则Q2a2-c2a,n，
又四边形PQF2F1为平行四边形，所以m=2a2-c2a-2c=2a2-2ac-c2a∈-a,a，
即-a<2a2-2ac-c2a故C的离心率的取值范围为2-1,1．
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线l：3x+y-3=0与椭圆C：x216+y24=1的一个交点坐标为（ ）
A．2,3B．213,11313C．-2,33D．-213,15313
【答案】D
【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案.
【详解】由3x+y-3=0x216+y24=1可得13x2-24x-4=0，解得x=2或x=-213
当x=2时，y=-3，当x=-213时，y=15313
所以直线与椭圆的交点坐标为2,-3,-213,15313
故选：D
变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x24+y23=1有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．-7,7B．-6,7
C．-6,6D．-22,22
【答案】A
【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式Δ≥0，即可解出m的取值范围．
【详解】直线y=x+m代入椭圆方程消去y得：7x2+8mx+4m2-12=0；
∵直线与椭圆有公共点，方程有解，
∴Δ=64m2-4×7×4m2-12≥0；
解得-7≤m≤7，即m的取值范围为-7,7.
故选：A
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1的公共点的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．无数个
【答案】C
【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答.
【详解】由y=3x-1x24+y28=1消去y并整理得11x2-6x-7=0，显然Δ=(-6)2-4×11×(-7)>0，
所以直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1相交，有2个公共点.
故选：C
变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线x=1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为(1,0)，进而得到直线与椭圆的位置关系.
【详解】由椭圆的方程x2+y22=1，可得a=2,b=1，即椭圆的短轴的右顶点为(1,0)，
所以直线x=1与椭圆x2+y22=1相切.
故选：B.
变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线y=x+1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
【详解】联立y=x+1x2+y22=1⇒3x2+2x-1=0，
则Δ=22+4×3=16>0
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线y=kx-1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m≥1且m≠5
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.
【详解】由直线y=kx-1，则可知其过定点0,-1，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则m>0025+-12m≤1m≠5，解得m≥1且m≠5.
故答案为：m≥1且m≠5.
变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2+x2b2=1a>b>0的焦距为4，且经过点1,3.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x-y-32=0平行，求直线l1的斜截式方程.
【答案】(1)y26+x22=1；
(2)y=x±22.
【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；
（2）由平行关系设直线方程l1：y=x+b，联立椭圆方程得4x2+2bx+b2-6=0，利用相切关系有Δ=0求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由题意得2c=4a2=b2+c23a2+1b2=1，得a2=6b2=2c=2，
所以椭圆M的标准方程为y26+x22=1.
（2）设与l平行的l1：y=x+b，
由y26+x22=1y=x+b，得4x2+2bx+b2-6=0，
由Δ=4b2-4×4b2-6=0，得b=±22，则l1：y=x±22.
变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线l:y=mx-2与椭圆C:x24+y23=1相交于不同两点，求实数m的取值范围．
【答案】m<-12或m>12
【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于0，解不等式可得结果.
【详解】联立y=mx-2x24+y23=1，消去y并整理得(4m2+3)x2-16mx+4=0，
依题意得Δ=(16m)2-16(4m2+3)>0，即m2>14，
解得m<-12或m>12.
【方法技巧与总结】
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线x=-1被椭圆x24+y23=1截得的弦长为（ ）
A．32B．32C．3D．3
【答案】C
【分析】求出交点得纵坐标即可得解.
【详解】令x=-1，得14+y23=1，解得y=±32，
所以直线x=-1被椭圆x24+y23=1截得的弦长为-32-32=3.
故选：C.
变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆x24+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点，则AB等于（ ）
A．4B．23
C．1D．43
【答案】C
【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为F(3,0)，将x=3，代入椭圆的方程，进而求得弦长.
【详解】因为椭圆x24+y2=1，可得a2=4,b2=1，所以c2=a2-b2=3，
所以椭圆的右焦点的坐标为F(3,0)，
将x=3，代入椭圆的方程，求得y=±12，所以AB=1.
故选：C.
变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+y2=1相交于A、B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，AB= ．
【答案】54221
【分析】联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，建立△AOB的面积表达式，结合基本不等式求解出m2=212时，△AOB的面积取得最大值,再求出此时的AB的值.
【详解】由y=2x+mx25+y2=1，得21x2+20mx+5m2-5=0，需满足Δ=-20m2+420>0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=-20m21，x1x2=5m2-521，
AB=1+22x1+x22-4x1x2=5×2021-m221=1021-m221．
又O到直线AB的距离d=m5，
则△AOB的面积S=12d⋅AB=5×m221-m221≤5×m2+21-m2221=52，
当且仅当m2=21-m2，即m2=212时，△AOB的面积取得最大值．
此时，AB=1021-m221=54221．
故答案为：54221
变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线x-2y+1=0与椭圆x24+y2=1交于A,B两点，则AB= .
【答案】352/1235
【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】联立x-2y+1=0与x24+y2=1，得2x2+2x-3=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=-1,x1x2=-32，
故AB=1+122x1+x22-4x1x2=52×1+4×32=352.
故答案为：352
变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点，则AB= ．
【答案】5
【分析】本题先联立直线l与椭圆C方程，消去x，整理可得一元二次方程，解得A,B坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.
【详解】联立x-2y+2=0x2+4y2=4，消去x，整理得y2-y=0，解得y1=0,y2=1，
因此x1=-2,x2=0 ，
故AB=x1-x22+y1-y22=5.
故答案为：5.
变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
【答案】3
【分析】根据题意即求通径大小，先求c=1，令x=1代入椭圆方程求得y=±32即可得解.
【详解】由c2=a2-b2=1，故c=1，
不妨令x=1，代入x24+y23=1可得y2=94，
所以y=±32，故弦长为3.
故答案为：3
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x26+y22=1的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN的面积．
【答案】263.
【分析】由题可得椭圆焦点坐标，进而可求MN=263，再利用面积公式即求.
【详解】由题可得c=6-2=2，不妨设F2,0，
将x=2代入x26+y22=1，可得46+y22=1，
解得y=±63，
不妨令M2,63,N2,-63，则MN=263，
∴△OMN的面积为S=12OFMN=12×2×263=263.
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且经过点Q2,62
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
【答案】(1)x24+y23=1
(2)247
【分析】（1）根据椭圆右焦点F1,0，且过点Q2,62，从而可求解.
（2）根据题意求出直线方程为y=x-1，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解.
【详解】（1）由题意得a2=b2+12a2+64b2=1，
解得a2=4b2=3，
故椭圆的标准方程为x24+y23=1．
（2）由题意可得直线l的方程为y=x-1，
与椭圆方程联立y=x-1x24+y23=1，得7x2-8x-8=0，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则x1+x2=87,x1x2=-87，
故MN=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2
=1+12872-4×(-87)=247．
变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为5,0，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x-1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.
【答案】(1)53
(2)1,5-455
【分析】（1）根据四边形面积得到ab=6，结合焦点坐标，求出a=3,b=2，得到离心率；
（2）PQ=MP-MQ=5-MQ，设Qx1,y1，得到MQ=59x1-952+165，结合x1∈-3,3，求出MQ的取值范围，得到PQ的取值范围.
【详解】（1）由题意得c=5,a2=b2+c2，且12⋅2a⋅2b=2ab=12，即ab=6，
解得a=3,b=2，
所以椭圆C的离心率e=ca=53.
（2）由题意，得PQ=MP-MQ=5-MQ.
设Qx1,y1，则x129+y124=1.
所以MQ=x1-12+y12=x1-12+4-49x12=59x1-952+165，.
因为x1∈-3,3，
所以当x1=95时，|MQ|min=455；当x1=-3时，|MQ|max=4.
所以PQ的取值范围为1,5-455.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)（x1+x2）2-4x1∙x2＝ eq \r(1＋\f(1,k2))（y1+y2）2-4y1∙y2.·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0
C．x-2y-8=0D．2x-y-6=0
【答案】B
【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得解.
【详解】当直线l的斜率不存在时，由对称性可知l被椭圆截得线段AB的中点在x轴上，不合题意；
故可设直线l的方程为y-2=kx-4，代入椭圆方程x2+4y2=36化简得，
1+4k2x2+16k-32k2x+64k2-64k-20=0，
有Δ>0，x1+x2=32k2-16k1+4k2=8，解得k=-12，
所以直线l的方程为y-2=-12x-4，即x+2y-8=0.
故选：B.
变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0C．x-2y-8=0D．2x-y-8=0
【答案】B
【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得
【详解】当直线l斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点在x轴上，
而已知M4,2是线段AB的中点，不在x轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为k，则直线的方程为y-2=k(x-4)，
即kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0，
所以x1+x2=32k2-16k1+4k2=8，解得k=-12，
故直线l方程为y-2=-12(x-4)，即x+2y-8=0.
故选：B.
变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点，AB的中点为Mm,1，则m= ．
【答案】-43/-113
【分析】根据题意，设直线AB的方程为y=x+b，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解.
【详解】设直线AB的方程为y=x+b，代入椭圆方程x24+y23=1，
可得7x2+8bx+4b2-12=0，
由韦达定理可得x1+x2=-8b7，
则xM=12x1+x2=-4b7，
则yM=xM+b=-47b+b=3b7=1，则b=73，
所以m=xM=-47×73=-43.
故答案为：-43
变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M(12,13)，则椭圆E的离心率为 ．
【答案】53/135
【分析】求出直线AB的方程，与椭圆方程联立结合弦的中点坐标求解即得.
【详解】依题意，kAB=13-012-1=-23，所以直线AB的方程为y=-23(x-1)，
由y=-23(x-1)x2a2+y2b2=1消去y并整理得(b2+49a2)x2-89a2x+49a2-a2b2=0，
由弦AB的中点为M(12,13)，得89a2b2+49a2=1，解得b2=49a2，
由a>1可得上述关于x的一元二次方程Δ>0，
所以椭圆E的离心率为e=a2-b2a=53.
故答案为：53
变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3x+4y-7=0与椭圆x24+y2m=1和交于A，B两点，且点1,1平分弦AB，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.
【详解】设A,B坐标为x1,y1,(x2,y2)，则x124+y12m=1x224+y22m=1，
作差可得(x1-x2)(x1-x2)4=-(y1-y2)(y1+y2)m，则y1-y2x1-x2×y1+y22x1+x22=-m4，
根据题意可得y1-y2x1-x2=-34，x1+x22=y1+y22=1，则-34×1=-m4，解得m=3.
当m=3时，联立3x+4y-7=0x24+y33=1，可得21x2-42x+1=0，
其Δ=422-84>0，满足题意；故m=3.
故答案为：3.
变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为32，过点F的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为1,1，则直线l的斜率为 ．
【答案】-14
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，则AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22，
由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，
将A，B的坐标的代入椭圆的方程：x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，
作差可得x12-x22a2+y12-y22b2=0，
所以y1-y2x1-x2=-b2a2⋅x1+x2y1+y2=-b2a2，
又因为离心率e=ca=32，c2=a2-b2，所以a2-b2a2=34，
所以-b2a2=-14，即直线l的斜率为-14，
故答案为：-14.
