数学第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算课堂检测

这是一份数学第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算课堂检测，共70页。试卷主要包含了定义，表示方法，相反向量，平行向量等内容，欢迎下载使用。

知识点01 空间向量
1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
2.模(或长度)：向量的大小．
3.表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq \(AB,\s\up7(→))，模为|eq \(AB,\s\up7(→))|．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果a=0，则a=0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果a=0，则a=0，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若a≠b，则a≠bB．若a>b，则a>b
C．若a=b，则a=bD．若a=b，则a=b
【答案】C
【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A;比如a=(0,0,1),b=(1,0,0),a,b不相等，但a=b=1，故A错误；
对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；
对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；
对于D；若a=(0,0,1),b=(1,0,0)，a=b=1，但a,b不相等，故D错误；
故选：C
知识点02几类特殊的向量
1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与向量AD1相反的向量是（ ）
A．C1BB．BC1C．B1AD．AB1
【答案】A
【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.
【详解】

如图所示，可知C1B是AD1的相反向量.
故选：A
【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与AB相等的所有向量．
(3)试写出AA1的相反向量．
【答案】(1)8
(2)A1B1,DC,D1C1
(3)A1A,B1B,C1C,D1D
【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；
（2）根据相等向量的定义写出即可；
（3）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，单位向量有AA1,A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,DD1,D1D共8个；
（2）由题意，与AB相等有A1B1,DC,D1C1；
（3）由题意，AA1的相反向量有A1A,B1B,C1C,D1D.
知识点03 空间向量的加法、减法与数乘
【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF-12(AB+AC)=（ ）
A．-EFB．BDC．EFD．-BD
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得.
【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则AB+AC=2AE，
所以AF-12(AB+AC)=AF-AE=EF.
故选：C
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，点M,G分别是BC和CD的中点，则AB+12BD+BC=（ ）
A．ADB．GAC．AGD．MG
【答案】C
【分析】根据已知可得BD+BC=2BG，代入即可得出答案.
【详解】
因为点G是CD的中点，
所以BD+BC=2BG，
所以AB+12BD+BC=AB+BG=AG.
故选:C.
知识点04 空间向量的加法和数乘运算律
1.加法交换律：
2.加法结合律：
3.数乘运算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μv；③λ(a＋b)＝λa＋λb；
【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（ ）
A．a+b-(a+b)=2a
B．2(a+b)+c=2a+b+c
C．3(a-b)+3(a+b)=0
D．a+b-(b-3c)=a+3c
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项．
【详解】对于A，a→+b→-(a→+b→)=0→，故A不正确；
对于B，2(a+b)+c=2a+2b+c，故B不正确；
对于C，3(a-b)+3(a+b)=6a，故C不正确；
对于D，a+b-(b-3c)=a+3c，故D正确．
故选：D．
【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)32a-b-4c-4a-2b+3c；
(2)OA-OB-AB-AC.
【答案】(1)2a+5b-24c；
(2)CA.
【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；
（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】（1）32a-b-4c-4a-2b+3c=6a-3b-12c-4a+8b-12c=2a+5b-24c.
（2）OA-OB-AB-AC=OA-OB+AB-AC=BA+AB+CA=CA.
知识点05 向量共线及共线定理
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知x,y,z是不共面的空间向量，若p=3x-2y-4z与q=(m+1)x+8y+nz（m,n是实数）是平行向量，则m+n的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
【答案】C
【分析】根据p∥q，结合q=λp，列出方程组，求解即可.
【详解】因为x,y,z是不共面的空间向量且p∥q，
故q=λp，则m+1=3λ8=-2λn=-4λ，
解得m=-13,n=16，所以m+n=3.
故选：C.
【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量e1,e2不共线，则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为 .
【答案】－12/-0.5
【分析】根据空间共线向量可得2ke1-e2=λe1+2λ(k+1)e2]，建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意知，存在实数λ使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]=λe1+2λ(k+1)e2]，
即λ=2k2λ(k+1)=-1，解得λ=-1k=-12.
故答案为：-12
知识点06 空间向量线性运算的理解
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．

