人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程随堂练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程随堂练习题，共57页。试卷主要包含了经过点P称为直线的点斜式方程等内容，欢迎下载使用。

知识点01 直线的方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程 F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）直线的方程是指（ ）
A．直线上点的坐标都是方程的解
B．以方程的解为坐标的点都在直线上
C．直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上
D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据直线方程的定义判断即可.
【详解】直线的方程是指直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上，
故选：C
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）方程①lgx-lgy=1；②lgx-y=1；③x-y2=1，④3x-2y=2中，能表示一条直线的方程是 ．（填序号）
【答案】②④
【分析】①由对数运算得到y=110x，结合对数函数定义域得到直线位于第一象限的部分，不合题意；②由对数运算得到x-y=10；③化简后得到x-y=1，表示两条直线；④由指数运算和对数运算求得x-2y=lg32，符合要求.
【详解】lgx-lgy=lgxy=1，即y=110x，x>0,y>0，表示直线位于第一象限的部分，不合题意，①错误；
lgx-y=1，即x-y=10，表示一条直线，故②正确；
x-y2=1，即x-y=1，即x-y=1或y-x=1，表示两条直线，不合题意，③错误；
3x-2y=2，即x-2y=lg32，表示一条直线，④正确.
故答案为：②④
知识点02直线的点斜式
1.经过点P（x，y）且斜率为k的直线方程为y-y=k（x-x0）称为直线的点斜式方程.
2.经过点P（x，y）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（x，y）且斜率不存在的直线方程为 x=x .
【即学即练3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点P0,2且斜率为2的直线的方程为（ ）
A．y=-2x-2B．y=2x-2C．y=2x+2D．y=-2x+2
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程写出即可.
【详解】由点斜式可得直线的方程为y-2=2x-0，
化为y=2x+2.
故选：C.
【即学即练4】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点P5,2且斜率为-1的直线的点斜式方程为（ ）
A．y-5=-x-2B．y-2=-x-5
C．y+2=-x+5D．y+2=-x-5
【答案】B
【分析】根据点斜式公式带入条件即可.
【详解】将P5,2，斜率为-1带入直线方程点斜式y-y0=kx-x0，得y-2=-x-5.
故选：B.
知识点03 直线的斜截式
1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程.
2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）.
【即学即练5】（22-23高二上·湖南·期中）倾斜角为135°，在y轴上的截距为1的直线方程是（ ）
A．x-y-1=0B．x+y-1=0
C．x+y+1=0D．x-y+1=0
【答案】B
【分析】根据直线斜率和截距即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在y轴上的截距为1，所以所求直线方程为y=-x+1，即x+y-1=0.
故选：B
【即学即练6】（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）若直线l的倾斜角α满足4sinα=3csα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是 .
【答案】3x-4y-9=0
【分析】由已知确定直线的斜率，应用斜截式写出直线方程.
【详解】由4sinα=3csα，所以tanα=34，
从而直线l的方程为y=34(x-3)，即3x-4y-9=0.
故答案为：3x-4y-9=0
知识点04 直线的两点式
经过两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2）(x2-x1≠0且y2-y1≠0)的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程.
【即学即练7】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点1,2，5,3的直线方程是（ ）
A．y-25-1=x-13-1B．y-23-2=x-15-1
C．y-15-1=x-32-3D．x-25-2=y-31-3
【答案】B
【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.
【详解】因为直线过点1,2，5,3，所以直线方程为y-23-2=x-15-1，
故选：B.
【即学即练8】（2024高二上·全国·专题练习）经过两点5,0,2,-5的直线方程为 .
【答案】5x-3y-25=0
【分析】由直线的两点式方程直接写出，再化简.
【详解】经过两点5,0,2,-5的直线方程为：y-0-5-0=x-52-5，整理，
得5x-3y-25=0.
故答案为：5x-3y-25=0.
知识点05 之间的截距式
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为xa+yb=1,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴y轴上的截距都存在且不为0.
【即学即练9】（22-23高二上·海南·期中）在x轴、y轴上的截距分别是-2、3的直线方程为（ ）
A．x2+y3=1B．x2-y3=1
C．y3-x2=1D．x2+y3=-1
【答案】C
【分析】利用直线的截距式方程即可求解.
【详解】因为直线在x轴、y轴上的截距分别是-2、3，
所以直线方程是x-2+y3=1，即y3-x2=1．
故选：C．
【即学即练10】（23-24高二上·陕西·阶段练习）直线x-2y-2=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．a=2，b=1B．a=2，b=-1C．a=-2，b=1D．a=-2，b=-1
【答案】B
【分析】根据截距的定义计算即可.