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为k'，求证：k⋅k'为定值．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，Pm,n，将A，B两点代入椭圆方程可得k'及k⋅k'表达式，即可得答案.
【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知2c=232a=4ba2=b2+c2 ， 解得c=3a=2b=1.
故椭圆的标准方程为x24+y2=1；
（2）证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，Pm,n，则x1+x2=2m，y1+y2=2n．
把Ax1,y1，Bx2,y2代入椭圆方程x24+y2=1得：x124+y12=1x224+y22=1.
两式相减可得y2-y1x2-x1=-x2+x14y2+y1，即k=-m4n．又k'=nm，
则k⋅k'=-m4n⋅nm=-14，故k⋅k'为定值．
变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线l过点-1,0，且与椭圆相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标14，求直线l的方程.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)x-2y+1=0
【分析】
（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；
（2）根据已知条件设出直线l的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，结合线段AB中点在直线l上即可求解.
【详解】（1）由题意可知2a=4,解得a=2，
因为e=ca=32，
所以c=3，
所以b2=a2-c2，解得b2=1.
所以椭圆的方程为x24+y2=1.
（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示
设l:y=kx+1，设Ax1,y1,Bx2,y2，
y=kx+1x24+y2=1消y得，1+4k2x2+8k2x+4k2-4=0，
所以Δ=8k22-4×1+4k24k2-4=48k2+16>0，解得k∈R.
x1+x2=-8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,
设线段AB中点的坐标为Mx0,y0，
所以x0=x1+x22=-8k21+4k22=-4k21+4k2,
y0=kx0+1=k-4k21+4k2+1=k1+4k2,
又因为线段AB中点的纵坐标14，
所以y0=k1+4k2=14，解得k=12，
所以直线方程为y=12x+1，即x-2y+1=0.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M1,32，F1、F2是椭圆C的左、右两个焦点，F1F2=23，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且PF1⋅PF2≤14，求点P的横坐标的取值范围．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)0,3．
【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a，进而求得b即可；
（2）设Px,y(x>0,y>0)，从而可求得PF1⋅PF2=-3-x2+y2≤14，再把y2=1-x24代入求解即可.
【详解】（1）由已知得2c=23，∴c=3，
∴F1-3,0，F23,0，MF1=(1+3)2+322=19+834=4+32，
同理MF2=4-32，
∴2a=MF1+MF2=4，
∴a=2，∴b=a2-c2=1，
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
（2）设Px,y(x>0,y>0)，且x24+y2=1，则PF1=-3-x,-y，PF2=3-x,-y，
∴PF1⋅PF2=-3-x2+y2≤14．
由椭圆方程可得-3-x2+1-x24≤14，
整理得3x2≤9，所以0即点P的横坐标的取值范围是0,3．
变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A-2,0，B1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围．
【答案】(1)a=2，b=3，离心率为12
(2)0,23
【分析】（1）待定系数法求出椭圆方程，并求出离心率；
（2）在（1）的基础上求出F1F2=2，结合P，Q在x轴的两侧，表达出四边形PF1QF2的面积并求出取值范围.
【详解】（1）因为A-2,0，B1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，
所以-22a2+0=11a2+322b2=1,解得a=2，b=3，
所以c=a2-b2=1，C的离心率为ca=12；
（2）由（1）得x24+y23=1，c=1，
故F1F2=2，
因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，
所以四边形PF1QF2的面积S=12⋅F1F2⋅yP+yQ=yP+yQ∈0,2b=0,23，
当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立.
变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O，半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅BP的取值范围．
【答案】(1)椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”方程为x2+y2=4；
(2)-3,-1.
【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
（2）设Pm,n-3≤m≤3，写出A，B坐标，应用向量数量积的坐标表示得AP⋅BP=m2-4+n2，结合P是椭圆C上及其有界性，即可求范围.
【详解】（1）由题意知c=2，且a=b2+c2=3，可得b=a2-c2=1，
故椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”方程为x2+y2=4．
（2）由题意，设Pm,n-3≤m≤3，则有m23+n2=1，
不妨设A 2,0，B-2,0，所以AP=m-2,n，BP=m+2,n，
所以AP⋅BP=m2-4+n2=m2-4+1-m23=2m23-3，又-3≤m≤3，则2m23-3∈-3,-1，
所以AP⋅BP的取值范围是-3,-1．
变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l过椭圆上顶点，且k=1，求AB的值.
【答案】(1)x23+y2=1
(2)322
【分析】（1）由题意可得a2=b2+c2e=ca=632c=22，解出a,b,c，进而求解.
（2）由题意可得直线l的方程，将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意得，a2=b2+c2e=ca=632c=22，
解得c=2，a=3，b=a2-c2=32-22=1，
∴椭圆M的方程为x23+y2=1.
（2）因为k=1，椭圆上顶点为0,1，
所以直线l的方程为y=x+1，设Ax1,y1，Bx2,y2.
联立y=x+1x23+y2=1，得2x2+3x=0，
又直线l与椭圆M有两个不同的交点，
所以Δ=9>0，∴x1+x2=-32，x1x2=0，
∴AB=1+k2⋅x1-x2=2⋅x1+x22-4x1x2=2⋅94=322.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为32，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求C的方程；
(2)设P为C上一点，M1,0.若存在实数λ使得PF1+PF2=λPM，求λ的取值范围.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)43,26
【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得a2=4,b2=1，即可得椭圆方程；
（2）根据椭圆定义可得λ=4PM，根据两点间距离公式结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆C的长轴长与短轴长之和为6，则2a+2b=6，即a+b=3①，
又因为e=ca=32，结合c2=a2-b2可得a2=4b2②，
联立①②解得a2=4b2=1，所以C的方程为x24+y2=1.
（2）设Px,y，则x∈-2,2，
因为存在实数λ使得PF1+PF2=λPM，即λPM=PF1+PF2=2a=4，
可得λ=4PM=4(x-1)2+y2=4(x-1)2+1-x24=434x-432+23,x∈-2,2，
又因为34x-432+23∈23,9，则34x-432+23∈63,3，可得λ∈43,26，
所以λ的取值范围为43,26.
变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且3|OA|=2|OB|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x=4上一点，以C为圆心的圆同时与x轴和直线l相切，且OC//AP，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)12
(2)x216+y212=1
【分析】（1）根据3|OA|=2|OB|，由3a=2b求解；
（2）设椭圆方程为x24c2+y23c2=1，直线l的方程为y=34x+c，联立x24c2+y23c2=1y=34x+c，得到Pc,32c，由圆心C在直线x=4上，设C4,t，再根据OC//AP求解.
【详解】（1）
设椭圆的半焦距为c，由已知得，3a=2b，
又由a2=b2+c2，消去b得a2=32a2+c2，解得ca=12，
所以，椭圆的离心率为12.
（2）由（1）知，a=2c,b=3c，故椭圆方程为x24c2+y23c2=1，
由题意，F-c,0，则直线l的方程为y=34x+c，
点P的坐标满足x24c2+y23c2=1y=34x+c，消去y并化简，得到7x2+6cx-13c2=0，
解得x1=c,x2=-13c7，代入到l的方程，解得y1=32c,y2=-914c，
因为点P在x轴的上方，所以Pc,32c，
由圆心C在直线x=4上，可设C4,t，
由（1）知A-2c,0，则kOC=t4,kAP=3c2c+2c=12，又OC//AP，
∴kOC=kAP，即t4=12，解得t=2，即C4,2.
因为圆C与x轴相切，所以圆的半径r为2，
由圆C与l:y=34x+c相切，得圆心C到直线l的距离d=344+c-21+342=2=r，解得c=2，
故a=4,b=23，所以椭圆的方程为：x216+y212=1.
【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点b2,0分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．1617B．41717C．45D．255
【答案】D
【分析】由已知条件可列出等量关系式c+b2c-b2=53，结合a2=b2+c2和离心率公式e=ca即可求解
【详解】依题意得c+b2c-b2=53，解得c=2b，
所以a=b2+c2=5b，所以e=ca=2b5b=255.
故选：D.
2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x29+y27=1的焦距为（ ）
A．22B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】由椭圆的标准方程及焦距的定义即可得解.
【详解】由x29+y27=1，a2=9,b2=7得c2=a2-b2=9-7=2，
所以焦距为2c=22．
故选：A．
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C:x2m+y2m+1=1(m>0)的离心率为33，则m=（ ）
A．3B．13C．2D．12
【答案】C
【分析】先分别表示出a,c，结合离心率公式列出方程即可求解.
【详解】∵a=m+1,c=1,∴1m+1=33，解得m=2.
故选：C.
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x24+y23=1，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．焦距为1D．离心率为12
【答案】D
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b,c即可判断选项的正误.
【详解】由椭圆的方程x24+y23=1可知：焦点在x轴上，即a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1，
则a=2,b=3,c=1.
所以长轴长为2a=4，短轴长为2b=23，焦距为2c=2，离心率为e=ca=12.
故选：D
5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知点B-3,0 ，C3,0，设点C到直线AB的最大距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则 d1d2=（ ）
A．34B．433C．32D．233
【答案】D
【分析】根据正弦定理进行边角互化，可知点A的轨迹及d1，d2，即可得解.
【详解】由已知B-3,0，C3,0，则BC=6，
由sinB+sinC=2sinA，再由正弦定理可知AC+AB=2BC=12>6=BC，
所以动点A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为12得椭圆，不含左、右顶点，
所以当且仅当点A是椭圆的上、下顶点时，
点A到直线BC的距离最大为d2=62-32=33，
当AB⊥BC时，点C到直线AB的距离最大为d1=BC=6，
所以d1d2=633=233，
故选：D.
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若四边形AF1BF2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（ ）
A．4B．3C．2D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得ab=6，再由四边形周长求出a即可得解.
【详解】依题意，ab=6，由椭圆对称性，得线段AB,F1F2互相平分于原点，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12，解得a=3，
所以椭圆C的短半轴长b=2.
故选：C
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x25+y24=1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为（ ）
A．534,12B．152,1
C．152,12D．354,32
【答案】B
【分析】先设点的坐标，再应用面积公式计算参数即可.
【详解】设Px0,y0x0>0,y0>0，由题知，c=1，所以S△PF1F2=12×2c×y0=y0，
又S△PF1F2=1，所以y0=1，将其代入x025+y024=1，解得x0=152，
所以P152,1，
故选:B.
8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆x2m+y24=1的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．不存在
【答案】C
【分析】分焦点在x轴和y轴上两种情况求解即可.
【详解】∵2c=2，∴c=1．
当椭圆的焦点在x轴上时，a2=m，b2=4，c2=m-4．
∴m-4=1，m=5．
当圆的焦点在y轴上时，a2=4，b2=m，
∴c2=4-m=1，∴m=3．
综上，m的值是3或5．
故选：C
二、多选题
9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程mx2+ny2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m>n>0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则该方程表示圆，其半径为n
C．若n>m>0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若m=0,n>0，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为x2+y2=1n，得到B正确；D选项，化为y=±nn，故D正确.
【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
因为m>n>0，所以0<1m<1n，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时该方程表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B错误；
对于C，n>m>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
由于n>m>0，所以1m>1n>0，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，即y=±nn，
此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
故选：ACD
10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A．x28+y29=1B．x218+y216=1
C．x212+y26=1D．x29+y28=1
【答案】AD
【分析】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由题意可得πab=62π，2c=13×2a，再结合a2=b2+c2可求出a,b，从而可求得椭圆方程.
