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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系练习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系练习题，共15页。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x2+y2=4相切的有（ ）
A．x+y=2B．3x+y-4=0C．x+y=22D．x-3y+8=0
知识点02圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点A0,1在圆C:x-12+y2=r2r>0上，则过A的圆的切线方程为 .
【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆x2+y2=1上点P-22,22的切线方程为 ．
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A2,3作圆M:x2+y2=1的一条切线，切点为B，则AB=（ ）
A．3B．23C．7D．10
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值= ．
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C:x-22+y2=4，直线l:y=-x+1被圆C截得的弦长为 .
【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-2x-3=0交于A,B两点，则△AOB的面积为（ ）
A．3B．2C．22D．32
难点：最值问题
示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1-x=4-y2，则x2+y-42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0m∈R与圆x2+y2=2的位置不可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆C:(x-2)2+y2=16，直线l:mx+y-3m-1=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l恒过定点2,1B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相交D．直线l与圆C相离
变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线x-3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆x-22+y2=3的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l:x-2y-a2=0，圆C:x-12+y-22=1，则l与圆C（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能
变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆x-22+y2=3的位置关系为（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点
变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点，则点Pa,b与圆的位置关系为（ ）
A．P在圆外B．P在圆上
C．P在圆内D．P与圆的位置不确定
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx+ny-r2=0与圆C:x2+y2=r2，点Pm,n，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交
C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx+y-2m-1=0被圆C：x2+y2+2x-25=0截得弦长的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则
点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；
CD⊥l;
||AD|2+d2=r2,|AB|=2r2-d2
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；
（3）切点P在直线l上，也在圆上.
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：xa+ya=1及圆C：x2+y2-6x-2y+2=0，则“a=8”是“直线l与圆C相切”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．-1C．-2变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线mx+ny=1与圆x2+y2=1有交点，则（ ）
A．m2+n2⩾1B．m2+n2⩽1
C．m2+n2>1D．m2+n2<1
变式3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线y=k(x+2)与曲线y=1-x2有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．-33,33B．0,33
C．-33,0D．[-3,3]
变式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系xOy中，A2,0，B0,2，且圆M是以AB为直径的圆.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若直线y=kx+2与圆M相切，求实数k的值.
变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为-sin3,cs3，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A．3B．π-3C．3π-62D．6-π2
变式6.（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点P-2,4作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m:4x-by=0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4B．2C．85D．125
变式7.（2024高三·全国·专题练习）设过点P(0,-5)与圆C:x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则csα=（ ）
A．19B．459C．-19D．-459
【题型3：圆的切线问题】
例3．（2024高三·全国·专题练习）圆C:x-12+y2=4在点P0,3处的切线方程为 .
变式1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x-12+y2=2外一点P2,2，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线AB的方程为
变式2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A4,0,B0,2，当∠PBA最小时，PB= .
变式3.（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：(x+1)2+y2=4；
(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l的方程.
(2)已知圆C上有2个点到直线l：x+my+2=0的距离为1，求m的取值范围.
变式4.（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点A3,5且与圆O:x2+y2-2x-4y+1=0相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程.
