还剩51页未读，
继续阅读
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离课时作业
展开
这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离课时作业，共54页。
知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2−x1）2+（y2−y1）2
【即学即练1】（23-24高二下·全国·课后作业）若A(−3,5),B(2,0)，则|AB|为 .
【答案】52
【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得AB=(−3−2)2+(5−0)2=52，
故答案为：52.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点(x,y)到原点的距离等于1，则实数x,y满足的条件是（ ）
A．x2−y2=1B．x2+y2=0
C．x2+y2=1D．x2−y2=0
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式列式即得.
【详解】依题意，由点P(x,y)到原点的距离等于1可得，|PO|=(x−0)2+(y−0)2=x2+y2=1，
故实数x,y满足的条件是x2+y2=1.
故选：C.
知识点02点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.
【即学即练3】（23-24高二上·新疆·期末）点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离为（ ）
A．−2B．2C．−1D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离d=|3×1+4×2−6|32+42=1.
故选：D
【即学即练4】(多选)（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点M1,4到直线l:mx+y−1=0的距离为3，则实数m等于（ ）
A．0B．34C．3D．2
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意m+4−1m2+1=3，即4m2−3m=0,解得m=0或m=34.
故选：AB.
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【即学即练5】（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线l1:x−2y−4=0与l2:x−2y+1=0之间的距离是（ ）
A．5B．1C．5D．355
【答案】C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得d=1+412+−22=5.
故选：C
【即学即练6】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线2x−y−1=0与4x−2y+3=0之间的距离为 ．
【答案】52/125
【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离.
【详解】由2x−y−1=0，可得4x−2y−2=0，
所以2x−y−1=0与4x−2y+3=0之间的距离为|−2−3|42+22=52.
故答案为：52.
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(−3,0)，若将军从山脚下的点B(−1,1)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】13
【分析】求出B(−1,1)关于直线x+y=1对称的点C(0,2)，结合图形，即可求解.
【详解】设点B(−1,1)关于直线x+y=1对称的点为C(x,y)，
则有−1+x2+1+y2=11−y−1−x⋅(−1)=−1，解得x=0y=2，所以C(0,2)，
则PA+PB=PA+PC，所以“将军饮马”的最短总路程为|AC|=32+22=13，
故答案为：13.
难点：类比距离问题
示例2：（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数fx=2x4−18x2+12x+68+x2−x+1，则（ ）
A．fx的最小值为8B．fx的最小值为9
C．fx=8有1个实根D．fx=9有1个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为PQ+PM，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】Px,x2是抛物线y=x2上一点，
P到直线y=x−1的距离为PQ=x2−x+1−12+12=22x2−x+1= 22x2−x+1，
P到点M−3,5的距离为PM=x+32+x2−52，
所以fx=2x4−18x2+12x+68+x2−x+1=2PM+PQ
当M，P，Q共线时，PQ+PM取最小值，
最小值为M−3,5到y=x−1的距离−3−5−12=922.
因为y=222x2−x+1+x+32+x2−52=2PQ+PM，
且PQ+PM的最小值为922，
所以y的最小值为9，且在交点P−2,4或P1,1处取到，
故选：B.
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）点M1(2,−5)与M2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）
A．−9B．−1C．−9或−1D．12
【答案】C
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意(5−2)2+(y+5)2=5，即(y+5)2=16，解得y=−1或y=−9．
故选：C．
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知a+b−7=0，c+d−5=0，则(a+c)2+(b+d)2的最小值等于（ ）
A．3B．6C．42D．62
【答案】D
【分析】令A(a,b)，B(c,d)，得到点A，B分别在直线x+y−7=0，x+y−5=0上，设线段AB的中点为M，则Ma+c2,b+d2，且点M在直线x+y−6=0上，将所求问题，转化为点M到原点的距离的2倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令A(a,b)，B(c,d)，由已知可得点A，B分别在直线x+y−7=0，x+y−5=0上，
设线段AB的中点为M，则Ma+c2,b+d2，
M到原点的距离d=a+c22+b+d22=12×(a+c)2+(b+d)2，
依题意点M在直线x+y−6=0上，
所以点M到原点的最小距离即为原点到直线x+y−6=0的距离，为0+0−62=32，
因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值为32，因此(a+c)2+(b+d)2的最小值等于62.
故选：D.
变式2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点A的坐标−8,12，线段AB中点的坐标为−12,2，则B点坐标为 ，|AB|为 .
【答案】 7,−8 25
【分析】设B点的坐标为x,y，根据中点坐标公式列出关于x,y的方程组，解出方程组即可得B点的坐标.
【详解】设B点的坐标为x,y，
∵点A的坐标−8,12，线段AB中点的坐标为−12,2，
∴−8+x2=−1212+y2=2，解得x=7y=−8，
即B点的坐标为7,−8，所以|AB|=25
故答案为：7,−8；25.
变式3．（20-21高二·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,−1)，B(−1,3)，C(3,0)．则△ABC的形状为 ；△ABC的面积为 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为|AB|=(−1−1)2+[3−(−1)]2=20=25，
|AC|=(3−1)2+[0−(−1)]2=5，|BC|=[3−(−1)]2+(0−3)2=25=5，
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
由于△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，所以S△ABC=12|AB|⋅|AC|=5.
故答案为：直角三角形；5
变式4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知A(a,0),B(0,10)，且|AB|=17，则a= ．
【答案】±321
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为A(a,0),B(0,10)且|AB|=17，所以|AB|=a2+0−102=17，解得a=±321
故答案为：±321
变式5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知点A−3,0,Bcsα,sinα，且AB=2，写出直线AB的一个方程
【答案】x−3y+3=0(答案不唯一)
【分析】根据两点间的距离公式，求出csα的值，然后写出点B的坐标，从而可求直线AB的一个方程.
【详解】根据两点间的距离公式，得csα+32+sin2α=2，
即sin2α+cs2α+3+23csα=4。所以csα=0，
所以sinα=1或sinα=−1，
当sinα=1时，A−3,0,B0,1，直线AB的方程为x−3y+3=0；
当sinα=−1时，A−3,0,B0,−1，直线AB的方程为x+3y+3=0.
故答案为：x−3y+3=0.(答案不唯一)
变式6．（2021高二上·全国·专题练习）已知点A−2,−1,Ba,3，且AB=5，则a的值为 .
【答案】1或−5
【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案.
【详解】由两点间距离公式得(−2−a)2+(−1−3)2=52，所以(a+2)2=9，所以a+2=±3，即a=1或a=−5.
故答案为：1或−5
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）二元函数fx,y=(x+csy)2+(2x+3+siny)2的值域为 ．
【答案】14−655,+∞
【分析】把二元函数转化为两点间距离的平方，再转化为点到直线的距离为最小值即可得出值域.
【详解】由题意可知二元函数fx,y的几何意义为单位圆上一点A−csy,−siny到直线y=2x+3上一点B距离的平方，最小值为圆心到直线距离减半径，圆心为O0,0,d=312+22=35
|AB|min2=35−12=14−655，则fx,y∈14−655,+∞．
故答案为：14−655,+∞.
变式8.（2021高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知A(−2,0)，B(0,4)，线段AB的垂直平分线为直线l．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点C在直线l上，且|AC|=10，求点C坐标．
【答案】(1)x+2y−3=0
(2)1,1或−3,3
【分析】（1）由题意，求出线段AB的中点坐标及直线l的斜率kl=−1kAB，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案；
（2）设点C坐标为a,b，由题意，列出关于a,b的方程组求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为A−2,0，B0,4，所以线段AB的中点为−1,2，kAB=0−4−2−0=2，
又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl=−1kAB=−12，
所以直线l的方程为y−2=−12x+1，即x+2y−3=0，
所以直线l的一般式方程为x+2y−3=0；
（2）解：设点C坐标为a,b，
由题意有a+2b−3=0a+22+b2=10，解得a=1b=1或a=−3b=3，
所以点C坐标为1,1或−3,3.
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离为（ ）
A．−2B．2C．−1D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离d=|3×1+4×2−6|32+42=1.
故选：D
变式1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l：x+my−2m−1=0，则点P2,−1到直线l距离的最大值为（ ）
A．5B．10C．5D．10
【答案】B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点A1,2，即可求出结果.
【详解】直线l：x+my−2m−1=0，即x−1+m(y−2)=0，
由x−1=0y−2=0，得到x=1,y=2，所以直线过定点A1,2，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为AP=(2−1)2+(−1−2)2=10，
故选：B.
变式2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知A−3,−4，B6,3两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值（ ）
A．13B．−97C．−13或−79D．13或−79
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．
【详解】因为点A(−3,−4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，
所以|−3a−4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，即|−3a−3|=|6a+4|，
化简得27a2+30a+7=0，解得a=−13或a=−79.
故选：C.
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）直线x+y−1=0上与点P(−2,3)的距离等于2的点的坐标可以是（ ）
A．(−4,5)B．(−1,2)C．(−3,4)D．(1,−5)
【答案】BC
【分析】设所求点的坐标为(x0,y0)，然后根据题意列方程组可求得结果.
【详解】设所求点的坐标为(x0,y0)，则x0+y0−1=0，且(x0+2)2+(y0−3)2=2，
两式联立解得x0=−3y0=4或x0=−1y0=2，
所以所求点的坐标为(−1,2)或(−3,4)
故选：BC
变式4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线l:y=ax−a+1，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点−1,1
B．当a=1时，l关于x轴的对称直线为x+y=0
C．直线l一定经过第四象限
D．点P3,−1到直线l的最大距离为22
【答案】BD
【分析】A.由l:y=ax−a+1=ax−1+1判断；B.由a=1时，直线方程为y=x判断；C.由a=1时，直线方程为y=x判断；D.点P3,−1到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线l:y=ax−a+1=ax−1+1，所以直线l过定点Q1,1，故A错误；
对于B.当a=1时，直线方程为y=x，l关于x轴的对称直线为x+y=0，故B正确；
对于C，当a=1时，直线方程为y=x，直线l不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设PH⊥l，由图象知：PQ≥PH，点P3,−1到直线l的最大距离为d=3−12+−1−12=22，故D正确；
故选：BD
变式5．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点P1,3与Q−3,1到直线l的距离相等，则l的方程可以是（ ）
A．2x+y=0B．x−2y−3=0
C．2x+3y−5=0D．3x−2y+7=0
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离相等，可得l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，进而两种情况进行判断.
【详解】由题知，l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，
又PQ的中点为−1,2，
则过点−1,2的直线为AD选项；
又PQ的斜率为3−11−−3=12，则B选项符合条件.
故选：ABD
变式6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P−2,−1到直线l：1+3λx+1+2λy=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】0,13
【分析】先确定直线恒过定点A1,1，再计算|PA|，从而可得结论．
【详解】解：把直线l的方程化为(x+y−2)+λ3x+2y−5=0，
由方程组x+y−2=0,3x+2y−5=0,
解得x=1,y=1,
所以直线l恒过定点A1,1，
其中直线l不包括直线3x+2y−5=0．
又PA=(−2−1)2+(−1−1)2=13，
且当PA与直线3x+2y−5=0垂直时，点P到直线3x+2y−5=0的距离为13，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d<13，
故答案为：0,13．
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点P3,4到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条．
【答案】3
【分析】结合点到直线的距离公式，分截距是否为0进行讨论即可得解.
【详解】当截距不为0时，由题意设所求直线为x+y=a,a≠0，
则7−a2=5，解得a=7±52；
当截距为0时，设原点为O0,0，则kPO=43，注意到PO=32+42=5，
所以此时满足题意的直线方程可以是y=−34x；
综上所述，满足条件的直线共有3条.
故答案为：3.
变式8.（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对a,b满足关系式2a+b+3=5a−3b+3=ta2+b2，求实数t的所有可能的值．
【答案】52，115，115353．
【分析】化简得到|2a+b+3|a2+b2=|5a−3b+3|a2+b2=t，然后，根据情况，对t进行分类讨论即可求解.
【详解】由已知得t>0，
整理，得2a+b+3a2+b2=5a−3b+3a2+b2=t，
看成有且仅有三条直线满足，A2,1和B(5,−3）到直线l：ax+by+3=0（不过原点）的距离L相等．由AB=(5−2)2+(−3−1)2=5，
（1）当t=AB2=52，此时，易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线6x−8y−29=0以及直线AB平行的两条直线8x+ 6y+3=0和8x+6y−47=0；
（2）当t设点A到l的距离为d．
（1）作为增根被舍去的直线l，过原点和A、B的中点M72,−1，其方程为2x+7y=0，此时，t=d=1153<52，符合；
（2）作为增根被舍去的直线l，过原点且以AB为方向向量，其方程为4x+3y=0，此时，t= d=115<52，符合．
综上，满足题意的实数t为52，115，115353．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到|2a+b+3|a2+b2=|5a−3b+3|a2+b2=t，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，A(2,1)和B(5,−3)到直线l:ax+by+3=0（不过原点）的距离t相等，这是本题的解题关键.
【方法技巧与总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（3）直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【题型3：两条平行线之间的距离】
例3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l1：x−y+1=0与直线l2：2x−2y+3=0的距离是（ ）
A．24B．22C．2D．1
【答案】A
【分析】将直线l2的方程化为x−y+32=0，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线l2：2x−2y+3=0化为x−y+32=0，
又直线l1：x−y+1=0，所以l1//l2，
所以直线l1与直线l2的距离是1−3212+−12=24.
故选：A.
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知l1//l2,l1:2x+y+4=0,l2:6x+ay+2=0,则它们的距离为（ ）
A．2515B．255C．55D．253
【答案】D
【分析】根据平行可求a，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
【详解】因为l1//l2，所以2a=6，故a=3，故l2:2x+y+23=0.
故l1,l2之间的距离为4−235=1035=253，
故选：D.
变式2．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．1710D．1110
【答案】C
【分析】因为直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值为直线6x+8y−14=0与直线6x+8y+3=0距离，求解即可.
【详解】由直线3x+4y−7=0可得6x+8y−14=0，
所以直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0平行，
所以PQ的最小值为直线6x+8y−14=0与直线6x+8y+3=0距离，
所以d=3−−1462+82=1710.
故选：C.
变式3．（多选）（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线m,n，直线m:x+y−1=0，直线n:2x+2y+a=0，直线m,n之间的距离为2，则a的值可以是（ ）
A．-8B．-6C．2D．4
【答案】BC
【分析】由两条平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】根据题意得直线m可化为2x+2y−2=0，
直线m,n之间的距离d=a+222=2，
所以a+2=4，即a=2或−6.
故选：BC.
变式4．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线l1:x+3y+1=0,l2:x+3y−3=0.若直线l被l1,l2截得的线段长为22，则直线l的倾斜角可能是（ ）
A．15∘B．75∘C．105∘D．165∘
【答案】AC
【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解.
【详解】直线l被l1,l2截得的线段长为22，
∵两平行直线的距离d=1−−312+(3)2=2,∴直线l和l1,l2的夹角为45∘，
又直线l1,l2的倾斜角为150∘，直线l的倾斜角可能是15∘或105∘.
故选:AC.
变式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l1:y=kx+1，l2:y=kx−2，则直线l1，l2之间距离的最大值为 ．
【答案】5
【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.
