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高中1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系一课一练
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这是一份高中1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系一课一练，共18页。
知识点01 正交基底与单位正交基底
【即学即练1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=j+k,c=k+i，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是（ ）
A．(10,12,14)B．(14,12,10)
C．(12,14,10)D．(4,3,2)
【即学即练2】（20-21高二·江苏·课后作业）已知i,j,k为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
(1)a=-2i+8j+3k；
(2)b=-5i+2k．
知识点02 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xy平面、yz平面和xz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【即学即练3】（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为3,4,2，则AC1的坐标为 ．
【即学即练4】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．求点E、F的坐标．
知识点03 空间直角坐标系中的点坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
【即学即练5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点B3,-1,0,AB=-2,-5,3，则点A坐标为（ ）
A．1,-6,3B．5,4,-3
C．-1,6,-3D．2,5,-3
【即学即练6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点A(1,-2,-3)关于x轴的对称点为（ ）
A．(-1,2,3)B．(1,2,-3)C．(1,2,3)D．(-1,-2,-3)
知识点04 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))；
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦当a≠0且b≠0时，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b⟺b=λa⟺x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝eq \r(x2＋y2＋z2)．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．
【即学即练7】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知A2,-4,-1，B=-1,5,1，C3,-4,1，令a=CA，b=CB，则a+b对应的坐标为（ ）
A．5,-9,2B．-5,9,-2C．5,9,-2D．5,-9,-2
【即学即练8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知向量a=1,0,3,b=0,-1,2,c=3,1,0则a⋅b-c=（ ）
A．－3B．3C．9D．0
难点：空间向量与动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为B1C1边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）．
A．不存在点P，使得D1P⊥AD1
B．过三点A,M,D1的正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为98
C．若D1P⊥B1D,则P点在正方形ABCD内运动轨迹长为22
D．点N在棱BB1上，且B1N=4NB，若D1P⊥NP，则点P的轨迹是圆
【题型1：空间向量的坐标表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知点A2,0,1,B0,2,0,C0,0,3,D1,1,0,E0,0,a，直线DE平行△ABC所在的平面，则a=（ ）
A．12B．32C．2D．52
变式1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,-4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=（ ）
A．(-2,0,0)B．(-2,3,0)C．(-2,0,-4)D．(1,0,-4)
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若M1,0,2，N2,m+1,3，P2,2,n+1三点共线，则m+n=（ ）
A．4B．-2C．1D．3
变式3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3，以直线DA,DC,DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点A关于直线DD1对称的点为(-4,0,0)B．点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C．点B1的坐标为(3,5,4)D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
变式4．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，以D为原点，DA,DC,DD'所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是（ ）
A．23,23,13B．34,34,12C．12,12,12D．-1,32,1
变式5．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设a1=2m-j+k，a2=m+3j-2k，a3=-2m+j-3k，a4=3m+2j+5k，其中m，j，k是两两垂直的单位向量，若a4=λa1+μa2+va3，则实数λ，μ，v的值分别是（ ）
A．1，-2，3B．-2，1，-3
C．-2，1，3D．-1，2，3
变式6．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量a=-3,2,m,b=-1,-1,3,c=1,-4,n，若a,b,c共面，则m+n= ．
变式7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点A0,-2,1,B2,-3,0,C2,0,1，则顶点D的坐标为 ．
变式8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知直线l经过A-2,1,1，B1,0,-3两点，直线l上一点P，使得AP=-AB，则点P坐标 ．
【题型2：空间向量的加减数乘与数量积】
例2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则MN⋅PC= .
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知O为原点，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点Q在直线OP上运动，则QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．12,34,13B．12,23,13C．43,43,83D．43,43,73
变式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PC⊥平面ABCD，M在棱PC上，AD=2，则AM⋅BC=（ ）
A．-4B．4C．-32D．32
变式3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2,AC=AA1=3,BE=EA1,CF=2FA1，则AE⋅BF=（ ）
A．-1B．1C．-3D．12
变式4．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1=C1D1=2，C1B1=1，点P为线段B1C上一点，则C1P⋅D1P的值可以为（ ）
A．13B．45C．23D．2
变式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⋅OB= ．
变式6．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知空间向量a=1,0,2,b=-2,1,3，则a-2b= .
