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人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程精练
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程精练，共34页。试卷主要包含了列方程，化简，证明等内容，欢迎下载使用。
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系：
1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程Fx,y=0
C．坐标不满足方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程Fx,y=0的点的轨迹
【答案】B
【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.
【详解】对于A，若坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，则方程Fx,y=0的曲线M可能只是曲线C的一部分，
此时曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程Fx,y=0，故A选项中的命题错误.
对于B，命题"不在曲线C上的点的坐标都不满足程Fx,y=0“与已知条件中的命题互为逆否命题.因为互为逆否命题的两个命题真假相同，所以B选项中的命题正确.
对于C，由A选项的分析过程得，曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程Fx,y=0，
但这些点在曲线C上，故C选项中的命题错误.
对于D，由A选项的分析过程可知，D选项中的命题错误.
故选：B.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程xy=5之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系．
【答案】(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是xy=5．
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0．
【详解】（1）与两坐标轴的距离之积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5，如点-1,5，
但以方程xy=5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5．
因此，与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是xy=5．
（2）第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0；
反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．
因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0．
知识点02两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21高二·全国·课后作业）曲线x2+y2+2x=0与曲线y+x=0的交点个数是 ．
【答案】2
【分析】联立方程，方程组解的个数即为交点个数．
【详解】由x2+y2+2x=0y+x=0可得，x2+x=0，所以x=0y=0或x=-1y=-1，所以交点个数是2．
故答案为：2．
【即学即练4】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知A-1,0，B1,0，C为平面内的一个动点，且满足|AC|:|BC|=2，则点C的轨迹方程为 .
【答案】x2+y2-6x+1=0
【分析】设C(x,y)，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解．
【详解】设C(x,y)，由|AC|:|BC|=2，则(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，
即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，
即x2+y2-6x+1=0，
所以点C的轨迹方程为x2+y2-6x+1=0．
故答案为：x2+y2-6x+1=0．
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）等腰三角形ABC底边两端点分别为A(-3,0),B3,0，顶点C的轨迹是（ ）
A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质分析即可.
【详解】∵△ABC为等腰三角形且AB为底边，∴CA=CB,∴点C在AB的中垂线上．
又∵C为AB的中点时不能构成三角形，∴点C的轨迹应是一条直线去掉一点．
故选：B
【即学即练6】（21-22高二·全国·课后作业）判断直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
【答案】相交，交点坐标为：(10,-1)和(-52,4).
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：y=-10x2x+5y-15=0⇒2x2-15x-50=0，
解得x=10，或x=-52，
当x=10时，y=-1；
当x=-52时，y=4，
因此直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x相交，交点坐标为：(10,-1)和(-52,4).
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线E:x2+y23=8x2y2的图象是四叶草曲线，设Px0,y0为E上任意一点，且满足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【答案】513
【分析】由题意明确曲线的性质，确定符合题意的点的个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由x2+y23=8x2y2≤8x2+y222，得x2+y2≤2，当且仅当x2=y2=1时取等号，
可知|x0|≤2，故满足x0∈Z且y0∈Z的点P仅有(-1,-1),(-1,1),(0,0),(1,-1),(1,1)，共5个．
令x0=0，则y0=0，由于E:x2+y23=8x2y2的图象关于x轴、y轴、坐标原点、y=x对称，
因此只需研究第一象限图象上横坐标或纵坐标为整数的点的情况，
令x0=1，则1+y23=8y2，不妨设y>0，则有1+y2=2y23，
令y23=t,t>0，则有1+t3=2t，化简有t-1t2+t-1=0，解得t=1或t=5-12，
则1+y2=2y23有两个正根1，5-123．
故结合曲线对称性可知在第一象限，横坐标或纵坐标为整数的点共有3个：1,1,1,5-123,5-123,1．
故整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个，
所以任取一点P，该点为格点的概率为513．
故答案为：513
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确四叶草曲线的对称性，由此确定符合题意的点的个数.
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0
C．凡坐标不适合方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程Fx,y=0
【答案】B
【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可.
【详解】由于“坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0”互为逆否命题，
所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0”是正确的，故B对，D错；
对于点集A=x,y|Fx,y=x2+y2-1=0∪0,0而言，
0,0不满足Fx,y=x2+y2-1=0，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合A），故A、C错误.
故选：B.
变式1．（21-22高二上·贵州遵义·期末）设方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
【答案】D
【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线.
【详解】由x-12+y2+1>0，可得x2+y2-2x+2>0，
则由x+2y-1x2+y2-2x+2=0，可得x+2y-10=0，
则方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲线是一条直线.
故选：D
变式2．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．y=x与y2=xB．y=x与xy=1
C．y2-x2=0与y=xD．y=lgx2与y=2lgx
【答案】C
【分析】根据x,y的范围以及曲线方程确定正确答案.
【详解】A选项，y=x中y≥0，y2=x中y∈R，所以不是相同曲线.
B选项，y=x中y∈R，xy=1中y≠0，所以不是相同曲线.
C选项，y=x⇔y2=x2⇔y2-x2=0，是相同曲线，C选项正确.
D选项，y=lgx2中x≠0，y=2lgx中x>0，，所以不是相同曲线.
故选：C
变式3．（2014高三·全国·专题练习）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲线是（ ）
A．—个圆B．两个圆
C．一个半圆D．两个半圆
【答案】D
【分析】方程可化为(|x|-1)2+(y-1)2=1，去绝对值分x≤-1，x≥1两种情况解决即可.
【详解】方程可化为(|x|-1)2+(y-1)2=1，
因为|x|-1≥0，
所以x≤-1或x≥1，
若x≤-1时，则方程为(x+1)2+(y-1)2=1；
若x≥1时，则方程为(x-1)2+(y-1)2=1，
故选：D
变式4．(多选)（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知曲线C:x2-y2-xy=1，则（ ）
A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C关于y轴对称
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
【答案】ACD
【分析】A选项，利用对称性质判断即可，取特殊点验证即可B选项；
将方程转化为关于y的二次方程，由方程有解即可判断C选项；
换元法，令t=x-y，则x=y+t代入原方程中，利用方程有解判别式
解之即可得D选项.
【详解】因为点P(x,y)在曲线C:x2-y2-xy=1上，
所以点P1(-x,-y)满足(-x)2-(-y)2-(-x)(-y)=x2-y2-xy=1，
所以A正确；
若P(2,1)，因为点P'(-2,1)不满足C的方程，
所以B错误；
因为x2-y2-xy=1，
所以y2+xy+1-x2=0，
所以x2-41-x2≥0，
所以x≤-255或x≥255，所以C正确；
设t=x-y，则x=y+t，
所以(y+t)2-y2-(y+t)y=1，
所以y2-ty+1-t2=0，
所以t2-41-t2≥0，
所以t2≥45，
所以x2-2xy+y2≥45，
所以D正确．
故选：ACD
变式5．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知曲线Γ：Fx，y=0对坐标平面上任意一点Px，y，定义FP＝Fx，y．若两点P，Q满足FP⋅FQ＜0，称点P，Q在曲线Γ两侧．记到点0，1与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲线C上总存在两点M，N在曲线Γ两侧，则实数a的取值范围是
【答案】6＜a＜24．
【分析】到点0，1与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，求出轨迹方程.分类讨论：当0≤y≤3时和当-2≤y≤0时，利用FP⋅FQ＜0，求解a的范围．
【详解】设曲线C上的动点为x，y，则x2+(y-1)2+|y|=5，
化简得曲线C的方程为x2=83-y，0≤y≤3和x2=12y+2，-2≤y≤0.
其轨迹为两段抛物线弧
当0≤y≤3时，Fx，y=y2-9y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
当-2≤y≤0时，Fx，y=y2+11y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
故若有FM⋅FN＜0，则6-a24-a＜0⇒6＜a＜24．
故答案为：6＜a＜24．
变式6．（22-23高三·全国·课后作业）方程xx2+y2-1=0表示的曲线是 .
【答案】直线x=0和单位圆x2+y2=1
【分析】由方程xx2+y2-1=0即可求解.
【详解】由方程xx2+y2-1=0可得：x=0或x2+y2=1，
所以方程xx2+y2-1=0表示的曲线是直线x=0和单位圆x2+y2=1，
故答案为：直线x=0和单位圆x2+y2=1.
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y=r2-x2；
(2)过点A2,0平行于y轴的直线l的方程为x=2．
【答案】(1)不正确
(2)不正确
【分析】（1）利用圆的方程定义判断即可.
（2）利用直线方程的定义判断即可.
【详解】（1）不正确．
设x0,y0是方程y=r2-x2的解，则y0=r2-x02，即x02+y02=r2，
两边开平方取算术平方根，得x02+y02=r，即点x0,y0到原点的距离等于r，
点x0,y0是这个圆上的点，因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点；
但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(r2,-32r)在圆上，
却不是y=r2-x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解，
所以以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y=r2-x2，而应是y=±r2-x2．
（2）不正确．
直线l上的点的坐标都是方程x=2的解；
但是坐标满足x=2的点，不一定在直线l上，如点(-2,0)不在直线l上，
因此x=2不是直线l的方程，直线l的方程应为x=2．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A⊆B且B⊆A，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线C的方程为x2+y2+xy=2022，则曲线C关于（ ）对称
A．x轴B．y轴C．原点D．直线y=x
【答案】B
【分析】利用坐标互换一一判定选项即可.
【详解】曲线C的方程为x2+y2+xy=2022，
将x换为-x,y不变，原方程仍为x2+y2+xy=2022，所以曲线C关于y轴对称；
将y换为-y,x不变，原方程变为x2+y2-xy=2022，所以曲线C不关于x轴对称；
将x换为-x,y换为-y，原方程变为x2+y2-xy=2022，所以曲线C不关于原点对称；
将x换为y,y换为x，原方程变为x2+y2+yx=2022，
所以曲线C不关于直线y=x对称．
故选:B．
变式1．已知曲线C方程为x2+y2+xy=2023，则曲线C关于（ ）
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y=x对称
【答案】B
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】用-y替换方程中的y，方程变为x2+y2-xy=2023，
与原方程不同，故曲线C不关于x轴对称，故A错误；
用-x替换方程中的x，方程可化为为x2+y2+xy=2023，
与原方程相同，故曲线C关于y轴对称，故B正确；
用-x和-y替换方程中的x和y，化简后方程变为x2+y2-xy=2023，
故曲线C不关于原点对称，故C错误；
用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程变为x2+y2+yx=2023，
故C不关于直线y=x对称，故D错误.
故选：B.
变式2．关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y=x对称D．关于原点中心对称
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可.