【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则由题意可知πab=62π2c=13×2a，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=22，c=1，
所以椭圆的标准方程为x29+y28=1或y29+x28=1．
故选：AD
11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆x29+y2b2=1(0A．椭圆的短轴长为6
B．AF2+BF2的最大值为8
C．离心率为32
D．椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=90∘
【答案】BD
【分析】根据通径可得b2=6，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D.
【详解】
易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，AB最短，∴AB=2b23=4，解得b2=6，∴椭圆方程为x29+y26=1，
对于A，椭圆的短轴长为2b=26，故A错误；
对于B，因为△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=12，且|AB|min=4,∴AF2+BF2max=12-|AB|min=8，故B正确；
对于C，∵c=a2-b2 =3,a=3,∴离心率e=ca=33，故C错误；
对于D，易知当点P位于短轴顶点时，∠P1PF2最大，此时PF1=PF2=a=3,F1F2=2c=23,∴cs∠F1PF2=a2+a2-(2c)22a2>0，又∠F1PF2为三角形内角，∴∠F1PF2∈0,π2,∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=90∘，故D正确，
故选:BD.
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，若直线y=kx与C交于P,Q两点，且PF1+QF1=PF1⋅QF1=8,PF1⊥QF1，则C的方程为 ．
【答案】x216+y24=1
【分析】利用椭圆性质先确定四边形PF1QF2是矩形，再由椭圆定义计算即可.
【详解】
易知O是PQ的中点，又PF1⊥QF1，所以四边形PF1QF2是矩形，故PF1=QF2，
结合PF1+QF1=8可得，QF1+QF2=8，由椭圆的定义可知，2a=8,a=4，
又知PQ=F1F2，由PF1+QF1=8两边平方得，F1F22+2PF1⋅QF1=64，
即4c2+16=64，解得c2=12，所以b2=a2-c2=4，所以C的方程为x216+y24=1．
故答案为：x216+y24=1
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点P在椭圆C:x225+y29=1上，点Q在直线l:4x-5y+30=0上，则PQ的最小值为 .
【答案】54141/54141
【分析】设出于直线l平行的直线m的方程并与椭圆方程联立，利用判别式求得直线m的方程，再根据两平行线间的距离公式即可得解.
【详解】如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．
设与直线l平行的直线m:4x-5y+t=0与椭圆C相切，
由x225+y29=14x-5y+t=0，得25x2+8tx+t2-225=0，
则Δ=36252-t2=0，解得t=±25，
由图可知，当t=25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，
又直线m与直线l间的距离d=|30-25|42+(-5)2=54141，
所以|PQ|min=54141.
故答案为：54141##54141.
14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行，则椭圆轨道T2的短轴长为 万公里．（近似到0.1）
【答案】2.8
【分析】根据题意，可得椭圆T1的半长轴a1，半短轴b1，根据a1,b1,c1的关系，可求得c1的值，即可求得|PF|=a1-c1=a2-c2=20-611，又椭圆T2的中，2a2=20，可求得c2的值，进而可求得b2的值，即可得答案.
【详解】设椭圆T1的长轴长，短轴长，焦距为2a1，2b1，2c1；
设椭圆T2的长轴长，短轴长，焦距为2a2，2b2，2c2．
因此2a1=40，2b1=4，c1=202-4=611，
所以|PF|=a1-c1=a2-c2=20-611，
又2a2=20，所以c2=611-10，
所以b2=a22-c22=12011-396≈1.412，
故椭圆轨道T2的短轴长为2.8万公里．
故答案为：2.8
四、解答题
15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为e=23，短轴长为85；
(2)椭圆C与x22+y2=1有相同的焦点，且经过点M1,32，求椭圆C的标准方程.
【答案】(1)x2144+y280=1或y2144+x280=1；
(2)x24+y23=1.
【分析】（1）由题意得ca=232b=85a2=b2+c2，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解；
（2）先求出椭圆x22+y2=1焦点即可得椭圆C焦点坐标为±1,0，进而可设圆C方程为x2a2+y2b2=1且12a2+322b2=1a2=b2+1，解出a2和b2即可得解.
【详解】（1）由题得ca=232b=85a2=b2+c2⇒a=12b=45c=8，
所以椭圆的标准方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1.
（2）椭圆x22+y2=1满足c=2-1=1，故该椭圆焦点坐标为±1,0，
因为椭圆C与x22+y2=1有相同的焦点，且经过点M1,32，
所以可设椭圆C方程为x2a2+y2b2=1，且12a2+322b2=1a2=b2+1，解得4a4-17a2+4=0，
故4a2-1a2-4=0，解得a2=14（舍去）或a2=4，故b2=a2-1=3.
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)x28+y24=1
(2)存在，S-463,0
【分析】（1）由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；
（2）根据题意有kPS+kQS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.
【详解】（1）由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4，
所以椭圆C的方程为x28+y24=1.
（2）在x轴上存在点S-463,0使得∠PST=∠QST，理由如下：
设Px1,y1,Qx2,y2,直线PQ:x=my-6，
联立PQ:x=my-6与椭圆x28+y24=1可得m2+2y2-26my-2=0，
则y1+y2=26mm2+2,y1y2=-2m2+2，
因为∠PST=∠QST，所以kPS+kQS=0，即y1x1-s+y2x2-s=0，
整理得y1x2-s+y2x1-s=0，即y1my2-6-s+y2my1-6-s=0，
即2my1y2-6+sy1+y2=0，
则2m×-2m2+2-6+s×26mm2+2=0，又m≠0，解得s=-463，
所以在x轴上存在点S-463,0使得∠PST=∠QST.
17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆C:(x-1)2+y2=r2r>0在椭圆E:x24+y2=1里.过椭圆E上顶点P作圆C的两条切线，切点为A,B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M.
(1)求r的取值范围；
(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1)0(2)存在满足条件的圆C，其方程为(x-1)2+y2=17-4139
【分析】（1）根据|TC|2>r2，即可根据点点距离公式求解，
（2）根据点斜式得直线PM，PN方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线MN的方程为2x+3r2-1y+5r2-1=0，利用MN与圆相切，即可列方程求解.
【详解】（1）设Tx0,y0为椭圆E上任意一点，则x024+y02=1，-2≤x0≤2，
则|TC|2=x0-12+y02=34x02-2x0+2.
则r2<34x02-2x0+2=34×432-83+2=23.故0（2）由题意可知P0,1，设Mx1,y1､Nx2,y2，因为r<1，故切线PM,PN的斜率都存在.
又直线PM的方程为y=y1-1x1x+1，即为y1-1x-x1y+x1=0，
同理直线PN的方程为y2-1x-x2y+x2=0.
则x1+y1-1x12+y1-12=r，故x12+2x1y1-1+y1-12=r2x12+r2y1-12.
而x12=41-y12，故41-r21-y12+2x1y1-1+y1-12=r2y1-12，又因为y1≠1.
故2x1+3r2-3y1+5r2-1=0，同理：2x2+3r2-3y2+5r2-1=0.
故直线MN的方程为2x+3r2-1y+5r2-1=0.
若直线MN与圆C相切，则5r2-39r2-12+4=r，令t=r2∈0,23.
故9t3-43t2+43t-9=0，即t-19t2-34t+9=0.
故t=1或t=17+4139或t=17-4139，
因为t=r2∈0,23，所以t=1,t=17+4139不满足，
故存在满足条件的圆C，其方程为(x-1)2+y2=17-4139
【点睛】关键点点睛：根据直线PM，PN方程，利用相切以及点到直线距离公式可得x1,x2满足2x+3r2-1y+5r2-1=0，可得直线MN的方程为2x+3r2-1y+5r2-1=0，即可利用相切以及距离公式列方程求解.
18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点P1,22在C上，且PF2⊥x轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点F1作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求△ABF2的周长和面积．
【答案】(1)x22+y2=1
(2)周长为42，面积为467
【分析】（1）由PF2⊥x轴且P1,22求出c，由椭圆的定义求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）联立直线l与椭圆方程，利用根与系数的关系求出x1+x2,x1x2的值，由弦长公式求出AB，由点到直线的距离公式求出点F21,0到直线l的距离，即可求出△AOB的面积.
【详解】（1）由已知PF2⊥x轴且P1,22，知c=1，F1-1,0,F21,0，
由椭圆的定义2a=PF1+PF2=22+222+22=22，
所以a=2，b=a2-c2=1，C的方程为x22+y2=1.
（2）可知直线l的斜率k=tan60°=3，l的方程为y=3x+1.
设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程组y=3x+1x22+y2=1， 消去y得7x2+12x+4=0，
可得x1+x2=-127,x1x2=47，可得AB=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=2-1272-167=827，
点F21,0到直线l:3x-y+3=0的距离d=3-0+332+1=3，
所以△ABF2的周长为4a=42，S△ABF2=12ABd=467.
19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，A,B都是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，从C上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB//OP．
(1)求C的离心率；
(2)若△PAB的面积比△POA的面积大12，求C的方程．
【答案】(1)22
(2)x22+22+y22+1=1
【分析】（1）由题意可得P-c,b2a，求出kOP，kAB，又AB//OP，即可得到b=c，a=2c，进而求出离心率；
（2）由题意S△PAB-S△POA=12，S△POA=12OA×PF=12a×b2a=b22，结合图形可得S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA=bc+ab-b22，解得b2，a2，得出椭圆方程.
【详解】（1）由题意可得P-c,b2a，
∴kOP=-b2ac，kAB=-ba．
由AB//OP，∴-b2ac=-ba，解得b=c，a=2c，
故椭圆的离心率为e=ca=22．
（2）由题意S△PAB-S△POA=12，
又因为S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA，S△POA=12OA×PF=12a×b2a=b22，
所以S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA=12OB×c+12OB×a-b22=bc+ab-b22，
化简得S△PAB-S△POA=bc+ab-2b22=12
又因为b=c，a=2c
所以2-1b2=1，
解得b2=2+1，a2=22+2，
所以椭圆C:x22+22+y22+1=1.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用转化思想注意图形特征得出S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA，再结合已知化简计算求解得出b2，a2即可.
课程标准
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.
3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用
1.重点:椭圆的几何性质
2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0
知识点01 椭圆的几何性质
【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为215的椭圆方程为（ ）
A．x264+y24=1B．x24+y264=1
C．x216+y2=1D．x2+y216=1
【答案】D
【分析】根据题意得到方程组，求出b=1,a=4，结合焦点位置，得到椭圆方程.
【详解】由题意得2a2b=4，2c=215，又c2=a2-b2，
解得b=1,a=4，
故椭圆方程为x2+y216=1.
故选：D
【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y28=1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 .
【答案】6
【分析】根据焦点以及焦距即可根据a,b,c的关系求解.
【详解】由于x2m+y28=1为焦点在x轴上，所以a2=m,b2=8,c=a2-b2=m-8，
由于焦距是2，所以2c=2⇒c=1=m-8，所以m=9，
故长轴长为2a=6，
故答案为：6
知识点02椭圆的离心率
1.定义：e＝eq \f(c,a).
