人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程当堂检测题，共19页。试卷主要包含了经过点P称为直线的点斜式方程等内容，欢迎下载使用。

知识点01 直线的方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程 F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）直线的方程是指（ ）
A．直线上点的坐标都是方程的解
B．以方程的解为坐标的点都在直线上
C．直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上
D．以上都不对
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）方程①lgx-lgy=1；②lgx-y=1；③x-y2=1，④3x-2y=2中，能表示一条直线的方程是 ．（填序号）
知识点02直线的点斜式
1.经过点P（x，y）且斜率为k的直线方程为y-y=k（x-x0）称为直线的点斜式方程.
2.经过点P（x，y）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（x，y）且斜率不存在的直线方程为 x=x .
【即学即练3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点P0,2且斜率为2的直线的方程为（ ）
A．y=-2x-2B．y=2x-2C．y=2x+2D．y=-2x+2
【即学即练4】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点P5,2且斜率为-1的直线的点斜式方程为（ ）
A．y-5=-x-2B．y-2=-x-5
C．y+2=-x+5D．y+2=-x-5
知识点03 直线的斜截式
1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程.
2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）.
【即学即练5】（22-23高二上·湖南·期中）倾斜角为135°，在y轴上的截距为1的直线方程是（ ）
A．x-y-1=0B．x+y-1=0
C．x+y+1=0D．x-y+1=0
【即学即练6】（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）若直线l的倾斜角α满足4sinα=3csα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是 .
知识点04 直线的两点式
经过两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2）(x2-x1≠0且y2-y1≠0)的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程.
【即学即练7】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点1,2，5,3的直线方程是（ ）
A．y-25-1=x-13-1B．y-23-2=x-15-1
C．y-15-1=x-32-3D．x-25-2=y-31-3
【即学即练8】（2024高二上·全国·专题练习）经过两点5,0,2,-5的直线方程为 .
知识点05 之间的截距式
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为xa+yb=1,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴y轴上的截距都存在且不为0.
【即学即练9】（22-23高二上·海南·期中）在x轴、y轴上的截距分别是-2、3的直线方程为（ ）
A．x2+y3=1B．x2-y3=1
C．y3-x2=1D．x2+y3=-1
【即学即练10】（23-24高二上·陕西·阶段练习）直线x-2y-2=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．a=2，b=1B．a=2，b=-1C．a=-2，b=1D．a=-2，b=-1
知识点06 直线的一般式
1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=-ABx-CB,它表示的是斜率为-AB且截距为-CB的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=-CA,它表示的是斜率不存在且过点（-CA，0）的直线.
【即学即练11】（23-24高二上·江苏·课后作业）直线的一般方程中的几何要素
若直线的一般方程为Ax+By+C=0，
（1）当AB≠0时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ；
（2）当A=0时，直线的斜率为 ，横截距 ，纵截距为 ；
（3）当B=0时，直线的斜率 ，横截距 ，纵截距 ；
【即学即练12】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）△ABC的顶点A-3,4,B1,4,C-3,6，则BC边上的中线所在的直线方程是 ．
难点：最值问题
示例1：（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线l:kx-y+2+k=0x∈R．
(1)求证：无论k为何值，直线l:kx-y+2+k=0恒过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．
【题型1：直线的点斜式方程】
例1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是（ ）
A．x+y+1=0B．x+y-1=0
C．x-y+1=0D．x-y-1=0
变式1．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线l过点A1,0，且倾斜角为直线y=3x倾斜角的一半，则直线l的方程为（ ）
A．x-3y-1=0B．3x-2y-3=0
C．x-3y-3=0D．3x+2y+3=0
变式2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线l经过点P0,1，且它的一个方向向量为1,2，则直线l的方程为（ ）
A．2x-y-1=0B．x+2y-2=0C．2x-y+1=0D．2x+y+1=0
变式3．（23-24高二上·四川达州·期末）经过点P2，2且倾斜角为π4的直线方程是（ ）
A．y=xB．y=x-2C．y=-x+4D．y=x+2
变式4．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线l的斜率为3,在x轴上的截距为233,则直线l的方程为（ ）
A．y=3x+2B．y=3x-2
C．y=3x+12D．y=-3x+2
变式5．（23-24高二上·全国·课后作业）过点P(-2,1)且倾斜角为0∘的直线方程为（ ）
A．y=1B．x=-2C．y=-2D．x=1
变式6．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是-3，则此直线的方程是（ ）
A．y=2x-3B．y=2x+3C．y=-2x-3D．y=-2x+3
变式7.（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A-4,3，斜率k=3；
(2)经过点B-1,4，倾斜角为135∘．
【方法技巧与总结】
关于点斜式方程的几点说明
（1）直线的点斜式方程的前提条件：
①己知一点P（x，y）和斜率k；
②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
（2）方程y-y=k（x-x）与方程k=y-y0x-x0不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P（x，y）的一条直线.