【详解】对于A，用-y换方程中的y，得x2-xy+2y2=4，方程发生变化，即曲线关于x轴不对称，A错误；
对于B，用-x换方程中的x，得x2-xy+2y2=4，方程发生变化，即曲线关于y轴不对称，B错误；
对于C，用x换y，y换x，得2x2+xy+y2=4，方程发生变化，即曲线关于y=x轴不对称，C错误；
对于D，将点-x,-y代入原方程仍为x2+xy+2y2=4，因此曲线关于原点中心对称D正确.
故选：D
变式3．两个曲线方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A．曲线C1关于y＝x对称
B．曲线C2关于原点对称
C．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1<12
D．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2<π4
【答案】D
【分析】在曲线C1上任取一点(a,b)，验证点(b,a)也在曲线上，可判断A的正误；在曲线C2上任取一点(a,b)，验证点(-a,-b)也在曲线C2上，可判断B的正误；比较曲线C1与直线x+y=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断C的正误；曲线C2与圆x2+y2=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断D的正误.
【详解】A．在曲线C1上任取一点(a,b)，则a+b=1，
点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，且b+a=1，
所以曲线C1关于y=x对称，故A正确；
B．在曲线C2上任取一点(a,b)，则a4+b4＝1，
点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)，则(-a)4+(-b)4=a4+b4=1，
所以曲线C2关于原点对称，故B正确；
C．对于等式x+y=1,0≤y≤1，可得0≤y≤1，同理可得0≤x≤1，
当0在曲线x+y=10则1=a+b>a+b，即点(a,b)在直线x+y=1的下方，如下图所示．
直线x+y=1交x轴于点A(1,0)，交y轴于点B(0,1)，
所以S1D．在曲线x4+y4=1(0因为0a4，b2>b4，
则1=a4+b4
圆x2+y2=1在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为π4×12=π4，
所以S2>π4，故D错误．
故选：D．
变式4．（多选）某曲线C的方程为x2-xy+y2=4，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于y=x对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线x+y-1=0交于A、B两点，则AB=10
D．点x,y在曲线C上，则x2+xy+y2的取值范围为43,12
【答案】AD
【分析】对A，交换x，y即可判断；对B，利用判断式法即可判断；对C，将直线方程与曲线C方程联立解出A,B点坐标即可；对D，利用基本不等式将其转化为求xy的范围即可.
【详解】对于A：将x，y互换代入曲线C，
得x2-xy+y2=4，方程不变，所以曲线C关于y=x对称，所以A选项正确：
对于B：x2-xy+y2=4，即x2-xy+y2-4=0，
将其看成关于x的一元二次方程，根据判别式法得Δ=-y2-4×1×y2-4≥0，
解得-433≤y≤433，若y=433，则x2-433x+4332-4=0，此时x=233，故B错误.
对于C：将x+y-1=0代入方程，
可得(x-1)2=4，即x-1=±2，解得x=3或x=-1，
所以A(3,-2),B(-1,2)，
则|AB|=(3+1)2+(-2-2)2=42，所以C选项错误；
对于D：因为x2+xy+y2=x2-xy+y2+2xy=4+2xy，
由题意可知x2-xy+y2=4，即x2+y2=4+xy，
又因为x2+y2≥2xy，
所以4+xy≥2xy，则xy≤4，当且仅当x=y=±2时等号成立；
因为x2+y2≥-2xy，则4+xy≥-2xy，则xy≥-43，当且仅当x=-y=±233时等号成立；
则-43≤xy≤4，此时43≤4+2xy≤12，
即43≤x2+xy+y2≤12，所以D选项正确.
故选:ABD.
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（ ）
A．x29-y24=0B．2y-x2=0
C．4x2+9y=1D．2x2-4x+y4=2
【答案】AC
【分析】依次将x,-y，-x,y代入曲线方程验证方程是否成立即可.
【详解】x,y关于x轴的对称点为x,-y，关于y轴的对称点为-x,y；
对于A，x29--y24=x29-y24=0，-x29-y24=x29-y24=0，
∴x29-y24=0既关于x轴对称，又关于y轴对称，A正确；
对于B，2-y-x2=-2y-x2，2y--x2=2y-x2=0，
∴2y-x2=0不关于x轴对称，关于y轴对称，B错误；
对于C，4x2+9-y=4x2+9y=1，4-x2+9y=4x2+9y=1，
∴4x2+9y=1既关于x轴对称，又关于y轴对称，C正确；
对于D，2x2-4x+-y4=2x2-4x+y4=2，2-x2-4-x+y4=2x2+4x+y4，
2x2-4x+y4=2关于x轴对称，不关于y轴对称，D错误.
故选：AC.
变式6．（多选）已知曲线C：|x-a|a+|y-b|b=1(a>b>0)，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线C关于(a,b)对称
B．x2+y2的最小值为a2b2a2+b2
C．曲线C的周长为2(a+b)
D．曲线C围成的图形面积为2ab
【答案】ABD
【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A；利用x2+y2的几何意义判断B；计算曲线的周长与所围图形面积判断CD．
【详解】对于A，设(x0,y0)是曲线上的任一点，则|x0-a|a+|y0-b|b=1，
则(2a-x0)-aa+(2b-y0)-bb=1，即点(2a-x0,2b-y0)也在曲线上，
而点(x0,y0)与(2a-x0,2b-y0)是关于(a,b)对称的，由(x0,y0)的任意性，A正确；
对于B，当x≤a,y≤b时，方程|x-a|a+|y-b|b=1化为a-xa+b-yb=1，
即xa+yb=1，其中0≤x≤a,0≤y≤b，表示一条线段，
同理当a≤x ≤2a,0≤y≤b时，方程为xa-yb=1，当0≤x≤a,b≤y≤2b时，
方程为-xa+yb=1，当a≤x≤2a,b≤y≤2b时，方程为xa+yb=3，
则方程|x-a|a+|y-b|b=1(a>b>0)表示的曲线是以A(a,0),B(0,b),C(a,2b),D(2a,b)为顶点的菱形M，如图，
x2+y2表示菱形M上点到原点距离的平方，原点到AB的距离为△OAB斜边AB上的高h=aba2+b2，
因此x2+y2的最小值为a2b2a2+b2，B正确；
对于C，菱形M的周长为4a2+b2，C错误；
对于D，菱形M的面积为12×2a×2b=2ab，D正确．
故选：ABD
变式7．设曲线C的方程为：F(x,y)=0，一般有如下规律：
①如果以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以-x代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以-x代替x，以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C的方程为：|x||y|=1，则曲线C关于 对称.
【答案】 x轴 y轴 原点 原点
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
【答案】C
【分析】对于A：当x<0,y<0时，判断x3+y3-3xy=0是否可能成立即可；对于B：将点y,x代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.
【详解】当a=1，则方程为x3+y3-3xy=0
对于A：若x<0,y<0，则x3<0,y3<0,xy>0，
所以x3+y3-3xy<0，即曲线不经过第三象限，故A正确；
对于B：将点y,x代入方程得y3+x3-3yx=x3+y3-3xy=0，
所以曲线关于直线y = x对称，故B正确；
对于C、D：联立方程x+y=-1x3+y3-3xy=0，
由x+y=-1可得y=-x-1，
将y=-x-1代入方程可得x3+y3-3xy=x3+-x-13-3x-x-1=x3-x3-3x2-3x-1+3x2+3x=-1≠0，
所以方程组x+y=-1x3+y3-3xy=0无解，即曲线与直线x + y =－1没有公共点，
故C错误，D正确；
故选：C.
变式1．曲线y=1-x2和y=-x+2公共点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】作出曲线y=1-x2和y=-x+2的图形，可得出结论.
【详解】由y=1-x2可得x2+y2=1y≥0，曲线y=1-x2表示圆x2+y2=1的上半圆，
如下图所示：
因为原点O到直线y=-x+2的距离为d=212+12=1，
所以，曲线y=1-x2与直线y=-x+2相切，且切点在第一象限.
故选：C.
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3+y3-3axy=0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线y=x对称
C．曲线与直线x+y=-1有公共点
D．曲线与直线x+y=-1没有公共点
【答案】ABD
【分析】A：当x,y<0时，判断x3+y3-3xy=0是否可能成立即可；
B：将点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同即可；
C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.
【详解】当x,y<0时，x3+y3-3xy<0，故第三象限内的点不可能在曲线上，A选项正确；
将点y,x代入曲线有程得x3+y3-3xy=0，故曲线关于直线y=x对称，B选项正确；
联立x3+y3-3xy=0,x+y=-1,其中x3+y3-3xy=x+yx2+y2-xy-3xy=0，
将x+y=-1代入得-(x+y)2=0，即x+y=0，则方程组无解，故曲线与直线x+y=-1无公共点，C选项错误，D选项正确.
故选：ABD.
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线x+y-5=0仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．y2=-45xB．x22-y22=1C．x2+y2=52D．x29+y24=1
【答案】ABC
【分析】分别将直线方程与曲线方程联立方程组求解即可
【详解】对于A，由x+y-5=0y2=-45x，得y2-45y+20=0，因为Δ=(-45)2-4×20=0，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以A正确，
对于B，将直线方程x+y-5=0代入x22-y22=1中整理得25y-3=0，方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以B正确，
对于C，将直线方程x+y-5=0代入x2+y2=52中整理得4x2-45x+5=0，因为Δ=(-45)2-4×4×5=0，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以C正确，
对于D，将直线方程x+y-5=0代入x29+y24=1中整理得13x2-185x+9=0，因为Δ=(-185)2-4×13×9>0，所以方程组有两组解，所以直线与曲线有两个交点，所以D错误，
故选：ABC
变式4．曲线x24+ay2=1上存在四个点A, B, C, D满足四边形ABCD是正方形，则实数a的取值范围是 ．
【答案】-14,+∞
【分析】由题意可得x24+ay2=1与y=x有两个不同的交点，联立即可求解.
【详解】由题意可得x24+ay2=1与y=x有两个不同的交点，
联立y=xx24+ay2=1，可得14+ax2=1.
易知14+a≠0，故x2=114+a，
要x24+ay2=1与y=x有两个不同的交点，可得114+a>0,解得a∈-14,+∞.
故答案为:-14,+∞.
变式5．关于曲线C：1x2+1y2=1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线x±y=0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.