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝eq \f(c,a)=1-b2a2
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23，则该椭圆的离心率为（ ）
A．12B．23C．32D．63
【答案】C
【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率.
【详解】由题的2b=2⇒b=1,2c=23⇒c=3，
所以a=b2+c2=2，
所以离心率为ca=32，
故选：C.
【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a=2b，则该椭圆的离心率e=（ ）
A．12B．32C．33D．54
【答案】B
【分析】由椭圆离心率的公式e=ca=1-b2a2计算.
【详解】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a=2b，
则该椭圆的离心率e=ca=c2a2=1-b2a2=1-14=32.
故选：B.
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与椭圆C交于M,N两点，若2S△MNF2=5S△MF1F2且∠F2F1N=∠F2NF1，则椭圆C的离心率为（ ）
A．35B．22C．13D．32
【答案】A
【分析】作F2E⊥MN，结合条件可得MF1MN=25，结合椭圆定义求出ME,MF2,F1E，在Rt△MEF2，Rt△F1EF2中，分别由勾股定理建立等式得到a,c的方程，求得答案.
【详解】如图，F2E⊥MN，垂足为E，
因为∠F2F1N=∠F2NF1，所以F1F2=NF2=2c，E为F1N的中点，
∴F1N=2a-2c，F1E=a-c，
∵2S△MNF2=5S△MF1F2，
∴2MN⋅F2E×12=5MF1⋅F2E×12，整理得MF1MN=25，
所以MF1=25MF1+2F1E，即MF1=43F1E，
∴ME=43a-c+a-c=73a-c，
MF2=2a-MF1=2a-232a-2c=4c+2a3，
在Rt△MEF2中，ME2+EF22=MF22，在Rt△F1EF2中，F1F22-F1E2=EF22，
∴2c2-a-c2+73a-c2=4c+2a32，
化简整理得5c2-8ac+3a2=0，
∴5e2-8e+3=0，解得e=1或35，又0
故选：A.
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．x29+y216=1B．x225+y216=1
C．x225+y216=1或x216+y225=1D．x216+y225=1
【答案】C
【分析】根据已知列方程结合a2=b2+c2计算得出a,b再结合椭圆的交点所在轴即可判断.
【详解】因为2a+2b=18, 2c=6,
又因为a2=b2+c2，
所以a2-b2=9=9a-b,
a-b=1a+b=9,
解得a=5,b=4,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：x225+y216=1;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：y225+x216=1.
故选：C.
变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-3,0,F23,0，上的顶点为P，且∠F1PF2=60°，则此椭圆长轴为（ ）
A．43B．23C．6D．12
【答案】D
【分析】根据焦点坐标得到c，再由∠F1PF2=60∘得到a，c的关系求解.
【详解】因为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-3,0,F23,0，则c=3，
又上顶点为P，且∠F1PF2=60∘，所以ca=sin30°=12，所以a=6，故长轴长为12.
故选：D
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C:x280+y235=1的长轴长与焦距之差等于（ ）
A．5B．25C．26D．36
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程求出a,b,c，再求长轴长2a与焦距2c之差.
【详解】由题得a2=80，b2=35，所以a=45，c=a2-b2=35，
所以长轴长2a=85，焦距2c=65，
所以长轴长与焦距之差等于2a-2c =25．
故选：B
变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2a2-6=1的离心率为32，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
【答案】B
【分析】首先得到b2=a2-6，即可求出c2=6，再由离心率公式求出a2，最后再求出长轴长.
【详解】因为a2>a2-6，
依题意可得b2=a2-6，
所以c2=a2-b2=a2-a2-6=6，
则离心率e=ca=c2a2=6a2=32，解得a2=8，则a=22，
所以椭圆C的长轴长为2a=42.
故选：B
变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆C:x2m+y2m+6=1的离心率为22，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
【答案】C
【分析】由离心率公式首先求得参数m的值，进一步可得a以及长轴长.
【详解】因为方程C:x2m+y2m+6=1表示椭圆，所以m+6>m>0，
从而e=ca=1-b2a2=1-mm+6=22，解得m=6，
所以a=m+6=23，则椭圆C的长轴长为2a=43.
故选：C.
变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆x2t+12+y2t=1的离心率为63，则椭圆的长轴长为（ ）
A．122B．62C．32D．6
【答案】B
【分析】根据离心率的公式，求解t，再根据方程求椭圆的长轴长.
【详解】由条件可知，t+12=a2，t=b2，则c2=a2-b2=12，
由条件可知，e2=12t+12=23，得t=6，
所以a2=18，椭圆的长轴长2a=62.
故选：B
变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C:x28+y228=1，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为47B．椭圆C的焦距为12
C．椭圆C的短半轴长为42D．椭圆C的离心率为357
【答案】AD
【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.
【详解】因为椭圆C:x28+y228=1，所以a=27,b=22,c=25，
且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为47，焦距为45，短半轴长为22，离心率e=ca=357．
故选：AD
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x216+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，若AF1⊥AF2，则C的短轴长为 .
【答案】42
【分析】由题意可得△AF1F2为等腰直角三角形，又a=4，计算可求c=22，可求C的短轴长.
【详解】设|F1F2|=2c，易知AF1=AF2=a=4，
结合AF1⊥AF2，可知△AF1F2为等腰直角三角形，
所以F1F2=42=2c，故c=22，
所以b=a2-c2=16-8=22，
所以C的短轴长为2b=42.
故答案为：42.
变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x225-m+y216+m=1表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ．
【答案】0或9
【分析】根据方程的形式，结合长轴概念，分类讨论得出结果.
【详解】当焦点在x轴上时，有25-m>16+m>0,25-m=5解得m=0；
当焦点在y轴上时，有16+m>25-m>0,16+m=5,解得m=9．
综上，实数m的值为0或9．
故答案为：0或9.
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点Pm,n与椭圆x27+y25=1的位置关系是（ ）
A．在椭圆内B．在椭圆外
C．在椭圆上D．不确定
【答案】A
【分析】由直线与圆没有公共点得m2+n2<5，再利用放缩法得m27+n25<1，可判断点与椭圆的位置关系.
【详解】∵直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，
∴圆心(0,0)到直线的距离d=5m2+n2>5，即m2+n2<5，
∴0≤m2<5，
又∵m27+n25≤m25+n25<1，
∴点Pm,n在椭圆内部.
故选：A.
变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x225+y29=1的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上B．点在椭圆内
C．点在椭圆外D．不确定
【答案】B
【分析】将点代入椭圆即可求解.
【详解】由于125+19<1，所以1,1在x225+y29=1内，
故选：B
变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点Pa,1在椭圆x22+y23=1的外部，则a的取值范围为（ ）
A．-233,233 B．233,+∞∪-∞,-233
C．43,+∞ D．-∞,-43
【答案】B
【解析】根据题中条件，得到a22+123>1，求解，即可得出结果.
【详解】因为点Pa,1在椭圆x22+y23=1的外部，
所以a22+123>1，即a2>43，解得a>233或a<-233.
故选：B.
变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,-2∪2,+∞B．-2,2C．-2,2D．-2,2
【答案】B
【分析】由题意可得a24+12<1，解不等式即可得解.
【详解】因为点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，所以有a222+122<1，即a24+12<1，
解得-2
【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx+ny=4与圆O:x2+y2=4相切，椭圆C:x29+y25=1，则（ ）
A．点P(m,n)在圆O内B．点P(m,n)在圆O上
C．点P(m,n)在椭圆C内D．点P(m,n)在椭圆C上
【答案】BC
【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到m2+n2=4，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系.
【详解】由直线l与圆O相切，可知，圆心到直线l的距离d=4m2+n2=2，
即m2+n2=4，所以点Pm,n在圆O上，
并且2<5，所以圆在椭圆C内，P(m,n)在椭圆C内.
故选：BC
变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点Aa,1在椭圆x24+y22=1的内部，则a的值可以是（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】BC
【分析】由点与椭圆的位置关系得出a的值.
【详解】由题意知a24+12<1，解得-2
变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点，在椭圆C上满足∠F1PF2=90∘的点P的个数为 ．
【答案】2
【分析】分析可知，点P在圆x2+y2=2上，联立圆与椭圆的方程，求出公共解的个数即可.
【详解】在椭圆C中，a=2，b=2，则c=a2-b2=4-2=2，
若∠F1PF2=90∘，易知原点O为F1F2的中点，则OP=12F1F2=c=2，
所以，点P在以原点为圆心，半径为2的圆上，即点P在圆x2+y2=2上，
联立x2+y2=2x24+y22=1，可得x=0y=±2，即点P0,2或P0,-2，
即满足条件的点P的个数为2.
故答案为：2.
变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】由A在椭圆的内部有m24+122<1，即可求参数m的范围.
【详解】∵点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部，
∴m24+122<1，整理得m2<2，解得-2
变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x2m+y2n=1(m>0, n>0)上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【答案】点在椭圆外
【分析】由已知得9m+4n=1，继而有9m+9n>1，由此可得答案.
【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以9m+4n=1，又m>0, n>0，所以9m+9n>1，故点(-3，3)在椭圆外.
故答案为：点在椭圆外.
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；
点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；
点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若FM=33a2-b22，则椭圆的离心率等于（ ）
A．15B．13C．265D．223
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，取FA的中点N，连接MN,BF，分别求出MN,FN和cs∠MNF，利用余弦定理即可求得离心率.
【详解】如图，取FA的中点N，连接MN,BF,则易得|BF|=b2+c2=a，|MN|=12|BF|=12a，
在Rt△BOF中，cs∠BFO=ca，则cs∠MNF=-cs∠BFO=-ca,又|FN|=a+c2，
在△FMN中，由余弦定理，|FM|2=|FN|2+|MN|2-2|FN|⋅|MN|cs∠MNF，
即33c24=(a+c)24+a24-2⋅a+c2⋅a2⋅(-ca)，整理得，a2+2ac-15c2=0，
解得a=3c或a=-5c（舍去），则e=13.
故选:B.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P,Q为C在第一象限的两个动点，且PF1=λQF2,∠PF1F2=π6，若PF1=3QF2，则C的离心率为（ ）
A．33B．12C．52D．104
【答案】A
【分析】结合椭圆定义在△PF1F2中由余弦定理求得PF1= 2b22a-3c，同理在△QF1F2中利用余弦定理可得QF2=2b22a+3c，再由PF1=3QF2可得a,c关系，进而得离心率.
【详解】连接PF2,QF1，设PF1=x，则PF2=2a-x，
在△PF1F2中，由余弦定理可得
PF22=PF12+F1F22-2PF1F1F2csπ6，
即(2a-x)2=x2+4c2-23cx，
解得x=2b22a-3c，即PF1= 2b22a-3c.
由PF1=λQF2可知PF1∥QF2，
在△QF1F2中利用余弦定理可得
QF12=QF22+F1F22-2QF2F1F2cs5π6，
同理可解得QF2=2b22a+3c，
又因为PF1=3QF2，即2a+3c=32a-3c，
所以e=ca=33．
故选：A.
