数学选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算同步测试题，共29页。试卷主要包含了定义，表示方法，相反向量，平行向量等内容，欢迎下载使用。

知识点01 空间向量
1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
2.模(或长度)：向量的大小．
3.表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq \(AB,\s\up7(→))，模为|eq \(AB,\s\up7(→))|．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果a=0，则a=0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若a≠b，则a≠bB．若a>b，则a>b
C．若a=b，则a=bD．若a=b，则a=b
知识点02几类特殊的向量
1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与向量AD1相反的向量是（ ）
A．C1BB．BC1C．B1AD．AB1
【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与AB相等的所有向量．
(3)试写出AA1的相反向量．
知识点03 空间向量的加法、减法与数乘
【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF-12(AB+AC)=（ ）
A．-EFB．BDC．EFD．-BD
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，点M,G分别是BC和CD的中点，则AB+12BD+BC=（ ）
A．ADB．GAC．AGD．MG
知识点04 空间向量的加法和数乘运算律
1.加法交换律：
2.加法结合律：
3.数乘运算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μv；③λ(a＋b)＝λa＋λb；
【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（ ）
A．a+b-(a+b)=2a
B．2(a+b)+c=2a+b+c
C．3(a-b)+3(a+b)=0
D．a+b-(b-3c)=a+3c
【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)32a-b-4c-4a-2b+3c；
(2)OA-OB-AB-AC.
知识点05 向量共线及共线定理
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知x,y,z是不共面的空间向量，若p=3x-2y-4z与q=(m+1)x+8y+nz（m,n是实数）是平行向量，则m+n的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量e1,e2不共线，则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为 .
知识点06 空间向量线性运算的理解
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．

图1 图2
(1)如图1，eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝a－b．
(2)如图2，eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(DD1,\s\up7(→))＝eq \(DB1,\s\up7(→))．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，AG=2GE，则GC1=（ ）
A．13AB-23AC+AA1B．13AB+23AC+AA1
C．-13AB+23AC+AA1D．-13AB+23AC-AA1
【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c，M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：
(1)AP；
(2)A1N；
(3)MP.
知识点07 空间两个向量的夹角
夹角
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分别与向量A'B'，B'A'，AD'，CD'，B'D'的夹角．
知识点08 空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
2.空间向量数量积的运算律
3.空间向量数量积的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔ a·b=0 ;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=aa2
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若θ为a,b的夹角，则csθ=aaa·b|a||b|
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．- 13B．13C．- 12D．12
【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体ABCD的棱长为1，点M是BC的中点，则AM⋅CD的值为 ．
知识点09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA1b
2．向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面α投影，向量C1D1称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m∙n=C1D1∙n
【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为 .
【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB在向量A1C1上的投影向量是 ，向量AB在平面BDD1B1上的投影向量是 ．

知识点1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
3.空间四点共面的条件
已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+y OB+zOC，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6OP=OA+2OB+3OC，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A．OM=3OA-2OB-OCB．OM+OA+OB+OC=0
C．MA+MB+MC=0D．OM=14OB-OA+12OC
难点：空间向量的线性运算
示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，MN=2NO，设OA=a，OB=b，OC=c，用a,b,c表示向量AN，则AN=
难点：向量共面问题
示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M、N、P三点的平面α交棱BC于Q，设BQ=λBC，则λ= .
【题型1：空间向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．任意两个空间向量总是共面的
C．零向量没有方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设a，b是两个空间向量，则a⋅b=b⋅a
B．若空间向量a，b满足a=b，则a=±b
C．若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1
变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量AB,CD满足AB>CD，且AB与CD同向，则AB>CD
C．若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB,CD为相反向量
D．AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合
变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)试写出与AB相等的所有向量．
(2)试写出AA1的相反向量．
变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱B1C1上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：

(1)AB的相等向量，A1B的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示BB1；
(3)用三个或三个以上向量的和表示BE．
【方法技巧与总结】
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
【题型2：空间向量的加减数乘运算】
例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体OABC中，记OA=a，OB=b，OC=c，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则MN=（ ）
A．12a+12b+12cB．-12a+12b+12c
C．12a-12b+12cD．12a+12b-12c
变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列四式中错误的是（ ）
A．AB-CB=AC
B．AC'=AB+B'C'+CC'
C．AA'=CC'
D．AB+BB'+BC+C'C=AC'
变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱AB,PC的中点，则12AB+12BC+12BP+NA=（ ）
A．BMB．MBC．BAD．MN
变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，N为BC的中点，若MN=-34a+12b+12c，则λ=（ ）
A．13B．3C．12D．2
变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON,AP=34AN，设向量OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=（ ）