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知a=-1,2,0，b=2,0,1，则2a+3b⋅a-b= .
变式8．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知向量a=1,1,x，b=1,1,2，c=1,-1,1，若a+c⋅b=-1，则实数x= ．
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
【题型3：空间向量的模长】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知AB=0,1,2，则AB= .
变式1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A1,0,2，B0,2,1，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么CD的最小值是（ ）
A．55B．255C．22D．2
变式2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，A(-1,2,0)，点B(-1,1,2)关于y轴的对称点为C，则|AC|=（ ）
A．5B．11C．3D．10
变式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=3EC，点P在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A．319010B．22C．32D．1663
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为（ ）
A．24B．22C．104D．52
变式5．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知a=2,1,0，b=-1,0,1.则a+b= .
变式6．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，点P坐标可记为x,y,z：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为r,θ,z．如图所示，空间直角坐标x,y,z与柱面坐标r,θ,z之间的变换公式为：x=rcsθ,y=rsinθ,z=z．则在柱面坐标系中，点A1,π2,2与点B2,θ,-1两点距离的最小值为 .
变式7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0)，|λa+b|=29，则λ= .
变式8．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1．
(1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度；
(2)求线段AP长度的最小值．
【题型4：空间向量的夹角】
例4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量a=1,2,2，b=-2,1,-1.
(1)求a⋅b；
(2)求2a-b；
(3)求csa,b.
变式1．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知{i→,j→,k→}是空间的一个单位正交基底，且AB→=-i→+j→-k→，CD→=2i→+j→+k→，则AB与CD夹角的余弦值为（ ）
A．12B．-13C．33D．-23
变式2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，在正方形中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且AE=BF，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．现将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF从AB滑动到CD的过程中，∠AGC的大小（ ）
A．先变小后变大B．先变大后变小C．不发生变化D．由小变大
变式3．（多选）（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1,∠BCA=90∘，棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点，则（ ）
A．BN=3B．BA1⋅MC1=0C．VB-C1MN=32D．csBA1,CB1=3010
变式4．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，O是菱形ABCD的中心，AB=2，∠ABC=2π3，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，以O为原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．E0,-32,12B．F32,12,0
C．EF=12,3,-12D．cs∠EOF=-34
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）若a=-1,λ,-2，b=2,-2,-1，a与b的夹角为π3，则λ的值为 ．
变式6．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量a=3,0,1，b=k,2,0，若a与b夹角为π3，则k的值为 ．
变式7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0, OC=1,1,1，点M在直线OC上运动，则csOA,MB的最大值为 .
【题型5：空间向量的投影】
例5．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，则向量a在向量b上的投影向量c=（ ）
A．313,-316,-316B．-313,316,316
C．313,316,316D．-313,-316,-316
变式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量a=(2,1,-3)，则向量a在坐标平面xOz上的投影向量是（ ）
A．(0,2,1)B．(2,1,0)
C．(0,1,-3)D．(2,0,-3)
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量a=1,1,2,b=-3,2,0，则a+b在a上的投影向量为（ ）
A．32,32,322B．1510,1510,3010
C．34,34,324D．-25,35,25
变式3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圆周上，且∠CO1E=45∘，则AE在AB上的投影向量为（ ）
A．3+28ABB．4+28AB
C．3+38ABD．4+38AB
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A2,0,0,B1,1,-2,C2,3,1，则（ ）
A．AC=23
B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530
C．AB⋅BC=-5
D．OB在BC上的投影向量的模为31111
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量a=2,-3,0，b=0,3,4，则向量a在向量b方向上的投影向量为 ．
变式6．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量a在向量b上的投影向量是-32b，且b=1,1,-1，则a⋅b= .