【详解】对于①，将方程中的x换为-x，y换为-y，得1-x2+1-y2=1x2+1y2=1，所以曲线C关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的x换为y或-y，y换为x或-x，得1y2+1x2=1-y2+1-x2=1x2+1y2=1，所以曲线C关于直线x±y=0对称，故②正确；
对于③，由1x2+1y2=1得1y2=1-1x2≥0，即x2≥1，同理y2≥1，显然曲线C不是封闭图形，故③错误；
对于④，由③知曲线C不是封闭图形，联立1x2+1y2=1x2+y2=2，消去y2，得x4-2x2+2=0，令t=x2，则上式转化为t2-2t+2=0，由Δ=-22-4×2=-4<0可知方程无解，因此曲线C与圆x2+y2=2无公共点，故④正确.
故答案为：①②④.
变式6．直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x交点的坐标为 ．
【答案】(10,-1)和(-52,4).
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：y=-10x2x+5y-15=0⇒2x2-15x-50=0，
解得x=10，或x=-52，
当x=10时，y=-1；
当x=-52时，y=4，
因此直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x交点坐标为：(10,-1)和(-52,4).
故答案为：(10,-1)和(-52,4)
变式7．已知曲线C1的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是y=x，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【答案】C1与C2有三个交点，交点坐标为0,0、1,1、-1,1
【分析】联立两曲线的方程，求出方程组的公共解，即可得出结论.
【详解】解：联立两个方程得方程组x2-y=0y=x，
解方程组可得x=0y=0或x=1y=1或x=-1y=1，
因此C1与C2有三个交点，且交点坐标为0,0、1,1、-1,1.
【题型4：轨迹方程问题】
例4．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知M､N两点坐标分别-2,0,2,0.直线MK､NK相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为（ ）
A．3x2-2xy-12=0x≠±2B．3y2-2yx-12=0x≠±2
C．x24+y23=1x≠±2D．x23-y24=1x≠±2
【答案】A
【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果.
【详解】设Kx,y，则直线KM的斜率为kKM=yx+2，直线KN的斜率为kKN=yx-2，
依据题意可知，kKM+kKN=yx+2+yx-2=3，化简得：3x2-2xy-12=0，
因为直线KM、KN的斜率存在，所以x≠±2，
所以3x2-2xy-12=0x≠±2，
故选：A.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1:5x-2y+3m3m+1=0和直线l2：2x+6y-3m9m+20=0，则两直线l1,l2交点的轨迹方程是 ．
【答案】y=12x2+3x
【分析】联立两直线方程用m表示交点坐标，再消元化简即可.
【详解】联立两直线方程得5x-2y+3m3m+1=02x+6y-3m9m+20=0,
解之得x=3my=92m2+9m，消去参数m得y=12x2+3x，
所以两直线l1,l2交点的轨迹方程为：y=12x2+3x．
故答案为：y=12x2+3x.
变式2．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接点P与定点Q4,0，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【答案】x-22+y2=14
【分析】根据相关点法，利用中点坐标找到动点的关系，代入已知点的轨迹方程化简即可求解.
【详解】设Mx,y,Pxp,yp,Q4,0,由中点坐标公式可得2x=xp+4,2y=yp+0,
可得P2x-4,2y，
由于P2x-4,2y在圆x2+y2=1上运动，所以2x-42+2y2=1，
即x-22+y2=14，
所以M的轨迹方程为x-22+y2=14.
变式3．（24-25高二上·全国·课堂例题）动点M在曲线x2+y2=1上移动，点M和定点B3,0连线的中点为P，求点P的轨迹方程.
【答案】x-322+y2=14
【分析】设出M和P点的坐标，利用中点坐标公式把M点的坐标用P点的坐标和常数表示，再由M在定圆上，把M的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案.
【详解】设Px,y，Mx0,y0，
因为P为MB的中点，所以x=x0+32y=y02，即x0=2x-3y0=2y，
又因为点M在曲线x2+y2=1上，所以x02+y02=1，
所以2x-32+4y2=1．
所以点P的轨迹方程为2x-32+4y2=1即x-322+y2=14.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0．
(1)求直线l与圆相交时，它的斜率k的取值范围；
(2)当l与圆相交于不同的两点A,B时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)-255,255
(2)x-322+y2=94，53【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可；
（2）设A,B,M坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用A、B坐标表示M坐标，消参化简即可.
【详解】（1）∵圆C1:x2+y2-6x+5=0，整理可得标准方程为(x-3)2+y2=4，
∴圆C1的圆心坐标为3,0，半径为2．
设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
∵直线l与圆C1相交，
∴圆心C1到直线l的距离d=3kk2+1<2，
解得-255即k的取值范围是-255,255；
（2）由（1）知直线l的方程为y=kx，k2<45．
设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx,y,
将直线l与圆C1的方程联立，可得1+k2x2-6x+5=0．
由根与系数的关系可得x1+x2=61+k2，所以y1+y2=kx1+x2=6k1+k2．
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为x=31+k2y=3k1+k2，
其中-255消去k得x-322+y2=94，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=94，其中53变式5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰△ABC中，若一腰的两个端点分别为A4,2，B-2,0，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．
【答案】x-42+y-22=40（x≠-2且x≠10）
【分析】设Cx,y，求出AB=210，则AC=x-42+y-22=210，化简后再去掉个别点即可.
【详解】设点C的坐标为x,y，
∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点，∴AB=AC．
又∵AB=4+22+22=210，
∴AC=x-42+y-22=210，
∴x-42+y-22=40．
又∵点C不能与点B重合，也不能使A，B，C三点共线．
∴x≠-2且x≠10，
∴点C的轨迹方程为x-42+y-22=40（x≠-2且x≠10）．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为x2+y24=1，过点M0,1的直线l交椭圆于点A,B,O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
【答案】4x2+y2-y=0
【分析】设P坐标，当直线l斜率存在时，设l的点斜式方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示P坐标，消参即可得P轨迹方程，再验证l斜率不存在时即可.
【详解】解:设Px,y是所求轨迹上的任一点
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1,Ax1,y1,Bx2,y2．
由x2+y24=1y=kx+1得4+k2x2+2kx-3=0，则x1+x2=-2k4+k2,y1+y2=84+k2，
由OP=12OA+OB得x,y=12x1+x2,y1+y2，即x=x1+x22=-k4+k2y=y1+y22=44+k2，
消去k得4x2+y2-y=0．
②当直线l的斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程．
综上，动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0．
变式7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点C2,0，②圆G恒被直线mx-y-m=0m∈R平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点A0,0，B1,1，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设D6,5，P是圆G上的动点，求线段DP的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)x2+y2-2x=0
(2)4x2+4y2-28x-20y+73=0，M的轨迹是一个圆.
【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可；
（2）画出图形，运用相关点法求解即可.
【详解】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，
则F=02+D+E+F=04+2D+F=0，解得D=-2E=0F=0，
则圆G的方程为x2+y2-2x=0.
方案二：选条件②
直线mx-y-m=0恒过点1,0.
因为圆G恒被直线mx-y-m=0m∈R平分，所以mx-y-m=0恒过圆心，
所以圆心坐标为1,0，又圆G经过点A0,0，
所以圆的半径r=1，所以圆G的方程为x-12+y2=1，即x2+y2-2x=0.
方案三：选条件③
设圆G的方程为x-a2+y-b2=r2，
由题意可得a=ra2+b2=r21-a2+1-b2=r2，解得a=1b=0r=1，
则圆G的方程为x-12+y2=1，即x2+y2-2x=0.
（2）设Mx,y，因为M为线段DP的中点，所以P2x-6,2y-5，
因为点P是圆G上的动点，所以2x-62+2y-52-2×2x-6=0，
即4x2+4y2-28x-20y+73=0，
所以M的轨迹是一个圆.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0上的动点Q （x1， y1）存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）方程x2+xy=x的曲线是（ ）
A．一个点B．一个点和一条直线
C．一条直线D．两条直线
【答案】D
【分析】变形给定方程，即可判断得解.
【详解】方程x2+xy=x，化为x(x+y-1)=0，则x=0或x+y-1=0，
所以方程x2+xy=x的曲线是直线x=0和直线x+y-1=0.
故选：D
2．（22-23高二·全国·课后作业）到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A．y=2xx≠0B．y=±2xx≠0C．x=2yx≠0D．x=±2yx≠0
【答案】B
【分析】根据到x轴距离与到y轴距离之比等于2，列出等式即可求解.
【详解】设该动点为(x,y)，则有yx=2，即y=±2xx≠0，
故选:B.
3．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程是Fx,y=0，则曲线C关于x轴对称的曲线方程是（ ）
A．F-x,y=0B．Fx,-y=0
C．F-x,-y=0D．Fy,x=0
【答案】B
【分析】用-y代换曲线C的方程中的y，得到Fx,-y=0，即可求解.
【详解】根据曲线的对称性质得，用-y代换曲线C的方程是Fx,y=0中的y，可得Fx,-y=0，
则曲线C关于x轴对称的曲线方程Fx,-y=0.
故选：B.
4．（21-22高二下·河南郑州·期中）将曲线Fx,y=0上的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程为（ ）
A．Fx2,3y=0B．F2x,y3=0
C．Fx2,y3=0D．F2x,3y=0
【答案】B
【分析】根据曲线变换原则可直接得到结果.
【详解】设Px0,y0为Fx,y=0上的任意一点，P'x,y为变换后的曲线上与P对应的点，
则x=12x0，y=3y0，∴x0=2x，y0=13y，∴F2x,y3=0，
即所得的曲线方程为：F2x,y3=0.
故选：B.
5．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为x2-xy+y-5=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．(-1,2)；B．(1,-2)；C．(2,-3)；D．(3,6)．
【答案】A
【分析】利用点与曲线的关系即可求解.
【详解】对于A，将(-1,2)代入方程(-1)2-(-1)×2+2-5=0，所以点(-1,2)在曲线上，故A正确；
对于B，将(1,-2)代入方程12-1×(-2)+(-2)-5=-4≠0，所以点(1,-2)不在曲线上，故B不正确；
对于C，将(2,-3)代入方程22-2×(-3)+(-3)-5=2≠0，所以点(2,-3)不在曲线上，故C不正确；
对于D，将(3,6)代入方程32-3×6+6-5=-8≠0，所以点(3,6)不在曲线上，故D不正确；
故选：A.
6．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA=AP，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4
【答案】B
【分析】用相关点法即可求解，设P为(x,y)，通过RA=AP将R点坐标表示出来，R坐标满足l方程，代入即可得到答案﹒
【详解】设P(x,y)，Rx1,y1，由RA=AP知，点A是线段RP的中点，
∴&x＋x12＝1，&y＋y12＝0，即x1＝2-xy1＝-y，
∵点Rx1,y1在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1-4，
∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．
故选：B﹒
7．（21-22高二上·贵州·阶段练习）已知点A-4,0，B-1,0，动点M(x,y)满足|MA|=2|MB|，则动点M轨迹方程为（ ）
A．x2+y2=4B．x24+y2=1C．x2-y23=1D．y2=4x
【答案】A
【分析】根据两点间的距离公式求出MA，MB，利用|MA|=2|MB|求出轨迹方程.