【详解】由题意可知：直线l1:y=kx+1的斜率为k，过定点A0,1；
直线l2:y=kx−2的斜率为k，过定点B2,0；
可知l1//l2，所以两直线之间距离的最大值为AB=5．
故答案为：5.
变式6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点A,B分别是直线l1:2x+y−2=0与直线l2:4x+2y+1=0上的点，则AB的取值范围是 ．
【答案】52,+∞
【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出AB的最小值，从而得到答案.
【详解】由24=12≠−21可知直线l1//l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，AB有最小值，
其最小值为平行直线l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4x+2y−4=0，
所以ABmin=−4−142+22=52，即AB的取值范围是52,+∞．
故答案为：52,+∞
变式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知P,Q分别在直线l1:x−y+1=0与直线l2:x−y−1=0上，且PQ⊥l1，点A−4,6，B5,−1，则AP+PQ+QB的最小值为
【答案】10+2/2+10
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到AP+QB最小值即可得解.
【详解】因为l1:x−y+1=0，l2:x−y−1=0，
所以直线l1与l2间的距离为1+11+1=2，又PQ⊥l1，故PQ=2，
过B5,−1作直线l垂直于l1:x−y+1=0，如图，
则可设直线l的方程为x+y+c=0，代入B5,−1，得5−1+c=0，则c=−4，
所以直线l的方程x+y−4=0，
将B5,−1沿着直线l往上平移2个单位到B′点，设B′a,−a+4，
则a−52+−a+52=2，解得a=4或a=6（舍去），则B′4,0，
连接AB′交直线l1于点P，过P作PQ⊥l2于Q，连接BQ，
有BB′//PQ,|BB′|=|PQ|，即四边形BB′PQ为平行四边形，
则|PB′|=|BQ|，即有AP+QB=AP+PB′=AB′，
显然AB′是直线l1上的点与点A,B′距离和的最小值，
因此AP+QB的最小值，即AP+PB′的最小值AB′，
而AB′=−4−42+6−02=10，
所以AP+PQ+QB的最小值为AB′+PQ= 10+2.
故答案为：10+2.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将AP+QB等价转化为AP+PB′，从而得解.
【方法技巧与总结】
对两条平行直线之间的距离公式的理解
1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.
2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等.
3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决.
【题型4：点与点、点与线的对称问题】
例4．（23-24高二上·广东佛山·期中）点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为（ ）
A．−2,5B．0,3C．0,−1D．−1,2
【答案】B
【分析】设点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为(a,b)，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为(a,b)，
则b−1a−2=−1a+22−b+12+1=0，解得a=0b=3，
故点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为(0,3)，
故选：B
变式1．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数a取何值时，直线2a−1x+−a+3y−5=0都过定点M，则直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为（ ）
A．x−2y−6=0B．x−2y=0C．2x−y−9=0D．2x−y−3=0
【答案】D
【分析】先求出定点坐标，设直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为2x−y+b=0，则2−2+35=2−2+b5，解方程即可得出答案.
【详解】由2a−1x+−a+3y−5=0可得：a2x−y−x+3y−5=0，
令2x−y=0−x+3y−5=0，解得：x=1,y=2，
所以M1,2，设直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x−y+b=0，
则M1,2到直线2x−y+3=0与2x−y+b=0的距离相等，
所以2−2+35=2−2+b5，解得：b=3，即b=3（舍去）或b=−3.
故直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x−y−3=0.
故选：D.
变式2．（21-22高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得x+3a+y−1=0，
由x+3=0y−1=0，得x=−3y=1，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0C≠−6，
∴−6+3−64+9=−6+3+C4+9，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
变式3．（多选）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．直线x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．点0,1关于直线y=x的对称点为1,0
【答案】AD
【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解；对于C，求出直线与坐标轴的交点坐标，从而求出三角形面积，对于D，设0,1关于直线y=x对称的点为a,b，得到b−1a=−1b+12=a2，再解方程即可判断.
【详解】对于A：任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为90°时斜率不存在，故A正确；
对于B：直线的倾斜角为π6，56π时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误；
对于C：直线x−y−3=0，令x=0，y=−3，令y=0，x=3，
故x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×−3×3=92，故C错误；
对于D：设0,1关于直线y=x对称的点为a,b，
则b−1a=−1b+12=a2⇒a=1b=0，即0,1关于直线y=x对称的点为1,0，故D正确.；
故选：AD
变式4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线2x−y−5=0与直线x+3y+1=0交于点A，则点A关于直线x−y+4=0的对称点坐标是 .
【答案】−5,6
【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可.
【详解】因为直线2x−y−5=0与直线x+3y+1=0交于点A，
所以联立2x−y−5=0x+3y+1=0，解得x=2y=−1，即A2,−1.
设点A2,−1关于直线x−y+4=0的对称点坐标为Ba,b，
则AB的中点坐标为a+22,b−12，kAB=b+1a−2，
故a+22−b−12+4=0b+1a−2×1=−1，解得a=−5b=6，即点A关于直线x−y+4=0的对称点坐标是−5,6.
故答案为：−5,6.
变式5.（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线l的倾斜角为135∘，且经过点P1,1．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A3,4关于直线l的对称点A′的坐标．
【答案】(1)x+y−2=0
(2)−2,−1
【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线l的方程；
（2）设点A′的坐标为a,b，由条件列方程求a,b即可.
【详解】（1）设直线l的斜率为k，
因为直线l的倾斜角为135∘，
所以k=tan135∘=−1，
所以直线l的方程为y−1=−1x−1，即x+y−2=0
（2）设点A′的坐标为a,b，
则b−4a−3×−1=−1a+32+b+42−2=0，解得a=−2,b=−1，
所以点A′的坐标为−2,−1．
变式6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线l:x−2y+1=0，点A2,2.
(1)已知直线l与l':ax−a2−3y−1=0平行，求a的值；
(2)求点A2,2关于直线l的对称点A′的坐标.
【答案】(1)3
(2)125,65
【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解；
（2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果.
【详解】（1）由直线l平行直线l′，可得a2−3=−2a，解得a=3或−1，
当a=3时，直线l′:3x−6y−1=0符合题意，
当a=−1时，直线l′:x−2y+1=0与直线l重合，不合题意，
所以a的值为3.
（2）设对称点A′的坐标为m,n，则AA′中点的坐标为2+m2,2+n2，
所以可得m+22−2×n+22+1=0n−2m−2=−2，解得m=125n=65，
所以A′的坐标为125,65.
变式7．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线l1：ax+3y−1=0，直线l1的一个方向向量的坐标为−2,6，直线l2：4x+by−2=0与直线2x−y+5=0垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知点P−1,−3，求点P关于直线l2对称的点Q的坐标．
【答案】(1)a=9，b=8.
(2)2,3.
【分析】（1）根据直线l1的方向向量求出a，根据直线l2：4x+by−2=0与直线2x−y+5=0垂直求出b.
（2）设出对称点的坐标，然后根据点关于直线对称联立求解即可.
【详解】（1）因为直线l1：ax+3y−1=0的一个方向向量的坐标为−2,6，
所以−a3=6−2⇒a=9，
又因为直线l2：4x+by−2=0与直线2x−y+5=0垂直，
所以4×2+b×−1=0⇒b=8.
所以a=9，b=8.
（2）由（1）知直线l2：4x+8y−2=0即2x+4y−1=0，
设点P−1,−3关于直线l2对称的点Qx0,y0，
则直线PQ的斜率为kPQ=y0+3x0+1=2⇒y0=2x0−1，
线段PQ的中点为x0−12,y0−32，
代入直线l2方程得x0−1+2y0−3−1=0⇒x0+2y0−8=0，
联立y0=2x0−1x0+2y0−8=0⇒x0=2y0=3，
所以点Q的坐标为2,3.
变式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线l过点P2,−1．
(1)若直线l与直线2x+y+3=0垂直，求直线l的方程
(2)若已知直线l:x+2y−2=0，点Q−2,−1关于直线l的对称点的坐标．
【答案】(1)x−2y−4=0
(2)25,195
【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程.
（2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案.
【详解】（1）直线l与直线2x+y+3=0垂直，则kl=12，
故直线l的方程为y=12x−2−1，即x−2y−4=0
（2）设点Q−2,−1关于直线l的对称点的坐标为Mx0,y0，
则y0+1x0+2=2x0−22+2×y0−12−2=0，解得x0=25y0=195，故对称点坐标为25,195.
【方法技巧与总结】
1.实质：该点是两对称点连线段的中点
方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称
2.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）
【题型5：直线关于点对称】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：y=2x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为（ ）
A．y=2xB．y=−2x
C．y=2x−8D．y=2x+4
【答案】A
【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.
【详解】因为A(1,0)不在直线l：y=2x−4上，
所以可设直线l：y=2x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为y=2x+b，
则2−0−422+(−1)2=2−0+b22+(−1)2，解得b=0或b=−4（舍去），
故所求直线方程为：y=2x.
故选：A
变式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点P2,1，直线l：x−y−4=0，则点P到直线l的距离为 ，直线l关于点P对称的直线方程为 ．
【答案】 322/322 x−y+2=0
【分析】利用点到直线距离公式求点P到直线l的距离，设直线l上任一点P1x1,y1关于点P2,1的对称点P1'x,y，确定P1,P1′的坐标关系，利用代点法求对称直线方程．
【详解】点P2,1，直线l：x−y−4=0，
则点P到直线l的距离为2−1−42=322，
设直线l关于点P2,1的对称直线为l'，
则直线l上任一点P1x1,y1关于点P2,1的对称点P1′x,y一定在直线l'上，
x+x12=2y+y12=1，解得x1=4−xy1=2−y，
将x1,y1代入直线l的方程可得，x−y+2=0．
所以直线l关于点P对称的直线方程为x−y+2=0.
故答案为：322；x−y+2=0.
变式2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是A4,0，B6,5，C0,3，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线l′的方程．
【答案】(1)3x+y−12=0；
(2)3x+y−34=0.
【分析】（1）应用两点式求斜率kBC，再由直线垂直得kl=−3，应用点斜式写出直线l的方程；
（2）由直线平行设直线l′的方程为3x+y+m=0m≠−12，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线l′的方程．
【详解】（1）因为点B6,5，C0,3，所以kBC=13，
因为l⊥BC，所以kl=−1kBC=−3，且直线l经过点A4,0，
所以直线l的方程为y=−3(x−4)，即3x+y−12=0．
（2）设直线l′的方程为3x+y+m=0m≠−12，
由点B6,5到直线l和直线l′的距离相等，
所以3×6+5−1210=3×6+5+m10，解得m=−34，
所以直线l′的方程为3x+y−34=0．
变式3．（22-23高二·全国·课后作业）已知点A的坐标为−4,4，直线l的方程为3x+y−2=0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【答案】(1)2,6
(2)3x+y+18=0
【分析】
（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【详解】（1）设A′m,n，由题意可得n−4m+4×−3=−13×m−42+n+42−2=0，解得m=2n=6，
所以点A′的坐标为2,6.
（2）在直线l上任取一点Px,y，设Px,y关于点A的对称点为P′x0,y0，
则x0+x2=−4y0+y2=4，解得x0=−8−xy0=8−y，
由于P′−8−x,8−y在直线3x+y−2=0上，则3−8−x+8−y−2=0，即3x+y+18=0，
故直线l关于点A的对称直线l′的方程为3x+y+18=0.
变式4．（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x−y−1=0的交点，且________，若直线m与直线l关于点1,0对称，求直线m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线3x+2y+8=0垂直；②在y轴上的截距为12．
【答案】选①，2x−3y=0；选②，5x−2y−11=0.
【分析】选①可设直线l的方程2x−3y+c=0，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.
【详解】因为方程组2x+3y+8=0x−y−1=0的解为x=−1y=−2，
所以两条直线2x+3y+8=0和x−y−1=0的交点坐标为−1,−2．
若选①，可设直线l的方程为2x−3y+c=0，
点−1,−2代入方程2x−3y+c=0可得c=−4，即l：2x−3y−4=0．
在直线l上取两点−1,−2和2,0，
点−1,−2关于点1,0对称的点的坐标为3,2，
点2,0关于点1,0对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为2x−3y=0．
若选②，可得直线l的斜率k=12−−20−−1=52，
所以直线l的方程为y=52x+12．
在直线l上取两点1,3和−1,−2，点−1,−2关于点1,0对称的点的坐标为3,2，
点1,3关于点1,0对称的点的坐标为1,−3，
所以直线m的方程为y−2=2+33−1⋅x−3，即5x−2y−11=0．
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点0,0和点125,−65重合，点7,3和点m,n重合，则m+n=（ ）
A．345B．365C．283D．323
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据7,3与m,n关于折线对称求出m,n即可.
【详解】设点O0,0和P125,−65，线段OP中点为点M,
折线即为线段OP的中垂线，
则0+1252=65，0+−652=−35，所以M65,−35，
直线OP的斜率为−65−0125−0=−12，则折线斜率为2，
所以折线方程为：y=2x−65−35⇒y=2x−3，
由题知7,3与m,n关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，
所以n−3m−7=−12n+32=2×m+72−3化简得2n+m=13n−2m=5，
解得m=35n=315，所以m+n=345.
故选：A
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知点A0,1，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点A关于直线l1的对称点B的坐标为2,−1；条件②：点B的坐标为2,−1，直线l1过点2,1且与直线AB垂直；条件③点C的坐标为2,3，直线l1过点2,1且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：x−2y+2=0关于直线l1的对称直线的方程．
【答案】(1)x−y−1=0
(2)2x−y−5=0
【分析】（1）计算直线l1的斜率，根据两直线的平行或垂直关系得到斜率，根据点斜式方程得到直线l1方程.
（2）先计算直线l1，l2的交点；再在直线l2上取一点，求其关于l1对称的点；最后根据交点和对称点得到直线方程.
【详解】（1）选择条件①：
因为点A0,1关于直线l1的对称点B的坐标为2,−1，
所以l1是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点坐标为1,0．
因为kAB=−1−12−0=−1，
所以直线l1的斜率为1.
所以直线l1的方程为y=x−1，即x−y−1=0．
选择条件②：
因为kAB=−1−12−0=−1，直线l1与直线AB垂直，
所以直线l1的斜率为1.
又因为直线l1过点2,1，
所以直线l1的方程为y−1=x−2，即x−y−1=0．
选择条件③，
因为kAC=3−12−0=1，直线l1与直线AC平行，
所以直线l1的斜率为1.
又因为直线l1过点2,1，
所以直线l1的方程为y−1=x−2，即x−y−1=0．
（2）联立方程组x−y−1=0x−2y+2=0，解得x=4y=3，
故l1，l2的交点坐标为4,3，
设A0,1关于l1：x−y−1=0对称的点为Mx,y.
则y−1x=−1x2−y+12−1=0，解得x=2y=−1.
因为A0,1在直线l2：x−2y+2=0上，
所以直线l2关于直线l1对称的直线经过点2,−1，4,3，代入两点式方程得y+13+1=x−24−2，即2x−y−5=0，
所以l2：x−2y+2=0关于直线l1的对称直线的方程为2x−y−5=0．
【方法技巧与总结】
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
【题型6：直线关于直线对称】
例6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：ax+by+c=0与直线l′关于直线x+y=0对称，则l′的方程为（ ）
A．bx+ay−c=0B．bx−ay+c=0
C．bx+ay+c=0D．bx−ay−c=0
【答案】A
【分析】根据对称性的性质，用−x代y，以−y代x进行求解即可.