A．1112B．1C．34D．56
变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，则（ ）
A．PA=PB+PD-PCB．PA=PB+PC-PD
C．AB+AD+AP=AED．AB+AD+AP=2AE
变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在直线OA上，且OM=2MA，N是BC的中点，则下列结论可能成立的是（ ）
A．ON=12(a+b)B．MN=-23a+12b+12c
C．NA=12(NO+NM)D．CM=-23a-c
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
【题型3：空间向量共线问题】
例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1-e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8B．-4C．-2D．8
变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足OP=mOA+nOB，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈ABB．P∉AB
C．点P可能在直线AB上D．以上都不对
变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量AB，CD，满足AB+CD=0，则AB∥CD
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一动点，若BP=λBC+μBB1λ,μ∈0,1，则（ ）

A．若λ=μ，则点P的轨迹为线段BC1
B．若λ+μ=1，则点P的轨迹为线段B1C
C．存在λ,μ∈0,1，使得AP⊥BC
D．存在λ,μ∈0,1，使得AP ∥平面A1B1C1
变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.
（1）用a,b,c表示EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c．求证：B，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
（2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使PA=λPB.
【题型4：向量的数量积】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⋅BC1=（ ）
A．22B．42C．2D．4
变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．-1B．0C．1D．不确定
变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量a,b的夹角为π3,|a|=2,|b|=3，则a⋅(a+3b)= ．
变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF⋅DC= ．
变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则EF⋅BA的值为 .
变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，则AB⋅DC1= ．
变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体ABCD-A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=6,点E在棱CC1的延长线上,且C1E=CC1.设AA1=a,AB=b,AD=c.

(1)试用a,b,c表示向量AE;
(2)求AD⋅BD1.
变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)EF·BA；
(2)EF·BD；
(3)AB·CD.
【方法技巧与总结】
1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由csθ的符号所决定.
2.两个向量的数量积写成a∙b；今后要学到两个向量的外积axb，而ab是两个数的积，书写时要严区分.
3.在数量积中，若 a≠0，且a∙b=0，不能推出（b=0），因为其中csθ有可能为0
4.在实数中，有abc=a(bc)，但是（a∙b）c=a（b∙c
【题型5：利用空间向量求夹角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知a,b是两个空间向量，若|a|=2,|b|=2，|a-b|=7，则cs〈a,b〉＝ .
变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，且∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=45°，则直线CD1与直线AD所成角的余弦值为 .
变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则OE与BF的夹角的余弦值为 ．

变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知a,b是异面直线，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b，AC⊥b,BD⊥b，且AB=2,CD=1，则a与b所成的角为 ．
变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA'的长为2，且∠A'AB=∠A'AD=120°. 求：
(1)AC'的长；
(2)直线BD'与AC所成角的余弦值.
变式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3，求csOA,BC的值.
变式6．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=4，AD=2，AA1=2．

(1)求AC1；
(2)求AC1与BD所夹角θ的余弦值．
变式7．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a，CD1和DC1相交于点O．
(1)求CD1⋅CD；
(2)求AO与CB的夹角的余弦值
(3)判断AO与CD1是否垂直．
【方法技巧与总结】
1.两异面直线所成角的范围是（0，π2]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化；
2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量
②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小
④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小
【题型6：利用空间向量求长度】
例6．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，AP=3，cs∠BAP=cs∠CAP=13，cs∠BAC=14，E为BC的中点，F为AE的中点，O为△BCP的重心，AO与PF相交于点G，则AG的长为（ ）
A．45B．1C．54D．335
变式1．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使AO⊥OC，OC⊥CB.已知AO=4，CB=3，AB=7，则线段OC的长为（ ）

A．6B．8C．23D．3
变式2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120∘,PA=AB=BC=6，则PC= ．

变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知向量a,b,c两两夹角为60°，且a=b=c=1，则a+b-c= ．
变式4．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=π3，则四棱柱对角线AC1的长为 ．
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则a+2b-3c= .
变式6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，A1C1上的点，且2BM=A1M,C1N=2A1N,设AB=a，AC=b，AA1=c．