【详解】∵ M(x,y)，A-4,0 ，B-1,0
∴ MA=(x+4)2+y2，MB=(x+1)2+y2
又∵动点M(x,y)满足|MA|=2|MB|
∴(x+4)2+y2=2(x+1)2+y2
两边平方后可得x2+8x+16+y2=4x2+8x+4+4y2
整理后可得：x2+y2=4
故选：A
8．（20-21高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A．x-y=1B．x-y=1
C．x-y=1D．x±y=1
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质结合题意进行求解即可.
【详解】设点的坐标为(x,y)，由题意可知：平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是x-y=1，
故选：C
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线E是由方程x-1=1-y2和y-1=1-x2共同构成，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线E围成的图形面积为π+4
B．若点x0,y0在曲线E上，则x0的取值区间是-2,2
C．若E与直线y=x+m有公共点，则-4≤m≤4
D．若圆x2+y2=r2(r>0)能覆盖曲线E，则r的最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据曲线的方程可得曲线的图形，利用图形的对称性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由|x|-1=1-y2，∵ 0≤1-y2≤1，∴1≤|x|≤2得-2≤x≤-1或1≤x≤2，
当1≤x≤2时，x-1=1-y2，(x-1)2+y2=1，是圆心为(1,0)，半径为1的半圆，
同理可得E的其他部分，分别为圆心为(-1,0)半径为1的半圆，圆心为(0,1)半径为1的半圆，圆心为(0,-1)半径为1的半圆；
作曲线E的图形如下图：
图中虚线部分ABCD是边长为2的正方形；
对于A，图形的面积=2×2+4×12×π2=2π+4，错误；
对于B，由图可知x0的取值范围是[-2,2]，错误；
对于C,根据曲线的对称性可知，当直线y=x+m与(x-1)2+y2=11≤x≤2相切时，此时
1+m2=1⇒m=-2-1或m=-2+1（舍去），
故要使曲线E与直线y=x+m有公共点，则-2-1≤m≤2+1，C错误，
对于D，覆盖住曲线E的圆的半径的最小值显然是2，正确；
故选：ABC．
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A0，1，B3，1，动点P满足PA=2PB，记动点P的轨迹为曲线C，直线l:kx-y+2-3k=0(k∈R)，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C的方程为(x-4)2+(y-1)2=4B．直线l与曲线C的位置关系无法确定
C．若直线l与曲线C相交，其弦长为4，则k=-2D．BP的最大值为3
【答案】AD
【分析】设P(x,y)，代入PA=2PB，得曲线C的方程判断选项A；由直线l过的定点，判断直线l与曲线C的位置关系，验证选项B；由弦长与直径相等得直线过圆心，圆心代入直线方程求解k，验证选项C；BP的最大值为B点到圆心距离加上半径，计算验证选项D.
【详解】设动点P(x,y)，由PA=2PB，则x2+(y-1)2=2(x-3)2+(y-1)2，化简得(x-4)2+(y-1)2=4， A选项正确；
直线l:k(x-3)-y+2=0过定点D(3,2)，点D在圆C内，直线l与曲线C相交，B选项错误；
弦长为4，等于圆的直径，圆心(4,1)在l上，代入直线方程得k=-1，C选项错误；
由(x-4)2+(y-1)2=4，圆心C4,1，半径为2，BPmax=BC+2=(4-3)+2=3， D选项正确.
故选：AD
11．（22-23高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3=3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当a=1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限B．关于直线y=x对称
C．与直线x+y+1=0有公共点D．与直线x+y+1=0没有公共点
【答案】BD
【分析】根据笛卡尔叶形线的方程，即可判断AB，联立直线x+y+1=0与笛卡尔叶形线的方程，通过方程的根可判断CD.
【详解】当a=1时, 笛卡尔叶形线为x3+y3=3xy，
A：若x<0,y<0，则x3+y3<0,3xy>0,x3+y3≠3xy，故不经过第三象限，故A错误，
B：若点(x,y)在曲线上，则点(y,x)也在曲线上.故笛卡尔叶形线关于直线y=x对称，故B正确，
C,D：由方程组x3+y3=3xy,x+y=-1, 得x+y=0x+y=-1 ，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线x+y+1=0没有公共点，故D正确，C错误，
故选：BD
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）方程1-x=1-y表示的曲线的形状是 ．
【答案】两条线段
【分析】直接平方化简，结合二次根式的意义计算与直线的表示方法即可得解.
【详解】由已知方程两边平方得1-x=1-y，
结合1-y≥0,1-x≥0,∴y=x,x≤1.
∴方程表示的曲线是两条线段．
故答案为：两条线段.
13．（24-25高二·上海·随堂练习）过点-3,0，且与圆x-32+y2=4外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
【答案】x2-y28=1(x≤-1)
【分析】设点A-3,0，且圆x-32+y2=4的圆心B(3,0)，由题意|PB|=|PA|+2，即|PB|-|PA|=2<|AB|=6，得点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，计算得出方程.
【详解】点A-3,0，且圆x-32+y2=4的圆心B(3,0)，半径为2，
由题意|PB|=|PA|+2，即|PB|-|PA|=2<|AB|=6，
所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a=2，2c=6，
得b2=c2-a2=8，故圆心P的轨迹方程为x2-y28=1(x≤-1)．
故答案为：x2-y28=1(x≤-1).
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点F1-1,0,F21,0，若P为平面上的一个动点且PF1=2PF2，则点P运动所形成的曲线的方程为 ．
【答案】(x-3)2+y2=8.
【分析】设P点坐标，再根据题意列出等式，化简即可求得轨迹方程.
【详解】设P(x,y)，则由PF1=2PF2可得(x+1)2+y2=2⋅(x-1)2+y2，化简得(x-3)2+y2=8.
故答案为：(x-3)2+y2=8.
四、解答题
15．（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线y=x2+1上任意一点，A2,0，连接PA并延长至Q，使得AQ=2PA，求动点Q的轨迹方程．
【答案】y=-12x2+6x-20
【分析】设动点Q的坐标x,y，点P坐标x1,y1，根据AQ=2PA，得到x1=6-x2，y1=-y2，利用代入法求解.
【详解】解：设动点Q的坐标x,y，点P坐标x1,y1，
则AQ=x-2,y，PA=2-x1,y1，
因为AQ=2PA，
所以x-2=22-x1，y-0=20-y1，
解得x1=6-x2，y1=-y2，
代入y1=x12+1得-y2=6-x22+1，
整理得y=-12x2+6x-20，
所以动点Q的轨迹方程为y=-12x2+6x-20．
16．（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中点，且B0,0,D3,0.
(1)求点A的轨迹T的方程；
(2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当△ABD面积最大且A在第一象限时，求AE.
【答案】(1)(x-4)2+y2=4y≠0
(2)855
【分析】（1）根据两点间距离公式利用AB=2AD化简整理可得点A的轨迹T的方程为(x-4)2+y2=4y≠0；
（2）求出△ABD面积最大时点A4,2，可得AC的直线方程为2x-y-6=0，再由弦长公式可得结果.
【详解】（1）易知AB=2AD，
即x2+y2=2(x-3)2+y2，
整理可得(x-4)2+y2=4y≠0，
即点A的轨迹T的方程为(x-4)2+y2=4y≠0
（2）如下图所示:
由题意可得BD=3，当A到x距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时A4,2；
所以kAC=2-04-3=2,AC所在直线方程为2x-y-6=0
圆心4,0到直线AC的距离d=25
可得AE=2r2-d2=855.
17．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A1,1，动点P满足PA=2PO.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l：y=kx+1与轨迹C交于E，F两点，若△OEF的面积为354，求直线l的方程.
【答案】(1)x+12+y+12=4
(2)y=3x+3或y=-3x-3.
【分析】（1）设Px,y，根据PA=2PO，即可求出动点P的轨迹方程；
（2）求弦长EF和原点O到直线l的距离，表示出△OEF的面积，列方程求出k的值，可得直线l的方程.
【详解】（1）设Px,y，点A1,1，则由PA=2PO，得(x-1)2+(y-1)2=2×x2+y2，
∴动点P的轨迹C的方程为x+12+y+12=4．
（2）轨迹C是以-1,-1为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线l的距离为d1=1k2+1，则弦长EF=24-1k2+1，
坐标原点O到直线l的距离为d2=kk2+1，
则有S△OEF=12EF⋅d2=12×24-1k2+1⋅kk2+1=354，
解得k2=3，即k=±3，
求直线l的方程为y=3x+3或y=-3x-3.
18．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知圆M:x2+(y-2)2=r2(r>0)被x轴分成两段弧，弧长之比为3:1．
(1)求r；
(2)若动点P到坐标原点O的距离等于5,Q为圆M上一动点，求PQ的取值范围．
【答案】(1)22
(2)3-22,7+22
【分析】（1）由题意得∠AMB=14×2π=π2，据此即可求解；
（2）求出点P的轨迹方程，求出|OM|，根据圆M与圆O的关系即可求解.
【详解】（1）由题意得M0,2，设圆M与x轴从左到右依次交于A,B，
由题意得∠AMB=14×2π=π2，
则∠OMA=12∠AMB=π4，
所以r=AM=2OM=22；
（2）由题意得P的轨迹为圆O:x2+y2=25，
易得OM=2，因为2<5-22，
所以圆M与圆O内含，故5-22-2≤PQ≤5+22+2，
即PQ的取值范围为3-22,7+22.
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知⊙C经过点A1,3和B5,1，且圆心C在直线x-y+1=0上.
(1)求⊙C的方程；
(2)设动直线l与⊙C相切于点M，点N8,0.若点P在直线l上，且PM=PN，求动点P的轨迹方程.
【答案】(1)(x-5)2+(y-6)2=25
(2)3x-6y-14=0
【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程；
（2）由圆的切线，得|PM|2+|MC|2=|PC|2，所以|PN|2+|MC|2=|PC|2，化简可得动点P的轨迹方程.
【详解】（1）由题意，设⊙C的圆心Ca,a+1，半径为r，
则(1-a)2+(3-a-1)2=r2,(5-a)2+(1-a-1)2=r2.
解得：a=5,r=5.
所以⊙C的方程为(x-5)2+(y-6)2=25.
（2）由平面几何，知△PMC为直角三角形，且PM⊥MC，
所以|PM|2+|MC|2=|PC|2.
由PM=PN，得|PN|2+|MC|2=|PC|2.
设Px,y，则(x-8)2+y2+25=(x-5)2+(y-6)2.