变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且PF1=2PF2，则椭圆E的离心率为（ ）
A．102B．104C．53D．56
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得：PF1+PF2=2a，又因为PF1=2PF2，
所以解得：PF1=43a,PF2=23a，
再由于PF1⊥PF2，F1F2=2c，结合勾股定理可得：
43a2+23a2=2c2，解得c2a2=59，所以椭圆E的离心率为53，
故选：C.
变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘，∠PAF2=45∘，则椭圆的离心率为（ ）
A．57B．63C．2-1D．3-1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出P点坐标，代入PF1⋅PF2=2a2-2c2中形成齐次方程，解出离心率即可.
【详解】
如图：由题意不妨设Px1,y1在第一象限，知PF1+PF2=2a ①，
因为∠F1PF2=90∘，所以PF12+PF22=4c2 ②，
所以PF1+PF22-PF12+PF22=2PF1⋅PF2=4a2-4c2，
则PF1⋅PF2=2a2-2c2，且OP=c，即x12+y12=c2，
又由∠PAF2=45∘，所以HA=PH=y1，又OH=x1，即x1+y1=a，
结合S△F1PF2=b2解得x1=ac-b2c,y1=b2c，
代入x2a2+y2b2=1a>b>0中，整理得-2ac+2a2-c2=0，
即e2+2e-2=0，解得e=3+1（舍）或e=3-1.
故选：D.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点M,N在C上（M位于第一象限），且点M,N关于原点O对称，若MF1⋅MF2=0,15MF2=NF2，则C的离心率为（ ）
A．154B．157C．215-27D．15-24
【答案】C
【分析】根据对称以及垂直可证四边形MF1NF2是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解x=a-a2-2b2，根据15MF2=NF2得2c=4a-a2-2b2，即可求解离心率.
【详解】点M,N关于原点对称，所以线段MN,F1F2互相平分，故四边形MF1NF2为平行四边形，
又MF1⋅MF2=0，故∠F1MF2=π2，所以四边形MF1NF2是矩形，故MN=F1F2，其中NF1=MF2，
设MF2=x，则MF1=2a-x，由MF12+MF22=F1F22，得(2a-x)2+x2=4c2，整理得x2-2ax+2b2=0，
由于点M在第一象限，所以x=a-a2-2b2，
由15MF2=NF2，得MN=4MF2，即2c=4a-a2-2b2，
整理得7c2+4ac-8a2=0，即7e2+4e-8=0，解得e=215-27．
故选：C
变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上、下顶点分别为A，B，点P在以OF为直径的圆上，若PA⊥PB，sin∠PFO=33，则E的离心率为（ ）
A．22B．32C．12D．14
【答案】B
【分析】由已知可得点P在以AB为直径的圆上，P在以OF为直径的圆上，进而可得sin∠PFO=OPOF=bc=33，即可得椭圆离心率.
【详解】
由PA⊥PB易知，点P在以AB为直径的圆上，
又P在以OF为直径的圆上，则PO⊥PF，且OF=c，OP=b，
可知sin∠PFO=OPOF=bc=33，所以c2=3b2，
结合b2=a2-c2可得，c2=3a2-c2，
解得e=ca=32，
故选：B.
变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0
【分析】根据椭圆对称性以及MF1≥2NF1可得|F2M|≤23a，根据勾股定理可得|F2M|=a-2c2-a2，即可代入求解59a2≤c2，结合已知条件得到59a2=c2，即可求解.
【详解】因为过原点的直线与C相交于M，N两点，MF1⋅NF1=0,故四边形MF1NF2为矩形，故MF2=F1N，又|F1M|+|F2M|=2a，MF1≥2NF1，
所以2a-|F2M|≥2|F2M|，则|F2M|≤23a，
又|F1M|2+|F2M|2=4c2，
即(2a-|F2M)2+|F2M|2=4c2，且2c2>a2，
解得|F2M|=a-2c2-a2，|F2M|=a+2c2-a2（由于|F2M|≤23a，故舍去）
结合|F2M|≤23a，故a-2c2-a2≤23a，即59a2≤c2
又a≤3b2⇒a2≤94a2-c2⇒59a2≥c2，
因此59a2=c2，故e2=59，解得e=53，
故答案为：53
【点睛】关键点点睛：由|F1M|2+|F2M|2=4c2解方程得到|F2M|=a-2c2-a2，结合椭圆定义得到|F2M|≤23a，联立可得59a2≤c2.
变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1,F2在x轴上，A,B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2//AB，则此椭圆的离心率是 ．
【答案】55
【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由PF1⊥x轴，PF2//AB即可得b=2c，可求得离心率为55.
【详解】根据题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
如图所示则有F1-c,0,F2c,0,Aa,0,B0,b，
直线PF1方程为x=-c，代入方程x2a2+y2b2=1可得y=±b2a，所以P-c,b2a，
又PF2//AB，所以kPF2=kAB，
即b2a-0-c-c=b-00-a，整理可得b=2c；
所以a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，即c2a2=15，
即可得椭圆的离心率为e=ca=c2a2=15=55.
故答案为：55
变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2B=-32F2A，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】55/155
【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个a,b,c的齐次式，求解离心率.
【详解】令椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距为c，
设|AF2|=m，则|AF1|=2a-m，由点B在y轴上，
F2B=-32F2A，得|BF1|=|BF2|=32m，
而|AB|=52m，F1A⊥F1B，因此|AF1|2+|BF1|2=|AB|2，
即(2a-m)2+(32m)2=(52m)2，解得m=23a，
在Rt△BF2O中，cs∠OF2B=|OF2||BF2|=c32m=ca，
在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2||F1F2|cs∠AF2F1，
即(43a)2=(23a)2+(2c)2-2⋅23a⋅2c⋅(-ca)，
整理得5c2=a2，而e2=c2a2=15，
所以椭圆C的离心率为55．
故答案为：55．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2c，点P为直线x=a2c上一点，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．0,33C．22,1D．33,1
【答案】D
【分析】由题意可得PF2≥a2c-c，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，可得PF2=F1F2=2c，即2c≥a2c-c，运算求解即可.
【详解】由题意可知：F2c,0，
因为点P为直线x=a2c上一点，则PF2≥a2c-c，
若点F2在线段PF1的垂直平分线上，可得PF2=F1F2=2c，
则2c≥a2c-c，整理可得c2a2≥13，即e=ca≥33，
所以C的离心率的取值范围是33,1.
故选：D.
变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈π6,π4，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．22,3-1B．22,1C．22,32D．33,63
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为F1，根据AF⊥BF，得到四边形为AF1BF为矩形，再由∠ABF=α，结合椭圆的定义得到2a=2csinα+2ccsα，然后由e=ca=1sinα+csα求解.
【详解】设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1，
因为AF⊥BF，所以四边形为AF1BF为矩形，所以AB=FF1=2c，
因为∠ABF=α，
所以AF=2csinα，BF=2ccsα，则BF1=AF=2csinα，
由椭圆的定义得2a=2csinα+2ccsα，
所以e=ca=1sinα+csα=1222sinα+22csα=12sinα+π4，
因为α∈π6,π4，所以α+π4∈5π12,π2，
所以sinα+π4∈2+64,1，
其中sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6
=22×32+22×12=6+24，
所以2sinα+π4∈1+32,2，
所以e∈22,3-1.
故选：A
变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1，P为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为A､B,kAP⋅kBP≤-23，则离心率e的范围为（ ）
A．33,1B．0,33C．63,1D．33,63
【答案】B
【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.
【详解】设Px0,y0，x0≠±a，A-a,0，Ba,0，
kAP⋅kBP=y0x0+a×y0x0-a=y02x02-a2=-b2a2，
由题意可知，-b2a2≤-23，即a2-c2a2≥23，得c2a2≤13，
则e=ca∈0,33.
故选：B
变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，OP为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q．若PA≥PQ，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,22C．12,1D．22,1
【答案】B
【分析】由题意可推得要使PA≥PQ，只需-kPQ≥12，由此设直线AP方程，并联立椭圆方程，求出点Q的坐标，进而得到kPQ，令-kPQ≥12，，即可得到a,b的不等关系，求得答案.
【详解】要使PA≥PQ，只要∠PQA≥∠PAQ，只要-kPQ≥kPA，
因为直线l的斜率为12，
即只要-kPQ≥12，
设直线AP方程为：y=12x+a，
联立x2a2+y2b2=1y=12x+a，整理可得：a2+4b2x2+2a3x+a4-4a2b2=0,*
因为x1=-a为方程(*)的一个根，
故x2=a4-4a2b2a2+4b2-a=-a3+4b2aa2+4b2,y2=12x2+a=4ab2a2+4b2，
所以点P-a3+4b2aa2+4b2,4ab2a2+4b2，
可得kOP=4ab2-a3+4ab2=4b24b2-a2，
由于OP⊥PQ，故kPQ=a2-4b24b2，
令-kPQ≥12，可得a2-4b24b2≥12，
可得b2
故选：B．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且PF1-PF2=4b，则M的离心率的取值范围为（ ）
A．0,255B．255,1C．0,32D．32,1
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的定义，分别表示出PF1,PF2，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得PF1+PF2=2a,PF1-PF2=4b,则PF1=a+2b,PF2=a-2b，
由PF1=a+2b≤a+c,PF2=a-2b≥a-c，得2b≤c，
即4b2=4a2-c2≤c2，得ca≥255．
故M的离心率的取值范围为255,1．
故选：B
变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1:x2m+y22=1与椭圆C2:x28+y2m=1的离心率分别为e1, e2，若m∈(2,8)，则（ ）
A．e1e2的最小值为14B．e1e2的最小值为12
C．e1e2的最大值为14D．e1e2的最大值为12
【答案】D
【分析】由椭圆的离心率，结合椭圆的性质及对勾函数的单调性求解．
【详解】已知椭圆C1:x2m+y22=1与椭圆C2:x28+y2m=1的离心率分别为e1，e2，
又m∈(2,8)，
则e1=m-2m，e2=8-m22，
则e1e2=-m2+10m-1622m=10-(m+16m)22，
设f(m)=m+16m，m∈(2,8)，
则根据对勾函数知f(m)在(2,4)为减函数，在(4,8)为增函数，
则f(m)∈[8,10)，
则e1e2∈(0,12]，
即e1e2的最大值为12，无最小值．
故选：D．
变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长大于43，当m变化时直线x-my+2-2m=0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．22,1C．0,12D．12,1
【答案】B
【分析】先求出直线所过的定点，由题，此定点也在椭圆上，从而得出a，b，c的关系，用离心率表示出a，再由题目中长轴长的范围列出关于离心率的不等式，求解即可.
【详解】直线x-my+2-2m=0即x+2=my+2，该直线过定点-2,-2，所以点-2,-2在C上，4a2+4b2=1，即4a2+b2=a2b2，
设c=a2-b2，则42a2-c2=a2a2-c2，
所以a2=42a2-c2a2-c2 =42-e21-e2，
因为C的长轴长大于43，所以a>23，a2>12，
所以2-e21-e2>3，解得12
变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为Fc,0，上顶点为A0,b，直线上l:x=a2c上存在一点P满足FP+FA⋅AP=0，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】5-12,1
【分析】由(FP+FA)⋅AP=0可得|FA|=|FP|=a，又点P在右准线上可得|FP|≥a2c-c，解关于e的一元二次不等式，结合0
则FQ=12(FP+FA)，所以(FP+FA)⋅AP=2FQ⋅AP=0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|=|FP|，且|FA|=b2+c2=a，所以|FP|=a，
又因为点P在右准线x=a2c上，
所以|FP|≥a2c-c，即a≥a2c-c，
所以ac≥a2c2-1，即e2+e-1≥0，解得e≥5-12或e≤-5-12，
又0
变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P是C上的一点，直线l的方程为x=a2+b2a，且PQ⊥l于Q．若四边形PQF2F1为平行四边形，求C的离心率的取值范围．
【答案】2-1,1
【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可.