(1)试用a,b,c 表示向量MN；
(2)若∠BAC=90∘，∠BAA1=∠CAA1=60∘，AB=AC=AA1=2，求线段MN的长．
【方法技巧与总结】
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=aa求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【题型7：投影向量】
例7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量a在向量e方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2B．-2C．-12D．12
变式1．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,B1D=3DC1，则向量AD在向量AB上的投影向量为（ ）
A．23ABB．13AB
C．34ABD．14AB
变式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量e1，e2满足e1=2e1+e2=3，则e1在e2方向上投影的最大值是（ ）
A．3B．0C．-332D．-32
变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，B1D=2DC1，则（ ）．
A．AD=AA1+23AB+13AC
B．AD=AA1+13AB+23AC
C．向量AD在向量AB上的投影向量为23AB
D．向量AD在向量AC上的投影向量为23AC
变式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量a,b,|a|=1,|b|=2,m=a+b,n=λa+b,=60°，若m⊥n，则λ的值为 ．
变式5．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为 .
变式6．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知a=4，向量e为单位向量，=120∘，则空间向量a在向量e方向上投影为 ．
变式7．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量PC在向量BC上的投影向量为 （用向量BC来表示）.

变式8．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．
(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【方法技巧与总结】
类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量AB， 在轴l上投影（空间称为射影）的过程.
已知图形向量AB=a，l为轴，向量e是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则A'B’称为向量AB在轴l上或在e的方向上的正射影；可以证明A’B’=|AB|cs。
注意：轴l上的正射影A'B’对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量
AB与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.
【题型8：共面问题】
例8．（23-24高二上·广东江门·期中）若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．c+b，b，c-bB．a+b，a，a-b
C．a+c，a-c，bD．a+c，b，a+b+c
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面α内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面α内存在一点D满足PD=xPA+2-x PB+3xPC，则x的值为（ ）
A．0B．-19C．-13D．-23
变式2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在四面体OABC中，空间的一个点M满足OM=14OA+15OB+λOC，若M,A,B,C四点共面，则λ等于（ ）
A．1221B．1120C．35D．12
变式3．（22-23高二上·江西·阶段练习）已知点P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若OP=mOA+nOB+2OC，则m+n的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体PABC中，对空间内任意一点Q，满足PQ=xPA+13PB+14PC，则下列条件中可以确定点Q与A，B，C共面的为（ ）
A．x=512B．x=712C．x=12 D．x=18
变式5．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是（ ）
A．OM=2OA-OB-OCB．OM=14OA+14OB+14OC
C．OM+OA+OB+OC=0D．OM=16OA+13OB+12OC
变式6．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知PA，PB，PC不共面，PM=3-x-yPA+xPB+y-2PC，则（ ）
A．∀x，y∈R，A，B，C，M四点共面B．∀x，y∈R，A，B，C，M四点不共面
C．∀x，y∈R，A，B，C，P四点共面D．∃x，y∈R，A，B，C，四点共面
变式7．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）O为空间任意一点，若OP=34OA+18OB+tOC，若A、B、C、P四点共面，则t=（ ）
A．1B．12C．18D．14
【方法技巧与总结】
利用向量法证明向量共面的策略
（1）若已知点P在平面ABC内，则有OP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOBzOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【题型9：最值取值范围问题】
例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，球O是正方体的内切球，点G是内切球O表面上的一个动点，则GB⋅GC的取值范围为（ ）
A．0,4B．2-22,0
C．4,2+22D．2-22,2+22
变式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是△ABD内的动点（含边界），且EH//平面ACD，则CA⋅EH的取值范围是（ ）
A．0,3B．12,3C．12,112D．3,112
变式2．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1中，点P是AA1的中点，点M，N是矩形BB1D1D内（包括边界）的任意两点，则PM⋅PN的取值范围是（ ）
A．[14,54]B．[-14,54]C．[12,54]D．[-12,54]
变式3．（多选）（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体ABCD中，棱长为22．点P满足PA+PB=2，则AP⋅AD的（ ）
A．最小值为4-22．
B．最大值为2+22
C．最小值为2-22
D．最大值为4+22
变式4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球O的半径为1,AB是球O的直径，点D在球O的球面上.若空间中一点C与点D间的距离为3，则CA⋅CB的最小值为 .
变式5．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM⋅PN的最大值是 ，最小值是 .
变式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若ka+b+c>6，则k的取值范围为 ．
变式7．（22-23高二·浙江温州·阶段练习）正四面体A-BCD的棱长为2，空间动点P满足|PB+PC|=2，则PA⋅PD的取值范围是 .
一、单选题
1．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，P为A1B1中点，Q为PC中点，设AB=a,，AC=b，AA1=c，则AQ可用a，b，c表示为（ ）
A．14a+12b+12cB．18a+12b+12cC．18a+14b+14cD．18a+18b+12c
2．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中点，则AB+CF等于（ ）
A．AD'B．AC'C．DED．AE
3．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知a=2i-2j+λk，b=4i-j+5k（i，j，k为两两互相垂直的单位向量），若a⊥b，则λ=（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥O-ABC中，设OA=a,OB=b,OC=c，若AN=NB，2BM=5MC，则MN=（ ）
A．12a+16b-23cB．12a-16b+23cC．12a+314b-57cD．12a+514b-37c
5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知a=3p-2q,b=p+q，p,q是相互垂直的单位向量，则a⋅b＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
6．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则AB+12(BD+BC)＝（ ）
A．AGB．CGC．BCD．12BC
7．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则AC1的长为（ ）
A．23B．25C．26D．6
8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(AB+AD)⋅AD+AA1=（ ）
A．1B．0C．-1D．2
二、多选题
9．（23-24高一下·吉林·期末）已知a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a+2c，a+2b，b-c
B．a+2b，a-b，b-c
C．a-b，a+c，b-c
D．a+b，a+b+c，b+c
10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若a=b，则a=b或a=-b
B．若a+b=a-b，则a⋅b=0
C．若a=b=a+b，则a与a-b的夹角为π3
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC=A1C1
11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2,M为A1D1的中点，动点P在正方形ABCD内（包含边界）运动，且MP=5.下列结论正确的是（ ）
A．动点P的轨迹长度为π；
B．异面直线MP与BB1所成角的正切值为2；
C．MP⋅AB的最大值为2；
D．三棱锥P-MAD的外接球表面积为25π4.
三、填空题
12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量a,b的夹角的余弦值为14,a=2,b=4，则a⋅b-a=
13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 ABCD中，AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,E,F分别为AC,BD的中点，则EF=
14．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120∘，若异面直线A1B和AD1所成的角的大小是90∘，则AA1的长度是 .
四、解答题
15．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=60°，求：
(1)AA'⋅AB；
(2)AB'的长.
16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC.
(1)求BA⋅BC；
(2)求CD的长.
17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN.
(1)用向量OA，OB，OC表示OP；
(2)求|OP|.
18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=1，CC1=2．
(1)求A1C的长．
(2)求异面直线CA1与DC1所成的角的余弦值．
19．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1AB=π4，∠BAD=π3，AB=6，AD=4，AA1=32，AC与BD相交于点O．