即3x-6y-14=0，经检验符合题意.
所以动点P的轨迹方程为3x-6y-14=0.
课程标准
学习目标
了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.
熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.
3.掌握求动点轨迹方程的方法
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系：
1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程Fx,y=0
C．坐标不满足方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程Fx,y=0的点的轨迹
【答案】B
【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.
【详解】对于A，若坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，则方程Fx,y=0的曲线M可能只是曲线C的一部分，
此时曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程Fx,y=0，故A选项中的命题错误.
对于B，命题"不在曲线C上的点的坐标都不满足程Fx,y=0“与已知条件中的命题互为逆否命题.因为互为逆否命题的两个命题真假相同，所以B选项中的命题正确.
对于C，由A选项的分析过程得，曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程Fx,y=0，
但这些点在曲线C上，故C选项中的命题错误.
对于D，由A选项的分析过程可知，D选项中的命题错误.
故选：B.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程xy=5之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系．
【答案】(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是xy=5．
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0．
【详解】（1）与两坐标轴的距离之积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5，如点-1,5，
但以方程xy=5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5．
因此，与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是xy=5．
（2）第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0；
反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．
因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0．
知识点02两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21高二·全国·课后作业）曲线x2+y2+2x=0与曲线y+x=0的交点个数是 ．
【答案】2
【分析】联立方程，方程组解的个数即为交点个数．
【详解】由x2+y2+2x=0y+x=0可得，x2+x=0，所以x=0y=0或x=-1y=-1，所以交点个数是2．
故答案为：2．
【即学即练4】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知A-1,0，B1,0，C为平面内的一个动点，且满足|AC|:|BC|=2，则点C的轨迹方程为 .
【答案】x2+y2-6x+1=0
【分析】设C(x,y)，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解．
【详解】设C(x,y)，由|AC|:|BC|=2，则(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，
即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，
即x2+y2-6x+1=0，
所以点C的轨迹方程为x2+y2-6x+1=0．
故答案为：x2+y2-6x+1=0．
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）等腰三角形ABC底边两端点分别为A(-3,0),B3,0，顶点C的轨迹是（ ）
A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质分析即可.
【详解】∵△ABC为等腰三角形且AB为底边，∴CA=CB,∴点C在AB的中垂线上．
又∵C为AB的中点时不能构成三角形，∴点C的轨迹应是一条直线去掉一点．
故选：B
【即学即练6】（21-22高二·全国·课后作业）判断直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
【答案】相交，交点坐标为：(10,-1)和(-52,4).
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：y=-10x2x+5y-15=0⇒2x2-15x-50=0，
解得x=10，或x=-52，
当x=10时，y=-1；
当x=-52时，y=4，
因此直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x相交，交点坐标为：(10,-1)和(-52,4).
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线E:x2+y23=8x2y2的图象是四叶草曲线，设Px0,y0为E上任意一点，且满足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【答案】513
【分析】由题意明确曲线的性质，确定符合题意的点的个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由x2+y23=8x2y2≤8x2+y222，得x2+y2≤2，当且仅当x2=y2=1时取等号，
可知|x0|≤2，故满足x0∈Z且y0∈Z的点P仅有(-1,-1),(-1,1),(0,0),(1,-1),(1,1)，共5个．
令x0=0，则y0=0，由于E:x2+y23=8x2y2的图象关于x轴、y轴、坐标原点、y=x对称，
因此只需研究第一象限图象上横坐标或纵坐标为整数的点的情况，
令x0=1，则1+y23=8y2，不妨设y>0，则有1+y2=2y23，
令y23=t,t>0，则有1+t3=2t，化简有t-1t2+t-1=0，解得t=1或t=5-12，
则1+y2=2y23有两个正根1，5-123．
故结合曲线对称性可知在第一象限，横坐标或纵坐标为整数的点共有3个：1,1,1,5-123,5-123,1．
故整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个，
所以任取一点P，该点为格点的概率为513．
故答案为：513
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确四叶草曲线的对称性，由此确定符合题意的点的个数.
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0
C．凡坐标不适合方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程Fx,y=0
【答案】B
【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可.
【详解】由于“坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0”互为逆否命题，
所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0”是正确的，故B对，D错；
对于点集A=x,y|Fx,y=x2+y2-1=0∪0,0而言，
0,0不满足Fx,y=x2+y2-1=0，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合A），故A、C错误.
故选：B.
变式1．（21-22高二上·贵州遵义·期末）设方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
【答案】D
【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线.
【详解】由x-12+y2+1>0，可得x2+y2-2x+2>0，
则由x+2y-1x2+y2-2x+2=0，可得x+2y-10=0，
则方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲线是一条直线.
故选：D
变式2．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．y=x与y2=xB．y=x与xy=1
C．y2-x2=0与y=xD．y=lgx2与y=2lgx
【答案】C
【分析】根据x,y的范围以及曲线方程确定正确答案.
【详解】A选项，y=x中y≥0，y2=x中y∈R，所以不是相同曲线.
B选项，y=x中y∈R，xy=1中y≠0，所以不是相同曲线.
C选项，y=x⇔y2=x2⇔y2-x2=0，是相同曲线，C选项正确.
D选项，y=lgx2中x≠0，y=2lgx中x>0，，所以不是相同曲线.
故选：C
变式3．（2014高三·全国·专题练习）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲线是（ ）
A．—个圆B．两个圆
C．一个半圆D．两个半圆
【答案】D
【分析】方程可化为(|x|-1)2+(y-1)2=1，去绝对值分x≤-1，x≥1两种情况解决即可.
【详解】方程可化为(|x|-1)2+(y-1)2=1，
因为|x|-1≥0，
所以x≤-1或x≥1，
若x≤-1时，则方程为(x+1)2+(y-1)2=1；
若x≥1时，则方程为(x-1)2+(y-1)2=1，
故选：D
变式4．(多选)（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知曲线C:x2-y2-xy=1，则（ ）
A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C关于y轴对称
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
【答案】ACD
【分析】A选项，利用对称性质判断即可，取特殊点验证即可B选项；
将方程转化为关于y的二次方程，由方程有解即可判断C选项；
换元法，令t=x-y，则x=y+t代入原方程中，利用方程有解判别式
解之即可得D选项.
【详解】因为点P(x,y)在曲线C:x2-y2-xy=1上，
所以点P1(-x,-y)满足(-x)2-(-y)2-(-x)(-y)=x2-y2-xy=1，
所以A正确；
若P(2,1)，因为点P'(-2,1)不满足C的方程，
所以B错误；
因为x2-y2-xy=1，
所以y2+xy+1-x2=0，
所以x2-41-x2≥0，
所以x≤-255或x≥255，所以C正确；
设t=x-y，则x=y+t，
所以(y+t)2-y2-(y+t)y=1，
所以y2-ty+1-t2=0，
所以t2-41-t2≥0，
所以t2≥45，
所以x2-2xy+y2≥45，
所以D正确．
故选：ACD
变式5．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知曲线Γ：Fx，y=0对坐标平面上任意一点Px，y，定义FP＝Fx，y．若两点P，Q满足FP⋅FQ＜0，称点P，Q在曲线Γ两侧．记到点0，1与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲线C上总存在两点M，N在曲线Γ两侧，则实数a的取值范围是
【答案】6＜a＜24．
【分析】到点0，1与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，求出轨迹方程.分类讨论：当0≤y≤3时和当-2≤y≤0时，利用FP⋅FQ＜0，求解a的范围．
【详解】设曲线C上的动点为x，y，则x2+(y-1)2+|y|=5，
化简得曲线C的方程为x2=83-y，0≤y≤3和x2=12y+2，-2≤y≤0.
其轨迹为两段抛物线弧
当0≤y≤3时，Fx，y=y2-9y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
当-2≤y≤0时，Fx，y=y2+11y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
故若有FM⋅FN＜0，则6-a24-a＜0⇒6＜a＜24．
故答案为：6＜a＜24．
变式6．（22-23高三·全国·课后作业）方程xx2+y2-1=0表示的曲线是 .
【答案】直线x=0和单位圆x2+y2=1
【分析】由方程xx2+y2-1=0即可求解.
【详解】由方程xx2+y2-1=0可得：x=0或x2+y2=1，
所以方程xx2+y2-1=0表示的曲线是直线x=0和单位圆x2+y2=1，
故答案为：直线x=0和单位圆x2+y2=1.
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y=r2-x2；
(2)过点A2,0平行于y轴的直线l的方程为x=2．
【答案】(1)不正确
(2)不正确
【分析】（1）利用圆的方程定义判断即可.
（2）利用直线方程的定义判断即可.
【详解】（1）不正确．
设x0,y0是方程y=r2-x2的解，则y0=r2-x02，即x02+y02=r2，
两边开平方取算术平方根，得x02+y02=r，即点x0,y0到原点的距离等于r，
点x0,y0是这个圆上的点，因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点；
但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(r2,-32r)在圆上，
却不是y=r2-x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解，
所以以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y=r2-x2，而应是y=±r2-x2．
（2）不正确．
直线l上的点的坐标都是方程x=2的解；
但是坐标满足x=2的点，不一定在直线l上，如点(-2,0)不在直线l上，
因此x=2不是直线l的方程，直线l的方程应为x=2．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A⊆B且B⊆A，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线C的方程为x2+y2+xy=2022，则曲线C关于（ ）对称
A．x轴B．y轴C．原点D．直线y=x
【答案】B
【分析】利用坐标互换一一判定选项即可.
【详解】曲线C的方程为x2+y2+xy=2022，
将x换为-x,y不变，原方程仍为x2+y2+xy=2022，所以曲线C关于y轴对称；
将y换为-y,x不变，原方程变为x2+y2-xy=2022，所以曲线C不关于x轴对称；
将x换为-x,y换为-y，原方程变为x2+y2-xy=2022，所以曲线C不关于原点对称；
将x换为y,y换为x，原方程变为x2+y2+yx=2022，
所以曲线C不关于直线y=x对称．
故选:B．
变式1．已知曲线C方程为x2+y2+xy=2023，则曲线C关于（ ）
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y=x对称
【答案】B
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】用-y替换方程中的y，方程变为x2+y2-xy=2023，
与原方程不同，故曲线C不关于x轴对称，故A错误；
用-x替换方程中的x，方程可化为为x2+y2+xy=2023，
与原方程相同，故曲线C关于y轴对称，故B正确；
用-x和-y替换方程中的x和y，化简后方程变为x2+y2-xy=2023，
故曲线C不关于原点对称，故C错误；
用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程变为x2+y2+yx=2023，
故C不关于直线y=x对称，故D错误.
故选：B.