变式5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(-1,1)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(-1,0)且与圆C相切的直线方程．
变式6.（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2=2，则y+2x的取值范围是（ ）
A．-7,1B．[-1,7]
C．(-∞,-7]∪1,+∞D．(-∞,-1]∪7,+∞
变式7.(多选)（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：y=x+m，圆C：x2+y2-2x=0，下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为π3
B．圆C的圆心坐标为（1，0）
C．当m=2-1时，直线l与圆C相切
D．当m∈(-2-1,2-1)时，直线l与圆C相交
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【题型4：弦长问题】
例4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线y=x+1上的一点向圆x2+y2-6x+8=0引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3B．22C．7D．6
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A．2B．2C．22D．4
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x-22+y2=4与直线x-y-2+2=0相交所得弦长为（ ）
A．1B．2C．23D．22
变式3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x-22+y-42=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式4．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点P-13,23，圆C:x2+y2=4，则经过圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A．3x-6y-5=0B．3x-6y+5=0C．x-y+1=0D．6x-3y+4=0
变式5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线l:ax+y-a+2=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为（ ）
A．3x+y+1=0B．x+2y+3=0C．2x+y=0D．x+y+1=0
变式6．（21-22高二下·全国·期末）设M是圆C：x+22+y2=16上的动点，MN是圆的切线，且MN=25，则点N到点4,8距离的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．16
变式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线l:y=kx+1与⊙C:x-12+y2=4交于A、B两点，则“k=±1”是“△ABC的面积取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【方法技巧与总结】
解决有关弦长问题的常用方法及结论
【题型5：与圆有关的对称问题】
例5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0ab>0对称，则12a+13b的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．4
变式1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称，过点C(-a,a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．x2+4x-4y+8=0B．y2-2x-2y+2=0
C．y2-2x-y-1=0D．y2+4x-4y+8=0
变式2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线y=2x-1上的一点P作圆C:(x+2)2+(y-5)2=1的两条切线l1,l2，当直线l1,l2关于y=2x-1对称时，PC=（ ）
A．22B．23C．4D．25
变式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线x-y+t=0对称，则实数t=（ ）
A．-3B．1C．-1D．3
变式4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线y=3x上的点P作圆C:(x+2)2+(y-4)2=4的两条切线l1,l2，当直线l1,l2关于直线y=3x对称时，点P的坐标为（ ）
A．35,95B．65,185C．1,3D．32,92
变式5.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆x2-4x+y2-2y=5关于直线2ax+y+b-3=0（a，b为大于0的数）对称，则1a+1b的最小值为 ，此时直线方程为 ．
变式6.（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0a,b∈R对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心是-1,2；②圆x2+y2+2x-4y+1=0的半径是2；③a+b=1；④ab的取值范围是-∞,14．
变式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直线l:2x+y-2=0，圆C:(x-1)2+(y-2)2=4．
(1)求直线l与圆C相交所得的弦长；
(2)求圆C关于直线l对称所得的圆的方程．
【题型6：点与圆有关的最值问题】
例6．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点Px,y在圆x2+y2-4y+1=0上，则(x-1)2+y2的最小值为 .
变式1.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点Px,y是圆C:x2+y2-8x+6y+16=0上一点,则x2+y2的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式2.（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线x-1=4-y2，则x2+y-42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17+2，17-2B．17+2，5
C．37，17-2D．37，5
变式3.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A-3,0,B1,0,P为圆C:(x-3)2+(y-3)2=1上动点，则PA2+PB2的最小值为（ ）
A．34B．40C．44D．48
变式4.（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
变式5.（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点A1,1和B2,-2，且圆心C在直线l:x-y+1=0上．
(1)求圆心为C的圆的一般方程；
(2)已知P2,1，Q为圆C上的点，求PQ的最大值和最小值．
变式6.（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x-22+y2=3，求x2+y2的最大值和最小值．
变式7.（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的半径为2，且圆心在直线y=x上，点A2,4在圆C上，点B0,2在圆C外.
(1)求圆C的圆心坐标；
(2)若点D在圆C上，求BD的最大值与最小值.
【方法技巧与总结】
圆上的点到直接距离最值:
1.把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r
2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
3.判断位置关系
【题型7：直线与圆有关的最值问题】
例7．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=1上一动点，则点P到直线l:2+λx-1+λy-6-4λ=0λ∈R的距离的取值范围为（ ）
A．0,22-1B．1,22+1
C．0,22+1D．0,22+1
变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 d为点 Pcsθ，sinθ 到直线 kx-y-3k+4=0 的距离， 则当 θ，k变化时， d的最大值与最小值之差为（ ）
A．2B．3C．4D．6
变式2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：x-32+y-42=1，直线2x-y-12=0上点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值为 .