图1 图2
(1)如图1，eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝a－b．
(2)如图2，eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(DD1,\s\up7(→))＝eq \(DB1,\s\up7(→))．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，AG=2GE，则GC1=（ ）
A．13AB-23AC+AA1B．13AB+23AC+AA1
C．-13AB+23AC+AA1D．-13AB+23AC-AA1
【答案】C
【分析】依题意可得GE=13AE，再根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为AG=2GE，所以GE=13AE，
所以GC1=GE+EC+CC1=13AE+12BC+AA1
=13×12AB+AC+12AC-AB+AA1
=23AC-13AB+AA1.
故选：C
【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c，M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：
(1)AP；
(2)A1N；
(3)MP.
【答案】(1)a+12b+c
(2)-a+b+12c
(3)12a+12b+c
【分析】
根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可.
【详解】（1）
∵P是C1D1的中点，
∴AP=AA1+A1D1+D1P=AA1+AD+12D1C1=AA1+AD+12AB=a+12b+c；
（2）
∵N是BC的中点，
∴A1N=A1A+AB+BN=A1A+AB+12BC=A1A+AB+12AD=-a+b+12c；
（3）
∵M是AA1的中点，
∴MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+(a+c+12b)=12a+12b+c.
知识点07 空间两个向量的夹角
夹角
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【答案】D
【分析】
根据正三角内角为60°求解.
【详解】
由正四面体每个面都是正三角形可知，
=180°-=180°-60°=120°
故选：D
【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分别与向量A'B'，B'A'，AD'，CD'，B'D'的夹角．
【答案】45°；135°；60°；120°；90°
【分析】
由图形特征求向量夹角.
【详解】
连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以AC,A'B'=AC,AB=45°，
AC,B'A'=180°-AC,AB=135°，
AC,AD=∠D'AC=60°，
AC,CD=120°，
AC,B'D'=AC,BD=90°.
知识点08 空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
2.空间向量数量积的运算律
3.空间向量数量积的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔ a·b=0 ;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=aa2
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若θ为a,b的夹角，则csθ=aaa·b|a||b|
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．- 13B．13C．- 12D．12
【答案】A
【分析】由向量的运算可得BE=12(BC+BD)，CF=13BA-BC+23BD，由向量数量积的定义即可得到答案.
【详解】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，BD,BA夹角均为π3，
∵CE=ED,AF=2FD，
∴BE=12(BC+BD),AF=23AD，
∴CF=BF-BC=BA+AF-BC
=BA+23AD-BC=BA+23(BD-BA)-BC=13BA-BC+23BD，
∴BE⋅CF=12(BC+BD)⋅13BA-BC+23BD
=16BA⋅BC-12BC2-16BC⋅BD+16BA⋅BD+13BD2
=16×2×2×12-12×22-16×2×2×12+16×2×2×12+13×22=-13
故选：A.
【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体ABCD的棱长为1，点M是BC的中点，则AM⋅CD的值为 ．
【答案】-14/-0.25
【分析】根据空间向量线性运算，得AM=12AB+AC，CD=AD-AC，再计算AM⋅CD.
【详解】
正四面体ABCD的棱长为1，
∴AB⋅AC=AB⋅AD=AC⋅AD=1×1×cs60°=12，
又点M是BC的中点，∴AM=12AB+AC，
又∵CD=AD-AC，
∴AM⋅CD=12AB+AC⋅AD-AC
=12AB⋅AD-AB⋅AC+AC⋅AD-AC2=12×12-12+12-1=-14.
故答案为：-14.
知识点09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA1b
2．向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面α投影，向量C1D1称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m∙n=C1D1∙n
【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为 .
【答案】BC
【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定BP在向量AD上的投影向量.
【详解】四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，则BC//AD,BC=AD，即AD=BC，
且BC⊥CD，由PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则PD⊥BC，
由PD∩CD=D，PD,CD⊂面PCD，则BC⊥面PCD，
又PC⊂面PCD，则BC⊥PC，故向量BP在向量BC上的投影向量为BC，
所以向量BP在向量AD上的投影向量为BC.
故答案为：BC
【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB在向量A1C1上的投影向量是 ，向量AB在平面BDD1B1上的投影向量是 ．

【答案】 12A1C1； 12DB.
【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证AC⊥平面BDD1B1，再由投影向量的几何法确定投影向量.
【详解】空（1）法一：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知AB//A1B1，∠C1A1B1=45∘，
向量AB与向量A1C1夹角为45°，AB=1，A1C1=A1B12+B1C12=2，
所以向量AB在向量A1C1上的投影向量是AB⋅csAB,A1C1⋅A1C1A1C1=1×22×A1C12=12A1C1．
法二：设B1D1∩A1C1=O1，如图，由正方体的性质得AB//A1B1，AB=A1B1，B1O1⊥A1C1，
向量AB在向量A1C1上的投影向量是A1O1=12A1C1．
空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知AC⊥BD，线面垂直性质有AC⊥BB1，
由BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面BDD1B1，则AC⊥平面BDD1B1，
所以AB在平面BDD1B1上的投影向量就是OB，易知OB=12DB．