变式2．关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y=x对称D．关于原点中心对称
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可.
【详解】对于A，用-y换方程中的y，得x2-xy+2y2=4，方程发生变化，即曲线关于x轴不对称，A错误；
对于B，用-x换方程中的x，得x2-xy+2y2=4，方程发生变化，即曲线关于y轴不对称，B错误；
对于C，用x换y，y换x，得2x2+xy+y2=4，方程发生变化，即曲线关于y=x轴不对称，C错误；
对于D，将点-x,-y代入原方程仍为x2+xy+2y2=4，因此曲线关于原点中心对称D正确.
故选：D
变式3．两个曲线方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A．曲线C1关于y＝x对称
B．曲线C2关于原点对称
C．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1<12
D．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2<π4
【答案】D
【分析】在曲线C1上任取一点(a,b)，验证点(b,a)也在曲线上，可判断A的正误；在曲线C2上任取一点(a,b)，验证点(-a,-b)也在曲线C2上，可判断B的正误；比较曲线C1与直线x+y=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断C的正误；曲线C2与圆x2+y2=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断D的正误.
【详解】A．在曲线C1上任取一点(a,b)，则a+b=1，
点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，且b+a=1，
所以曲线C1关于y=x对称，故A正确；
B．在曲线C2上任取一点(a,b)，则a4+b4＝1，
点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)，则(-a)4+(-b)4=a4+b4=1，
所以曲线C2关于原点对称，故B正确；
C．对于等式x+y=1,0≤y≤1，可得0≤y≤1，同理可得0≤x≤1，
当0
直线x+y=1交x轴于点A(1,0)，交y轴于点B(0,1)，
所以S1
则1=a4+b4
圆x2+y2=1在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为π4×12=π4，
所以S2>π4，故D错误．
故选：D．
变式4．（多选）某曲线C的方程为x2-xy+y2=4，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于y=x对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线x+y-1=0交于A、B两点，则AB=10
D．点x,y在曲线C上，则x2+xy+y2的取值范围为43,12
【答案】AD
【分析】对A，交换x，y即可判断；对B，利用判断式法即可判断；对C，将直线方程与曲线C方程联立解出A,B点坐标即可；对D，利用基本不等式将其转化为求xy的范围即可.
【详解】对于A：将x，y互换代入曲线C，
得x2-xy+y2=4，方程不变，所以曲线C关于y=x对称，所以A选项正确：
对于B：x2-xy+y2=4，即x2-xy+y2-4=0，
将其看成关于x的一元二次方程，根据判别式法得Δ=-y2-4×1×y2-4≥0，
解得-433≤y≤433，若y=433，则x2-433x+4332-4=0，此时x=233，故B错误.
对于C：将x+y-1=0代入方程，
可得(x-1)2=4，即x-1=±2，解得x=3或x=-1，
所以A(3,-2),B(-1,2)，
则|AB|=(3+1)2+(-2-2)2=42，所以C选项错误；
对于D：因为x2+xy+y2=x2-xy+y2+2xy=4+2xy，
由题意可知x2-xy+y2=4，即x2+y2=4+xy，
又因为x2+y2≥2xy，
所以4+xy≥2xy，则xy≤4，当且仅当x=y=±2时等号成立；
因为x2+y2≥-2xy，则4+xy≥-2xy，则xy≥-43，当且仅当x=-y=±233时等号成立；
则-43≤xy≤4，此时43≤4+2xy≤12，
即43≤x2+xy+y2≤12，所以D选项正确.
故选:ABD.
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（ ）
A．x29-y24=0B．2y-x2=0
C．4x2+9y=1D．2x2-4x+y4=2
【答案】AC
【分析】依次将x,-y，-x,y代入曲线方程验证方程是否成立即可.
【详解】x,y关于x轴的对称点为x,-y，关于y轴的对称点为-x,y；
对于A，x29--y24=x29-y24=0，-x29-y24=x29-y24=0，
∴x29-y24=0既关于x轴对称，又关于y轴对称，A正确；
对于B，2-y-x2=-2y-x2，2y--x2=2y-x2=0，
∴2y-x2=0不关于x轴对称，关于y轴对称，B错误；
对于C，4x2+9-y=4x2+9y=1，4-x2+9y=4x2+9y=1，
∴4x2+9y=1既关于x轴对称，又关于y轴对称，C正确；
对于D，2x2-4x+-y4=2x2-4x+y4=2，2-x2-4-x+y4=2x2+4x+y4，
2x2-4x+y4=2关于x轴对称，不关于y轴对称，D错误.
故选：AC.
变式6．（多选）已知曲线C：|x-a|a+|y-b|b=1(a>b>0)，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线C关于(a,b)对称
B．x2+y2的最小值为a2b2a2+b2
C．曲线C的周长为2(a+b)
D．曲线C围成的图形面积为2ab
【答案】ABD
【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A；利用x2+y2的几何意义判断B；计算曲线的周长与所围图形面积判断CD．
【详解】对于A，设(x0,y0)是曲线上的任一点，则|x0-a|a+|y0-b|b=1，
则(2a-x0)-aa+(2b-y0)-bb=1，即点(2a-x0,2b-y0)也在曲线上，
而点(x0,y0)与(2a-x0,2b-y0)是关于(a,b)对称的，由(x0,y0)的任意性，A正确；
对于B，当x≤a,y≤b时，方程|x-a|a+|y-b|b=1化为a-xa+b-yb=1，
即xa+yb=1，其中0≤x≤a,0≤y≤b，表示一条线段，
同理当a≤x ≤2a,0≤y≤b时，方程为xa-yb=1，当0≤x≤a,b≤y≤2b时，
方程为-xa+yb=1，当a≤x≤2a,b≤y≤2b时，方程为xa+yb=3，
则方程|x-a|a+|y-b|b=1(a>b>0)表示的曲线是以A(a,0),B(0,b),C(a,2b),D(2a,b)为顶点的菱形M，如图，
x2+y2表示菱形M上点到原点距离的平方，原点到AB的距离为△OAB斜边AB上的高h=aba2+b2，
因此x2+y2的最小值为a2b2a2+b2，B正确；
对于C，菱形M的周长为4a2+b2，C错误；
对于D，菱形M的面积为12×2a×2b=2ab，D正确．
故选：ABD
变式7．设曲线C的方程为：F(x,y)=0，一般有如下规律：
①如果以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以-x代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以-x代替x，以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C的方程为：|x||y|=1，则曲线C关于 对称.
【答案】 x轴 y轴 原点 原点
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
【答案】C
【分析】对于A：当x<0,y<0时，判断x3+y3-3xy=0是否可能成立即可；对于B：将点y,x代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.
【详解】当a=1，则方程为x3+y3-3xy=0
对于A：若x<0,y<0，则x3<0,y3<0,xy>0，
所以x3+y3-3xy<0，即曲线不经过第三象限，故A正确；
对于B：将点y,x代入方程得y3+x3-3yx=x3+y3-3xy=0，
所以曲线关于直线y = x对称，故B正确；
对于C、D：联立方程x+y=-1x3+y3-3xy=0，
由x+y=-1可得y=-x-1，
将y=-x-1代入方程可得x3+y3-3xy=x3+-x-13-3x-x-1=x3-x3-3x2-3x-1+3x2+3x=-1≠0，
所以方程组x+y=-1x3+y3-3xy=0无解，即曲线与直线x + y =－1没有公共点，
故C错误，D正确；
故选：C.
变式1．曲线y=1-x2和y=-x+2公共点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】作出曲线y=1-x2和y=-x+2的图形，可得出结论.
【详解】由y=1-x2可得x2+y2=1y≥0，曲线y=1-x2表示圆x2+y2=1的上半圆，
如下图所示：
因为原点O到直线y=-x+2的距离为d=212+12=1，
所以，曲线y=1-x2与直线y=-x+2相切，且切点在第一象限.
故选：C.
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3+y3-3axy=0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线y=x对称
C．曲线与直线x+y=-1有公共点
D．曲线与直线x+y=-1没有公共点
【答案】ABD
【分析】A：当x,y<0时，判断x3+y3-3xy=0是否可能成立即可；
B：将点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同即可；
C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.
【详解】当x,y<0时，x3+y3-3xy<0，故第三象限内的点不可能在曲线上，A选项正确；
将点y,x代入曲线有程得x3+y3-3xy=0，故曲线关于直线y=x对称，B选项正确；
联立x3+y3-3xy=0,x+y=-1,其中x3+y3-3xy=x+yx2+y2-xy-3xy=0，
将x+y=-1代入得-(x+y)2=0，即x+y=0，则方程组无解，故曲线与直线x+y=-1无公共点，C选项错误，D选项正确.
故选：ABD.
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线x+y-5=0仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．y2=-45xB．x22-y22=1C．x2+y2=52D．x29+y24=1
【答案】ABC
【分析】分别将直线方程与曲线方程联立方程组求解即可
【详解】对于A，由x+y-5=0y2=-45x，得y2-45y+20=0，因为Δ=(-45)2-4×20=0，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以A正确，
对于B，将直线方程x+y-5=0代入x22-y22=1中整理得25y-3=0，方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以B正确，
对于C，将直线方程x+y-5=0代入x2+y2=52中整理得4x2-45x+5=0，因为Δ=(-45)2-4×4×5=0，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以C正确，
对于D，将直线方程x+y-5=0代入x29+y24=1中整理得13x2-185x+9=0，因为Δ=(-185)2-4×13×9>0，所以方程组有两组解，所以直线与曲线有两个交点，所以D错误，
故选：ABC
变式4．曲线x24+ay2=1上存在四个点A, B, C, D满足四边形ABCD是正方形，则实数a的取值范围是 ．
【答案】-14,+∞
【分析】由题意可得x24+ay2=1与y=x有两个不同的交点，联立即可求解.
【详解】由题意可得x24+ay2=1与y=x有两个不同的交点，
联立y=xx24+ay2=1，可得14+ax2=1.
易知14+a≠0，故x2=114+a，
要x24+ay2=1与y=x有两个不同的交点，可得114+a>0,解得a∈-14,+∞.
故答案为:-14,+∞.
变式5．关于曲线C：1x2+1y2=1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线x±y=0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.
【详解】对于①，将方程中的x换为-x，y换为-y，得1-x2+1-y2=1x2+1y2=1，所以曲线C关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的x换为y或-y，y换为x或-x，得1y2+1x2=1-y2+1-x2=1x2+1y2=1，所以曲线C关于直线x±y=0对称，故②正确；
对于③，由1x2+1y2=1得1y2=1-1x2≥0，即x2≥1，同理y2≥1，显然曲线C不是封闭图形，故③错误；
对于④，由③知曲线C不是封闭图形，联立1x2+1y2=1x2+y2=2，消去y2，得x4-2x2+2=0，令t=x2，则上式转化为t2-2t+2=0，由Δ=-22-4×2=-4<0可知方程无解，因此曲线C与圆x2+y2=2无公共点，故④正确.