变式3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆C1：x2+y2-10x+4y+25=0与圆C2：x2+y2-6x+8=0，点A，B分别是C1，C2上的动点，M为直线y=x+1上的动点，则MA+MB的最小值为（ ）
A．22+3B．3-22C．62-3D．62+3
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆O:x2+y2=4，直线l1:xcsθ+ysinθ=4与l2:xsinθ-ycsθ=1，下列结论正确的是（ ）
A．直线l1，l2不可能平行
B．直线l1与圆O相切
C．直线l2与圆O截得弦长为23
D．l1⊥l2
变式5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数a,b满足a2+b2=2a-2b，则3-ba+1的最大值为 .
变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线2x⋅sinθ+y=0被圆x2+y2-25y+2=0截得最大弦长为 ．
变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知直线x-y+m=0与圆C:x2+y2+4x-2y=0相交，能说明“直线x-y+m=0截圆C:x2+y2+4x-2y=0所得弦长不小于23”是假命题的一个m的值为 ．
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为1,2，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2-2x-4y-3=0B．x2+y2-2x-4y+1=0
C．x2+y2-2x+4y-3=0D．x2+y2-2x+4y+1=0
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线ax+by+1=0与圆x+12+y2=1相切，则b2+2a的值（ ）
A．与a有关，与b有关B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关D．与a无关，与b无关
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线x+y+2=0与圆M:x-a2+y-a2=8a2a>0相切，则圆M的半径为（ ）
A．2B．4C．22D．8
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2+y2-4x-4y+4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则AB=（ ）
A．2B．2C．22D．4
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C:(x-a)2+(y-4a)2=4被直线l:3x-y+2=0平分，则a=（ ）
A．12B．1C．32D．2
6．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:3x+y-1=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则∠AOB=（ ）
A．π2B．2π3C．3π4D．5π6
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+ny-1=0圆x2+y2+2x=0相切，则原点O到直线l距离的最大值为（ ）
A．3B．2C．22D．1
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆C: x2+y2-2x-1=0，当圆心C到直线l: y=kx+3的距离最大时，实数k的值是（ ）
A．-13B．13C．－3D．3
二、多选题
9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线l:m-2x+y-2m+1=0与圆C:x2+y2-6x-4y+4=0，下列说法不正确的是（ ）
A．l过定点(2,3)
B．C的半径为9
C．l与C可能相切
D．l被C截得的弦长最小值为27
10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线x+y-4=0与圆O：x2+y2=r2有公共点，则半径r可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线l:y=kx-k，圆C:x2+y2=4，则下列结论正确的有（ ）
A．直线l过定点1,0
B．直线l与圆C恒相交
C．直线l被圆C截得的弦长最短为4
D．若直线l被圆C截得的弦长为14，则k=±1
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆C与直线y=-x及x+y-4=0相切，圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为 ．
（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点Px,y在圆x2+y2-2x+4y+4=0上运动，则xy的最小值是
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线l与单位圆和曲线x24-y23=1均相切，则直线l的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知关于x,y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且|MN|=45，求m的值．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆C的圆心在直线2x-y=0上，且与x轴相切于点1,0.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线l:x-y+m=0交于A，B两点，____，求m的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
条件②：|AB|=22；
条件③：∠ACB=90°.
17．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x-9y-1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若 Mx,y是圆C上任意一点，求（x+3）2+（y-13）2的取值范围
(3)已知A0,-1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点A-1，2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切，过点B-2,0的动直线l与圆A相交于M,N，当MN=219时，求直线l的方程；
(2)以C4,-3为圆心的圆与圆x2+y2=4相切，求圆C的方程.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：x2+y2-2y-4=0，直线l：mx-y+1-m=0.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点P1,1分弦AB为APPB=12，求此时直线l的方程.