变式7.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则AE在AC方向上的投影向量的模的取值范围为 ．
【题型6：空间向量的平行、垂直与锐角、钝角问题】
例6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设x,y∈R，向量 a=x,1,1,b=1,-1,y,c=2,-2,2,且a⊥c,b//c，则x+y的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
变式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量a=k,1,2，b=k,0,-2，则“k=2”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量a=1,2,-2、b=3,λ,μ-1，若a//b，则λ+μ= ．
变式3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知a=m+1,1,-1，b=1,n,3，其中m>0，n>0，若a⊥b，则1m+4n的最小值为 ．
变式4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）若空间向量a=1,1,x，b=2,x,4，向量a、b夹角为锐角，则x的取值范围是
变式5．（22-23高二下·江苏·课后作业）若a=2,-1,4，b=-1,t,-2，若a与b的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 .
变式6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC.
(1)已知a+kb⊥b，求k的值；
(2)若c=6，且c∥BC，求c的坐标.
变式7．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知a→=x,1,1,b→=1,y,1,c→=2,-4,2,x,y∈R，且a⊥b,b∥c.
(1)求a+b；
(2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小.
变式8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知a=x,1,0，b=-1,y,2，c=2,-2,1，b=5，a⊥c，
(1)若a+kb、2a+b共线，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
【题型7：最值与取值范围问题】
例7．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为l=2,m,1，平面α的一个法向量为n=-1,1,n，m>0,n>0，则1m+1n的最小值为（ ）
A．2B．4C．42D．22
变式1.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥D1-ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且D1D=DA=DC=3，E，F分别为D1B的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则PE+PF的最小值为（ ）
A．11B．522C．1+6D．33
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量e1=t,2t,2,e2=2t-2,-t,-1，则下列结论正确的是（ ）
A．若e1⊥e2，则t=-1B．若e1 ∥ e2，则t=45
C．e1的最大值2D．e1的最小值2
变式3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点O0,0,0，A1,2,2，B2,1,1，P1,0,2，点Q在直线OP上运动，当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标是 ．
变式4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E满足A1E=2EB1，点F在平面BC1D内，则|A1F+|EF|的最小值为 .
变式5．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2，SD⊥底面ABCD，点E、F分别为SC、AB的中点，若线段SD上存在点G，使得GE⊥GF，则线段SD的长度最小值为 .
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系O-xyz中，有两点A(0,-2,4),B(2,1,5),P是xOy平面上任意一点，则AP+BP的最小值为 .
变式7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知A(1,-2,1)，向量a=(-3,4,12)，且满足AB=2a
(1)求点B的坐标；
(2)若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当MA⋅MB取最小值时，求点M的坐标．
一、单选题
1．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知a=2,-1,3，b=4,2,x，且a⊥b，则x=（ ）
A．-6B．-2C．2D．6
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知A-2,1,3,B1,-1,4，则AB=（ ）
A．3,0,1B．-1,-2,1C．-1,0,7D．3,-2,1
3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面xOy的对称点是（ ）
A．-1,-2,3B．-1,2,3C．1,-2,3D．1,2,-3
4．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：a=-3,2,5，b=1,5,-1，则a-2b=（ ）
A．-4,-3,4B．-5,-8,7
C．-5,-8,3D．-1,-3,6
5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量a=0,0,1，b=1,-1,1，向量a+b在向量a上的投影向量为（ ）．
A．0,0,2B．0,0,1
C．0,0,-1D．0,0,-2
6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点A1,1,1，B-1,0,4，C2,-2,3，则AB与CA的夹角为（ ）
A．π3B．π6C．2π3D．5π3
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量AB=(1,m,-3)，AC=(-3,6,9)，若A，B，C三点共线，则m=（ ）
A．-3B．-2C．2D．3
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量a=(1,0,2)，b=(-2,1,-2)，c=(0,1,λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量a=2x,1,1,b=1,-y,2，则（ ）
A．若x=14,y=-2，则a//b
B．若x=1,y=1，则a⊥b
C．若x=12,y=1，则csa,b=23
D．若x=12,y=1，则向量a在向量b上的投影向量c=13,-13,23
10．（23-24高二上·重庆·期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量a，b，c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
B．在空间直角坐标系中，点P(-1,3,5)关于坐标平面yOz的对称点是N(1,3,5)
C．已知a=e1-2e2+e3，b=-e1+3e2+2e3，c=-3e1+7e2，e1,e2,e3为空间向量的一个基底，则向量a，b，c能共面
D．已知A(-1,1,2)，B(2,2,4)，C(3,-2,0)，则向量AC在向量AB上的投影向量是1114(3,1,2)
11．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量a,b(a≠0,b≠0)，若a⊥b，则a⋅b=0
B．若空间四个点P,A,B,C，PC=14PA+34PB，则A,B,C三点共线
C．已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底
D．已知向量a=(1,1,x)，b=(-3,x,9)，若x<310，则〈a,b〉为钝角
三、填空题
12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知A(1,1,0),B(0,4,0),C(2,2,2)，则向量AB在AC上的投影向量的坐标是 .