【详解】因为直线l：ax+by+c=0与直线l′关于直线x+y=0对称，
所以在方程ax+by+c=0中，用−x代y，以−y代x，得−ay−bx+c=0，
化简，得bx+ay−c=0，
故选：A
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y=x对称的直线l′的倾斜角不可能为（ ）
A．θB．π2−θC．π−θD．3π2−θ
【答案】C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线l′的倾斜角为α，则α,θ∈[0,π)，
因为直线l和直线l′关于直线y=x对称，
所以直线l和直线l′也关于直线y=−x对称 ，
所以α+θ=π2或α+θ=3π2，
对于A，当θ=π4时，α=π4=θ，所以A正确，
对于B，当θ=0时，α=π2=π2−θ，所以B正确，
对于C，若α=π−θ，则(π−θ)+θ=π2不成立，且(π−θ)+θ=3π2也不成立，所以C错误，
对于D，当θ=2π3时，α=5π6=3π2−θ，所以D正确.
故选：C
变式2．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线l1:x+y=0,l2:2x−3y−6=0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l1与l2相交于点65,−65
B．直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为65
C．直线l2关于原点O对称的直线方程为2x−3y+6=0
D．直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x−2y+6=0
【答案】AC
【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由x+y=02x−3y−6=0解得x=65,y=−65，所以交点坐标为65,−65，A选项正确.
直线l2:2x−3y−6=0与x轴的交点为3,0，与y轴的交点为0,−2，
直线l1过原点，由图可知，直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为12×3×65=95，
所以B选项错误.
由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点−3,0,0,2，
所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y−2=2−00−−3x−0,2x−3y+6=0，
所以C选项正确.
点3,0关于直线x+y=0的对称点是0,−3；
点0,−2关于直线x+y=0的对称点是2,0，
所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为x2+y−3=1，
即3x−2y−6=0，所以D选项错误.
故选：AC
变式3．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线l1:ax−y+1=0,l2:x+ay+1=0，a∈R，以下结论正确的是（ ）
A．无论a为何值， l1与 l2都互相垂直
B．当a变化时， l1表示过定点(0,1)的所有直线
C．无论a为何值， l1与 l2都关于直线x+y=0对称
D．若 l1与 l2交于点M，则MO（O为坐标原点）的最大值是2
【答案】AD
【分析】对A：讨论a=0与a≠0时对应直线的位置关系即可；
对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断；
对C：讨论l1与x+y=0平行的状态，即可判断；
对D：点M的轨迹为圆，数形结合即可求|OM|的最大值.
【详解】对A：当a=0时，l1方程为：y=1，l2方程为：x=−1，两直线垂直；
当a≠0时，直线l1的斜率k1=a，直线l2的斜率k2=−1a，满足k1⋅k2=−1，两直线垂直；
故无论a为何值， l1与 l2都互相垂直，A正确；
对B：l1:ax−y+1=0，也即y−1=ax，其表示过点(0,1)，斜率为a的直线；
若直线过点(0,1)且斜率不存在时，该方程无法表示，B错误；
对C：当a=−1时，直线l1:ax−y+1=0,l2:x+ay+1=0的方程分别为：
l1:y=−x+1，l2:y=x+1，此时l1与y=−x平行，
l1关于y=−x的对称直线为y=−x−1，不是y=x+1，故C错误；
对D：由A可得：直线l1,l2垂直，且直线l1恒过定点A(0,1)，直线l2恒过定点B(−1,0)，
故点M的轨迹是以AB为直径的圆，此时恰有点O也在该圆上，
故|OM|的最大值为圆的直径AB=2，故D正确.
故选：AD.
变式4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线ax+by+c=0ab>0的夹角平分线为y=x，则直线l的方程为 .
【答案】bx+ay+c=0
【分析】由题意知，直线l和ax+by+c=0关于直线y=x对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程．
【详解】由题意可得直线l与直线ax+by+c=0关于直线y=x对称，
由于直线ax+by+c=0上的任意一点Mx,y关于直线y=x的对称点为Ny,x，
因为已知直线ax+by+c=0，则l的方程是ay+bx+c=0，即bx+ay+c=0，
故答案为：bx+ay+c=0.
变式5．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线l1的方程为x−2y+4=0.
（1）若直线l1和直线l2关于点0,0对称，求直线l2的方程 ；
（2）若直线l1和直线l2关于直线y=x对称，求直线l2的方程 .
【答案】 x−2y−4=0 2x−y−4=0.
【分析】根据题意，由点Ax,y关于点0,0对称的点A′−x,−y在直线l1上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线l1与直线y=x的交点，求出C0,2关于直线y=x对称的点为C′s,r，即可得到直线方程.
【详解】因为直线l1和直线l2关于点0,0对称，
在直线l2上任取一点Ax,y，则Ax,y关于点0,0对称的点A′−x,−y在直线l1上，
将点A′−x,−y代入直线l1可得−x+2y+4=0，
所以直线l2的方程为x−2y−4=0；
设直线l1与直线y=x的交点为Bp,q，
所以p=qp−2q+4=0，解得p=q=4，则B4,4，
在直线l1上取点C0,2，设C0,2关于直线y=x对称的点为C′s,r，
则r−2s−0×1=−1①
因为C0,2与C′s,r的中点坐标为0+s2,2+r2，
所以0+s2=2+r2②
由①②可得s=2r=0，所以C′2,0
因为直线l1和直线l2关于直线y=x对称，
所以直线l2经过点B4,4和点C′2,0，
所以直线l2的两点式方程为y−04−0=x−24−2，
整理得直线l2的一般式方程为2x−y−4=0.
故答案为: x−2y−4=0;2x−y−4=0.
变式6．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知△ABC的三个顶点是A1,1，B3,3，C2,8．
(1)过点B的直线l1与边AC相交于点D，若△BCD的面积是△ABD面积的3倍，求直线l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分线所在直线l2的方程．
【答案】(1)x−7y+18=0
(2)2x−y−1=0
【分析】（1）设Dx0,y0，根据平面向量的坐标关系确定DC=3AD，即可列方程得D的坐标，从而可得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定B关于直线l对称的点为B′的坐标关系式，即可得所求.
【详解】（1）设Dx0,y0则AD=x0−1,y0−1，DC=2−x0,8−y0
因为△BCD的面积是△ABD面积的3倍，所以DC=3AD，
则2−x0=3(x0−1)8−y0=3(y0−1)解得x0=54y0=114
故直线l1的方程为y−3=3−1143−54(x−3)，即x−7y+18=0
（2）显然，l2的斜率存在且不为零，设l2的方程为y−1=kx−1，
则过点B且与l2垂直的直线l的方程为y−3=−1k(x−3)
设点B关于直线l对称的点为B′x1,3−1k(x1−3)，
因为直线AC的方程为7x−y−6=0，
所以7x1−3+1kx1−3−6=03+3−1kx1−32−1=k3+x12−1
整理得2k3−3k2−2k=0
因为k≠0，所以2k2−3k−2=0，解得k=2或k=−12
又kAC=7>0，kAB=1>0，所以k>0，
故直线l2的方程为y−1=2x−1，即2x−y−1=0
变式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线l:2x+3y−5=0，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线l关于x轴对称；
(2)过点3,1，且与l平行．
【答案】(1)2x−3y−5=0；
(2)2x+3y−9=0.
【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答.
（2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答.
【详解】（1）设与直线l关于x轴对称的直线l1上任意点坐标为(x,y)，则点(x,−y)在直线l上，即有2x+3(−y)−5=0，
所以直线l1的方程为2x−3y−5=0.
（2）设与直线l平行的直线l2的方程为2x+3y+m=0(m≠−5)，
于是2×3+3×1+m=0，解得m=−9，
所以直线l2的方程为2x+3y−9=0.
【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．x−3y−1=0B．3x−y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
【答案】B
【分析】求出A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C的坐标，由B,C都在反射光线所在直线上得直线方程．
【详解】设A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C(x,y)，
则(x−2)−y+12+10=0y−1x+2=−12，解得x=−6y=3，即C(−6,3)，
所以反射光线所在直线方程为y−3=−3−3−8+6⋅(x+6)，即3x−y+21=0．
故选：B．
变式1．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点P−1,5射出，经直线x−3y+1=0反射后经过点2,3，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2=0
C．3x−y−3=0D．4x−y−5=0
【答案】B
【分析】求出点P−1,5关于直线x−3y+1=0的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点P−1,5关于直线x−3y+1=0的对称点为P1a,b，
则b−5a+1×13=−1a−12−3×b+52+1=0，化简得b=−3a+2a−3b−14=0，解得a=2b=−4，
故反射光线过点2,−4,2,3，
则反射光线所在直线的方程为x−2=0.
故选：B.
变式2．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【分析】以A为坐标原点，AB,AC所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点P关于BC，AC的对称点P1，P2，则△PQR即为P1P2的长.
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y−4=0.
设P(t,0)(0易得P1(4,4−t)，P2(−t,0).
易知直线P1P2就是RQ所在的直线.
所以直线RQ的方程为y=4−t4+t×(x+t).
设△ABC的重心为G，则G43,43，
所以43=4−t4+t⋅43+t，即3t2−4t=0，所以t=0（舍去）或t=43，
所以P14,83，P2−43,0.
结合对称关系可知QP=QP1，RP=RP2，
所以△PQR的周长即线段P1P2的长度为：
4+432+83−02=853.
故选：A.
变式3．（23-24高二上·浙江温州·期中）在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB的中点，光线从点P出发，沿与AB所成角为θ的方向发射，经过BC,CA反射后回到线段PB之间（包括端点），则tanθ的取值范围是（ ）
A．1,2B．2,3C．4,5D．3,4
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用k=tanθ表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段PB之间角θ范围.
【详解】
建立直角坐标系如图所示，A0,0，B4,0，C0,4，P2,0则直线BC:x+y=4
由题光线从点P出发，沿光线路径依次为PE,EF,FG其中E,F,G分别为光线与对应边交点，
设G(t,0),2≤t≤4，点Gt,0关于直线AC对称点为G1(−t,0)，设点P2,0关于直线BC对称点为P1(m,n)，根据对称则有nm−2=1m+22+n2=4⇒m=4n=2⇒P1(4,2)，
因为光线与AB所成角为θ的方向发射，即∠EPB=θ，令k=tanθ，k即为直线PE斜率，
则直线PE方程为y=k(x−2)，则与BC联立y=k(x−2)x+y=4⇒x=2+21+ky=2k1+k⇒E2+21+k,2k1+k，
由光线反射的性质与光路可逆性知P1,E,F,G1四点共线，
则直线P1E方程为y=2k1+k−221+k−2(x−4)+2⇒y=1k(x−4)+2，
令y=0得−t=4−2k⇒t=2k−4∈2,4⇒3≤k≤4，
所以tanθ的取值范围为3,4.
故选：D
变式4．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则AP的长度为 .
【答案】13
【分析】求出点P关于y和直线BC的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以A为原点，AB,AC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，
则直线BC方程为x+y−1=0，
设Pa,0关于y和直线BC的对称点分别为N,M，则N−a,0，
记Mx0,y0，则y0−0x0−a=1x0+a2+y02−1=0，解得M1,1−a，
因为G为△ABC的重心，A0,0,B1,0,C0,1，所以G13,13，
由光的反射原理可知，M,N,G三点共线，所以kMN=kNG，
即1−a1+a=1313+a，解得a=0（舍去）或a=13.
故答案为：13
变式5．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,3，从点P1,0射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程的为 .
【答案】25
【分析】作出P点关于y轴的对称点P1以及关于AB的对称点P2，将问题转化为求解P1P2，由此求解出结果.
【详解】P点关于y轴的对称点P1(−1,0)，关于AB的对称点P2(m,n)，如图所示，
又因为A3,0，B0,3，所以直线AB方程为：x3+y3=1，即x+y−3=0，
所以m+12+n+02−3=0n−0m−1×(−1)=−1，解得m=3n=2，即P2(3,2).
所以光线经过的路程为|PM|+|MN|+|PN|=|P2M|+|MN|+|P1N|=|P1P2|=3+12+2−02=25.
故答案为：25
变式6．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知A6,63，B0,0，C12,0，直线l：k+3x−y−2k=0．
(1)求直线l经过的定点坐标；
(2)若P2,23，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
【答案】(1)2,23
(2)2x+3y−10=0
【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点P关于直线BC与AC的对称点P1与P2，进而可得kP1P2，再根据对称性可得kPK，即可得直线方程.
【详解】（1）由直线l：k+3x−y−2k=0，即kx−2+3x−y=0，
令x−2=03x−y=0，解得x=2y=23，
故直线l恒过定点2,23；
（2）设P关于BC的对称点P1，则P12,−23，
P关于AC的对称点P2m,n，
由直线AC的方程为y−063−0=x−126−12，即y=−3x−12，
所以n−23m−2⋅−3=−1n+232=−3m+22−12，解得m=14n=63，
所以P214,63，
由题意得P1、K、I、P2四点共线，kP1P2=233，
由对称性得kPK=−233，
所以入射光线PK的直线方程为y−23=−233x−2，
即2x+3y−10=0．
变式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点M2,3，在直线l:x+y+1=0上反射，且反射光线经过点N1,1，求：
(1)入射光线与直线l的交点．
(2)入射光线与反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)(−23,−13)
(2)入射光线的方程5x−4y+2=0，反射光线的方程4x−5y+1=0
【分析】（1）根据题意，求得点M2,3关于直线l的对称点为M′−4,−3，得到反射光线的方程4x−5y+1=0，联立方程组，即可求得交点坐标；
（2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程.
【详解】（1）解：设点M2,3关于直线l:x+y+1=0的对称点为M′m,n，
则n−3m−2=1m+22+n+32+1=0，解得m=−4,n=−3，即M′−4,−3，
则反射光线所在的直线M′N的方程y−1=45(x−1)，即4x−5y+1=0，
又由4x−5y+1=0x+y+1=0，解得x=−23,y=−13，
即直线M′N与直线l的交点为C(−23,−13).
（2）解：由点C(−23,−13)，可得kMC=54，
所以入射光线所在的直线MC的方程为y−3=54(x−2)，即5x−4y+2=0，
反射光线所在直线的M′N的方程y−1=45(x−1)，即4x−5y+1=0.
【题型8：将军饮马问题】
例8．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：x+y−2=0，点A−1,0，B1,0，P为l上任意一点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．13B．10C．7D．5
【答案】B
【分析】先求得点A−1,0关于直线l的对称点A′的坐标，则A′B即为PA+PB的最小值.
【详解】设点A−1,0关于直线l的对称点为A′m,n，
则有m−12+n2−2=0nm+1×(−1)=−1，解之得m=2n=3，则A′2,3，
则PA+PB的最小值为A′B=2−12+3−02=10
故选：B
变式1．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点P在由直线y=x+3，y=5和x=−1所围成的区域内（含边界）运动，点Q在x轴上运动.设点T(4,1)，则QP+QT的最小值为（ ）
A．30B．42C．34D．210
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再确定出使QP+QT的位置.然后求出值即可
【详解】由直线y=x+3，y=5和x=−1围成△ABC,如图所示，
点P在△ABC内（含边界）运动，
Q在x轴上运动，作点T4,1关于x轴的对称点T′4,−1，则QP+QT=QP+QT′，
QP+QT的最小值为T′4,−1到直线y=x+3的距离，即82=42.