【详解】注意到直线l:x=a2+b2a=2a2-c2a，设Pm,n，则Q2a2-c2a,n，
又四边形PQF2F1为平行四边形，所以m=2a2-c2a-2c=2a2-2ac-c2a∈-a,a，
即-a<2a2-2ac-c2a
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线l：3x+y-3=0与椭圆C：x216+y24=1的一个交点坐标为（ ）
A．2,3B．213,11313C．-2,33D．-213,15313
【答案】D
【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案.
【详解】由3x+y-3=0x216+y24=1可得13x2-24x-4=0，解得x=2或x=-213
当x=2时，y=-3，当x=-213时，y=15313
所以直线与椭圆的交点坐标为2,-3,-213,15313
故选：D
变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x24+y23=1有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．-7,7B．-6,7
C．-6,6D．-22,22
【答案】A
【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式Δ≥0，即可解出m的取值范围．
【详解】直线y=x+m代入椭圆方程消去y得：7x2+8mx+4m2-12=0；
∵直线与椭圆有公共点，方程有解，
∴Δ=64m2-4×7×4m2-12≥0；
解得-7≤m≤7，即m的取值范围为-7,7.
故选：A
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1的公共点的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．无数个
【答案】C
【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答.
【详解】由y=3x-1x24+y28=1消去y并整理得11x2-6x-7=0，显然Δ=(-6)2-4×11×(-7)>0，
所以直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1相交，有2个公共点.
故选：C
变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线x=1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为(1,0)，进而得到直线与椭圆的位置关系.
【详解】由椭圆的方程x2+y22=1，可得a=2,b=1，即椭圆的短轴的右顶点为(1,0)，
所以直线x=1与椭圆x2+y22=1相切.
故选：B.
变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线y=x+1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
【详解】联立y=x+1x2+y22=1⇒3x2+2x-1=0，
则Δ=22+4×3=16>0
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线y=kx-1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m≥1且m≠5
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.
【详解】由直线y=kx-1，则可知其过定点0,-1，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则m>0025+-12m≤1m≠5，解得m≥1且m≠5.
故答案为：m≥1且m≠5.
变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2+x2b2=1a>b>0的焦距为4，且经过点1,3.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x-y-32=0平行，求直线l1的斜截式方程.
【答案】(1)y26+x22=1；
(2)y=x±22.
【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；
（2）由平行关系设直线方程l1：y=x+b，联立椭圆方程得4x2+2bx+b2-6=0，利用相切关系有Δ=0求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由题意得2c=4a2=b2+c23a2+1b2=1，得a2=6b2=2c=2，
所以椭圆M的标准方程为y26+x22=1.
（2）设与l平行的l1：y=x+b，
由y26+x22=1y=x+b，得4x2+2bx+b2-6=0，
由Δ=4b2-4×4b2-6=0，得b=±22，则l1：y=x±22.
变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线l:y=mx-2与椭圆C:x24+y23=1相交于不同两点，求实数m的取值范围．
【答案】m<-12或m>12
【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于0，解不等式可得结果.
【详解】联立y=mx-2x24+y23=1，消去y并整理得(4m2+3)x2-16mx+4=0，
依题意得Δ=(16m)2-16(4m2+3)>0，即m2>14，
解得m<-12或m>12.
【方法技巧与总结】
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线x=-1被椭圆x24+y23=1截得的弦长为（ ）
A．32B．32C．3D．3
【答案】C
【分析】求出交点得纵坐标即可得解.
【详解】令x=-1，得14+y23=1，解得y=±32，
所以直线x=-1被椭圆x24+y23=1截得的弦长为-32-32=3.
故选：C.
变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆x24+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点，则AB等于（ ）
A．4B．23
C．1D．43
【答案】C
【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为F(3,0)，将x=3，代入椭圆的方程，进而求得弦长.
【详解】因为椭圆x24+y2=1，可得a2=4,b2=1，所以c2=a2-b2=3，
所以椭圆的右焦点的坐标为F(3,0)，
将x=3，代入椭圆的方程，求得y=±12，所以AB=1.
故选：C.
变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+y2=1相交于A、B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，AB= ．
【答案】54221
【分析】联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，建立△AOB的面积表达式，结合基本不等式求解出m2=212时，△AOB的面积取得最大值,再求出此时的AB的值.
【详解】由y=2x+mx25+y2=1，得21x2+20mx+5m2-5=0，需满足Δ=-20m2+420>0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=-20m21，x1x2=5m2-521，
AB=1+22x1+x22-4x1x2=5×2021-m221=1021-m221．
又O到直线AB的距离d=m5，
则△AOB的面积S=12d⋅AB=5×m221-m221≤5×m2+21-m2221=52，
当且仅当m2=21-m2，即m2=212时，△AOB的面积取得最大值．
此时，AB=1021-m221=54221．
故答案为：54221
变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线x-2y+1=0与椭圆x24+y2=1交于A,B两点，则AB= .
【答案】352/1235
【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】联立x-2y+1=0与x24+y2=1，得2x2+2x-3=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=-1,x1x2=-32，
故AB=1+122x1+x22-4x1x2=52×1+4×32=352.
故答案为：352
变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点，则AB= ．
【答案】5
【分析】本题先联立直线l与椭圆C方程，消去x，整理可得一元二次方程，解得A,B坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.
【详解】联立x-2y+2=0x2+4y2=4，消去x，整理得y2-y=0，解得y1=0,y2=1，
因此x1=-2,x2=0 ，
故AB=x1-x22+y1-y22=5.
故答案为：5.
变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
【答案】3
【分析】根据题意即求通径大小，先求c=1，令x=1代入椭圆方程求得y=±32即可得解.
【详解】由c2=a2-b2=1，故c=1，
不妨令x=1，代入x24+y23=1可得y2=94，
所以y=±32，故弦长为3.
故答案为：3
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x26+y22=1的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN的面积．
【答案】263.
【分析】由题可得椭圆焦点坐标，进而可求MN=263，再利用面积公式即求.
【详解】由题可得c=6-2=2，不妨设F2,0，
将x=2代入x26+y22=1，可得46+y22=1，
解得y=±63，
不妨令M2,63,N2,-63，则MN=263，
∴△OMN的面积为S=12OFMN=12×2×263=263.
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且经过点Q2,62
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
【答案】(1)x24+y23=1
(2)247
【分析】（1）根据椭圆右焦点F1,0，且过点Q2,62，从而可求解.
（2）根据题意求出直线方程为y=x-1，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解.
【详解】（1）由题意得a2=b2+12a2+64b2=1，
解得a2=4b2=3，
故椭圆的标准方程为x24+y23=1．
（2）由题意可得直线l的方程为y=x-1，
与椭圆方程联立y=x-1x24+y23=1，得7x2-8x-8=0，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则x1+x2=87,x1x2=-87，
故MN=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2
=1+12872-4×(-87)=247．
变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为5,0，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x-1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.
【答案】(1)53
(2)1,5-455
【分析】（1）根据四边形面积得到ab=6，结合焦点坐标，求出a=3,b=2，得到离心率；
（2）PQ=MP-MQ=5-MQ，设Qx1,y1，得到MQ=59x1-952+165，结合x1∈-3,3，求出MQ的取值范围，得到PQ的取值范围.
【详解】（1）由题意得c=5,a2=b2+c2，且12⋅2a⋅2b=2ab=12，即ab=6，
解得a=3,b=2，
所以椭圆C的离心率e=ca=53.
（2）由题意，得PQ=MP-MQ=5-MQ.
设Qx1,y1，则x129+y124=1.
所以MQ=x1-12+y12=x1-12+4-49x12=59x1-952+165，.
因为x1∈-3,3，
所以当x1=95时，|MQ|min=455；当x1=-3时，|MQ|max=4.
所以PQ的取值范围为1,5-455.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)（x1+x2）2-4x1∙x2＝ eq \r(1＋\f(1,k2))（y1+y2）2-4y1∙y2.·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0
C．x-2y-8=0D．2x-y-6=0
【答案】B
【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得解.
【详解】当直线l的斜率不存在时，由对称性可知l被椭圆截得线段AB的中点在x轴上，不合题意；
故可设直线l的方程为y-2=kx-4，代入椭圆方程x2+4y2=36化简得，
1+4k2x2+16k-32k2x+64k2-64k-20=0，
有Δ>0，x1+x2=32k2-16k1+4k2=8，解得k=-12，
所以直线l的方程为y-2=-12x-4，即x+2y-8=0.
故选：B.
变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0C．x-2y-8=0D．2x-y-8=0
【答案】B
【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得
【详解】当直线l斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点在x轴上，
而已知M4,2是线段AB的中点，不在x轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为k，则直线的方程为y-2=k(x-4)，
即kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0，
所以x1+x2=32k2-16k1+4k2=8，解得k=-12，
故直线l方程为y-2=-12(x-4)，即x+2y-8=0.
故选：B.
变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点，AB的中点为Mm,1，则m= ．
【答案】-43/-113
【分析】根据题意，设直线AB的方程为y=x+b，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解.
【详解】设直线AB的方程为y=x+b，代入椭圆方程x24+y23=1，
可得7x2+8bx+4b2-12=0，
由韦达定理可得x1+x2=-8b7，
则xM=12x1+x2=-4b7，
则yM=xM+b=-47b+b=3b7=1，则b=73，
所以m=xM=-47×73=-43.
故答案为：-43
变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M(12,13)，则椭圆E的离心率为 ．
【答案】53/135
【分析】求出直线AB的方程，与椭圆方程联立结合弦的中点坐标求解即得.
【详解】依题意，kAB=13-012-1=-23，所以直线AB的方程为y=-23(x-1)，
由y=-23(x-1)x2a2+y2b2=1消去y并整理得(b2+49a2)x2-89a2x+49a2-a2b2=0，
由弦AB的中点为M(12,13)，得89a2b2+49a2=1，解得b2=49a2，
由a>1可得上述关于x的一元二次方程Δ>0，
所以椭圆E的离心率为e=a2-b2a=53.
故答案为：53
变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3x+4y-7=0与椭圆x24+y2m=1和交于A，B两点，且点1,1平分弦AB，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.
【详解】设A,B坐标为x1,y1,(x2,y2)，则x124+y12m=1x224+y22m=1，
作差可得(x1-x2)(x1-x2)4=-(y1-y2)(y1+y2)m，则y1-y2x1-x2×y1+y22x1+x22=-m4，
根据题意可得y1-y2x1-x2=-34，x1+x22=y1+y22=1，则-34×1=-m4，解得m=3.