（3）当k取任意实数时，方程y-y=k（x-x）表示恒过定点（x，y）且不垂直于x轴的无数条直线.
【题型2：直线的斜截式方程】
例2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线l的斜率为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为 .
变式1.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2，求直线的斜截式方程；
变式2.（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是-3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2.
变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（ ）
A．－2B．2
C．－5D．5
变式4．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知直线l1：y+3=2x+2，则l1在y轴上的截距为（ ）
A．0,1B．0,-1C．1D．-1
变式5．（23-24高二上·山东聊城·期末）直线4x-y+2=0在x轴上的截距为（ ）．
A．-2B．-12C．12D．2
变式6．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线x+2y+2024=0在y轴上的截距为（ ）
A．-2024B．-1012C．1012D．2024
变式7．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线4a2-2x+2y+3=0（a为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．0,π4B．π4,π2C．0,π4∪π2,πD．0,π2∪3π4,π
变式8．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线l：x+my=0的倾斜角的取值范围为π4,π3，则直线l1：x-my-2=0的倾斜角的取值范围为（ ）
A．3π4,πB．0,π2∪2π3,5π6
C．3π4,5π6D．2π3,3π4
【方法技巧与总结】
对直线斜截式方程的理解
直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有区别，当k=0时，y=kx＋b即为一次函数；当k≠0时，y=kx＋b，不是一次函数，一次函数y=kx+b（k≠0）必是一条直线的斜截式方程.
截距不是距离，可正、可负也可为零.
【题型3：直线的两点式方程】
例3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点x1,y1,x2,y2的直线方程可以表示为（ ）
A．x-x1x2-x1=y-y1y2-y1B．x-x2x1-x2=y-y2y1-y2
C．y-y1x2-x1=x-x1y2-y1D．y-y1=y2-y1x2-x1x-x1
变式1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l过点A2,1点B-1,-1，则直线l方程为（ ）
A．2x-3y-1=0B．2x-3y+1=0
C．2x+3y+1=0D．2x+3y-1=0
变式2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点A(-2,4)，B(4,-1)，则直线AB在y轴上的截距为（ ）
A．83B．73C．145D．135
变式3.（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点-3,-2，1,2，则下列不在直线l上的点是（ ）
A．-2,-1B．-1,0C．0,1D．2,1
变式4．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点A-3,2,B4,4的直线的两点式方程为（ ）
A．y-22=x+37B．y-2-2=x-37
C．y+22=x-37D．y-2x+3=27
变式5．（22-23高二上·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点分别为A1,1,B3,1,C4,5，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A．2x+y-3=0B．2x-y+3=0
C．2x+y+3=0D．2x-y-3=0
变式6．（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）在△ABC中,A2,1,B-2,3,C0,1,则BC边上的中线所在的直线的一般方程为 .
变式7．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A3,2，则过两点P1a1,b1、P2a2,b2的直线的方程为 ．
【方法技巧与总结】
直线的两点式方程应注意的问题
要注意方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1和方程（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）形式
不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线.
【题型4：直线的截距式方程】
例4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x4-y8=1在y轴上的截距为（ ）
A．-8B．8C．-18D．18
变式1．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线l在x轴､y轴上的截距分别是32和-3，则直线l的一般式直线方程为 .
变式2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点P3,1的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线l的方程为 ．
变式3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 ．
变式4．（2024高二上·全国·专题练习）若直线l:xa+yb=1a>0,b>0经过点1,2，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，ab= .
变式5．（2024高二上·全国·专题练习）已知两点A(3,0),B(0,4)，动点P(x,y)在线段AB上运动，则xy的取值范围为 ．
变式6.（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l：2x-3y+1=0，则（ ）
A．l不过原点B．l的横截距为12
C．l的斜率为23D．l与坐标轴围成的三角形的面积为3
变式7．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：y=3x-1，则（ ）
A．直线l过点3,-2
B．直线l的斜率为3
C．直线l的倾斜角为60∘
D．直线l在y轴上的截距为1
【方法技巧与总结】
直线的截距式方程
我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
方程xa+yb=1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以称为直线的截距式方程.