故答案为：①②④.
变式6．直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x交点的坐标为 ．
【答案】(10,-1)和(-52,4).
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：y=-10x2x+5y-15=0⇒2x2-15x-50=0，
解得x=10，或x=-52，
当x=10时，y=-1；
当x=-52时，y=4，
因此直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x交点坐标为：(10,-1)和(-52,4).
故答案为：(10,-1)和(-52,4)
变式7．已知曲线C1的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是y=x，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【答案】C1与C2有三个交点，交点坐标为0,0、1,1、-1,1
【分析】联立两曲线的方程，求出方程组的公共解，即可得出结论.
【详解】解：联立两个方程得方程组x2-y=0y=x，
解方程组可得x=0y=0或x=1y=1或x=-1y=1，
因此C1与C2有三个交点，且交点坐标为0,0、1,1、-1,1.
【题型4：轨迹方程问题】
例4．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知M､N两点坐标分别-2,0,2,0.直线MK､NK相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为（ ）
A．3x2-2xy-12=0x≠±2B．3y2-2yx-12=0x≠±2
C．x24+y23=1x≠±2D．x23-y24=1x≠±2
【答案】A
【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果.
【详解】设Kx,y，则直线KM的斜率为kKM=yx+2，直线KN的斜率为kKN=yx-2，
依据题意可知，kKM+kKN=yx+2+yx-2=3，化简得：3x2-2xy-12=0，
因为直线KM、KN的斜率存在，所以x≠±2，
所以3x2-2xy-12=0x≠±2，
故选：A.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1:5x-2y+3m3m+1=0和直线l2：2x+6y-3m9m+20=0，则两直线l1,l2交点的轨迹方程是 ．
【答案】y=12x2+3x
【分析】联立两直线方程用m表示交点坐标，再消元化简即可.
【详解】联立两直线方程得5x-2y+3m3m+1=02x+6y-3m9m+20=0,
解之得x=3my=92m2+9m，消去参数m得y=12x2+3x，
所以两直线l1,l2交点的轨迹方程为：y=12x2+3x．
故答案为：y=12x2+3x.
变式2．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接点P与定点Q4,0，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【答案】x-22+y2=14
【分析】根据相关点法，利用中点坐标找到动点的关系，代入已知点的轨迹方程化简即可求解.
【详解】设Mx,y,Pxp,yp,Q4,0,由中点坐标公式可得2x=xp+4,2y=yp+0,
可得P2x-4,2y，
由于P2x-4,2y在圆x2+y2=1上运动，所以2x-42+2y2=1，
即x-22+y2=14，
所以M的轨迹方程为x-22+y2=14.
变式3．（24-25高二上·全国·课堂例题）动点M在曲线x2+y2=1上移动，点M和定点B3,0连线的中点为P，求点P的轨迹方程.
【答案】x-322+y2=14
【分析】设出M和P点的坐标，利用中点坐标公式把M点的坐标用P点的坐标和常数表示，再由M在定圆上，把M的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案.
【详解】设Px,y，Mx0,y0，
因为P为MB的中点，所以x=x0+32y=y02，即x0=2x-3y0=2y，
又因为点M在曲线x2+y2=1上，所以x02+y02=1，
所以2x-32+4y2=1．
所以点P的轨迹方程为2x-32+4y2=1即x-322+y2=14.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0．
(1)求直线l与圆相交时，它的斜率k的取值范围；
(2)当l与圆相交于不同的两点A,B时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)-255,255
(2)x-322+y2=94，53
（2）设A,B,M坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用A、B坐标表示M坐标，消参化简即可.
【详解】（1）∵圆C1:x2+y2-6x+5=0，整理可得标准方程为(x-3)2+y2=4，
∴圆C1的圆心坐标为3,0，半径为2．
设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
∵直线l与圆C1相交，
∴圆心C1到直线l的距离d=3kk2+1<2，
解得-255
（2）由（1）知直线l的方程为y=kx，k2<45．
设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx,y,
将直线l与圆C1的方程联立，可得1+k2x2-6x+5=0．
由根与系数的关系可得x1+x2=61+k2，所以y1+y2=kx1+x2=6k1+k2．
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为x=31+k2y=3k1+k2，
其中-255
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=94，其中53
【答案】x-42+y-22=40（x≠-2且x≠10）
【分析】设Cx,y，求出AB=210，则AC=x-42+y-22=210，化简后再去掉个别点即可.
【详解】设点C的坐标为x,y，
∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点，∴AB=AC．
又∵AB=4+22+22=210，
∴AC=x-42+y-22=210，
∴x-42+y-22=40．
又∵点C不能与点B重合，也不能使A，B，C三点共线．
∴x≠-2且x≠10，
∴点C的轨迹方程为x-42+y-22=40（x≠-2且x≠10）．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为x2+y24=1，过点M0,1的直线l交椭圆于点A,B,O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
【答案】4x2+y2-y=0
【分析】设P坐标，当直线l斜率存在时，设l的点斜式方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示P坐标，消参即可得P轨迹方程，再验证l斜率不存在时即可.
【详解】解:设Px,y是所求轨迹上的任一点
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1,Ax1,y1,Bx2,y2．
由x2+y24=1y=kx+1得4+k2x2+2kx-3=0，则x1+x2=-2k4+k2,y1+y2=84+k2，
由OP=12OA+OB得x,y=12x1+x2,y1+y2，即x=x1+x22=-k4+k2y=y1+y22=44+k2，
消去k得4x2+y2-y=0．
②当直线l的斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程．
综上，动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0．
变式7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点C2,0，②圆G恒被直线mx-y-m=0m∈R平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点A0,0，B1,1，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设D6,5，P是圆G上的动点，求线段DP的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)x2+y2-2x=0
(2)4x2+4y2-28x-20y+73=0，M的轨迹是一个圆.
【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可；
（2）画出图形，运用相关点法求解即可.
【详解】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，
则F=02+D+E+F=04+2D+F=0，解得D=-2E=0F=0，
则圆G的方程为x2+y2-2x=0.
方案二：选条件②
直线mx-y-m=0恒过点1,0.
因为圆G恒被直线mx-y-m=0m∈R平分，所以mx-y-m=0恒过圆心，
所以圆心坐标为1,0，又圆G经过点A0,0，
所以圆的半径r=1，所以圆G的方程为x-12+y2=1，即x2+y2-2x=0.
方案三：选条件③
设圆G的方程为x-a2+y-b2=r2，
由题意可得a=ra2+b2=r21-a2+1-b2=r2，解得a=1b=0r=1，
则圆G的方程为x-12+y2=1，即x2+y2-2x=0.
（2）设Mx,y，因为M为线段DP的中点，所以P2x-6,2y-5，
因为点P是圆G上的动点，所以2x-62+2y-52-2×2x-6=0，
即4x2+4y2-28x-20y+73=0，
所以M的轨迹是一个圆.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0上的动点Q （x1， y1）存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）方程x2+xy=x的曲线是（ ）
A．一个点B．一个点和一条直线
C．一条直线D．两条直线
【答案】D
【分析】变形给定方程，即可判断得解.
【详解】方程x2+xy=x，化为x(x+y-1)=0，则x=0或x+y-1=0，
所以方程x2+xy=x的曲线是直线x=0和直线x+y-1=0.
故选：D
2．（22-23高二·全国·课后作业）到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A．y=2xx≠0B．y=±2xx≠0C．x=2yx≠0D．x=±2yx≠0
【答案】B
【分析】根据到x轴距离与到y轴距离之比等于2，列出等式即可求解.
【详解】设该动点为(x,y)，则有yx=2，即y=±2xx≠0，
故选:B.
3．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程是Fx,y=0，则曲线C关于x轴对称的曲线方程是（ ）
A．F-x,y=0B．Fx,-y=0
C．F-x,-y=0D．Fy,x=0
【答案】B
【分析】用-y代换曲线C的方程中的y，得到Fx,-y=0，即可求解.
【详解】根据曲线的对称性质得，用-y代换曲线C的方程是Fx,y=0中的y，可得Fx,-y=0，
则曲线C关于x轴对称的曲线方程Fx,-y=0.
故选：B.
4．（21-22高二下·河南郑州·期中）将曲线Fx,y=0上的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程为（ ）
A．Fx2,3y=0B．F2x,y3=0
C．Fx2,y3=0D．F2x,3y=0
【答案】B
【分析】根据曲线变换原则可直接得到结果.
【详解】设Px0,y0为Fx,y=0上的任意一点，P'x,y为变换后的曲线上与P对应的点，
则x=12x0，y=3y0，∴x0=2x，y0=13y，∴F2x,y3=0，
即所得的曲线方程为：F2x,y3=0.
故选：B.
5．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为x2-xy+y-5=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．(-1,2)；B．(1,-2)；C．(2,-3)；D．(3,6)．
【答案】A
【分析】利用点与曲线的关系即可求解.
【详解】对于A，将(-1,2)代入方程(-1)2-(-1)×2+2-5=0，所以点(-1,2)在曲线上，故A正确；
对于B，将(1,-2)代入方程12-1×(-2)+(-2)-5=-4≠0，所以点(1,-2)不在曲线上，故B不正确；
对于C，将(2,-3)代入方程22-2×(-3)+(-3)-5=2≠0，所以点(2,-3)不在曲线上，故C不正确；
对于D，将(3,6)代入方程32-3×6+6-5=-8≠0，所以点(3,6)不在曲线上，故D不正确；
故选：A.
6．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA=AP，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4
【答案】B
【分析】用相关点法即可求解，设P为(x,y)，通过RA=AP将R点坐标表示出来，R坐标满足l方程，代入即可得到答案﹒
【详解】设P(x,y)，Rx1,y1，由RA=AP知，点A是线段RP的中点，
∴&x＋x12＝1，&y＋y12＝0，即x1＝2-xy1＝-y，
∵点Rx1,y1在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1-4，
∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．
故选：B﹒
7．（21-22高二上·贵州·阶段练习）已知点A-4,0，B-1,0，动点M(x,y)满足|MA|=2|MB|，则动点M轨迹方程为（ ）
A．x2+y2=4B．x24+y2=1C．x2-y23=1D．y2=4x
【答案】A
【分析】根据两点间的距离公式求出MA，MB，利用|MA|=2|MB|求出轨迹方程.