13．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=0,-2,-1，b=2,0,4，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 ．
14．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知空间向量a=1,0,2,b=-2,1,3，则a-b= ，a+b⋅a-2b= ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点A-2,0,2，B-1,1,2，C-3,0,4，设a=AB，b=AC．
(1)若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值；
(2)若c=3，c//BC，求c．
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC．
(1)若c=6，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量ka-b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P1,-1,m在平面ABC上，求m的值．
17．（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知a=x,4,1,b=-2,y,-1,c=3,-2,z,a∥b,b⊥c．
(1)求实数x,y,z的值；
(2)求a+c与b+c夹角的余弦值．
18．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，顶点A位于坐标原点，若E是棱B1C1的中点，F是侧面CDD1C1的中心．
(1)求点E，F的坐标及EF；
(2)求向量EF在DC1→方向上的投影向量．
19．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，且∠CPB=90°，四边形ABCD为直角梯形，满足AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4，PD=26．
(1)若点F为DC的中点，求cs〈AP,BF〉；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当EM⊥BF时，求|AM||AB|的值．
课程标准
学习目标
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的长度及两向量的夹角.
3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平行或垂直.
4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
5掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示:掌握空间向量数量积的坐标表示
2.掌握空间向量的模、夹角
3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系
正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示
知识点01 正交基底与单位正交基底
【即学即练1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=j+k,c=k+i，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是（ ）
A．(10,12,14)B．(14,12,10)
C．(12,14,10)D．(4,3,2)
【即学即练2】（20-21高二·江苏·课后作业）已知i,j,k为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
(1)a=-2i+8j+3k；
(2)b=-5i+2k．
知识点02 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xy平面、yz平面和xz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【即学即练3】（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为3,4,2，则AC1的坐标为 ．
【即学即练4】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz．求点E、F的坐标．
知识点03 空间直角坐标系中的点坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
【即学即练5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点B3,-1,0,AB=-2,-5,3，则点A坐标为（ ）
A．1,-6,3B．5,4,-3
C．-1,6,-3D．2,5,-3
【即学即练6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点A(1,-2,-3)关于x轴的对称点为（ ）
A．(-1,2,3)B．(1,2,-3)C．(1,2,3)D．(-1,-2,-3)
知识点04 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))；
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦当a≠0且b≠0时，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b⟺b=λa⟺x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝eq \r(x2＋y2＋z2)．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．
【即学即练7】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知A2,-4,-1，B=-1,5,1，C3,-4,1，令a=CA，b=CB，则a+b对应的坐标为（ ）
A．5,-9,2B．-5,9,-2C．5,9,-2D．5,-9,-2
【即学即练8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知向量a=1,0,3,b=0,-1,2,c=3,1,0则a⋅b-c=（ ）
A．－3B．3C．9D．0
难点：空间向量与动点问题
示例1：（多选）（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为B1C1边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）．
A．不存在点P，使得D1P⊥AD1
B．过三点A,M,D1的正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为98
C．若D1P⊥B1D,则P点在正方形ABCD内运动轨迹长为22
D．点N在棱BB1上，且B1N=4NB，若D1P⊥NP，则点P的轨迹是圆
【题型1：空间向量的坐标表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知点A2,0,1,B0,2,0,C0,0,3,D1,1,0,E0,0,a，直线DE平行△ABC所在的平面，则a=（ ）
A．12B．32C．2D．52
变式1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,-4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=（ ）
A．(-2,0,0)B．(-2,3,0)C．(-2,0,-4)D．(1,0,-4)
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若M1,0,2，N2,m+1,3，P2,2,n+1三点共线，则m+n=（ ）
A．4B．-2C．1D．3
变式3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3，以直线DA,DC,DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点A关于直线DD1对称的点为(-4,0,0)B．点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C．点B1的坐标为(3,5,4)D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