故答案为：12A1C1； 12DB
知识点1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
3.空间四点共面的条件
已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+y OB+zOC，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6OP=OA+2OB+3OC，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得AP,PB,PC三个向量共面，可得答案.
【详解】由6OP=OA+2OB+3OC，得OP-OA=2OB-OP+3OC-OP，
即AP=2PB+3PC，故AP,PB,PC共面.
又因为三个向量有同一公共点P，所以P,A,B,C共面.
故选：B.
【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A．OM=3OA-2OB-OCB．OM+OA+OB+OC=0
C．MA+MB+MC=0D．OM=14OB-OA+12OC
【答案】ABD
【分析】
根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.
【详解】
A：OM+2OB+OC=3OA，如下图OB'=2OB，OA'=3OA，

由|OB|,|OC|,|OM|的关系不定，则A不一定在面BCM上，满足；
B：OM+OA=-OB-OC，如下图OB=DB',OC=DC'，此时满足上式，

此时，M与A，B，C不共面，满足；
C：因为MA+MB+MC=0，所以MA=-MB-MC，所以M，A，B，C共面，不满足.
D：4(OM+OA)=OB+2OC，如下图4OA=OA',4OM=OM',2OC=DC'，

此时，M与A，B，C不共面，满足；
故选：ABD
难点：空间向量的线性运算
示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，MN=2NO，设OA=a，OB=b，OC=c，用a,b,c表示向量AN，则AN=
【答案】-a+16b+16c
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】AN=ON-OA=13OM-OA=16OB+OC-OA=-a+16b+16c，
故答案为：-a+16b+16c.
难点：向量共面问题
示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M、N、P三点的平面α交棱BC于Q，设BQ=λBC，则λ= .
【答案】34/0.75
【分析】设AB=a，AD=b，AA1=c，用基底a,b,c表示向量PM、NM、MQ，设MQ=mPM+nNM，可出关于m、n、λ的方程组，即可得解.
【详解】设AB=a，AD=b，AA1=c，则PM=PB1+B1M=34a-12c，
NM=ND+DB+BM=-12c+a-b+12c=a-b，
MQ=MB+BQ=λb-12c，
由题意可知，PM、NM、MQ共面，设MQ=mPM+nNM，
即λb-12c=m34a-12c+na-b=34m+na-nb-12mc，
所以，34m+n=0λ=-n-12m=-12，解得m=1n=-34λ=34.
故答案为：34.
【题型1：空间向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．任意两个空间向量总是共面的
C．零向量没有方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】B
【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误，
对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确，
对于C，零向量的方向是任意的，故C错误，
对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误，
故选：B
变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设a，b是两个空间向量，则a⋅b=b⋅a
B．若空间向量a，b满足a=b，则a=±b
C．若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：a⋅b=b⋅a=abcsa,b，故A为真命题；
对于选项B：根据向量的定义可知，a=b，但向量的方向无法确定，
所以a=±b不一定成立，故B为假命题；
对于选项C：根据向量相等的定义可知：若m=n，n=p，则m=p，故C真命题；
对于选项D：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC=A1C1，且AC,A1C1方向相同，
所以AC=A1C1，故D为真命题.
故选：ACD.
变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量AB,CD满足AB>CD，且AB与CD同向，则AB>CD
C．若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB,CD为相反向量
D．AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合
【答案】ABD
【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C.
【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不必相同，
对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误；
向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误；
由相反向量的定义可知C正确.
故选：ABD.
变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)试写出与AB相等的所有向量．
(2)试写出AA1的相反向量．
【答案】(1)A1B1,DC,D1C1
(2)A1A,B1B,C1C,D1D
【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可；
（2）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，与AB相等有A1B1,DC,D1C1；
（2）由题意，AA1的相反向量有A1A,B1B,C1C,D1D.
变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱B1C1上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：