【详解】∵ M(x,y)，A-4,0 ，B-1,0
∴ MA=(x+4)2+y2，MB=(x+1)2+y2
又∵动点M(x,y)满足|MA|=2|MB|
∴(x+4)2+y2=2(x+1)2+y2
两边平方后可得x2+8x+16+y2=4x2+8x+4+4y2
整理后可得：x2+y2=4
故选：A
8．（20-21高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A．x-y=1B．x-y=1
C．x-y=1D．x±y=1
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质结合题意进行求解即可.
【详解】设点的坐标为(x,y)，由题意可知：平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是x-y=1，
故选：C
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线E是由方程x-1=1-y2和y-1=1-x2共同构成，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线E围成的图形面积为π+4
B．若点x0,y0在曲线E上，则x0的取值区间是-2,2
C．若E与直线y=x+m有公共点，则-4≤m≤4
D．若圆x2+y2=r2(r>0)能覆盖曲线E，则r的最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据曲线的方程可得曲线的图形，利用图形的对称性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由|x|-1=1-y2，∵ 0≤1-y2≤1，∴1≤|x|≤2得-2≤x≤-1或1≤x≤2，
当1≤x≤2时，x-1=1-y2，(x-1)2+y2=1，是圆心为(1,0)，半径为1的半圆，
同理可得E的其他部分，分别为圆心为(-1,0)半径为1的半圆，圆心为(0,1)半径为1的半圆，圆心为(0,-1)半径为1的半圆；
作曲线E的图形如下图：
图中虚线部分ABCD是边长为2的正方形；
对于A，图形的面积=2×2+4×12×π2=2π+4，错误；
对于B，由图可知x0的取值范围是[-2,2]，错误；
对于C,根据曲线的对称性可知，当直线y=x+m与(x-1)2+y2=11≤x≤2相切时，此时
1+m2=1⇒m=-2-1或m=-2+1（舍去），
故要使曲线E与直线y=x+m有公共点，则-2-1≤m≤2+1，C错误，
对于D，覆盖住曲线E的圆的半径的最小值显然是2，正确；
故选：ABC．
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A0，1，B3，1，动点P满足PA=2PB，记动点P的轨迹为曲线C，直线l:kx-y+2-3k=0(k∈R)，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C的方程为(x-4)2+(y-1)2=4B．直线l与曲线C的位置关系无法确定
C．若直线l与曲线C相交，其弦长为4，则k=-2D．BP的最大值为3
【答案】AD
【分析】设P(x,y)，代入PA=2PB，得曲线C的方程判断选项A；由直线l过的定点，判断直线l与曲线C的位置关系，验证选项B；由弦长与直径相等得直线过圆心，圆心代入直线方程求解k，验证选项C；BP的最大值为B点到圆心距离加上半径，计算验证选项D.
【详解】设动点P(x,y)，由PA=2PB，则x2+(y-1)2=2(x-3)2+(y-1)2，化简得(x-4)2+(y-1)2=4， A选项正确；
直线l:k(x-3)-y+2=0过定点D(3,2)，点D在圆C内，直线l与曲线C相交，B选项错误；
弦长为4，等于圆的直径，圆心(4,1)在l上，代入直线方程得k=-1，C选项错误；
由(x-4)2+(y-1)2=4，圆心C4,1，半径为2，BPmax=BC+2=(4-3)+2=3， D选项正确.
故选：AD
11．（22-23高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3=3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当a=1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限B．关于直线y=x对称
C．与直线x+y+1=0有公共点D．与直线x+y+1=0没有公共点
【答案】BD
【分析】根据笛卡尔叶形线的方程，即可判断AB，联立直线x+y+1=0与笛卡尔叶形线的方程，通过方程的根可判断CD.
【详解】当a=1时, 笛卡尔叶形线为x3+y3=3xy，
A：若x<0,y<0，则x3+y3<0,3xy>0,x3+y3≠3xy，故不经过第三象限，故A错误，
B：若点(x,y)在曲线上，则点(y,x)也在曲线上.故笛卡尔叶形线关于直线y=x对称，故B正确，
C,D：由方程组x3+y3=3xy,x+y=-1, 得x+y=0x+y=-1 ，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线x+y+1=0没有公共点，故D正确，C错误，
故选：BD
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）方程1-x=1-y表示的曲线的形状是 ．
【答案】两条线段
【分析】直接平方化简，结合二次根式的意义计算与直线的表示方法即可得解.
【详解】由已知方程两边平方得1-x=1-y，
结合1-y≥0,1-x≥0,∴y=x,x≤1.
∴方程表示的曲线是两条线段．
故答案为：两条线段.
13．（24-25高二·上海·随堂练习）过点-3,0，且与圆x-32+y2=4外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
【答案】x2-y28=1(x≤-1)
【分析】设点A-3,0，且圆x-32+y2=4的圆心B(3,0)，由题意|PB|=|PA|+2，即|PB|-|PA|=2<|AB|=6，得点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，计算得出方程.
【详解】点A-3,0，且圆x-32+y2=4的圆心B(3,0)，半径为2，
由题意|PB|=|PA|+2，即|PB|-|PA|=2<|AB|=6，
所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a=2，2c=6，
得b2=c2-a2=8，故圆心P的轨迹方程为x2-y28=1(x≤-1)．
故答案为：x2-y28=1(x≤-1).
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点F1-1,0,F21,0，若P为平面上的一个动点且PF1=2PF2，则点P运动所形成的曲线的方程为 ．
【答案】(x-3)2+y2=8.
【分析】设P点坐标，再根据题意列出等式，化简即可求得轨迹方程.
【详解】设P(x,y)，则由PF1=2PF2可得(x+1)2+y2=2⋅(x-1)2+y2，化简得(x-3)2+y2=8.
故答案为：(x-3)2+y2=8.
四、解答题
15．（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线y=x2+1上任意一点，A2,0，连接PA并延长至Q，使得AQ=2PA，求动点Q的轨迹方程．
【答案】y=-12x2+6x-20
【分析】设动点Q的坐标x,y，点P坐标x1,y1，根据AQ=2PA，得到x1=6-x2，y1=-y2，利用代入法求解.
【详解】解：设动点Q的坐标x,y，点P坐标x1,y1，
则AQ=x-2,y，PA=2-x1,y1，
因为AQ=2PA，
所以x-2=22-x1，y-0=20-y1，
解得x1=6-x2，y1=-y2，
代入y1=x12+1得-y2=6-x22+1，
整理得y=-12x2+6x-20，
所以动点Q的轨迹方程为y=-12x2+6x-20．
16．（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中点，且B0,0,D3,0.
(1)求点A的轨迹T的方程；
(2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当△ABD面积最大且A在第一象限时，求AE.
【答案】(1)(x-4)2+y2=4y≠0
(2)855
【分析】（1）根据两点间距离公式利用AB=2AD化简整理可得点A的轨迹T的方程为(x-4)2+y2=4y≠0；
（2）求出△ABD面积最大时点A4,2，可得AC的直线方程为2x-y-6=0，再由弦长公式可得结果.
【详解】（1）易知AB=2AD，
即x2+y2=2(x-3)2+y2，
整理可得(x-4)2+y2=4y≠0，
即点A的轨迹T的方程为(x-4)2+y2=4y≠0
（2）如下图所示:
由题意可得BD=3，当A到x距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时A4,2；
所以kAC=2-04-3=2,AC所在直线方程为2x-y-6=0
圆心4,0到直线AC的距离d=25
可得AE=2r2-d2=855.
17．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A1,1，动点P满足PA=2PO.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l：y=kx+1与轨迹C交于E，F两点，若△OEF的面积为354，求直线l的方程.
【答案】(1)x+12+y+12=4
(2)y=3x+3或y=-3x-3.
【分析】（1）设Px,y，根据PA=2PO，即可求出动点P的轨迹方程；
（2）求弦长EF和原点O到直线l的距离，表示出△OEF的面积，列方程求出k的值，可得直线l的方程.
【详解】（1）设Px,y，点A1,1，则由PA=2PO，得(x-1)2+(y-1)2=2×x2+y2，
∴动点P的轨迹C的方程为x+12+y+12=4．
（2）轨迹C是以-1,-1为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线l的距离为d1=1k2+1，则弦长EF=24-1k2+1，
坐标原点O到直线l的距离为d2=kk2+1，
则有S△OEF=12EF⋅d2=12×24-1k2+1⋅kk2+1=354，
解得k2=3，即k=±3，
求直线l的方程为y=3x+3或y=-3x-3.
18．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知圆M:x2+(y-2)2=r2(r>0)被x轴分成两段弧，弧长之比为3:1．
(1)求r；
(2)若动点P到坐标原点O的距离等于5,Q为圆M上一动点，求PQ的取值范围．
【答案】(1)22
(2)3-22,7+22
【分析】（1）由题意得∠AMB=14×2π=π2，据此即可求解；
（2）求出点P的轨迹方程，求出|OM|，根据圆M与圆O的关系即可求解.
【详解】（1）由题意得M0,2，设圆M与x轴从左到右依次交于A,B，
由题意得∠AMB=14×2π=π2，
则∠OMA=12∠AMB=π4，
所以r=AM=2OM=22；
（2）由题意得P的轨迹为圆O:x2+y2=25，
易得OM=2，因为2<5-22，
所以圆M与圆O内含，故5-22-2≤PQ≤5+22+2，
即PQ的取值范围为3-22,7+22.
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知⊙C经过点A1,3和B5,1，且圆心C在直线x-y+1=0上.
(1)求⊙C的方程；
(2)设动直线l与⊙C相切于点M，点N8,0.若点P在直线l上，且PM=PN，求动点P的轨迹方程.
【答案】(1)(x-5)2+(y-6)2=25
(2)3x-6y-14=0
【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程；
（2）由圆的切线，得|PM|2+|MC|2=|PC|2，所以|PN|2+|MC|2=|PC|2，化简可得动点P的轨迹方程.
【详解】（1）由题意，设⊙C的圆心Ca,a+1，半径为r，
则(1-a)2+(3-a-1)2=r2,(5-a)2+(1-a-1)2=r2.
解得：a=5,r=5.
所以⊙C的方程为(x-5)2+(y-6)2=25.
（2）由平面几何，知△PMC为直角三角形，且PM⊥MC，
所以|PM|2+|MC|2=|PC|2.
由PM=PN，得|PN|2+|MC|2=|PC|2.
设Px,y，则(x-8)2+y2+25=(x-5)2+(y-6)2.
即3x-6y-14=0，经检验符合题意.
所以动点P的轨迹方程为3x-6y-14=0.
课程标准
学习目标
了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.
熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.
3.掌握求动点轨迹方程的方法
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
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