变式4．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，以D为原点，DA,DC,DD'所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是（ ）
A．23,23,13B．34,34,12C．12,12,12D．-1,32,1
变式5．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）设a1=2m-j+k，a2=m+3j-2k，a3=-2m+j-3k，a4=3m+2j+5k，其中m，j，k是两两垂直的单位向量，若a4=λa1+μa2+va3，则实数λ，μ，v的值分别是（ ）
A．1，-2，3B．-2，1，-3
C．-2，1，3D．-1，2，3
变式6．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量a=-3,2,m,b=-1,-1,3,c=1,-4,n，若a,b,c共面，则m+n= ．
变式7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点A0,-2,1,B2,-3,0,C2,0,1，则顶点D的坐标为 ．
变式8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知直线l经过A-2,1,1，B1,0,-3两点，直线l上一点P，使得AP=-AB，则点P坐标 ．
【题型2：空间向量的加减数乘与数量积】
例2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则MN⋅PC= .
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知O为原点，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点Q在直线OP上运动，则QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．12,34,13B．12,23,13C．43,43,83D．43,43,73
变式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PC⊥平面ABCD，M在棱PC上，AD=2，则AM⋅BC=（ ）
A．-4B．4C．-32D．32
变式3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2,AC=AA1=3,BE=EA1,CF=2FA1，则AE⋅BF=（ ）
A．-1B．1C．-3D．12
变式4．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1=C1D1=2，C1B1=1，点P为线段B1C上一点，则C1P⋅D1P的值可以为（ ）
A．13B．45C．23D．2
变式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⋅OB= ．
变式6．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知空间向量a=1,0,2,b=-2,1,3，则a-2b= .
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知a=-1,2,0，b=2,0,1，则2a+3b⋅a-b= .
变式8．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知向量a=1,1,x，b=1,1,2，c=1,-1,1，若a+c⋅b=-1，则实数x= ．
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
【题型3：空间向量的模长】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知AB=0,1,2，则AB= .
变式1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A1,0,2，B0,2,1，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么CD的最小值是（ ）
A．55B．255C．22D．2
变式2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，A(-1,2,0)，点B(-1,1,2)关于y轴的对称点为C，则|AC|=（ ）
A．5B．11C．3D．10
变式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=3EC，点P在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A．319010B．22C．32D．1663
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为（ ）
A．24B．22C．104D．52
变式5．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知a=2,1,0，b=-1,0,1.则a+b= .
变式6．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，点P坐标可记为x,y,z：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为r,θ,z．如图所示，空间直角坐标x,y,z与柱面坐标r,θ,z之间的变换公式为：x=rcsθ,y=rsinθ,z=z．则在柱面坐标系中，点A1,π2,2与点B2,θ,-1两点距离的最小值为 .
变式7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0)，|λa+b|=29，则λ= .
变式8．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1．
(1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度；
(2)求线段AP长度的最小值．
【题型4：空间向量的夹角】
例4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量a=1,2,2，b=-2,1,-1.
(1)求a⋅b；
(2)求2a-b；
(3)求csa,b.
变式1．（23-24高二上·河南鹤壁·阶段练习）已知{i→,j→,k→}是空间的一个单位正交基底，且AB→=-i→+j→-k→，CD→=2i→+j→+k→，则AB与CD夹角的余弦值为（ ）
A．12B．-13C．33D．-23
变式2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，在正方形中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且AE=BF，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．现将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF从AB滑动到CD的过程中，∠AGC的大小（ ）
A．先变小后变大B．先变大后变小C．不发生变化D．由小变大
变式3．（多选）（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1,∠BCA=90∘，棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点，则（ ）
A．BN=3B．BA1⋅MC1=0C．VB-C1MN=32D．csBA1,CB1=3010
变式4．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，O是菱形ABCD的中心，AB=2，∠ABC=2π3，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，以O为原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．E0,-32,12B．F32,12,0
C．EF=12,3,-12D．cs∠EOF=-34
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）若a=-1,λ,-2，b=2,-2,-1，a与b的夹角为π3，则λ的值为 ．
变式6．（2024高二上·全国·专题练习）已知向量a=3,0,1，b=k,2,0，若a与b夹角为π3，则k的值为 ．
变式7．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0, OC=1,1,1，点M在直线OC上运动，则csOA,MB的最大值为 .