课程标准
学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系:
2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;
3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。
1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图形
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x2+y2=4相切的有（ ）
A．x+y=2B．3x+y-4=0C．x+y=22D．x-3y+8=0
知识点02圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点A0,1在圆C:x-12+y2=r2r>0上，则过A的圆的切线方程为 .
【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆x2+y2=1上点P-22,22的切线方程为 ．
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A2,3作圆M:x2+y2=1的一条切线，切点为B，则AB=（ ）
A．3B．23C．7D．10
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值= ．
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C:x-22+y2=4，直线l:y=-x+1被圆C截得的弦长为 .
【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-2x-3=0交于A,B两点，则△AOB的面积为（ ）
A．3B．2C．22D．32
难点：最值问题
示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1-x=4-y2，则x2+y-42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0m∈R与圆x2+y2=2的位置不可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆C:(x-2)2+y2=16，直线l:mx+y-3m-1=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l恒过定点2,1B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相交D．直线l与圆C相离
变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线x-3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆x-22+y2=3的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l:x-2y-a2=0，圆C:x-12+y-22=1，则l与圆C（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能
变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆x-22+y2=3的位置关系为（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点
变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点，则点Pa,b与圆的位置关系为（ ）
A．P在圆外B．P在圆上
C．P在圆内D．P与圆的位置不确定
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx+ny-r2=0与圆C:x2+y2=r2，点Pm,n，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交
C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx+y-2m-1=0被圆C：x2+y2+2x-25=0截得弦长的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则
点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；
CD⊥l;
||AD|2+d2=r2,|AB|=2r2-d2
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；
（3）切点P在直线l上，也在圆上.
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：xa+ya=1及圆C：x2+y2-6x-2y+2=0，则“a=8”是“直线l与圆C相切”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．-1
A．m2+n2⩾1B．m2+n2⩽1
C．m2+n2>1D．m2+n2<1
变式3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线y=k(x+2)与曲线y=1-x2有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．-33,33B．0,33
C．-33,0D．[-3,3]
变式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系xOy中，A2,0，B0,2，且圆M是以AB为直径的圆.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若直线y=kx+2与圆M相切，求实数k的值.
变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为-sin3,cs3，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A．3B．π-3C．3π-62D．6-π2
变式6.（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点P-2,4作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m:4x-by=0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4B．2C．85D．125
变式7.（2024高三·全国·专题练习）设过点P(0,-5)与圆C:x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则csα=（ ）
A．19B．459C．-19D．-459
【题型3：圆的切线问题】
例3．（2024高三·全国·专题练习）圆C:x-12+y2=4在点P0,3处的切线方程为 .
变式1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x-12+y2=2外一点P2,2，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线AB的方程为
变式2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A4,0,B0,2，当∠PBA最小时，PB= .
变式3.（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：(x+1)2+y2=4；
(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l的方程.
(2)已知圆C上有2个点到直线l：x+my+2=0的距离为1，求m的取值范围.
变式4.（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点A3,5且与圆O:x2+y2-2x-4y+1=0相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程.