故选：B.
变式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点M(1,−2)，N(4,4)，H是直线l:2x−y+1=0上的动点，则HM+NH的最小值为（ ）
A．13B．35
C．65D．62
【答案】C
【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果.
【详解】如图所示，
设点M(1,−2)关于直线l的对称点为M′x0,y0，
则2×x0+12−y0−22+1=0y0+2x0−1×2=−1，解得x0=−3y0=0，即M′(−3,0)，
所以(HM+NH)min=HM′+NHmin=NM′=(4+3)2+(4−0)2=65．
故选：C.
变式3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A2,4，军营所在位置为B6,2，河岸线所在直线的方程为x+y−3=0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x−y−8=0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为138,118
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x−6y+6=0
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【答案】B
【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”， A,C,B1三点共线满足题意，其中点B1为点B关于直线的对称点，对于A，由根据BB1被x+y−3=0垂直平分求出B1的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.
【详解】如图所示：
由题意可知A,B在x+y−3=0的同侧，设点B关于直线x+y−3=0的对称点为B1a,b，
A,C,B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则a+62+b+22−3=0b−2a−6×−1=−1，解得a=1b=−3，即B11,−3，
对于A，直线AB1的斜率为k=4−−32−1=7，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是y+3=7x−1，即7x−10−y=0，故A正确；
对于B，联立7x−10−y=0x+y−3=0，解得x=138y=118，即将军在河边饮马的地点的坐标为138,118，故B正确；
对于C，由C选项分析可知点C138,118，直线CB的斜率为k=2−1186−138=17，所以直线CB的方程为y−2=17x−6，即x−7y+8=0，故C错误；
对于D，AC+CB=AC+CB1=AB1=12+72=52，即“将军饮马”走过的总路程为52，故D错误.
故选：B.
变式4．（23-24高二上·河南新乡·期中）5x2−4x+1+5x2+4x+4的最小值为（ ）
A．1955B．3C．2055D．22
【答案】C
【分析】根据题意将所求问题转化为y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和的最小值，可求出点B−2,0关于直线y=2x的对称点为C65,−85，可得答案.
【详解】因为5x2−4x+1+5x2+4x+4=x2+2x−12+x+22+2x2
表示直线y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和．
设点B−2,0关于直线y=2x的对称点为Cx,y，所以y−0x+2⋅2=−1y2=2⋅x−22，解得x=65y=−85，
即C65,−85，所以PA+PB=PA+PC ≥AC=0−652+1+852=2055，
即5x2−4x+1+5x2+4x+4的最小值为2055.
故选：C.
变式5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知x+y+1=0，则x2+y2−2x−2y+2+(x−3)2+y2的最小值是（ ）
A．10B．13C．29D．6
【答案】C
【分析】根据点点距离公式可将问题转化为x+y+1=0的动点P′x,y与点A1,1，B3,0的距离之和.根据点关于直线的对称，即可结合三点共线求解最值.
【详解】设点P'x,y为直线l：x+y+1=0的动点，
则x2+y2−2x−2y+2+(x−3)2+y2=(x−1)2+(y−1)2+(x−3)2+(y−0)2，
可看作P′x,y与点A1,1，B3,0的距离之和.
设A1,1关于直线l的对称点为A′a,b，
则b−1a−1=1a+12+b+12+1=0，解得a=−2,b=−2，
所以A′−2,−2，
则P′A+P′B=P′A′+P′B≥A′B=−2−32+−2−02=29，当且仅当P'与A′,B共线时（即图中位置P），取等号
即x2+y2−2x−2y+2+(x−3)2+y2的最小值是29.
故选：C.
变式6．（22-23高二上·河北张家口·期末）已知实数x，y满足x+y+1=0，则x−12+y−12+x−22+y2的最小值为（ ）
A．5B．22C．10D．25
【答案】D
【分析】由x−12+y−12+x−22+y2表示直线x+y+1=0上一动点Px,y到定点A1,1,B2,0的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：x−12+y−12+x−22+y2表示直线x+y+1=0上一动点Px,y到定点A1,1,B2,0的距离之和，如图所示：
设点A1,1关于直线x+y+1=0的对称点为A′x0,y0，
则y0−1x0−1=1x0+12+y0+12+1=0，解得x0=−2y0=−2，
所以对称点为A′−2,2，则A′B=−2−22+2−02=25
由图知：x−12+y−12+x−22+y2的最小值为25，
故选：D
变式7．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点A−3,1，点M,N分别是x轴和直线2x+y−5=0上的两个动点，则AM+MN的最小值等于 ．
【答案】1255
【分析】作A关于x轴的对称点A′，由此将问题转化为“求A′M+MN的最小值”，然后判断出最小值即为A′到2x+y−5=0的距离，代入公式可求结果.
【详解】如图，作点A−3,1关于x轴的对称点A′−3,−1，则AM+MN=A′M+MN，
此时最小值即为A′−3,−1到直线2x+y−5=0的距离，即d=−6−1−54+1=1255，
所以AM+MN的最小值为1255，
故答案为：1255.
【方法技巧与总结】
利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
一、单选题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）三角形的三个顶点为A2,−1,B−1,3，则AB的长为（ ）
A．3B．5C．9D．25
【答案】B
【分析】根据两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】根据题意，利用两点间的距离公式，可得AB的长为AB=(2+1)2+(−1−3)2=5，
故选：B
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:x+3y−3=0间的距离为10，则m=（ ）
A．17B．172C．14D．7
【答案】D
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，m+31+9=10，解得m=7（m=−13舍去）.
故选：D.
3．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线ax+by+c=0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（ ）
A．c2=a2+b2B．a2=b2+c2
C．b2=a2+c2D．c=a+b
【答案】A
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解.
【详解】原点O0,0到直线ax+by+c=0的距离为1，
则a×0+b×0+ca2+b2=1，整理得c2=a2+b2.
故选：A.
4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点A2,1，点B在直线x−y+3=0上，则AB的最小值为（ ）
A．5B．26C．22D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于A2,1不在直线l:x−y+3=0上，所以当AB⊥l时，此时AB最小，
故ABmin=d=2−1+32=22,
故选:C
5．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线l：x−y=0，则点A−1,4关于l对称的点的坐标为（ ）
A．4,1B．4,−1C．−1,−4D．1,4
【答案】B
【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解.
【详解】设点A−1,4关于l对称的点为A′a,b，则b−4a+1=−1−1+a2−4+b2=0，解得a=4,b=−1，
故选：B
6．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知A−2,4，B−4,6两点到直线l:ax−y+1=0的距离相等，则a的值为（ ）
A．−1或−43B．3或4C．3D．4
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
−2a−4+1a2+1=−4a−6+1a2+1，整理得2a+3=4a+5，
即2a+3=±(4a+5)，解得a=−1或a=−43.
故选：A.
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠−9
C．k≠1且k≠9D．k≠1且k≠−9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【详解】由直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，得3(2k−3)−k[−(k+2)]≠0，
即(k+9)(k−1)≠0，解得k≠1且k≠−9，
所以实数k的值为k≠1且k≠−9.
故选：D
8．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地A,B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A0,0,B−2,0，一条河所在直线的方程为x+2y−5=0.若在河上建一座供水站P，则P到A,B两点距离之和的最小值为（ ）
A．42B．32C．43D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设A关于直线x+2y−5=0对称的点为A′(a,b)，
则a2+2⋅b2−5=0,ba⋅−12=−1,得a=2,b=4,即A′2,4，
易知AP=A′P，
当A′,P,B三点共线时，
PA+PB=PA′+PB取得最小值，
最小值为A′B= (2+2)2+(4−0)2=42.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高二下·广西·开学考试）若直线l1：y=34x+2，l2：3x−4y+8=0，l3：y=34x−1，l4：y=−34x+1，则（ ）
A．l1∥l2B．l1与l3之间的距离为125
C．l2∥l3D．l1与l4的倾斜角互补
【答案】BCD
【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC的真假；根据平行线的距离公式，判断B的真假；根据倾斜角和斜率的关系，判断D的真假.
【详解】由3x−4y+8=0，得y=34x+2，所以l1与l2重合，l2∥l3，A错误，C正确．
l1与l3之间的距离为|2−(−1)|12+342=125，B正确．
因为l1与l4的斜率互为相反数，所以l1与l4的倾斜角互补，D正确．
故选：BCD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线l1：2x−y=0与l2：x+y−3=0交于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为5
B．点P到直线x−y−1=0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：m+2x−2y−1=0都经过点P
D．1,−1是直线l2的一个方向向量的坐标
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由2x−y=0x+y−3=0，解得x=1,y=2，则点P(1,2)，
对于A，P(1,2)到原点距离12+22=5，A正确；
对于B，P(1,2)到直线x−y−1=0的距离|1−2−1|12+(−1)2=2，B错误；
对于C，(m+2)×1−2×2−1=m−3，当m≠3时，直线l3不过点P，C错误；
对于D，直线l2的斜率k=−1，因此1,−1是直线l2的一个方向向量的坐标，D正确.
故选：AD
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点A2，7，B−2，3到直线l:ax−2y+a−1=0的距离相等，则a的值可能为（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【答案】BD
【分析】分点A,B在直线l的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点A,B在l的同侧，则直线AB//l，
即a2=7−32−−2，解得a=2，
②若A,B在l的两侧，则l经过线段AB的中点0,5，
即a×0−2×5+a−1=0⇒a=11，
故选：BD.
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点Px,y在直线x+2y−5=0上，当OP最小时，P点的坐标为 .
【答案】1,2
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当OP垂直于直线x+2y−5=0时，OP取得最小值，
此时kOP=2，OP所在直线方程为y=2x，
联立x+2y−5=0y=2x解得x=1,y=2，即P1,2.
故答案为：1,2
13．（23-24高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点Ax1,y1，Bx2,y2，定义dAB=x1−x22+y1−y22为“A，B两点间的距离”，定义AB=x1−x2+y1−y2为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知O(0,0)为坐标原点，P(x,y)(x≥0,y≤0)为平面直角坐标系中的动点，且OP=2，则dOP的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据OP=2得出x−y=2，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】设Px,y，则由OP=x+y=2，
因为x≥0,y≤0，所以x−y=2，
dOP的最小值为点O到线段的距离，
dOP的最小值为|−2|2=2.
故答案为：2
14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l与直线2x−3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为 ．
【答案】2x+3y−8=0
【分析】利用直线对称的性质求得直线l的两点，从而利用点斜式即可得解.
【详解】直线2x−3y+4=0取两点1,2,−2,0，
则它们关于x=1对称的点为1,2,4,0在直线l上，
故直线l的斜率为0−24−1=−23，
则直线l的方程为y−0=−23(x−4)，即2x+3y−8=0.
故答案为：2x+3y−8=0.
15．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知实数x,y满足xsinα+ycsα=3，则x2+y2的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用两点距离公式的几何意义与点线距离公式即可得解.
【详解】因为x2+y2表示点x,y到点0,0的距离的平方，
而x2+y2的最小值为点0,0到直线xsinα+ycsα=3的距离，即−3cs2α+sin2α=3，
所以x2+y2的最小值为9.
故答案为：9.
16．（2023高二上·全国·专题练习）已知x,y∈R，S=x+12+y2+x−12+y2，则S的最小值是 .
【答案】2
【分析】S=x+12+y2+x−12+y2表示点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】S=x+12+y2+x−12+y2表示点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，
即S=PA+PB，如图所示：
由图象知：S=PA+PB≥AB=2，
当点P在线段AB上时，等号成立.
所以S取得最小值为2.
故答案为：2.
四、解答题
17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l1：x+my+1=0和l2：2x+y−1=0．
(1)若l1与l2互相垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．
【答案】(1)m=−2
(2)355
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出m的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出m的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线l1:x+my+1=0和l2:2x+y−1=0．
当直线l1与l2互相垂直，故2+m=0，
解得m=−2；故m=−2；
（2）当直线l1与l2互相平行，则m=12，故直线l1的方程为2x+y+2=0；
所以直线l1与l2间的距离d=|2−(−1)|1+22=355．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形ABCD中，A1,1,C5,5，边AB,AD所在直线的方程分别为l1:x−3y+2=0和l2:3x−y−2=0．
(1)求BC边所在直线的方程和点A到直线BC的距离；
(2)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程．
【答案】(1)3x−y−10=0,4105；
(2)x+y−6=0；
(3)x−2y=0和x+y−6=0．
【分析】
（1）直线BC和直线AD平行，据此求出BC斜率，再根据BC过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据点到直线距离公式可求A到直线BC的距离；
（2）求出AC的斜率并求出线段AC中点坐标，根据点斜式方程即可求解；
（3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解．
【详解】（1）由BC//AD,AD的方程为l2:3x−y−2=0，
可得直线BC的斜率为3，又经过点C5,5，
则直线BC的方程为y−5=3x−5，即3x−y−10=0；
点A到直线BC的距离为3−1−109+1=4105；
（2）由A1,1,C5,5，可得AC的中点坐标为3,3，
又直线AC的斜率为5−15−1=1，则线段AC垂直平分线斜率为−1，
则其所在的直线方程为y−3=−x−3，即为x+y−6=0；
（3）由x−3y+2=03x−y−10=0，解得B4,2，
由题意可得所求直线的斜率k存在且不为0，
设所求直线的方程为y−2=kx−4，
今x=0，则y=2−4k，
今y=0，则x=4−2k，
由题意可得2−4k=4−2k，
解得k=−1和k=12，
则所求直线方程为x−2y=0和x+y−6=0．
19．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线l1:(t−1)x+2y−t=0和l2:x+ty+t−4=0.
(1)讨论直线l1与l2的位置关系；
(2)当直线l1与l2平行时，求它们之间的距离；当直线l1与l2相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应t的取值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)平行时距离为924，相交时最大夹角为90°．
【分析】（1）由两相交求得t的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为90°．
【详解】（1）t(t−1)−2≠0，t≠2且t≠−1时，两直线相交，
t=2时，两直线方程分别为x+2y−2=0和x+2y−2=0，两直线重合，
t=−1时，两直线方程分别为−2x+2y+1=0和x−y−5=0，两直线平行．
综上， t≠2且t≠−1时，两直线相交，t=2时，两直线重合，t=−1时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为−2x+2y+1=0和x−y−5=0即为2x−2y−1=0和2x−2y−10=0，距离为d=−10−(−1)22+(−2)2=924，
两直线相交时，t≠2且t≠−1，
t≠0时，l1的斜率为k1=−t−12，l2的斜率为k2=−1t，
由−t−12⋅(−1t)=−1得t=13，即t=13时两直线垂直，夹角最大为90°．
课程标准
学习目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用
2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2−x1）2+（y2−y1）2
【即学即练1】（23-24高二下·全国·课后作业）若A(−3,5),B(2,0)，则|AB|为 .