【详解】令x=0，解得y=-1，故b=-1；
令y=0，解得x=2，故a=2．
故选：B
知识点06 直线的一般式
1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=-ABx-CB,它表示的是斜率为-AB且截距为-CB的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=-CA,它表示的是斜率不存在且过点（-CA，0）的直线.
【即学即练11】（23-24高二上·江苏·课后作业）直线的一般方程中的几何要素
若直线的一般方程为Ax+By+C=0，
（1）当AB≠0时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ；
（2）当A=0时，直线的斜率为 ，横截距 ，纵截距为 ；
（3）当B=0时，直线的斜率 ，横截距 ，纵截距 ；
【答案】 -AB -CA -CB 0 不存在 -CB 不存在 -CA 不存在
【即学即练12】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）△ABC的顶点A-3,4,B1,4,C-3,6，则BC边上的中线所在的直线方程是 ．
【答案】x-2y+11=0
【分析】
求出线段BC的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；
【详解】BC中点坐标为(1-32,4+62)，即(-1,5)，
所以BC边上的中线所在的直线方程是：y-45-4=x+3-1+3，
整理得：x-2y+11=0.
故答案为：x-2y+11=0
难点：最值问题
示例1：（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线l:kx-y+2+k=0x∈R．
(1)求证：无论k为何值，直线l:kx-y+2+k=0恒过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)S的最小值为4，直线l的方程为y=2x+4
【分析】（1）将直线方程化为点斜式，从而求得定点的坐标.
（2）先求得S的表达式，然后利用基本不等式求得S的最小值，并求得此时直线l的方程.
【详解】（1）直线l:kx-y+2+k=0k∈R可化为y-2=kx+1，故过定点-1,2，
所以无论k为何值，直线l:kx-y+2+k=0恒过定点-1,2；
（2）因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以k>0，
则kx-y+2+k=0中取y=0得x=-k+2k，取x=0得y=2+k，
S=12OA×OB=12×k+2k×2+k=12k+4+4k≥122k⋅4k+4=4，
当且仅当k=4k时，即k=2时取“＝”，
所以S的最小值为4，直线l的方程为y=2x+4．

【题型1：直线的点斜式方程】
例1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是（ ）
A．x+y+1=0B．x+y-1=0
C．x-y+1=0D．x-y-1=0
【答案】D
【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可.
【详解】根据题意可得直线为y-2=x-3，化简得x-y-1=0.
故选：D
变式1．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线l过点A1,0，且倾斜角为直线y=3x倾斜角的一半，则直线l的方程为（ ）
A．x-3y-1=0B．3x-2y-3=0
C．x-3y-3=0D．3x+2y+3=0
【答案】A
【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程.
【详解】设直线y=3x的倾斜角为α0≤α0,b>0，
因为直线l过点P(2,1)，则2a+1b=1，
三角形OAB面积为S=12ab，
利用均值不等式，1=2a+1b≥22a⋅1b=22ab，即ab≥8，
当且仅当a=4,b=2等号成立，
于是，三角形OAB面积为S=12ab≥4．
故答案为：4
变式4．（2024高二上·全国·专题练习）若直线l:xa+yb=1a>0,b>0经过点1,2，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，ab= .
【答案】22/122
【分析】根据题意，由条件可得1a+2b=1，再结合基本不等式即可得到当a+b取最小值的条件，即可得到结果.
【详解】因为直线l:xa+yb=1a>0,b>0经过点1,2，可得1a+2b=1，
则a+b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，
当且仅当ba=2ab时，即b=2a=2+2时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3+22，
此时b=2a，则ab=22.
故答案为：22.
变式5．（2024高二上·全国·专题练习）已知两点A(3,0),B(0,4)，动点P(x,y)在线段AB上运动，则xy的取值范围为 ．
【答案】[0,3]
【分析】由截距得直线线段AB方程即x,y的关系，用代入法化xy为关于x的二次函数，利用二次函数性质得其范围．
【详解】线段AB方程为x3+y4=1(0≤x≤3)，于是y=4(1-x3)(0≤x≤3)，
从而xy=4x⋅(1-x3)=-43(x-32)2+3，
显然当x=32时，xy取最大值3；当x=0或3时，xy取最小值0．
故答案为：[0,3]．
变式6.（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l：2x-3y+1=0，则（ ）
A．l不过原点B．l的横截距为12
C．l的斜率为23D．l与坐标轴围成的三角形的面积为3
【答案】AC
【分析】根据直线方程的确定点是否再直线上可判断A，由横截距、斜率的概念可判断B，C，由横纵截距求解l与坐标轴围成的三角形的面积可判断D.