当m=3时，联立3x+4y-7=0x24+y33=1，可得21x2-42x+1=0，
其Δ=422-84>0，满足题意；故m=3.
故答案为：3.
变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为32，过点F的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为1,1，则直线l的斜率为 ．
【答案】-14
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，则AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22，
由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，
将A，B的坐标的代入椭圆的方程：x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，
作差可得x12-x22a2+y12-y22b2=0，
所以y1-y2x1-x2=-b2a2⋅x1+x2y1+y2=-b2a2，
又因为离心率e=ca=32，c2=a2-b2，所以a2-b2a2=34，
所以-b2a2=-14，即直线l的斜率为-14，
故答案为：-14.
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为k'，求证：k⋅k'为定值．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，Pm,n，将A，B两点代入椭圆方程可得k'及k⋅k'表达式，即可得答案.
【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知2c=232a=4ba2=b2+c2 ， 解得c=3a=2b=1.
故椭圆的标准方程为x24+y2=1；
（2）证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，Pm,n，则x1+x2=2m，y1+y2=2n．
把Ax1,y1，Bx2,y2代入椭圆方程x24+y2=1得：x124+y12=1x224+y22=1.
两式相减可得y2-y1x2-x1=-x2+x14y2+y1，即k=-m4n．又k'=nm，
则k⋅k'=-m4n⋅nm=-14，故k⋅k'为定值．
变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线l过点-1,0，且与椭圆相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标14，求直线l的方程.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)x-2y+1=0
【分析】
（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；
（2）根据已知条件设出直线l的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，结合线段AB中点在直线l上即可求解.
【详解】（1）由题意可知2a=4,解得a=2，
因为e=ca=32，
所以c=3，
所以b2=a2-c2，解得b2=1.
所以椭圆的方程为x24+y2=1.
（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示
设l:y=kx+1，设Ax1,y1,Bx2,y2，
y=kx+1x24+y2=1消y得，1+4k2x2+8k2x+4k2-4=0，
所以Δ=8k22-4×1+4k24k2-4=48k2+16>0，解得k∈R.
x1+x2=-8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,
设线段AB中点的坐标为Mx0,y0，
所以x0=x1+x22=-8k21+4k22=-4k21+4k2,
y0=kx0+1=k-4k21+4k2+1=k1+4k2,
又因为线段AB中点的纵坐标14，
所以y0=k1+4k2=14，解得k=12，
所以直线方程为y=12x+1，即x-2y+1=0.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M1,32，F1、F2是椭圆C的左、右两个焦点，F1F2=23，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且PF1⋅PF2≤14，求点P的横坐标的取值范围．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)0,3．
【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a，进而求得b即可；
（2）设Px,y(x>0,y>0)，从而可求得PF1⋅PF2=-3-x2+y2≤14，再把y2=1-x24代入求解即可.
【详解】（1）由已知得2c=23，∴c=3，
∴F1-3,0，F23,0，MF1=(1+3)2+322=19+834=4+32，
同理MF2=4-32，
∴2a=MF1+MF2=4，
∴a=2，∴b=a2-c2=1，
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
（2）设Px,y(x>0,y>0)，且x24+y2=1，则PF1=-3-x,-y，PF2=3-x,-y，
∴PF1⋅PF2=-3-x2+y2≤14．
由椭圆方程可得-3-x2+1-x24≤14，
整理得3x2≤9，所以0
变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A-2,0，B1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围．
【答案】(1)a=2，b=3，离心率为12
(2)0,23
【分析】（1）待定系数法求出椭圆方程，并求出离心率；
（2）在（1）的基础上求出F1F2=2，结合P，Q在x轴的两侧，表达出四边形PF1QF2的面积并求出取值范围.
【详解】（1）因为A-2,0，B1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，
所以-22a2+0=11a2+322b2=1,解得a=2，b=3，
所以c=a2-b2=1，C的离心率为ca=12；
（2）由（1）得x24+y23=1，c=1，
故F1F2=2，
因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，
所以四边形PF1QF2的面积S=12⋅F1F2⋅yP+yQ=yP+yQ∈0,2b=0,23，
当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立.
变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O，半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅BP的取值范围．
【答案】(1)椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”方程为x2+y2=4；
(2)-3,-1.
【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
（2）设Pm,n-3≤m≤3，写出A，B坐标，应用向量数量积的坐标表示得AP⋅BP=m2-4+n2，结合P是椭圆C上及其有界性，即可求范围.
【详解】（1）由题意知c=2，且a=b2+c2=3，可得b=a2-c2=1，
故椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”方程为x2+y2=4．
（2）由题意，设Pm,n-3≤m≤3，则有m23+n2=1，
不妨设A 2,0，B-2,0，所以AP=m-2,n，BP=m+2,n，
所以AP⋅BP=m2-4+n2=m2-4+1-m23=2m23-3，又-3≤m≤3，则2m23-3∈-3,-1，
所以AP⋅BP的取值范围是-3,-1．
变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l过椭圆上顶点，且k=1，求AB的值.
【答案】(1)x23+y2=1
(2)322
【分析】（1）由题意可得a2=b2+c2e=ca=632c=22，解出a,b,c，进而求解.
（2）由题意可得直线l的方程，将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意得，a2=b2+c2e=ca=632c=22，
解得c=2，a=3，b=a2-c2=32-22=1，
∴椭圆M的方程为x23+y2=1.
（2）因为k=1，椭圆上顶点为0,1，
所以直线l的方程为y=x+1，设Ax1,y1，Bx2,y2.
联立y=x+1x23+y2=1，得2x2+3x=0，
又直线l与椭圆M有两个不同的交点，
所以Δ=9>0，∴x1+x2=-32，x1x2=0，
∴AB=1+k2⋅x1-x2=2⋅x1+x22-4x1x2=2⋅94=322.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为32，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求C的方程；
(2)设P为C上一点，M1,0.若存在实数λ使得PF1+PF2=λPM，求λ的取值范围.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)43,26
【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得a2=4,b2=1，即可得椭圆方程；
（2）根据椭圆定义可得λ=4PM，根据两点间距离公式结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆C的长轴长与短轴长之和为6，则2a+2b=6，即a+b=3①，
又因为e=ca=32，结合c2=a2-b2可得a2=4b2②，
联立①②解得a2=4b2=1，所以C的方程为x24+y2=1.
（2）设Px,y，则x∈-2,2，
因为存在实数λ使得PF1+PF2=λPM，即λPM=PF1+PF2=2a=4，
可得λ=4PM=4(x-1)2+y2=4(x-1)2+1-x24=434x-432+23,x∈-2,2，
又因为34x-432+23∈23,9，则34x-432+23∈63,3，可得λ∈43,26，
所以λ的取值范围为43,26.
变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且3|OA|=2|OB|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x=4上一点，以C为圆心的圆同时与x轴和直线l相切，且OC//AP，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)12
(2)x216+y212=1
【分析】（1）根据3|OA|=2|OB|，由3a=2b求解；
（2）设椭圆方程为x24c2+y23c2=1，直线l的方程为y=34x+c，联立x24c2+y23c2=1y=34x+c，得到Pc,32c，由圆心C在直线x=4上，设C4,t，再根据OC//AP求解.
【详解】（1）
设椭圆的半焦距为c，由已知得，3a=2b，
又由a2=b2+c2，消去b得a2=32a2+c2，解得ca=12，
所以，椭圆的离心率为12.
（2）由（1）知，a=2c,b=3c，故椭圆方程为x24c2+y23c2=1，
由题意，F-c,0，则直线l的方程为y=34x+c，
点P的坐标满足x24c2+y23c2=1y=34x+c，消去y并化简，得到7x2+6cx-13c2=0，
解得x1=c,x2=-13c7，代入到l的方程，解得y1=32c,y2=-914c，
因为点P在x轴的上方，所以Pc,32c，
由圆心C在直线x=4上，可设C4,t，
由（1）知A-2c,0，则kOC=t4,kAP=3c2c+2c=12，又OC//AP，
∴kOC=kAP，即t4=12，解得t=2，即C4,2.
因为圆C与x轴相切，所以圆的半径r为2，
由圆C与l:y=34x+c相切，得圆心C到直线l的距离d=344+c-21+342=2=r，解得c=2，
故a=4,b=23，所以椭圆的方程为：x216+y212=1.
【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点b2,0分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．1617B．41717C．45D．255
【答案】D
【分析】由已知条件可列出等量关系式c+b2c-b2=53，结合a2=b2+c2和离心率公式e=ca即可求解
【详解】依题意得c+b2c-b2=53，解得c=2b，
所以a=b2+c2=5b，所以e=ca=2b5b=255.
故选：D.
2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x29+y27=1的焦距为（ ）
A．22B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】由椭圆的标准方程及焦距的定义即可得解.
【详解】由x29+y27=1，a2=9,b2=7得c2=a2-b2=9-7=2，
所以焦距为2c=22．
故选：A．
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C:x2m+y2m+1=1(m>0)的离心率为33，则m=（ ）
A．3B．13C．2D．12
【答案】C
【分析】先分别表示出a,c，结合离心率公式列出方程即可求解.
【详解】∵a=m+1,c=1,∴1m+1=33，解得m=2.
故选：C.
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x24+y23=1，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．焦距为1D．离心率为12
【答案】D
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b,c即可判断选项的正误.
【详解】由椭圆的方程x24+y23=1可知：焦点在x轴上，即a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1，
则a=2,b=3,c=1.
所以长轴长为2a=4，短轴长为2b=23，焦距为2c=2，离心率为e=ca=12.
故选：D
5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知点B-3,0 ，C3,0，设点C到直线AB的最大距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则 d1d2=（ ）
A．34B．433C．32D．233
【答案】D
【分析】根据正弦定理进行边角互化，可知点A的轨迹及d1，d2，即可得解.
【详解】由已知B-3,0，C3,0，则BC=6，
由sinB+sinC=2sinA，再由正弦定理可知AC+AB=2BC=12>6=BC，
所以动点A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为12得椭圆，不含左、右顶点，
所以当且仅当点A是椭圆的上、下顶点时，
点A到直线BC的距离最大为d2=62-32=33，
当AB⊥BC时，点C到直线AB的距离最大为d1=BC=6，
所以d1d2=633=233，
故选：D.
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若四边形AF1BF2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（ ）
A．4B．3C．2D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得ab=6，再由四边形周长求出a即可得解.
【详解】依题意，ab=6，由椭圆对称性，得线段AB,F1F2互相平分于原点，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12，解得a=3，
所以椭圆C的短半轴长b=2.
故选：C
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x25+y24=1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为（ ）
A．534,12B．152,1
C．152,12D．354,32
【答案】B
【分析】先设点的坐标，再应用面积公式计算参数即可.
【详解】设Px0,y0x0>0,y0>0，由题知，c=1，所以S△PF1F2=12×2c×y0=y0，
又S△PF1F2=1，所以y0=1，将其代入x025+y024=1，解得x0=152，
所以P152,1，
故选:B.
8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆x2m+y24=1的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．不存在
【答案】C
【分析】分焦点在x轴和y轴上两种情况求解即可.