(1)求AB⋅AD；
(2)求A1O的长．
20．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形ABCD中，E为BC中点，AD=2AB.以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别达到A1，B1，当异面直线CD，B1E成角为π3时，异面直线CD，A1B1成角余弦值为（ ）
A．12B．33C．22D．32
21．(多选) （23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是（ ）
A．AA1+AD+AB2=3AB2
B．A1C⋅AB1=0
C．AD1与AB1夹角为60°
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为AB⋅AA1⋅AD
22.（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角α－l－β的大小为60°，其棱l上有两个点A,B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝3,AC＝2,BD＝2,则C,D两点间的距离为 ．

23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1=4，且∠A1AD=∠A1AB=60°，M为BD中点，P为BB1中点，设AB=a，AD=b，AA1=c.

(1)用向量a，b，c表示向量PM；
(2)求线段PM的长度．
24．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a，OB=b，OC=c.
(1)试用向量a，b，c表示向量OE；
(2)若OA=OC=3，OB=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE⋅AC的值.
课程标准
学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远算律，
3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法
4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。
1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法:
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律:
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
名称
运算法则
特点
图示
加法运算
三角形法则
首尾相接首尾连（通过平移）
平行四边形法则
起点相同（共起点）（通过平移）
减法运算
平行四边形法则
起点相同连终点，被减向量定指向。
数乘运算
实数λ的作用：正负定方向，数值定模比
定义
a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示

表示
〈a,b〉.
范围
[0,π]
定义
已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cs〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作 a·b .即a·b=|a||b|cs〈a,b〉.
规定
零向量与任意向量的数量积为 0
交换律
a·b= b·a
结合律
(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律
a·(b+c)= a·b+a·c