【题型5：空间向量的投影】
例5．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，则向量a在向量b上的投影向量c=（ ）
A．313,-316,-316B．-313,316,316
C．313,316,316D．-313,-316,-316
变式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空间向量a=(2,1,-3)，则向量a在坐标平面xOz上的投影向量是（ ）
A．(0,2,1)B．(2,1,0)
C．(0,1,-3)D．(2,0,-3)
变式2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量a=1,1,2,b=-3,2,0，则a+b在a上的投影向量为（ ）
A．32,32,322B．1510,1510,3010
C．34,34,324D．-25,35,25
变式3．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圆周上，且∠CO1E=45∘，则AE在AB上的投影向量为（ ）
A．3+28ABB．4+28AB
C．3+38ABD．4+38AB
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A2,0,0,B1,1,-2,C2,3,1，则（ ）
A．AC=23
B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530
C．AB⋅BC=-5
D．OB在BC上的投影向量的模为31111
变式5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量a=2,-3,0，b=0,3,4，则向量a在向量b方向上的投影向量为 ．
变式6．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量a在向量b上的投影向量是-32b，且b=1,1,-1，则a⋅b= .
变式7.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则AE在AC方向上的投影向量的模的取值范围为 ．
【题型6：空间向量的平行、垂直与锐角、钝角问题】
例6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设x,y∈R，向量 a=x,1,1,b=1,-1,y,c=2,-2,2,且a⊥c,b//c，则x+y的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
变式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量a=k,1,2，b=k,0,-2，则“k=2”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知空间向量a=1,2,-2、b=3,λ,μ-1，若a//b，则λ+μ= ．
变式3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知a=m+1,1,-1，b=1,n,3，其中m>0，n>0，若a⊥b，则1m+4n的最小值为 ．
变式4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）若空间向量a=1,1,x，b=2,x,4，向量a、b夹角为锐角，则x的取值范围是
变式5．（22-23高二下·江苏·课后作业）若a=2,-1,4，b=-1,t,-2，若a与b的夹角是钝角，则t的值的取值范围为 .
变式6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC.
(1)已知a+kb⊥b，求k的值；
(2)若c=6，且c∥BC，求c的坐标.
变式7．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知a→=x,1,1,b→=1,y,1,c→=2,-4,2,x,y∈R，且a⊥b,b∥c.
(1)求a+b；
(2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小.
变式8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知a=x,1,0，b=-1,y,2，c=2,-2,1，b=5，a⊥c，
(1)若a+kb、2a+b共线，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
【题型7：最值与取值范围问题】
例7．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为l=2,m,1，平面α的一个法向量为n=-1,1,n，m>0,n>0，则1m+1n的最小值为（ ）
A．2B．4C．42D．22
变式1.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥D1-ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且D1D=DA=DC=3，E，F分别为D1B的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则PE+PF的最小值为（ ）
A．11B．522C．1+6D．33
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量e1=t,2t,2,e2=2t-2,-t,-1，则下列结论正确的是（ ）
A．若e1⊥e2，则t=-1B．若e1 ∥ e2，则t=45
C．e1的最大值2D．e1的最小值2
变式3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点O0,0,0，A1,2,2，B2,1,1，P1,0,2，点Q在直线OP上运动，当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标是 ．
变式4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E满足A1E=2EB1，点F在平面BC1D内，则|A1F+|EF|的最小值为 .
变式5．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2，SD⊥底面ABCD，点E、F分别为SC、AB的中点，若线段SD上存在点G，使得GE⊥GF，则线段SD的长度最小值为 .