【答案】52
【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得AB=(−3−2)2+(5−0)2=52，
故答案为：52.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点(x,y)到原点的距离等于1，则实数x,y满足的条件是（ ）
A．x2−y2=1B．x2+y2=0
C．x2+y2=1D．x2−y2=0
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式列式即得.
【详解】依题意，由点P(x,y)到原点的距离等于1可得，|PO|=(x−0)2+(y−0)2=x2+y2=1，
故实数x,y满足的条件是x2+y2=1.
故选：C.
知识点02点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.
【即学即练3】（23-24高二上·新疆·期末）点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离为（ ）
A．−2B．2C．−1D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离d=|3×1+4×2−6|32+42=1.
故选：D
【即学即练4】(多选)（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点M1,4到直线l:mx+y−1=0的距离为3，则实数m等于（ ）
A．0B．34C．3D．2
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意m+4−1m2+1=3，即4m2−3m=0,解得m=0或m=34.
故选：AB.
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【即学即练5】（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线l1:x−2y−4=0与l2:x−2y+1=0之间的距离是（ ）
A．5B．1C．5D．355
【答案】C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得d=1+412+−22=5.
故选：C
【即学即练6】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线2x−y−1=0与4x−2y+3=0之间的距离为 ．
【答案】52/125
【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离.
【详解】由2x−y−1=0，可得4x−2y−2=0，
所以2x−y−1=0与4x−2y+3=0之间的距离为|−2−3|42+22=52.
故答案为：52.
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(−3,0)，若将军从山脚下的点B(−1,1)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】13
【分析】求出B(−1,1)关于直线x+y=1对称的点C(0,2)，结合图形，即可求解.
【详解】设点B(−1,1)关于直线x+y=1对称的点为C(x,y)，
则有−1+x2+1+y2=11−y−1−x⋅(−1)=−1，解得x=0y=2，所以C(0,2)，
则PA+PB=PA+PC，所以“将军饮马”的最短总路程为|AC|=32+22=13，
故答案为：13.
难点：类比距离问题
示例2：（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数fx=2x4−18x2+12x+68+x2−x+1，则（ ）
A．fx的最小值为8B．fx的最小值为9
C．fx=8有1个实根D．fx=9有1个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为PQ+PM，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】Px,x2是抛物线y=x2上一点，
P到直线y=x−1的距离为PQ=x2−x+1−12+12=22x2−x+1= 22x2−x+1，
P到点M−3,5的距离为PM=x+32+x2−52，
所以fx=2x4−18x2+12x+68+x2−x+1=2PM+PQ
当M，P，Q共线时，PQ+PM取最小值，
最小值为M−3,5到y=x−1的距离−3−5−12=922.
因为y=222x2−x+1+x+32+x2−52=2PQ+PM，
且PQ+PM的最小值为922，
所以y的最小值为9，且在交点P−2,4或P1,1处取到，
故选：B.
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）点M1(2,−5)与M2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）
A．−9B．−1C．−9或−1D．12
【答案】C
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意(5−2)2+(y+5)2=5，即(y+5)2=16，解得y=−1或y=−9．
故选：C．
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知a+b−7=0，c+d−5=0，则(a+c)2+(b+d)2的最小值等于（ ）
A．3B．6C．42D．62
【答案】D
【分析】令A(a,b)，B(c,d)，得到点A，B分别在直线x+y−7=0，x+y−5=0上，设线段AB的中点为M，则Ma+c2,b+d2，且点M在直线x+y−6=0上，将所求问题，转化为点M到原点的距离的2倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令A(a,b)，B(c,d)，由已知可得点A，B分别在直线x+y−7=0，x+y−5=0上，
设线段AB的中点为M，则Ma+c2,b+d2，
M到原点的距离d=a+c22+b+d22=12×(a+c)2+(b+d)2，
依题意点M在直线x+y−6=0上，
所以点M到原点的最小距离即为原点到直线x+y−6=0的距离，为0+0−62=32，
因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值为32，因此(a+c)2+(b+d)2的最小值等于62.
故选：D.
变式2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点A的坐标−8,12，线段AB中点的坐标为−12,2，则B点坐标为 ，|AB|为 .
【答案】 7,−8 25
【分析】设B点的坐标为x,y，根据中点坐标公式列出关于x,y的方程组，解出方程组即可得B点的坐标.
【详解】设B点的坐标为x,y，
∵点A的坐标−8,12，线段AB中点的坐标为−12,2，
∴−8+x2=−1212+y2=2，解得x=7y=−8，
即B点的坐标为7,−8，所以|AB|=25
故答案为：7,−8；25.
变式3．（20-21高二·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,−1)，B(−1,3)，C(3,0)．则△ABC的形状为 ；△ABC的面积为 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为|AB|=(−1−1)2+[3−(−1)]2=20=25，
|AC|=(3−1)2+[0−(−1)]2=5，|BC|=[3−(−1)]2+(0−3)2=25=5，
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
由于△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，所以S△ABC=12|AB|⋅|AC|=5.
故答案为：直角三角形；5
变式4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知A(a,0),B(0,10)，且|AB|=17，则a= ．
【答案】±321
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为A(a,0),B(0,10)且|AB|=17，所以|AB|=a2+0−102=17，解得a=±321
故答案为：±321
变式5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知点A−3,0,Bcsα,sinα，且AB=2，写出直线AB的一个方程
【答案】x−3y+3=0(答案不唯一)
【分析】根据两点间的距离公式，求出csα的值，然后写出点B的坐标，从而可求直线AB的一个方程.
【详解】根据两点间的距离公式，得csα+32+sin2α=2，
即sin2α+cs2α+3+23csα=4。所以csα=0，
所以sinα=1或sinα=−1，
当sinα=1时，A−3,0,B0,1，直线AB的方程为x−3y+3=0；
当sinα=−1时，A−3,0,B0,−1，直线AB的方程为x+3y+3=0.
故答案为：x−3y+3=0.(答案不唯一)
变式6．（2021高二上·全国·专题练习）已知点A−2,−1,Ba,3，且AB=5，则a的值为 .
【答案】1或−5
【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案.
【详解】由两点间距离公式得(−2−a)2+(−1−3)2=52，所以(a+2)2=9，所以a+2=±3，即a=1或a=−5.
故答案为：1或−5
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）二元函数fx,y=(x+csy)2+(2x+3+siny)2的值域为 ．
【答案】14−655,+∞
【分析】把二元函数转化为两点间距离的平方，再转化为点到直线的距离为最小值即可得出值域.
【详解】由题意可知二元函数fx,y的几何意义为单位圆上一点A−csy,−siny到直线y=2x+3上一点B距离的平方，最小值为圆心到直线距离减半径，圆心为O0,0,d=312+22=35
|AB|min2=35−12=14−655，则fx,y∈14−655,+∞．
故答案为：14−655,+∞.
变式8.（2021高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知A(−2,0)，B(0,4)，线段AB的垂直平分线为直线l．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点C在直线l上，且|AC|=10，求点C坐标．
【答案】(1)x+2y−3=0
(2)1,1或−3,3
【分析】（1）由题意，求出线段AB的中点坐标及直线l的斜率kl=−1kAB，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案；
（2）设点C坐标为a,b，由题意，列出关于a,b的方程组求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为A−2,0，B0,4，所以线段AB的中点为−1,2，kAB=0−4−2−0=2，
又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl=−1kAB=−12，
所以直线l的方程为y−2=−12x+1，即x+2y−3=0，
所以直线l的一般式方程为x+2y−3=0；
（2）解：设点C坐标为a,b，
由题意有a+2b−3=0a+22+b2=10，解得a=1b=1或a=−3b=3，
所以点C坐标为1,1或−3,3.
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离为（ ）
A．−2B．2C．−1D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离d=|3×1+4×2−6|32+42=1.
故选：D
变式1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l：x+my−2m−1=0，则点P2,−1到直线l距离的最大值为（ ）
A．5B．10C．5D．10
【答案】B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点A1,2，即可求出结果.
【详解】直线l：x+my−2m−1=0，即x−1+m(y−2)=0，
由x−1=0y−2=0，得到x=1,y=2，所以直线过定点A1,2，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为AP=(2−1)2+(−1−2)2=10，
故选：B.
变式2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知A−3,−4，B6,3两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值（ ）
A．13B．−97C．−13或−79D．13或−79
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．
【详解】因为点A(−3,−4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，
所以|−3a−4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，即|−3a−3|=|6a+4|，
化简得27a2+30a+7=0，解得a=−13或a=−79.
故选：C.
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）直线x+y−1=0上与点P(−2,3)的距离等于2的点的坐标可以是（ ）
A．(−4,5)B．(−1,2)C．(−3,4)D．(1,−5)
【答案】BC
【分析】设所求点的坐标为(x0,y0)，然后根据题意列方程组可求得结果.
【详解】设所求点的坐标为(x0,y0)，则x0+y0−1=0，且(x0+2)2+(y0−3)2=2，
两式联立解得x0=−3y0=4或x0=−1y0=2，
所以所求点的坐标为(−1,2)或(−3,4)
故选：BC
变式4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线l:y=ax−a+1，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点−1,1
B．当a=1时，l关于x轴的对称直线为x+y=0
C．直线l一定经过第四象限
D．点P3,−1到直线l的最大距离为22
【答案】BD
【分析】A.由l:y=ax−a+1=ax−1+1判断；B.由a=1时，直线方程为y=x判断；C.由a=1时，直线方程为y=x判断；D.点P3,−1到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线l:y=ax−a+1=ax−1+1，所以直线l过定点Q1,1，故A错误；
对于B.当a=1时，直线方程为y=x，l关于x轴的对称直线为x+y=0，故B正确；
对于C，当a=1时，直线方程为y=x，直线l不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设PH⊥l，由图象知：PQ≥PH，点P3,−1到直线l的最大距离为d=3−12+−1−12=22，故D正确；
故选：BD
变式5．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点P1,3与Q−3,1到直线l的距离相等，则l的方程可以是（ ）
A．2x+y=0B．x−2y−3=0
C．2x+3y−5=0D．3x−2y+7=0
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离相等，可得l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，进而两种情况进行判断.
【详解】由题知，l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，
又PQ的中点为−1,2，
则过点−1,2的直线为AD选项；
又PQ的斜率为3−11−−3=12，则B选项符合条件.
故选：ABD
变式6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P−2,−1到直线l：1+3λx+1+2λy=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】0,13
【分析】先确定直线恒过定点A1,1，再计算|PA|，从而可得结论．
【详解】解：把直线l的方程化为(x+y−2)+λ3x+2y−5=0，
由方程组x+y−2=0,3x+2y−5=0,
解得x=1,y=1,
所以直线l恒过定点A1,1，
其中直线l不包括直线3x+2y−5=0．
又PA=(−2−1)2+(−1−1)2=13，
且当PA与直线3x+2y−5=0垂直时，点P到直线3x+2y−5=0的距离为13，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d<13，
故答案为：0,13．
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点P3,4到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条．
【答案】3
【分析】结合点到直线的距离公式，分截距是否为0进行讨论即可得解.
【详解】当截距不为0时，由题意设所求直线为x+y=a,a≠0，
则7−a2=5，解得a=7±52；
当截距为0时，设原点为O0,0，则kPO=43，注意到PO=32+42=5，
所以此时满足题意的直线方程可以是y=−34x；
综上所述，满足条件的直线共有3条.
故答案为：3.
变式8.（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对a,b满足关系式2a+b+3=5a−3b+3=ta2+b2，求实数t的所有可能的值．
【答案】52，115，115353．
【分析】化简得到|2a+b+3|a2+b2=|5a−3b+3|a2+b2=t，然后，根据情况，对t进行分类讨论即可求解.
【详解】由已知得t>0，
整理，得2a+b+3a2+b2=5a−3b+3a2+b2=t，
看成有且仅有三条直线满足，A2,1和B(5,−3）到直线l：ax+by+3=0（不过原点）的距离L相等．由AB=(5−2)2+(−3−1)2=5，
（1）当t=AB2=52，此时，易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线6x−8y−29=0以及直线AB平行的两条直线8x+ 6y+3=0和8x+6y−47=0；
（2）当t
（1）作为增根被舍去的直线l，过原点和A、B的中点M72,−1，其方程为2x+7y=0，此时，t=d=1153<52，符合；
（2）作为增根被舍去的直线l，过原点且以AB为方向向量，其方程为4x+3y=0，此时，t= d=115<52，符合．
综上，满足题意的实数t为52，115，115353．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到|2a+b+3|a2+b2=|5a−3b+3|a2+b2=t，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，A(2,1)和B(5,−3)到直线l:ax+by+3=0（不过原点）的距离t相等，这是本题的解题关键.
【方法技巧与总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（3）直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【题型3：两条平行线之间的距离】
例3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l1：x−y+1=0与直线l2：2x−2y+3=0的距离是（ ）
A．24B．22C．2D．1
【答案】A
【分析】将直线l2的方程化为x−y+32=0，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线l2：2x−2y+3=0化为x−y+32=0，
又直线l1：x−y+1=0，所以l1//l2，
所以直线l1与直线l2的距离是1−3212+−12=24.
故选：A.
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知l1//l2,l1:2x+y+4=0,l2:6x+ay+2=0,则它们的距离为（ ）
A．2515B．255C．55D．253
【答案】D
【分析】根据平行可求a，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
【详解】因为l1//l2，所以2a=6，故a=3，故l2:2x+y+23=0.
故l1,l2之间的距离为4−235=1035=253，
故选：D.
变式2．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．1710D．1110
【答案】C
【分析】因为直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值为直线6x+8y−14=0与直线6x+8y+3=0距离，求解即可.
【详解】由直线3x+4y−7=0可得6x+8y−14=0，
所以直线3x+4y−7=0与直线6x+8y+3=0平行，
所以PQ的最小值为直线6x+8y−14=0与直线6x+8y+3=0距离，
所以d=3−−1462+82=1710.
故选：C.
变式3．（多选）（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线m,n，直线m:x+y−1=0，直线n:2x+2y+a=0，直线m,n之间的距离为2，则a的值可以是（ ）
A．-8B．-6C．2D．4
【答案】BC
【分析】由两条平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】根据题意得直线m可化为2x+2y−2=0，
直线m,n之间的距离d=a+222=2，
所以a+2=4，即a=2或−6.
故选：BC.
变式4．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线l1:x+3y+1=0,l2:x+3y−3=0.若直线l被l1,l2截得的线段长为22，则直线l的倾斜角可能是（ ）
A．15∘B．75∘C．105∘D．165∘
【答案】AC
【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解.
【详解】直线l被l1,l2截得的线段长为22，
∵两平行直线的距离d=1−−312+(3)2=2,∴直线l和l1,l2的夹角为45∘，
又直线l1,l2的倾斜角为150∘，直线l的倾斜角可能是15∘或105∘.
故选:AC.
变式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l1:y=kx+1，l2:y=kx−2，则直线l1，l2之间距离的最大值为 ．
【答案】5
【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.
【详解】由题意可知：直线l1:y=kx+1的斜率为k，过定点A0,1；
直线l2:y=kx−2的斜率为k，过定点B2,0；
可知l1//l2，所以两直线之间距离的最大值为AB=5．
故答案为：5.