【详解】∵2c=2，∴c=1．
当椭圆的焦点在x轴上时，a2=m，b2=4，c2=m-4．
∴m-4=1，m=5．
当圆的焦点在y轴上时，a2=4，b2=m，
∴c2=4-m=1，∴m=3．
综上，m的值是3或5．
故选：C
二、多选题
9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程mx2+ny2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m>n>0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则该方程表示圆，其半径为n
C．若n>m>0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若m=0,n>0，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为x2+y2=1n，得到B正确；D选项，化为y=±nn，故D正确.
【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
因为m>n>0，所以0<1m<1n，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时该方程表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B错误；
对于C，n>m>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
由于n>m>0，所以1m>1n>0，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，即y=±nn，
此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
故选：ACD
10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A．x28+y29=1B．x218+y216=1
C．x212+y26=1D．x29+y28=1
【答案】AD
【分析】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由题意可得πab=62π，2c=13×2a，再结合a2=b2+c2可求出a,b，从而可求得椭圆方程.
【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则由题意可知πab=62π2c=13×2a，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=22，c=1，
所以椭圆的标准方程为x29+y28=1或y29+x28=1．
故选：AD
11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆x29+y2b2=1(0
B．AF2+BF2的最大值为8
C．离心率为32
D．椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=90∘
【答案】BD
【分析】根据通径可得b2=6，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D.
【详解】
易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，AB最短，∴AB=2b23=4，解得b2=6，∴椭圆方程为x29+y26=1，
对于A，椭圆的短轴长为2b=26，故A错误；
对于B，因为△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=12，且|AB|min=4,∴AF2+BF2max=12-|AB|min=8，故B正确；
对于C，∵c=a2-b2 =3,a=3,∴离心率e=ca=33，故C错误；
对于D，易知当点P位于短轴顶点时，∠P1PF2最大，此时PF1=PF2=a=3,F1F2=2c=23,∴cs∠F1PF2=a2+a2-(2c)22a2>0，又∠F1PF2为三角形内角，∴∠F1PF2∈0,π2,∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=90∘，故D正确，
故选:BD.
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，若直线y=kx与C交于P,Q两点，且PF1+QF1=PF1⋅QF1=8,PF1⊥QF1，则C的方程为 ．
【答案】x216+y24=1
【分析】利用椭圆性质先确定四边形PF1QF2是矩形，再由椭圆定义计算即可.
【详解】
易知O是PQ的中点，又PF1⊥QF1，所以四边形PF1QF2是矩形，故PF1=QF2，
结合PF1+QF1=8可得，QF1+QF2=8，由椭圆的定义可知，2a=8,a=4，
又知PQ=F1F2，由PF1+QF1=8两边平方得，F1F22+2PF1⋅QF1=64，
即4c2+16=64，解得c2=12，所以b2=a2-c2=4，所以C的方程为x216+y24=1．
故答案为：x216+y24=1
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点P在椭圆C:x225+y29=1上，点Q在直线l:4x-5y+30=0上，则PQ的最小值为 .
【答案】54141/54141
【分析】设出于直线l平行的直线m的方程并与椭圆方程联立，利用判别式求得直线m的方程，再根据两平行线间的距离公式即可得解.
【详解】如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．
设与直线l平行的直线m:4x-5y+t=0与椭圆C相切，
由x225+y29=14x-5y+t=0，得25x2+8tx+t2-225=0，
则Δ=36252-t2=0，解得t=±25，
由图可知，当t=25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，
又直线m与直线l间的距离d=|30-25|42+(-5)2=54141，
所以|PQ|min=54141.
故答案为：54141##54141.
14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行，则椭圆轨道T2的短轴长为 万公里．（近似到0.1）
【答案】2.8
【分析】根据题意，可得椭圆T1的半长轴a1，半短轴b1，根据a1,b1,c1的关系，可求得c1的值，即可求得|PF|=a1-c1=a2-c2=20-611，又椭圆T2的中，2a2=20，可求得c2的值，进而可求得b2的值，即可得答案.
【详解】设椭圆T1的长轴长，短轴长，焦距为2a1，2b1，2c1；
设椭圆T2的长轴长，短轴长，焦距为2a2，2b2，2c2．
因此2a1=40，2b1=4，c1=202-4=611，
所以|PF|=a1-c1=a2-c2=20-611，
又2a2=20，所以c2=611-10，
所以b2=a22-c22=12011-396≈1.412，
故椭圆轨道T2的短轴长为2.8万公里．
故答案为：2.8
四、解答题
15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为e=23，短轴长为85；
(2)椭圆C与x22+y2=1有相同的焦点，且经过点M1,32，求椭圆C的标准方程.
【答案】(1)x2144+y280=1或y2144+x280=1；
(2)x24+y23=1.
【分析】（1）由题意得ca=232b=85a2=b2+c2，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解；
（2）先求出椭圆x22+y2=1焦点即可得椭圆C焦点坐标为±1,0，进而可设圆C方程为x2a2+y2b2=1且12a2+322b2=1a2=b2+1，解出a2和b2即可得解.
【详解】（1）由题得ca=232b=85a2=b2+c2⇒a=12b=45c=8，
所以椭圆的标准方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1.
（2）椭圆x22+y2=1满足c=2-1=1，故该椭圆焦点坐标为±1,0，
因为椭圆C与x22+y2=1有相同的焦点，且经过点M1,32，
所以可设椭圆C方程为x2a2+y2b2=1，且12a2+322b2=1a2=b2+1，解得4a4-17a2+4=0，
故4a2-1a2-4=0，解得a2=14（舍去）或a2=4，故b2=a2-1=3.
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)x28+y24=1
(2)存在，S-463,0
【分析】（1）由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；
（2）根据题意有kPS+kQS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.
【详解】（1）由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4，
所以椭圆C的方程为x28+y24=1.
（2）在x轴上存在点S-463,0使得∠PST=∠QST，理由如下：
设Px1,y1,Qx2,y2,直线PQ:x=my-6，
联立PQ:x=my-6与椭圆x28+y24=1可得m2+2y2-26my-2=0，
则y1+y2=26mm2+2,y1y2=-2m2+2，
因为∠PST=∠QST，所以kPS+kQS=0，即y1x1-s+y2x2-s=0，
整理得y1x2-s+y2x1-s=0，即y1my2-6-s+y2my1-6-s=0，
即2my1y2-6+sy1+y2=0，
则2m×-2m2+2-6+s×26mm2+2=0，又m≠0，解得s=-463，
所以在x轴上存在点S-463,0使得∠PST=∠QST.
17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆C:(x-1)2+y2=r2r>0在椭圆E:x24+y2=1里.过椭圆E上顶点P作圆C的两条切线，切点为A,B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M.
(1)求r的取值范围；
(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1)0
【分析】（1）根据|TC|2>r2，即可根据点点距离公式求解，
（2）根据点斜式得直线PM，PN方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线MN的方程为2x+3r2-1y+5r2-1=0，利用MN与圆相切，即可列方程求解.
【详解】（1）设Tx0,y0为椭圆E上任意一点，则x024+y02=1，-2≤x0≤2，
则|TC|2=x0-12+y02=34x02-2x0+2.
则r2<34x02-2x0+2=34×432-83+2=23.故0
又直线PM的方程为y=y1-1x1x+1，即为y1-1x-x1y+x1=0，
同理直线PN的方程为y2-1x-x2y+x2=0.
则x1+y1-1x12+y1-12=r，故x12+2x1y1-1+y1-12=r2x12+r2y1-12.
而x12=41-y12，故41-r21-y12+2x1y1-1+y1-12=r2y1-12，又因为y1≠1.
故2x1+3r2-3y1+5r2-1=0，同理：2x2+3r2-3y2+5r2-1=0.
故直线MN的方程为2x+3r2-1y+5r2-1=0.
若直线MN与圆C相切，则5r2-39r2-12+4=r，令t=r2∈0,23.
故9t3-43t2+43t-9=0，即t-19t2-34t+9=0.
故t=1或t=17+4139或t=17-4139，
因为t=r2∈0,23，所以t=1,t=17+4139不满足，
故存在满足条件的圆C，其方程为(x-1)2+y2=17-4139
【点睛】关键点点睛：根据直线PM，PN方程，利用相切以及点到直线距离公式可得x1,x2满足2x+3r2-1y+5r2-1=0，可得直线MN的方程为2x+3r2-1y+5r2-1=0，即可利用相切以及距离公式列方程求解.
18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点P1,22在C上，且PF2⊥x轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点F1作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求△ABF2的周长和面积．
【答案】(1)x22+y2=1
(2)周长为42，面积为467
【分析】（1）由PF2⊥x轴且P1,22求出c，由椭圆的定义求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）联立直线l与椭圆方程，利用根与系数的关系求出x1+x2,x1x2的值，由弦长公式求出AB，由点到直线的距离公式求出点F21,0到直线l的距离，即可求出△AOB的面积.
【详解】（1）由已知PF2⊥x轴且P1,22，知c=1，F1-1,0,F21,0，
由椭圆的定义2a=PF1+PF2=22+222+22=22，
所以a=2，b=a2-c2=1，C的方程为x22+y2=1.
（2）可知直线l的斜率k=tan60°=3，l的方程为y=3x+1.
设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程组y=3x+1x22+y2=1， 消去y得7x2+12x+4=0，
可得x1+x2=-127,x1x2=47，可得AB=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=2-1272-167=827，
点F21,0到直线l:3x-y+3=0的距离d=3-0+332+1=3，
所以△ABF2的周长为4a=42，S△ABF2=12ABd=467.
19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，A,B都是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，从C上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB//OP．
(1)求C的离心率；
(2)若△PAB的面积比△POA的面积大12，求C的方程．
【答案】(1)22
(2)x22+22+y22+1=1
【分析】（1）由题意可得P-c,b2a，求出kOP，kAB，又AB//OP，即可得到b=c，a=2c，进而求出离心率；
（2）由题意S△PAB-S△POA=12，S△POA=12OA×PF=12a×b2a=b22，结合图形可得S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA=bc+ab-b22，解得b2，a2，得出椭圆方程.
【详解】（1）由题意可得P-c,b2a，
∴kOP=-b2ac，kAB=-ba．
由AB//OP，∴-b2ac=-ba，解得b=c，a=2c，
故椭圆的离心率为e=ca=22．
（2）由题意S△PAB-S△POA=12，
又因为S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA，S△POA=12OA×PF=12a×b2a=b22，
所以S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA=12OB×c+12OB×a-b22=bc+ab-b22，
化简得S△PAB-S△POA=bc+ab-2b22=12
又因为b=c，a=2c
所以2-1b2=1，
解得b2=2+1，a2=22+2，
所以椭圆C:x22+22+y22+1=1.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用转化思想注意图形特征得出S△PAB=S△POB+S△OAB-S△POA，再结合已知化简计算求解得出b2，a2即可.
课程标准
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.
3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用
1.重点:椭圆的几何性质
2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0
相关试卷
数学2.1 坐标法当堂检测题： 这是一份数学<a href="/sx/tb_c4002057_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.1 坐标法当堂检测题</a>，共14页。
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时训练： 这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002073_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.5.2 椭圆的几何性质课时训练</a>，共16页。
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质当堂达标检测题： 这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002077_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.6.2 双曲线的几何性质当堂达标检测题</a>，共69页。