变式5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(-1,1)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(-1,0)且与圆C相切的直线方程．
变式6.（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2=2，则y+2x的取值范围是（ ）
A．-7,1B．[-1,7]
C．(-∞,-7]∪1,+∞D．(-∞,-1]∪7,+∞
变式7.(多选)（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：y=x+m，圆C：x2+y2-2x=0，下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为π3
B．圆C的圆心坐标为（1，0）
C．当m=2-1时，直线l与圆C相切
D．当m∈(-2-1,2-1)时，直线l与圆C相交
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【题型4：弦长问题】
例4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线y=x+1上的一点向圆x2+y2-6x+8=0引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3B．22C．7D．6
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A．2B．2C．22D．4
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x-22+y2=4与直线x-y-2+2=0相交所得弦长为（ ）
A．1B．2C．23D．22
变式3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x-22+y-42=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式4．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点P-13,23，圆C:x2+y2=4，则经过圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A．3x-6y-5=0B．3x-6y+5=0C．x-y+1=0D．6x-3y+4=0
变式5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线l:ax+y-a+2=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为（ ）
A．3x+y+1=0B．x+2y+3=0C．2x+y=0D．x+y+1=0
变式6．（21-22高二下·全国·期末）设M是圆C：x+22+y2=16上的动点，MN是圆的切线，且MN=25，则点N到点4,8距离的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．16
变式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线l:y=kx+1与⊙C:x-12+y2=4交于A、B两点，则“k=±1”是“△ABC的面积取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【方法技巧与总结】
解决有关弦长问题的常用方法及结论
【题型5：与圆有关的对称问题】
例5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0ab>0对称，则12a+13b的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．4
变式1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称，过点C(-a,a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．x2+4x-4y+8=0B．y2-2x-2y+2=0
C．y2-2x-y-1=0D．y2+4x-4y+8=0
变式2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线y=2x-1上的一点P作圆C:(x+2)2+(y-5)2=1的两条切线l1,l2，当直线l1,l2关于y=2x-1对称时，PC=（ ）
A．22B．23C．4D．25
变式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线x-y+t=0对称，则实数t=（ ）
A．-3B．1C．-1D．3
变式4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线y=3x上的点P作圆C:(x+2)2+(y-4)2=4的两条切线l1,l2，当直线l1,l2关于直线y=3x对称时，点P的坐标为（ ）
A．35,95B．65,185C．1,3D．32,92
变式5.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆x2-4x+y2-2y=5关于直线2ax+y+b-3=0（a，b为大于0的数）对称，则1a+1b的最小值为 ，此时直线方程为 ．
变式6.（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0a,b∈R对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心是-1,2；②圆x2+y2+2x-4y+1=0的半径是2；③a+b=1；④ab的取值范围是-∞,14．
变式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直线l:2x+y-2=0，圆C:(x-1)2+(y-2)2=4．
(1)求直线l与圆C相交所得的弦长；
(2)求圆C关于直线l对称所得的圆的方程．
【题型6：点与圆有关的最值问题】
例6．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点Px,y在圆x2+y2-4y+1=0上，则(x-1)2+y2的最小值为 .
变式1.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点Px,y是圆C:x2+y2-8x+6y+16=0上一点,则x2+y2的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式2.（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线x-1=4-y2，则x2+y-42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17+2，17-2B．17+2，5
C．37，17-2D．37，5
变式3.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A-3,0,B1,0,P为圆C:(x-3)2+(y-3)2=1上动点，则PA2+PB2的最小值为（ ）
A．34B．40C．44D．48
变式4.（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
变式5.（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点A1,1和B2,-2，且圆心C在直线l:x-y+1=0上．
(1)求圆心为C的圆的一般方程；
(2)已知P2,1，Q为圆C上的点，求PQ的最大值和最小值．
变式6.（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x-22+y2=3，求x2+y2的最大值和最小值．
变式7.（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的半径为2，且圆心在直线y=x上，点A2,4在圆C上，点B0,2在圆C外.
(1)求圆C的圆心坐标；
(2)若点D在圆C上，求BD的最大值与最小值.
【方法技巧与总结】
圆上的点到直接距离最值:
1.把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r
2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
3.判断位置关系
【题型7：直线与圆有关的最值问题】
例7．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=1上一动点，则点P到直线l:2+λx-1+λy-6-4λ=0λ∈R的距离的取值范围为（ ）
A．0,22-1B．1,22+1
C．0,22+1D．0,22+1
变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 d为点 Pcsθ，sinθ 到直线 kx-y-3k+4=0 的距离， 则当 θ，k变化时， d的最大值与最小值之差为（ ）
A．2B．3C．4D．6
变式2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：x-32+y-42=1，直线2x-y-12=0上点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值为 .