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系O-xyz中，有两点A(0,-2,4),B(2,1,5),P是xOy平面上任意一点，则AP+BP的最小值为 .
变式7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知A(1,-2,1)，向量a=(-3,4,12)，且满足AB=2a
(1)求点B的坐标；
(2)若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当MA⋅MB取最小值时，求点M的坐标．
一、单选题
1．（河南省开封市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题）已知a=2,-1,3，b=4,2,x，且a⊥b，则x=（ ）
A．-6B．-2C．2D．6
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知A-2,1,3,B1,-1,4，则AB=（ ）
A．3,0,1B．-1,-2,1C．-1,0,7D．3,-2,1
3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面xOy的对称点是（ ）
A．-1,-2,3B．-1,2,3C．1,-2,3D．1,2,-3
4．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：a=-3,2,5，b=1,5,-1，则a-2b=（ ）
A．-4,-3,4B．-5,-8,7
C．-5,-8,3D．-1,-3,6
5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量a=0,0,1，b=1,-1,1，向量a+b在向量a上的投影向量为（ ）．
A．0,0,2B．0,0,1
C．0,0,-1D．0,0,-2
6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点A1,1,1，B-1,0,4，C2,-2,3，则AB与CA的夹角为（ ）
A．π3B．π6C．2π3D．5π3
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量AB=(1,m,-3)，AC=(-3,6,9)，若A，B，C三点共线，则m=（ ）
A．-3B．-2C．2D．3
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量a=(1,0,2)，b=(-2,1,-2)，c=(0,1,λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量a=2x,1,1,b=1,-y,2，则（ ）
A．若x=14,y=-2，则a//b
B．若x=1,y=1，则a⊥b
C．若x=12,y=1，则csa,b=23
D．若x=12,y=1，则向量a在向量b上的投影向量c=13,-13,23
10．（23-24高二上·重庆·期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量a，b，c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
B．在空间直角坐标系中，点P(-1,3,5)关于坐标平面yOz的对称点是N(1,3,5)
C．已知a=e1-2e2+e3，b=-e1+3e2+2e3，c=-3e1+7e2，e1,e2,e3为空间向量的一个基底，则向量a，b，c能共面
D．已知A(-1,1,2)，B(2,2,4)，C(3,-2,0)，则向量AC在向量AB上的投影向量是1114(3,1,2)
11．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量a,b(a≠0,b≠0)，若a⊥b，则a⋅b=0
B．若空间四个点P,A,B,C，PC=14PA+34PB，则A,B,C三点共线
C．已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底
D．已知向量a=(1,1,x)，b=(-3,x,9)，若x<310，则〈a,b〉为钝角
三、填空题
12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知A(1,1,0),B(0,4,0),C(2,2,2)，则向量AB在AC上的投影向量的坐标是 .
13．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=0,-2,-1，b=2,0,4，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 ．
14．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）已知空间向量a=1,0,2,b=-2,1,3，则a-b= ，a+b⋅a-2b= ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点A-2,0,2，B-1,1,2，C-3,0,4，设a=AB，b=AC．
(1)若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值；
(2)若c=3，c//BC，求c．
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC．
(1)若c=6，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量ka-b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P1,-1,m在平面ABC上，求m的值．
17．（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知a=x,4,1,b=-2,y,-1,c=3,-2,z,a∥b,b⊥c．
(1)求实数x,y,z的值；
(2)求a+c与b+c夹角的余弦值．
18．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，顶点A位于坐标原点，若E是棱B1C1的中点，F是侧面CDD1C1的中心．
(1)求点E，F的坐标及EF；
(2)求向量EF在DC1→方向上的投影向量．
19．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，且∠CPB=90°，四边形ABCD为直角梯形，满足AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4，PD=26．
(1)若点F为DC的中点，求cs〈AP,BF〉；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当EM⊥BF时，求|AM||AB|的值．
课程标准
学习目标
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的长度及两向量的夹角.
3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平行或垂直.
4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
5掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示:掌握空间向量数量积的坐标表示
2.掌握空间向量的模、夹角
3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系
正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示
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