变式6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点A,B分别是直线l1:2x+y−2=0与直线l2:4x+2y+1=0上的点，则AB的取值范围是 ．
【答案】52,+∞
【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出AB的最小值，从而得到答案.
【详解】由24=12≠−21可知直线l1//l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，AB有最小值，
其最小值为平行直线l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4x+2y−4=0，
所以ABmin=−4−142+22=52，即AB的取值范围是52,+∞．
故答案为：52,+∞
变式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知P,Q分别在直线l1:x−y+1=0与直线l2:x−y−1=0上，且PQ⊥l1，点A−4,6，B5,−1，则AP+PQ+QB的最小值为
【答案】10+2/2+10
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到AP+QB最小值即可得解.
【详解】因为l1:x−y+1=0，l2:x−y−1=0，
所以直线l1与l2间的距离为1+11+1=2，又PQ⊥l1，故PQ=2，
过B5,−1作直线l垂直于l1:x−y+1=0，如图，
则可设直线l的方程为x+y+c=0，代入B5,−1，得5−1+c=0，则c=−4，
所以直线l的方程x+y−4=0，
将B5,−1沿着直线l往上平移2个单位到B′点，设B′a,−a+4，
则a−52+−a+52=2，解得a=4或a=6（舍去），则B′4,0，
连接AB′交直线l1于点P，过P作PQ⊥l2于Q，连接BQ，
有BB′//PQ,|BB′|=|PQ|，即四边形BB′PQ为平行四边形，
则|PB′|=|BQ|，即有AP+QB=AP+PB′=AB′，
显然AB′是直线l1上的点与点A,B′距离和的最小值，
因此AP+QB的最小值，即AP+PB′的最小值AB′，
而AB′=−4−42+6−02=10，
所以AP+PQ+QB的最小值为AB′+PQ= 10+2.
故答案为：10+2.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将AP+QB等价转化为AP+PB′，从而得解.
【方法技巧与总结】
对两条平行直线之间的距离公式的理解
1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.
2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等.
3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决.
【题型4：点与点、点与线的对称问题】
例4．（23-24高二上·广东佛山·期中）点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为（ ）
A．−2,5B．0,3C．0,−1D．−1,2
【答案】B
【分析】设点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为(a,b)，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为(a,b)，
则b−1a−2=−1a+22−b+12+1=0，解得a=0b=3，
故点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为(0,3)，
故选：B
变式1．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数a取何值时，直线2a−1x+−a+3y−5=0都过定点M，则直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为（ ）
A．x−2y−6=0B．x−2y=0C．2x−y−9=0D．2x−y−3=0
【答案】D
【分析】先求出定点坐标，设直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为2x−y+b=0，则2−2+35=2−2+b5，解方程即可得出答案.
【详解】由2a−1x+−a+3y−5=0可得：a2x−y−x+3y−5=0，
令2x−y=0−x+3y−5=0，解得：x=1,y=2，
所以M1,2，设直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x−y+b=0，
则M1,2到直线2x−y+3=0与2x−y+b=0的距离相等，
所以2−2+35=2−2+b5，解得：b=3，即b=3（舍去）或b=−3.
故直线2x−y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x−y−3=0.
故选：D.
变式2．（21-22高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得x+3a+y−1=0，
由x+3=0y−1=0，得x=−3y=1，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0C≠−6，
∴−6+3−64+9=−6+3+C4+9，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
变式3．（多选）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．直线x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．点0,1关于直线y=x的对称点为1,0
【答案】AD
【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解；对于C，求出直线与坐标轴的交点坐标，从而求出三角形面积，对于D，设0,1关于直线y=x对称的点为a,b，得到b−1a=−1b+12=a2，再解方程即可判断.
【详解】对于A：任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为90°时斜率不存在，故A正确；
对于B：直线的倾斜角为π6，56π时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误；
对于C：直线x−y−3=0，令x=0，y=−3，令y=0，x=3，
故x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×−3×3=92，故C错误；
对于D：设0,1关于直线y=x对称的点为a,b，
则b−1a=−1b+12=a2⇒a=1b=0，即0,1关于直线y=x对称的点为1,0，故D正确.；
故选：AD
变式4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线2x−y−5=0与直线x+3y+1=0交于点A，则点A关于直线x−y+4=0的对称点坐标是 .
【答案】−5,6
【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可.
【详解】因为直线2x−y−5=0与直线x+3y+1=0交于点A，
所以联立2x−y−5=0x+3y+1=0，解得x=2y=−1，即A2,−1.
设点A2,−1关于直线x−y+4=0的对称点坐标为Ba,b，
则AB的中点坐标为a+22,b−12，kAB=b+1a−2，
故a+22−b−12+4=0b+1a−2×1=−1，解得a=−5b=6，即点A关于直线x−y+4=0的对称点坐标是−5,6.
故答案为：−5,6.
变式5.（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线l的倾斜角为135∘，且经过点P1,1．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A3,4关于直线l的对称点A′的坐标．
【答案】(1)x+y−2=0
(2)−2,−1
【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线l的方程；
（2）设点A′的坐标为a,b，由条件列方程求a,b即可.
【详解】（1）设直线l的斜率为k，
因为直线l的倾斜角为135∘，
所以k=tan135∘=−1，
所以直线l的方程为y−1=−1x−1，即x+y−2=0
（2）设点A′的坐标为a,b，
则b−4a−3×−1=−1a+32+b+42−2=0，解得a=−2,b=−1，
所以点A′的坐标为−2,−1．
变式6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线l:x−2y+1=0，点A2,2.
(1)已知直线l与l':ax−a2−3y−1=0平行，求a的值；
(2)求点A2,2关于直线l的对称点A′的坐标.
【答案】(1)3
(2)125,65
【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解；
（2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果.
【详解】（1）由直线l平行直线l′，可得a2−3=−2a，解得a=3或−1，
当a=3时，直线l′:3x−6y−1=0符合题意，
当a=−1时，直线l′:x−2y+1=0与直线l重合，不合题意，
所以a的值为3.
（2）设对称点A′的坐标为m,n，则AA′中点的坐标为2+m2,2+n2，
所以可得m+22−2×n+22+1=0n−2m−2=−2，解得m=125n=65，
所以A′的坐标为125,65.
变式7．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线l1：ax+3y−1=0，直线l1的一个方向向量的坐标为−2,6，直线l2：4x+by−2=0与直线2x−y+5=0垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知点P−1,−3，求点P关于直线l2对称的点Q的坐标．
【答案】(1)a=9，b=8.
(2)2,3.
【分析】（1）根据直线l1的方向向量求出a，根据直线l2：4x+by−2=0与直线2x−y+5=0垂直求出b.
（2）设出对称点的坐标，然后根据点关于直线对称联立求解即可.
【详解】（1）因为直线l1：ax+3y−1=0的一个方向向量的坐标为−2,6，
所以−a3=6−2⇒a=9，
又因为直线l2：4x+by−2=0与直线2x−y+5=0垂直，
所以4×2+b×−1=0⇒b=8.
所以a=9，b=8.
（2）由（1）知直线l2：4x+8y−2=0即2x+4y−1=0，
设点P−1,−3关于直线l2对称的点Qx0,y0，
则直线PQ的斜率为kPQ=y0+3x0+1=2⇒y0=2x0−1，
线段PQ的中点为x0−12,y0−32，
代入直线l2方程得x0−1+2y0−3−1=0⇒x0+2y0−8=0，
联立y0=2x0−1x0+2y0−8=0⇒x0=2y0=3，
所以点Q的坐标为2,3.
变式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线l过点P2,−1．
(1)若直线l与直线2x+y+3=0垂直，求直线l的方程
(2)若已知直线l:x+2y−2=0，点Q−2,−1关于直线l的对称点的坐标．
【答案】(1)x−2y−4=0
(2)25,195
【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程.
（2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案.
【详解】（1）直线l与直线2x+y+3=0垂直，则kl=12，
故直线l的方程为y=12x−2−1，即x−2y−4=0
（2）设点Q−2,−1关于直线l的对称点的坐标为Mx0,y0，
则y0+1x0+2=2x0−22+2×y0−12−2=0，解得x0=25y0=195，故对称点坐标为25,195.
【方法技巧与总结】
1.实质：该点是两对称点连线段的中点
方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称
2.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）
【题型5：直线关于点对称】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：y=2x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为（ ）
A．y=2xB．y=−2x
C．y=2x−8D．y=2x+4
【答案】A
【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.
【详解】因为A(1,0)不在直线l：y=2x−4上，
所以可设直线l：y=2x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为y=2x+b，
则2−0−422+(−1)2=2−0+b22+(−1)2，解得b=0或b=−4（舍去），
故所求直线方程为：y=2x.
故选：A
变式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点P2,1，直线l：x−y−4=0，则点P到直线l的距离为 ，直线l关于点P对称的直线方程为 ．
【答案】 322/322 x−y+2=0
【分析】利用点到直线距离公式求点P到直线l的距离，设直线l上任一点P1x1,y1关于点P2,1的对称点P1'x,y，确定P1,P1′的坐标关系，利用代点法求对称直线方程．
【详解】点P2,1，直线l：x−y−4=0，
则点P到直线l的距离为2−1−42=322，
设直线l关于点P2,1的对称直线为l'，
则直线l上任一点P1x1,y1关于点P2,1的对称点P1′x,y一定在直线l'上，
x+x12=2y+y12=1，解得x1=4−xy1=2−y，
将x1,y1代入直线l的方程可得，x−y+2=0．
所以直线l关于点P对称的直线方程为x−y+2=0.
故答案为：322；x−y+2=0.
变式2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是A4,0，B6,5，C0,3，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线l′的方程．
【答案】(1)3x+y−12=0；
(2)3x+y−34=0.
【分析】（1）应用两点式求斜率kBC，再由直线垂直得kl=−3，应用点斜式写出直线l的方程；
（2）由直线平行设直线l′的方程为3x+y+m=0m≠−12，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线l′的方程．
【详解】（1）因为点B6,5，C0,3，所以kBC=13，
因为l⊥BC，所以kl=−1kBC=−3，且直线l经过点A4,0，
所以直线l的方程为y=−3(x−4)，即3x+y−12=0．
（2）设直线l′的方程为3x+y+m=0m≠−12，
由点B6,5到直线l和直线l′的距离相等，
所以3×6+5−1210=3×6+5+m10，解得m=−34，
所以直线l′的方程为3x+y−34=0．
变式3．（22-23高二·全国·课后作业）已知点A的坐标为−4,4，直线l的方程为3x+y−2=0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【答案】(1)2,6
(2)3x+y+18=0
【分析】
（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【详解】（1）设A′m,n，由题意可得n−4m+4×−3=−13×m−42+n+42−2=0，解得m=2n=6，
所以点A′的坐标为2,6.
（2）在直线l上任取一点Px,y，设Px,y关于点A的对称点为P′x0,y0，
则x0+x2=−4y0+y2=4，解得x0=−8−xy0=8−y，
由于P′−8−x,8−y在直线3x+y−2=0上，则3−8−x+8−y−2=0，即3x+y+18=0，
故直线l关于点A的对称直线l′的方程为3x+y+18=0.
变式4．（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x−y−1=0的交点，且________，若直线m与直线l关于点1,0对称，求直线m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线3x+2y+8=0垂直；②在y轴上的截距为12．
【答案】选①，2x−3y=0；选②，5x−2y−11=0.
【分析】选①可设直线l的方程2x−3y+c=0，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.
【详解】因为方程组2x+3y+8=0x−y−1=0的解为x=−1y=−2，
所以两条直线2x+3y+8=0和x−y−1=0的交点坐标为−1,−2．
若选①，可设直线l的方程为2x−3y+c=0，
点−1,−2代入方程2x−3y+c=0可得c=−4，即l：2x−3y−4=0．
在直线l上取两点−1,−2和2,0，
点−1,−2关于点1,0对称的点的坐标为3,2，
点2,0关于点1,0对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为2x−3y=0．
若选②，可得直线l的斜率k=12−−20−−1=52，
所以直线l的方程为y=52x+12．
在直线l上取两点1,3和−1,−2，点−1,−2关于点1,0对称的点的坐标为3,2，
点1,3关于点1,0对称的点的坐标为1,−3，
所以直线m的方程为y−2=2+33−1⋅x−3，即5x−2y−11=0．
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点0,0和点125,−65重合，点7,3和点m,n重合，则m+n=（ ）
A．345B．365C．283D．323
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据7,3与m,n关于折线对称求出m,n即可.
【详解】设点O0,0和P125,−65，线段OP中点为点M,
折线即为线段OP的中垂线，
则0+1252=65，0+−652=−35，所以M65,−35，
直线OP的斜率为−65−0125−0=−12，则折线斜率为2，
所以折线方程为：y=2x−65−35⇒y=2x−3，
由题知7,3与m,n关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，
所以n−3m−7=−12n+32=2×m+72−3化简得2n+m=13n−2m=5，
解得m=35n=315，所以m+n=345.
故选：A
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知点A0,1，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点A关于直线l1的对称点B的坐标为2,−1；条件②：点B的坐标为2,−1，直线l1过点2,1且与直线AB垂直；条件③点C的坐标为2,3，直线l1过点2,1且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：x−2y+2=0关于直线l1的对称直线的方程．
【答案】(1)x−y−1=0
(2)2x−y−5=0
【分析】（1）计算直线l1的斜率，根据两直线的平行或垂直关系得到斜率，根据点斜式方程得到直线l1方程.
（2）先计算直线l1，l2的交点；再在直线l2上取一点，求其关于l1对称的点；最后根据交点和对称点得到直线方程.
【详解】（1）选择条件①：
因为点A0,1关于直线l1的对称点B的坐标为2,−1，
所以l1是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点坐标为1,0．
因为kAB=−1−12−0=−1，
所以直线l1的斜率为1.
所以直线l1的方程为y=x−1，即x−y−1=0．
选择条件②：
因为kAB=−1−12−0=−1，直线l1与直线AB垂直，
所以直线l1的斜率为1.
又因为直线l1过点2,1，
所以直线l1的方程为y−1=x−2，即x−y−1=0．
选择条件③，
因为kAC=3−12−0=1，直线l1与直线AC平行，
所以直线l1的斜率为1.
又因为直线l1过点2,1，
所以直线l1的方程为y−1=x−2，即x−y−1=0．
（2）联立方程组x−y−1=0x−2y+2=0，解得x=4y=3，
故l1，l2的交点坐标为4,3，
设A0,1关于l1：x−y−1=0对称的点为Mx,y.
则y−1x=−1x2−y+12−1=0，解得x=2y=−1.
因为A0,1在直线l2：x−2y+2=0上，
所以直线l2关于直线l1对称的直线经过点2,−1，4,3，代入两点式方程得y+13+1=x−24−2，即2x−y−5=0，
所以l2：x−2y+2=0关于直线l1的对称直线的方程为2x−y−5=0．
【方法技巧与总结】
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
【题型6：直线关于直线对称】
例6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：ax+by+c=0与直线l′关于直线x+y=0对称，则l′的方程为（ ）
A．bx+ay−c=0B．bx−ay+c=0
C．bx+ay+c=0D．bx−ay−c=0
【答案】A
【分析】根据对称性的性质，用−x代y，以−y代x进行求解即可.