截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线.
（2）直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x2-y3=-1就不是直线的截距式方程.
（3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便.
（4）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负.
【题型5：直线的一般式方程】
例5．(多选)（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线l:Ax+By+C=0，其中A,B不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当C=0时，l过坐标原点
B．当AB>0时，l的倾斜角为锐角
C．当B=0,C≠0时，l和x轴平行
D．若直线l过点P(x0,y0)，直线l的方程可化为Ax-x0+By-y0=0
变式1．（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线l:Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则（ ）
A．当A=0,B≠0时，l与x轴垂直
B．当A≠0,B=0,C=0时，l与y轴重合
C．当C=0时，l过原点
D．当A>0,B>0时，l的倾斜角为锐角
变式2．（22-23高二·全国·随堂练习）已知直线l:Ax+By+C=0（其中A，B不全为0）．
(1)写出直线l的一个法向量的坐标．
(2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
(3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？
(4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
变式3．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知方程m2-2m-3x+2m2+m-1y+6-2m=0m∈R．
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．
变式4．（23-24高二上·甘肃武威·期中）直线xcsα-3y-2=0的斜率的取值范围是 ．
变式5．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l：3x+y-1=0的倾斜角为α，则csα= .
变式6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：2x-y+1=0与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转45∘得到直线l'，则直线l'的方程为（ ）
A．2x+y-1=0B．3x-y+1=0
C．3x+y-1=0D．x+3y-3=0
【方法技巧与总结】
二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行.
当A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直.
当A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合.
当A≠0，B=0，C=0时，方程表示的直线与y轴重合.
（5）当C=0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点.
【题型6：直线与坐标轴围成三角形问题】
例6．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线3x+4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为32，则b=（ ）
A．6B．6或-6
C．-6D．2或12
变式1．（多选）（21-22高二上·浙江嘉兴·期中）直线l的方程为：x=my+1，则（ ）
A．直线l恒过定点1,0
B．直线l斜率必定存在
C．m=3时直线l的倾斜角为60∘
D．m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为3x+4y-12=0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为 ．
变式3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ．
变式4．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
变式5．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为-2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程．
变式6．（22-23高二下·湖南长沙·期中）已知△ABC的三个顶点分别为A0,4，B-2,6，C-8,0.
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
变式7．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点P-1,-2的直线l可表示为mx+1+ny+2=0，若直线l与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
变式8．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有二条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中，所有真命题的序号是（ ）．
A．①②③B．③④C．②④D．②③④
【题型7：直线过定点问题】
例7．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知直线的方程是y+2=-x-1，则（ ）
A．直线经过定点2,-1，斜率为-1B．直线经过定点1,-2，斜率为-1
C．直线经过定点-2,-1，斜率为1D．直线经过定点-1,-2，斜率为-1
变式1．（22-23高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．(-2,3)B．(2,3)C．(2,-3)D．(-2,-3)
变式2．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数m取何值，直线l:x+m+1y+1=0都经过一个定点，则该定点坐标为 .
变式3．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）无论实数λ取何值，直线2λ-1x+λ+3y-λ-11=0恒过定点 .
变式4．（23-24高二上·北京·期中）无论a取何值，直线ax+y-a-2=0恒经过一个定点P，P的坐标为 ，经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
变式5．（23-24高二上·广东惠州·期中）直线l:(m+2)x+(1-2m)y+6m-3=0过定点 .
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第 象限.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线l:a-1y=2a-3x+1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
变式8．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线l的方程为：2m+1x+m+1y-7m-4=0.
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长.
变式9．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线l1:kx-y-3-4k=0k∈R过定点P．
(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2方程；
(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABC的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l1的方程．
【题型8：一般式方程与象限问题】
例8．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线l方程为y=x+1，l绕点0,1顺时针旋转518π，得到直线l2，则l2不过第（ ）象限.
A．一B．二C．三D．四
变式1．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）关于一次函数y=kx+bk>0，下列结论正确的有（ ）
A．当b>0时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当b0，则直线l必过第二、三象限
变式4．（多选）（23-24高二上·新疆·期中）已知abc≠0，直线l:ax+by+c=0经过第一、二、四象限，则（ ）
A．ab>0B．bc