【详解】已知直线l：2x-3y+1=0，
对于A，原点0,0不满足直线方程，故l不过原点，故A正确；
对于B，当y=0时，x=-12，故l的横截距为-12，故B不正确；
对于C，直线l的方程可化为y=23x+13，则l的斜率为23，故C正确；
对于D，当x=0时，y=13，则l与坐标轴围成的三角形的面积为12×-12×13=112，故D不正确.
故选：AC.
变式7．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：y=3x-1，则（ ）
A．直线l过点3,-2
B．直线l的斜率为3
C．直线l的倾斜角为60∘
D．直线l在y轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】根据直线方程逐项判断.
【详解】对于A，将3,-2代入y=3x-1，可知不满足方程，故A不正确；
对于B，由y=3x-1，知直线l的斜率为3，故B正确；
对于C，设直线l的倾斜角为α，则tanα=3，可得α=60∘，故C正确；
对于D，由y=3x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确．
故选：BC
【方法技巧与总结】
直线的截距式方程
我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
方程xa+yb=1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以称为直线的截距式方程.
截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线.
（2）直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x2-y3=-1就不是直线的截距式方程.
（3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便.
（4）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负.
【题型5：直线的一般式方程】
例5．(多选)（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线l:Ax+By+C=0，其中A,B不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当C=0时，l过坐标原点
B．当AB>0时，l的倾斜角为锐角
C．当B=0,C≠0时，l和x轴平行
D．若直线l过点P(x0,y0)，直线l的方程可化为Ax-x0+By-y0=0
【答案】AD
【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为x=-CA可知；选项D，由直线l过点P(x0,y0)，得C=-Ax0-By0，代入直线方程可得.
【详解】选项A，当C=0时，x=0y=0是方程Ax+By=0的解，
即l过坐标原点，故A正确；
选项B，当AB>0时，直线l:Ax+By+C=0的方程可化为y=-ABx-CB，
则直线的斜率k=-AB0,B>0时，l的倾斜角为锐角
【答案】BC
【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.
【详解】对于A：当A=0,B≠0时直线l:By+C=0（B≠0），即y=-CB，表示与x轴平行（重合）的直线，故A错误；
对于B：当A≠0,B=0,C=0时直线l:Ax=0，即x=0，即l与y轴重合，故B正确；
对于C：当C=0时直线l:Ax+By=0，此时x=0y=0满足方程Ax+By=0，即l过原点，故C正确；
对于D：当A>0,B>0时直线l:Ax+By+C=0，即y=-ABx-CB，斜率k=-AB0时，得到当且仅当k=32时，等号成立，所以S△AOB≥0；当k12时，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
由正弦y=k(x-2)+3与x和y轴交点的坐标分别为A(2-3k,0),B(0,3-2k)，
所以△AOB的面积为S△AOB=122-3k3-2k=12×(2k-3)2k，
当k>0时，S△AOB=12×4k2-12k+9k=12×(4k+9k-12)≥12(24k⋅9k-12)=0，
当且仅当k=32时，等号成立，所以S△AOB≥0，
所以，当S△AOB=m>0，结合对勾函数性质，在k>0时k有两个值，
当k12时，在k0，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确；
若k>0，b0，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误．
故选：ABC
变式2．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为Ax+By+C=0D．任何一条直线至少要经过两个象限
【答案】BCD
【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，直线的倾斜角α∈(π2,π)，则其斜率k=tanα0，则直线l必过第二、三象限
【答案】BCD
【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断.
【详解】选项A：例如y=0（x轴），可得A=C=0,B≠0，则A2+C2=0，故A错误；
选项B：若C=-A，则Ax+By-A=Ax-1+By=0，
当x=1,y=0时，式子恒成立，
所以直线l过定点(1,0)，故B正确；
选项C：若A⋅B0，则y=-ABx-CB，且-AB>0,-CB0，则x=-BAy-CA，且-CA0B．bc0，a>0，
不成立，D错误.
故选：B.
变式2．（20-21高二上·天津武清·阶段练习）直线l1：ax-y+b=0与l2：bx-y+a=0（其中a≠0，b≠0，a≠b），在同一坐标系中的图象是图中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】首先将直线方程化为斜截式，再结合各选项一一判断.