【详解】因为直线l：ax+by+c=0与直线l′关于直线x+y=0对称，
所以在方程ax+by+c=0中，用−x代y，以−y代x，得−ay−bx+c=0，
化简，得bx+ay−c=0，
故选：A
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y=x对称的直线l′的倾斜角不可能为（ ）
A．θB．π2−θC．π−θD．3π2−θ
【答案】C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线l′的倾斜角为α，则α,θ∈[0,π)，
因为直线l和直线l′关于直线y=x对称，
所以直线l和直线l′也关于直线y=−x对称 ，
所以α+θ=π2或α+θ=3π2，
对于A，当θ=π4时，α=π4=θ，所以A正确，
对于B，当θ=0时，α=π2=π2−θ，所以B正确，
对于C，若α=π−θ，则(π−θ)+θ=π2不成立，且(π−θ)+θ=3π2也不成立，所以C错误，
对于D，当θ=2π3时，α=5π6=3π2−θ，所以D正确.
故选：C
变式2．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线l1:x+y=0,l2:2x−3y−6=0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l1与l2相交于点65,−65
B．直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为65
C．直线l2关于原点O对称的直线方程为2x−3y+6=0
D．直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x−2y+6=0
【答案】AC
【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由x+y=02x−3y−6=0解得x=65,y=−65，所以交点坐标为65,−65，A选项正确.
直线l2:2x−3y−6=0与x轴的交点为3,0，与y轴的交点为0,−2，
直线l1过原点，由图可知，直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为12×3×65=95，
所以B选项错误.
由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点−3,0,0,2，
所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y−2=2−00−−3x−0,2x−3y+6=0，
所以C选项正确.
点3,0关于直线x+y=0的对称点是0,−3；
点0,−2关于直线x+y=0的对称点是2,0，
所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为x2+y−3=1，
即3x−2y−6=0，所以D选项错误.
故选：AC
变式3．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线l1:ax−y+1=0,l2:x+ay+1=0，a∈R，以下结论正确的是（ ）
A．无论a为何值， l1与 l2都互相垂直
B．当a变化时， l1表示过定点(0,1)的所有直线
C．无论a为何值， l1与 l2都关于直线x+y=0对称
D．若 l1与 l2交于点M，则MO（O为坐标原点）的最大值是2
【答案】AD
【分析】对A：讨论a=0与a≠0时对应直线的位置关系即可；
对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断；
对C：讨论l1与x+y=0平行的状态，即可判断；
对D：点M的轨迹为圆，数形结合即可求|OM|的最大值.
【详解】对A：当a=0时，l1方程为：y=1，l2方程为：x=−1，两直线垂直；
当a≠0时，直线l1的斜率k1=a，直线l2的斜率k2=−1a，满足k1⋅k2=−1，两直线垂直；
故无论a为何值， l1与 l2都互相垂直，A正确；
对B：l1:ax−y+1=0，也即y−1=ax，其表示过点(0,1)，斜率为a的直线；
若直线过点(0,1)且斜率不存在时，该方程无法表示，B错误；
对C：当a=−1时，直线l1:ax−y+1=0,l2:x+ay+1=0的方程分别为：
l1:y=−x+1，l2:y=x+1，此时l1与y=−x平行，
l1关于y=−x的对称直线为y=−x−1，不是y=x+1，故C错误；
对D：由A可得：直线l1,l2垂直，且直线l1恒过定点A(0,1)，直线l2恒过定点B(−1,0)，
故点M的轨迹是以AB为直径的圆，此时恰有点O也在该圆上，
故|OM|的最大值为圆的直径AB=2，故D正确.
故选：AD.
变式4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线ax+by+c=0ab>0的夹角平分线为y=x，则直线l的方程为 .
【答案】bx+ay+c=0
【分析】由题意知，直线l和ax+by+c=0关于直线y=x对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程．
【详解】由题意可得直线l与直线ax+by+c=0关于直线y=x对称，
由于直线ax+by+c=0上的任意一点Mx,y关于直线y=x的对称点为Ny,x，
因为已知直线ax+by+c=0，则l的方程是ay+bx+c=0，即bx+ay+c=0，
故答案为：bx+ay+c=0.
变式5．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线l1的方程为x−2y+4=0.
（1）若直线l1和直线l2关于点0,0对称，求直线l2的方程 ；
（2）若直线l1和直线l2关于直线y=x对称，求直线l2的方程 .
【答案】 x−2y−4=0 2x−y−4=0.
【分析】根据题意，由点Ax,y关于点0,0对称的点A′−x,−y在直线l1上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线l1与直线y=x的交点，求出C0,2关于直线y=x对称的点为C′s,r，即可得到直线方程.
【详解】因为直线l1和直线l2关于点0,0对称，
在直线l2上任取一点Ax,y，则Ax,y关于点0,0对称的点A′−x,−y在直线l1上，
将点A′−x,−y代入直线l1可得−x+2y+4=0，
所以直线l2的方程为x−2y−4=0；
设直线l1与直线y=x的交点为Bp,q，
所以p=qp−2q+4=0，解得p=q=4，则B4,4，
在直线l1上取点C0,2，设C0,2关于直线y=x对称的点为C′s,r，
则r−2s−0×1=−1①
因为C0,2与C′s,r的中点坐标为0+s2,2+r2，
所以0+s2=2+r2②
由①②可得s=2r=0，所以C′2,0
因为直线l1和直线l2关于直线y=x对称，
所以直线l2经过点B4,4和点C′2,0，
所以直线l2的两点式方程为y−04−0=x−24−2，
整理得直线l2的一般式方程为2x−y−4=0.
故答案为: x−2y−4=0;2x−y−4=0.
变式6．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知△ABC的三个顶点是A1,1，B3,3，C2,8．
(1)过点B的直线l1与边AC相交于点D，若△BCD的面积是△ABD面积的3倍，求直线l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分线所在直线l2的方程．
【答案】(1)x−7y+18=0
(2)2x−y−1=0
【分析】（1）设Dx0,y0，根据平面向量的坐标关系确定DC=3AD，即可列方程得D的坐标，从而可得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定B关于直线l对称的点为B′的坐标关系式，即可得所求.
【详解】（1）设Dx0,y0则AD=x0−1,y0−1，DC=2−x0,8−y0
因为△BCD的面积是△ABD面积的3倍，所以DC=3AD，
则2−x0=3(x0−1)8−y0=3(y0−1)解得x0=54y0=114
故直线l1的方程为y−3=3−1143−54(x−3)，即x−7y+18=0
（2）显然，l2的斜率存在且不为零，设l2的方程为y−1=kx−1，
则过点B且与l2垂直的直线l的方程为y−3=−1k(x−3)
设点B关于直线l对称的点为B′x1,3−1k(x1−3)，
因为直线AC的方程为7x−y−6=0，
所以7x1−3+1kx1−3−6=03+3−1kx1−32−1=k3+x12−1
整理得2k3−3k2−2k=0
因为k≠0，所以2k2−3k−2=0，解得k=2或k=−12
又kAC=7>0，kAB=1>0，所以k>0，
故直线l2的方程为y−1=2x−1，即2x−y−1=0
变式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线l:2x+3y−5=0，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线l关于x轴对称；
(2)过点3,1，且与l平行．
【答案】(1)2x−3y−5=0；
(2)2x+3y−9=0.
【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答.
（2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答.
【详解】（1）设与直线l关于x轴对称的直线l1上任意点坐标为(x,y)，则点(x,−y)在直线l上，即有2x+3(−y)−5=0，
所以直线l1的方程为2x−3y−5=0.
（2）设与直线l平行的直线l2的方程为2x+3y+m=0(m≠−5)，
于是2×3+3×1+m=0，解得m=−9，
所以直线l2的方程为2x+3y−9=0.
【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．x−3y−1=0B．3x−y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
【答案】B
【分析】求出A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C的坐标，由B,C都在反射光线所在直线上得直线方程．
【详解】设A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C(x,y)，
则(x−2)−y+12+10=0y−1x+2=−12，解得x=−6y=3，即C(−6,3)，
所以反射光线所在直线方程为y−3=−3−3−8+6⋅(x+6)，即3x−y+21=0．
故选：B．
变式1．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点P−1,5射出，经直线x−3y+1=0反射后经过点2,3，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2=0
C．3x−y−3=0D．4x−y−5=0
【答案】B
【分析】求出点P−1,5关于直线x−3y+1=0的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点P−1,5关于直线x−3y+1=0的对称点为P1a,b，
则b−5a+1×13=−1a−12−3×b+52+1=0，化简得b=−3a+2a−3b−14=0，解得a=2b=−4，
故反射光线过点2,−4,2,3，
则反射光线所在直线的方程为x−2=0.
故选：B.
变式2．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【分析】以A为坐标原点，AB,AC所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点P关于BC，AC的对称点P1，P2，则△PQR即为P1P2的长.
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y−4=0.
设P(t,0)(0
易知直线P1P2就是RQ所在的直线.
所以直线RQ的方程为y=4−t4+t×(x+t).
设△ABC的重心为G，则G43,43，
所以43=4−t4+t⋅43+t，即3t2−4t=0，所以t=0（舍去）或t=43，
所以P14,83，P2−43,0.
结合对称关系可知QP=QP1，RP=RP2，
所以△PQR的周长即线段P1P2的长度为：
4+432+83−02=853.
故选：A.
变式3．（23-24高二上·浙江温州·期中）在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB的中点，光线从点P出发，沿与AB所成角为θ的方向发射，经过BC,CA反射后回到线段PB之间（包括端点），则tanθ的取值范围是（ ）
A．1,2B．2,3C．4,5D．3,4
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用k=tanθ表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段PB之间角θ范围.
【详解】
建立直角坐标系如图所示，A0,0，B4,0，C0,4，P2,0则直线BC:x+y=4
由题光线从点P出发，沿光线路径依次为PE,EF,FG其中E,F,G分别为光线与对应边交点，
设G(t,0),2≤t≤4，点Gt,0关于直线AC对称点为G1(−t,0)，设点P2,0关于直线BC对称点为P1(m,n)，根据对称则有nm−2=1m+22+n2=4⇒m=4n=2⇒P1(4,2)，
因为光线与AB所成角为θ的方向发射，即∠EPB=θ，令k=tanθ，k即为直线PE斜率，
则直线PE方程为y=k(x−2)，则与BC联立y=k(x−2)x+y=4⇒x=2+21+ky=2k1+k⇒E2+21+k,2k1+k，
由光线反射的性质与光路可逆性知P1,E,F,G1四点共线，
则直线P1E方程为y=2k1+k−221+k−2(x−4)+2⇒y=1k(x−4)+2，
令y=0得−t=4−2k⇒t=2k−4∈2,4⇒3≤k≤4，
所以tanθ的取值范围为3,4.
故选：D
变式4．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则AP的长度为 .
【答案】13
【分析】求出点P关于y和直线BC的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以A为原点，AB,AC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，
则直线BC方程为x+y−1=0，
设Pa,0关于y和直线BC的对称点分别为N,M，则N−a,0，
记Mx0,y0，则y0−0x0−a=1x0+a2+y02−1=0，解得M1,1−a，
因为G为△ABC的重心，A0,0,B1,0,C0,1，所以G13,13，
由光的反射原理可知，M,N,G三点共线，所以kMN=kNG，
即1−a1+a=1313+a，解得a=0（舍去）或a=13.
故答案为：13
变式5．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,3，从点P1,0射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程的为 .
【答案】25
【分析】作出P点关于y轴的对称点P1以及关于AB的对称点P2，将问题转化为求解P1P2，由此求解出结果.
【详解】P点关于y轴的对称点P1(−1,0)，关于AB的对称点P2(m,n)，如图所示，
又因为A3,0，B0,3，所以直线AB方程为：x3+y3=1，即x+y−3=0，
所以m+12+n+02−3=0n−0m−1×(−1)=−1，解得m=3n=2，即P2(3,2).
所以光线经过的路程为|PM|+|MN|+|PN|=|P2M|+|MN|+|P1N|=|P1P2|=3+12+2−02=25.
故答案为：25
变式6．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知A6,63，B0,0，C12,0，直线l：k+3x−y−2k=0．
(1)求直线l经过的定点坐标；
(2)若P2,23，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
【答案】(1)2,23
(2)2x+3y−10=0
【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点P关于直线BC与AC的对称点P1与P2，进而可得kP1P2，再根据对称性可得kPK，即可得直线方程.
【详解】（1）由直线l：k+3x−y−2k=0，即kx−2+3x−y=0，
令x−2=03x−y=0，解得x=2y=23，
故直线l恒过定点2,23；
（2）设P关于BC的对称点P1，则P12,−23，
P关于AC的对称点P2m,n，
由直线AC的方程为y−063−0=x−126−12，即y=−3x−12，
所以n−23m−2⋅−3=−1n+232=−3m+22−12，解得m=14n=63，
所以P214,63，
由题意得P1、K、I、P2四点共线，kP1P2=233，
由对称性得kPK=−233，
所以入射光线PK的直线方程为y−23=−233x−2，
即2x+3y−10=0．
变式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点M2,3，在直线l:x+y+1=0上反射，且反射光线经过点N1,1，求：
(1)入射光线与直线l的交点．
(2)入射光线与反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)(−23,−13)
(2)入射光线的方程5x−4y+2=0，反射光线的方程4x−5y+1=0
【分析】（1）根据题意，求得点M2,3关于直线l的对称点为M′−4,−3，得到反射光线的方程4x−5y+1=0，联立方程组，即可求得交点坐标；
（2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程.
【详解】（1）解：设点M2,3关于直线l:x+y+1=0的对称点为M′m,n，
则n−3m−2=1m+22+n+32+1=0，解得m=−4,n=−3，即M′−4,−3，
则反射光线所在的直线M′N的方程y−1=45(x−1)，即4x−5y+1=0，
又由4x−5y+1=0x+y+1=0，解得x=−23,y=−13，
即直线M′N与直线l的交点为C(−23,−13).
（2）解：由点C(−23,−13)，可得kMC=54，
所以入射光线所在的直线MC的方程为y−3=54(x−2)，即5x−4y+2=0，
反射光线所在直线的M′N的方程y−1=45(x−1)，即4x−5y+1=0.
【题型8：将军饮马问题】
例8．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：x+y−2=0，点A−1,0，B1,0，P为l上任意一点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．13B．10C．7D．5
【答案】B
【分析】先求得点A−1,0关于直线l的对称点A′的坐标，则A′B即为PA+PB的最小值.
【详解】设点A−1,0关于直线l的对称点为A′m,n，
则有m−12+n2−2=0nm+1×(−1)=−1，解之得m=2n=3，则A′2,3，
则PA+PB的最小值为A′B=2−12+3−02=10
故选：B
变式1．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点P在由直线y=x+3，y=5和x=−1所围成的区域内（含边界）运动，点Q在x轴上运动.设点T(4,1)，则QP+QT的最小值为（ ）
A．30B．42C．34D．210
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再确定出使QP+QT的位置.然后求出值即可
【详解】由直线y=x+3，y=5和x=−1围成△ABC,如图所示，
点P在△ABC内（含边界）运动，
Q在x轴上运动，作点T4,1关于x轴的对称点T′4,−1，则QP+QT=QP+QT′，
QP+QT的最小值为T′4,−1到直线y=x+3的距离，即82=42.