变式3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆C1：x2+y2-10x+4y+25=0与圆C2：x2+y2-6x+8=0，点A，B分别是C1，C2上的动点，M为直线y=x+1上的动点，则MA+MB的最小值为（ ）
A．22+3B．3-22C．62-3D．62+3
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆O:x2+y2=4，直线l1:xcsθ+ysinθ=4与l2:xsinθ-ycsθ=1，下列结论正确的是（ ）
A．直线l1，l2不可能平行
B．直线l1与圆O相切
C．直线l2与圆O截得弦长为23
D．l1⊥l2
变式5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数a,b满足a2+b2=2a-2b，则3-ba+1的最大值为 .
变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线2x⋅sinθ+y=0被圆x2+y2-25y+2=0截得最大弦长为 ．
变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知直线x-y+m=0与圆C:x2+y2+4x-2y=0相交，能说明“直线x-y+m=0截圆C:x2+y2+4x-2y=0所得弦长不小于23”是假命题的一个m的值为 ．
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为1,2，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2-2x-4y-3=0B．x2+y2-2x-4y+1=0
C．x2+y2-2x+4y-3=0D．x2+y2-2x+4y+1=0
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线ax+by+1=0与圆x+12+y2=1相切，则b2+2a的值（ ）
A．与a有关，与b有关B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关D．与a无关，与b无关
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线x+y+2=0与圆M:x-a2+y-a2=8a2a>0相切，则圆M的半径为（ ）
A．2B．4C．22D．8
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2+y2-4x-4y+4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则AB=（ ）
A．2B．2C．22D．4
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C:(x-a)2+(y-4a)2=4被直线l:3x-y+2=0平分，则a=（ ）
A．12B．1C．32D．2
6．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:3x+y-1=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则∠AOB=（ ）
A．π2B．2π3C．3π4D．5π6
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+ny-1=0圆x2+y2+2x=0相切，则原点O到直线l距离的最大值为（ ）
A．3B．2C．22D．1
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆C: x2+y2-2x-1=0，当圆心C到直线l: y=kx+3的距离最大时，实数k的值是（ ）
A．-13B．13C．－3D．3
二、多选题
9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线l:m-2x+y-2m+1=0与圆C:x2+y2-6x-4y+4=0，下列说法不正确的是（ ）
A．l过定点(2,3)
B．C的半径为9
C．l与C可能相切
D．l被C截得的弦长最小值为27
10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线x+y-4=0与圆O：x2+y2=r2有公共点，则半径r可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线l:y=kx-k，圆C:x2+y2=4，则下列结论正确的有（ ）
A．直线l过定点1,0
B．直线l与圆C恒相交
C．直线l被圆C截得的弦长最短为4
D．若直线l被圆C截得的弦长为14，则k=±1
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆C与直线y=-x及x+y-4=0相切，圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为 ．
（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点Px,y在圆x2+y2-2x+4y+4=0上运动，则xy的最小值是
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线l与单位圆和曲线x24-y23=1均相切，则直线l的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知关于x,y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且|MN|=45，求m的值．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆C的圆心在直线2x-y=0上，且与x轴相切于点1,0.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线l:x-y+m=0交于A，B两点，____，求m的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
条件②：|AB|=22；
条件③：∠ACB=90°.
17．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x-9y-1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若 Mx,y是圆C上任意一点，求（x+3）2+（y-13）2的取值范围
(3)已知A0,-1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点A-1，2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切，过点B-2,0的动直线l与圆A相交于M,N，当MN=219时，求直线l的方程；
(2)以C4,-3为圆心的圆与圆x2+y2=4相切，求圆C的方程.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：x2+y2-2y-4=0，直线l：mx-y+1-m=0.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点P1,1分弦AB为APPB=12，求此时直线l的方程.
课程标准
学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系:
2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;
3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。
1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图形
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
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