【详解】直线l1：ax-y+b=0，即y=ax+b，kl1=a且与y轴交于点0,b，
直线l2：bx-y+a=0，即y=bx+a，kl2=b且与y轴交于点0,a，
对于A：直线l1中a>0，b>0，直线l2中a>0，b>0，且b>a，
则kl2>kl1，所以l2的倾斜角大于l1的倾斜角，不符合题意，故A错误；
对于B：直线l1中a>0，b>0，直线l2中a>0，b>0，且b>a，
则kl2>kl1，所以l2的倾斜角大于l1的倾斜角，符合题意，故B正确；
对于C：直线l1中a0，直线l2中a>0，b>0，矛盾，故C错误；
对于D：直线l1中a>0，b0，b>0，矛盾，故D错误；
故选：B
变式3．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：xA+yB=C，则以下四个情况中，可以使l的图象如下图所示的为（ ）
A．A>0，B0B．A0-b>0⇒a>0b0b0且1a-2≥0，解得a>2，
综上满足条件的实数a的范围是2,+∞.
故选：D
5．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）当点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A．3x+2y-5=0B．2x-3y+1=0C．3x+2y+5=0D．2x-3y+2=0
【答案】A
【分析】将直线方程变形为x+y-2+(3x+y-4)λ=0，得直线系恒过点A(1,1)，由此得到P到直线l的最远距离为|PA|，此时直线垂直于PA，即可求出直线方程．
【详解】因为直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0，
所以可将直线方程变形为x+y-2+(3x+y-4)λ=0，
∴ x+y-2=03x+y-4=0，解得x=1，y=1，
由此可得直线系恒过点A(1,1)
P到直线l的最远距离为|PA|，此时直线垂直于PA，∵ kPA=23，
∴直线l的斜率为-32，
∴ -1+3λ1+λ=-32，∴ λ=13，
∴直线l的一般方程为3x+2y-5=0．
故选：A
6．（24-25高二上·全国·课后作业）下列直线中过第一、二、四象限的是（ ）
A．y=2x+1B．y=12x+4C．y=-2x+4D．y=32x-3
【答案】C
【分析】根据直线经过的象限确定斜率及y轴截距判断选项即可.
【详解】若直线y=kx+b过第一、二、四象限，则k0，
选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足k0．
故选：C.
7．（23-24高二下·上海·阶段练习）“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直，
则1×a+a×-1=0，所以不管a为何值，两直线垂直，
所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
8．（21-22高二上·北京·期中）已知直线l的方程为x-my+2=0，则直线l（ ）
A．恒过点-2,0且不垂直x轴
B．恒过点-2,0且不垂直y轴
C．恒过点2,0且不垂直x轴
D．恒过点2,0且不垂直y轴
【答案】B
【分析】由直线l的方程，令y=0，对m分类讨论即可求解.
【详解】由直线l的方程为x-my+2=0，
令y=0，解得x=-2．
∴直线恒过点-2,0，
若m≠0，则直线y=1mx+2不垂直y轴，
若m=0，则直线x=-2不垂直于y轴，
综上所述，恒过点-2,0且不垂直y轴.
故选：B．
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江湖州·期末）对于直线l：mx+ny-3m=0（m2+n2≠0，m,n∈R），下列说法正确的是（ ）
A．直线l的一个方向向量为n,-mB．直线l恒过定点3,0
C．当m=3n时，直线l的倾斜角为60°D．当m=-2且n>0时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可.
【详解】对于A：直线l的一个方向向量为n,-m，A正确；
对于B：直线l的方程可化为mx-3+ny=0，所以直线l恒过定点3,0，B正确；
对于C：当m=3n时，直线l的斜率为-3，此时倾斜角为120∘，C错误；
对于D：当m=-2且n>0时，直线l为y=2nx-3，所以l不经过第二象限，D正确.
故选：ABD.
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点M-1,1，N1,3，直线l：mx+y-m+1=0与线段MN有交点，则m可以为（ ）
A．6B．2C．1D．-1
【答案】ABC
【分析】求得直线l恒过定点Q，求得斜率，结合图象可求得m的范围，进而可得结果.
【详解】由直线l：mx+y-m+1=0，可得y+1=-mx-1，
故过定点Q1,-1，斜率为-m，
所以kQM=1--1-1-1=-1,而QN的斜率不存在，
结合图形可知：-m≤-1，即m≥1.
故选：ABC.
11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线x-y-2=0的倾斜角为π4
B．直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x-y+3=0
D．过1,4、x0,y0两点的直线方程为y-4y0-4=x-1x0-1
【答案】AB
【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD.
【详解】对于A，直线x-y-2=0的斜率为k=1，其倾斜角为π4，A正确；
对于B，直线x-y-2=0交x,y轴分别于点(2,0),(0,-2)，
该直线与坐标轴围成三角形面积为S=12×2×2=2，B正确；
对于C，过点1,4与原点(0,0)的直线y=4x在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点1,4且在两坐标轴上的截距之和为0的直线可以是直线y=4x，C错误；
对于D，当x0=1,y0≠4时的直线或当y0=4,x0≠1时的直线方程不能用y-4y0-4=x-1x0-1表示出，D错误.