故选：B.
变式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点M(1,−2)，N(4,4)，H是直线l:2x−y+1=0上的动点，则HM+NH的最小值为（ ）
A．13B．35
C．65D．62
【答案】C
【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果.
【详解】如图所示，
设点M(1,−2)关于直线l的对称点为M′x0,y0，
则2×x0+12−y0−22+1=0y0+2x0−1×2=−1，解得x0=−3y0=0，即M′(−3,0)，
所以(HM+NH)min=HM′+NHmin=NM′=(4+3)2+(4−0)2=65．
故选：C.
变式3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A2,4，军营所在位置为B6,2，河岸线所在直线的方程为x+y−3=0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x−y−8=0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为138,118
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x−6y+6=0
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【答案】B
【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”， A,C,B1三点共线满足题意，其中点B1为点B关于直线的对称点，对于A，由根据BB1被x+y−3=0垂直平分求出B1的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.
【详解】如图所示：
由题意可知A,B在x+y−3=0的同侧，设点B关于直线x+y−3=0的对称点为B1a,b，
A,C,B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则a+62+b+22−3=0b−2a−6×−1=−1，解得a=1b=−3，即B11,−3，
对于A，直线AB1的斜率为k=4−−32−1=7，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是y+3=7x−1，即7x−10−y=0，故A正确；
对于B，联立7x−10−y=0x+y−3=0，解得x=138y=118，即将军在河边饮马的地点的坐标为138,118，故B正确；
对于C，由C选项分析可知点C138,118，直线CB的斜率为k=2−1186−138=17，所以直线CB的方程为y−2=17x−6，即x−7y+8=0，故C错误；
对于D，AC+CB=AC+CB1=AB1=12+72=52，即“将军饮马”走过的总路程为52，故D错误.
故选：B.
变式4．（23-24高二上·河南新乡·期中）5x2−4x+1+5x2+4x+4的最小值为（ ）
A．1955B．3C．2055D．22
【答案】C
【分析】根据题意将所求问题转化为y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和的最小值，可求出点B−2,0关于直线y=2x的对称点为C65,−85，可得答案.
【详解】因为5x2−4x+1+5x2+4x+4=x2+2x−12+x+22+2x2
表示直线y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和．
设点B−2,0关于直线y=2x的对称点为Cx,y，所以y−0x+2⋅2=−1y2=2⋅x−22，解得x=65y=−85，
即C65,−85，所以PA+PB=PA+PC ≥AC=0−652+1+852=2055，
即5x2−4x+1+5x2+4x+4的最小值为2055.
故选：C.
变式5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知x+y+1=0，则x2+y2−2x−2y+2+(x−3)2+y2的最小值是（ ）
A．10B．13C．29D．6
【答案】C
【分析】根据点点距离公式可将问题转化为x+y+1=0的动点P′x,y与点A1,1，B3,0的距离之和.根据点关于直线的对称，即可结合三点共线求解最值.
【详解】设点P'x,y为直线l：x+y+1=0的动点，
则x2+y2−2x−2y+2+(x−3)2+y2=(x−1)2+(y−1)2+(x−3)2+(y−0)2，
可看作P′x,y与点A1,1，B3,0的距离之和.
设A1,1关于直线l的对称点为A′a,b，
则b−1a−1=1a+12+b+12+1=0，解得a=−2,b=−2，
所以A′−2,−2，
则P′A+P′B=P′A′+P′B≥A′B=−2−32+−2−02=29，当且仅当P'与A′,B共线时（即图中位置P），取等号
即x2+y2−2x−2y+2+(x−3)2+y2的最小值是29.
故选：C.
变式6．（22-23高二上·河北张家口·期末）已知实数x，y满足x+y+1=0，则x−12+y−12+x−22+y2的最小值为（ ）
A．5B．22C．10D．25
【答案】D
【分析】由x−12+y−12+x−22+y2表示直线x+y+1=0上一动点Px,y到定点A1,1,B2,0的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：x−12+y−12+x−22+y2表示直线x+y+1=0上一动点Px,y到定点A1,1,B2,0的距离之和，如图所示：
设点A1,1关于直线x+y+1=0的对称点为A′x0,y0，
则y0−1x0−1=1x0+12+y0+12+1=0，解得x0=−2y0=−2，
所以对称点为A′−2,2，则A′B=−2−22+2−02=25
由图知：x−12+y−12+x−22+y2的最小值为25，
故选：D
变式7．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点A−3,1，点M,N分别是x轴和直线2x+y−5=0上的两个动点，则AM+MN的最小值等于 ．
【答案】1255
【分析】作A关于x轴的对称点A′，由此将问题转化为“求A′M+MN的最小值”，然后判断出最小值即为A′到2x+y−5=0的距离，代入公式可求结果.
【详解】如图，作点A−3,1关于x轴的对称点A′−3,−1，则AM+MN=A′M+MN，
此时最小值即为A′−3,−1到直线2x+y−5=0的距离，即d=−6−1−54+1=1255，
所以AM+MN的最小值为1255，
故答案为：1255.
【方法技巧与总结】
利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
一、单选题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）三角形的三个顶点为A2,−1,B−1,3，则AB的长为（ ）
A．3B．5C．9D．25
【答案】B
【分析】根据两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】根据题意，利用两点间的距离公式，可得AB的长为AB=(2+1)2+(−1−3)2=5，
故选：B
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:x+3y−3=0间的距离为10，则m=（ ）
A．17B．172C．14D．7
【答案】D
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，m+31+9=10，解得m=7（m=−13舍去）.
故选：D.
3．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线ax+by+c=0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（ ）
A．c2=a2+b2B．a2=b2+c2
C．b2=a2+c2D．c=a+b
【答案】A
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解.
【详解】原点O0,0到直线ax+by+c=0的距离为1，
则a×0+b×0+ca2+b2=1，整理得c2=a2+b2.
故选：A.
4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点A2,1，点B在直线x−y+3=0上，则AB的最小值为（ ）
A．5B．26C．22D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于A2,1不在直线l:x−y+3=0上，所以当AB⊥l时，此时AB最小，
故ABmin=d=2−1+32=22,
故选:C
5．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线l：x−y=0，则点A−1,4关于l对称的点的坐标为（ ）
A．4,1B．4,−1C．−1,−4D．1,4
【答案】B
【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解.
【详解】设点A−1,4关于l对称的点为A′a,b，则b−4a+1=−1−1+a2−4+b2=0，解得a=4,b=−1，
故选：B
6．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知A−2,4，B−4,6两点到直线l:ax−y+1=0的距离相等，则a的值为（ ）
A．−1或−43B．3或4C．3D．4
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
−2a−4+1a2+1=−4a−6+1a2+1，整理得2a+3=4a+5，
即2a+3=±(4a+5)，解得a=−1或a=−43.
故选：A.
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠−9
C．k≠1且k≠9D．k≠1且k≠−9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【详解】由直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，得3(2k−3)−k[−(k+2)]≠0，
即(k+9)(k−1)≠0，解得k≠1且k≠−9，
所以实数k的值为k≠1且k≠−9.
故选：D
8．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地A,B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A0,0,B−2,0，一条河所在直线的方程为x+2y−5=0.若在河上建一座供水站P，则P到A,B两点距离之和的最小值为（ ）
A．42B．32C．43D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设A关于直线x+2y−5=0对称的点为A′(a,b)，
则a2+2⋅b2−5=0,ba⋅−12=−1,得a=2,b=4,即A′2,4，
易知AP=A′P，
当A′,P,B三点共线时，
PA+PB=PA′+PB取得最小值，
最小值为A′B= (2+2)2+(4−0)2=42.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高二下·广西·开学考试）若直线l1：y=34x+2，l2：3x−4y+8=0，l3：y=34x−1，l4：y=−34x+1，则（ ）
A．l1∥l2B．l1与l3之间的距离为125
C．l2∥l3D．l1与l4的倾斜角互补
【答案】BCD
【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC的真假；根据平行线的距离公式，判断B的真假；根据倾斜角和斜率的关系，判断D的真假.
【详解】由3x−4y+8=0，得y=34x+2，所以l1与l2重合，l2∥l3，A错误，C正确．
l1与l3之间的距离为|2−(−1)|12+342=125，B正确．
因为l1与l4的斜率互为相反数，所以l1与l4的倾斜角互补，D正确．
故选：BCD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线l1：2x−y=0与l2：x+y−3=0交于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为5
B．点P到直线x−y−1=0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：m+2x−2y−1=0都经过点P
D．1,−1是直线l2的一个方向向量的坐标
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由2x−y=0x+y−3=0，解得x=1,y=2，则点P(1,2)，
对于A，P(1,2)到原点距离12+22=5，A正确；
对于B，P(1,2)到直线x−y−1=0的距离|1−2−1|12+(−1)2=2，B错误；
对于C，(m+2)×1−2×2−1=m−3，当m≠3时，直线l3不过点P，C错误；
对于D，直线l2的斜率k=−1，因此1,−1是直线l2的一个方向向量的坐标，D正确.
故选：AD
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点A2，7，B−2，3到直线l:ax−2y+a−1=0的距离相等，则a的值可能为（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【答案】BD
【分析】分点A,B在直线l的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点A,B在l的同侧，则直线AB//l，
即a2=7−32−−2，解得a=2，
②若A,B在l的两侧，则l经过线段AB的中点0,5，
即a×0−2×5+a−1=0⇒a=11，
故选：BD.
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点Px,y在直线x+2y−5=0上，当OP最小时，P点的坐标为 .
【答案】1,2
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当OP垂直于直线x+2y−5=0时，OP取得最小值，
此时kOP=2，OP所在直线方程为y=2x，
联立x+2y−5=0y=2x解得x=1,y=2，即P1,2.
故答案为：1,2
13．（23-24高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点Ax1,y1，Bx2,y2，定义dAB=x1−x22+y1−y22为“A，B两点间的距离”，定义AB=x1−x2+y1−y2为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知O(0,0)为坐标原点，P(x,y)(x≥0,y≤0)为平面直角坐标系中的动点，且OP=2，则dOP的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据OP=2得出x−y=2，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】设Px,y，则由OP=x+y=2，
因为x≥0,y≤0，所以x−y=2，
dOP的最小值为点O到线段的距离，
dOP的最小值为|−2|2=2.
故答案为：2
14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l与直线2x−3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为 ．
【答案】2x+3y−8=0
【分析】利用直线对称的性质求得直线l的两点，从而利用点斜式即可得解.
【详解】直线2x−3y+4=0取两点1,2,−2,0，
则它们关于x=1对称的点为1,2,4,0在直线l上，
故直线l的斜率为0−24−1=−23，
则直线l的方程为y−0=−23(x−4)，即2x+3y−8=0.
故答案为：2x+3y−8=0.
15．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知实数x,y满足xsinα+ycsα=3，则x2+y2的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用两点距离公式的几何意义与点线距离公式即可得解.
【详解】因为x2+y2表示点x,y到点0,0的距离的平方，
而x2+y2的最小值为点0,0到直线xsinα+ycsα=3的距离，即−3cs2α+sin2α=3，
所以x2+y2的最小值为9.
故答案为：9.
16．（2023高二上·全国·专题练习）已知x,y∈R，S=x+12+y2+x−12+y2，则S的最小值是 .
【答案】2
【分析】S=x+12+y2+x−12+y2表示点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】S=x+12+y2+x−12+y2表示点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，
即S=PA+PB，如图所示：
由图象知：S=PA+PB≥AB=2，
当点P在线段AB上时，等号成立.
所以S取得最小值为2.
故答案为：2.
四、解答题
17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l1：x+my+1=0和l2：2x+y−1=0．
(1)若l1与l2互相垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．
【答案】(1)m=−2
(2)355
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出m的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出m的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线l1:x+my+1=0和l2:2x+y−1=0．
当直线l1与l2互相垂直，故2+m=0，
解得m=−2；故m=−2；
（2）当直线l1与l2互相平行，则m=12，故直线l1的方程为2x+y+2=0；
所以直线l1与l2间的距离d=|2−(−1)|1+22=355．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形ABCD中，A1,1,C5,5，边AB,AD所在直线的方程分别为l1:x−3y+2=0和l2:3x−y−2=0．
(1)求BC边所在直线的方程和点A到直线BC的距离；
(2)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程．
【答案】(1)3x−y−10=0,4105；
(2)x+y−6=0；
(3)x−2y=0和x+y−6=0．
【分析】
（1）直线BC和直线AD平行，据此求出BC斜率，再根据BC过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据点到直线距离公式可求A到直线BC的距离；
（2）求出AC的斜率并求出线段AC中点坐标，根据点斜式方程即可求解；
（3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解．
【详解】（1）由BC//AD,AD的方程为l2:3x−y−2=0，
可得直线BC的斜率为3，又经过点C5,5，
则直线BC的方程为y−5=3x−5，即3x−y−10=0；
点A到直线BC的距离为3−1−109+1=4105；
（2）由A1,1,C5,5，可得AC的中点坐标为3,3，
又直线AC的斜率为5−15−1=1，则线段AC垂直平分线斜率为−1，
则其所在的直线方程为y−3=−x−3，即为x+y−6=0；
（3）由x−3y+2=03x−y−10=0，解得B4,2，
由题意可得所求直线的斜率k存在且不为0，
设所求直线的方程为y−2=kx−4，
今x=0，则y=2−4k，
今y=0，则x=4−2k，
由题意可得2−4k=4−2k，
解得k=−1和k=12，
则所求直线方程为x−2y=0和x+y−6=0．
19．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线l1:(t−1)x+2y−t=0和l2:x+ty+t−4=0.
(1)讨论直线l1与l2的位置关系；
(2)当直线l1与l2平行时，求它们之间的距离；当直线l1与l2相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应t的取值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)平行时距离为924，相交时最大夹角为90°．
【分析】（1）由两相交求得t的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为90°．
【详解】（1）t(t−1)−2≠0，t≠2且t≠−1时，两直线相交，
t=2时，两直线方程分别为x+2y−2=0和x+2y−2=0，两直线重合，
t=−1时，两直线方程分别为−2x+2y+1=0和x−y−5=0，两直线平行．
综上， t≠2且t≠−1时，两直线相交，t=2时，两直线重合，t=−1时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为−2x+2y+1=0和x−y−5=0即为2x−2y−1=0和2x−2y−10=0，距离为d=−10−(−1)22+(−2)2=924，
两直线相交时，t≠2且t≠−1，
t≠0时，l1的斜率为k1=−t−12，l2的斜率为k2=−1t，
由−t−12⋅(−1t)=−1得t=13，即t=13时两直线垂直，夹角最大为90°．
课程标准
学习目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用
2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
相关试卷
人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离同步达标检测题： 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002062_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.2.4 点到直线的距离同步达标检测题</a>，共15页。
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质当堂达标检测题： 这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002077_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.6.2 双曲线的几何性质当堂达标检测题</a>，共69页。
人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角一课一练： 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002051_t7/?tag_id=28" target="_blank">1.2.3 直线与平面的夹角一课一练</a>，共65页。试卷主要包含了直线与平面垂直，直线与平面平行或在平面内，斜线和平面所成的角等内容，欢迎下载使用。