故选：AB
三、填空题
12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线l经过点A(0,1)，且倾斜角为直线y=3x-2的倾斜角的一半，则l的方程为 .
【答案】33x-y+1=0
【分析】根据直线倾斜角得到k=tanπ6=33，代入点坐标得到答案.
【详解】直线y=3x-2的倾斜角为α，α∈0,π，则tanα=3，α=π3，
直线l的倾斜角为α2=π6，k=tanπ6=33，直线过点A(0,1)，
故直线方程为y=33x+1，即33x-y+1=0.
故答案为：33x-y+1=0.
13．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点-4,-1，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为 .
【答案】x+2y+6=0或x-4y=0
【分析】分截距为0和不为0两种情况求解.
【详解】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y=kx.
∵直线过点-4,-1，
∴-1=k-4，∴k=14，
即直线的方程为x-4y=0.
当截距均不为0时，设直线的方程为x2a+ya=1.
∵直线过点-4,-1，
∴42a+1a=1，解得a=-3，
即直线方程为x+2y+6=0.
综上，所求直线方程为x+2y+6=0或x-4y=0.
故答案为：x+2y+6=0或x-4y=0.
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知A3,4，B-1,0，则过AB的中点且倾斜角为120∘，直线的点斜式方程是 ．
【答案】y-2=-3x-1
【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.
【详解】设AB的中点为M，则M1,2，
又斜率k=tan120∘=-3，
所以直线的点斜式方程为y-2=-3x-1．
故答案为：y-2=-3x-1
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）设l1,l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1,l2是否唯一.如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x,y)应该满足什么条件.
（1）已知l1的斜率不存在；
（2）已知l1的斜率不存在且l1过点A(-2,1)；
（3）已知l2的斜率为3；
（4）已知l2的斜率为3且l2过点B(1,2).
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，利用直线的方程的性质，逐个判定，并求得唯一的直线方程，即可求解.
【详解】对于（1）中，当直线l1的倾斜角为90∘时，直线l1的斜率不存在，这样的直线有无数条；
对于（2）中，当直线l1的斜率不存在且过点A(-2,1)时，直线l1的方程为x=-2，
这样的直线是唯一的，满足题意；
对于（3）中，直线l2的斜率为3的直线有无数条，表示一束平行线，不满足题意；
对于（4）中，当l2的斜率为3且l2过点B(1,2)，可得直线方程为y-2=3(x-1)，
即3x-y+2-3=0，这样的直线是唯一的，满足题意.
如图所示：
16．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l过点P43,2，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点.
(1)当OA=OB时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
【答案】(1)3x+3y-10=0；
(2)3x+4y-12=0或3x+y-6=0
【分析】（1）设直线l的截距式为xa+yb=1(a>0,b>0)，由题意列出方程组，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解.
【详解】（1）设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，且A(a,0),B(0,b)
由|OA|=|OB|，得a=b，由直线l过点P(43,2)，得43a+2b=1，解得a=103b=103，
所以直线l的方程为3x+3y-10=0.
（2）设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，且直线l不经过原点，
由题意知，ab=12，43a+2b=1，解得a=4b=3或a=2b=6，
所以直线l的方程为3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
17．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线OA:x-y=0x≥0，过点P3,1作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
【答案】(1)x+y-4=0
(2)4
【分析】（1）由题意可设Ax1,x1、Bx2,0，根据中点坐标公式可得x1=2，x2=4，进而可得直线方程；
（2）分类讨论直线斜率是否存在，求得A3k-1k-1,3k-1k-1，B3k-1k,0，即可得面积S△OAB=12⋅3k-1k⋅3k-1k-1，换元结合二次函数可得最大值.
【详解】（1）由题意可设Ax1,x1、Bx2,0，且x1、x2>0．
当AB的中点为P时，则x1+x2=2×3x1+0=2×1，解得x1=2，x2=4，
所以A2,2、B4,0．
所以直线AB的方程为y-20-2=x-24-2，即一般式方程为：x+y-4=0．
（2）当过点P3,1的直线斜率不存在时，A3,3、B3,0，
此时S△OAB=12OB⋅h=12×3×3=92．
当过点P3,1的直线斜率存在时，
设直线AB的方程为y-1=kx-3k≠1,k≠0．
直线AB与x-y=0x≥0相交，可得A3k-1k-1,3k-1k-1，
直线AB与x轴正半轴相交于B，可得B3k-1k,0．
由3k-1k-1>03k-1k>0，解得k>1或k2或t2或t