(1)AB的相等向量，A1B的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示BB1；
(3)用三个或三个以上向量的和表示BE．
【答案】(1)A1B1、DC、D1C1；BA1，CD1
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案.
（2）根据向量的加减运算即可得答案.
（3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案.
【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，AB的相等向量有A1B1、DC、D1C1，
A1B的相反向量有：BA1、CD1．
（2）用“首尾规则”求解，如果只在含BB1的三角形中考虑，有BB1=BA1+A1B1，
BB1=BE+EB1，BB1=A1B1-A1B，BB1=EB1-EB．（答案不唯一）
（3）用“首尾规则”求解，则BE=BA1+A1B1+B1E，BE=BB1+B1A1+A1D1+D1C1+C1E．
（答案不唯一）
【方法技巧与总结】
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
【题型2：空间向量的加减数乘运算】
例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体OABC中，记OA=a，OB=b，OC=c，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则MN=（ ）
A．12a+12b+12cB．-12a+12b+12c
C．12a-12b+12cD．12a+12b-12c
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：MN=ON-OM=12(OB+OC)-12OA=-12a+12b+12c，
故选：B.
变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列四式中错误的是（ ）
A．AB-CB=AC
B．AC'=AB+B'C'+CC'
C．AA'=CC'
D．AB+BB'+BC+C'C=AC'
【答案】D
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：AB-CB=AB+BC=AC，故A正确；
对于B：因为B'C'=BC，所以AB+BC+CC'=AB+B'C'+CC'=AC'，故B正确；
对于C：AA'=CC'，故C正确；
对于D：因为BB'=CC'，所以AB+BB'+BC+C'C=AB+BC+BB'-CC'=AC，
故D错误.
故选：D
变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱AB,PC的中点，则12AB+12BC+12BP+NA=（ ）
A．BMB．MBC．BAD．MN
【答案】A
【分析】化简式子，即可得出结论.
【详解】由题意，
在三棱锥P-ABC中，M,N分别是棱AB,PC的中点，
BM=12BA,NP=12CP,
∴12AB+12BC+12BP+NA=12AC+12BA+AP+12CP+PA
=12AC+12BA+12AP+12CP+PA=12AC+12BA+12PA+12CP
=12AC+12BA+12PA+CP=12AC+12BA+12CA=12BA=BM
故选：A.
变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，N为BC的中点，若MN=-34a+12b+12c，则λ=（ ）
A．13B．3C．12D．2
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算即可得解.
【详解】如图，
因为OM=λMA，N为BC的中点，所以OM=λλ+1OA，
又因为ON=12OB+12OC，
所以MN=ON-OM=12OB+12OC-λλ+1OA=-λλ+1a+12b+12c，
又MN=-34a+12b+12c，所以-λλ+1=-34，解得：λ=3．
故选：B.
变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON,AP=34AN，设向量OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=（ ）

A．1112B．1C．34D．56
【答案】C
【分析】写出OP的表达式即可求出x+y+z的值.
【详解】由题意，
在四面体OABC中，
MN=12ON,AP=34AN,M是四面体 OABC的棱BC的中点,
∴ON=23OM=23×12(OB+OC)=13OB+13OC,
∴OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON-OA)=OA+34ON-34OA
=14OA+3413OB+13OC=14OA+14OB+14OC
∵OP=xOA+yOB+zOC，
∴x=y=z=14，
∴x+y+z=34，
故选：C.
变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，则（ ）
A．PA=PB+PD-PCB．PA=PB+PC-PD
C．AB+AD+AP=AED．AB+AD+AP=2AE
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，四边形ABCD是平行四边形，
PA=PB+BA=PB+CD=PB+PD-PC，A正确，B错误；
AB+AD+AP=AC+AP =2AE，D正确，C错误.
故选：AD
变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在直线OA上，且OM=2MA，N是BC的中点，则下列结论可能成立的是（ ）
A．ON=12(a+b)B．MN=-23a+12b+12c
C．NA=12(NO+NM)D．CM=-23a-c
【答案】BC
【分析】根据题意，结合点M的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为N是BC的中点，可得ON=12(OB+OC)=12(b+c)，所以A不正确；
对于B，当点M在线段OA上时，因为OM=2MA，此时OM=23OA，
则MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23a+12b+12c，所以B正确；
对于C，当点M在线段OA的延长线上时，因为OM=2MA，此时A为OM的中点，
可得NA=12(NO+NM)，所以C正确；
对于D，当点M在线段OA上时，可得CM=OM-OC=23a-c；
当点M在线段OA的延长线上时，CM=OM-OC=2a-c，
当点M在线段AO的延长线上时，OM=2MA不可能成立，所以D不正确.
综上可得，可能正确的结论为BC.
故选：BC.
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
【题型3：空间向量共线问题】
例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1-e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8B．-4C．-2D．8
【答案】A
【分析】利用空间向量共线定理求解即可.
【详解】因为A、B、D三点共线，所以∃λ∈R,使得AB=λAD,
又AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1-e2，
所以AD=AB+BC-DC=2e1+ke2+e1+3e2-2e1-e2=e1+k+4e2,
则2e1+ke2=λe1+k+4e2,
则λ=2, λk+4=k,解得：k=8.
故选：A.
变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据向量共线设AB=xBC，从而得到方程组，求出λ=1μ=1，得到答案.
【详解】因为A,B,C三点共线，所以AB=xBC，
即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3，故x=1xλ=1xμ=1，解得λ=1μ=1，
所以λ+μ=1+1=2.
故选：C
变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足OP=mOA+nOB，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈ABB．P∉AB
C．点P可能在直线AB上D．以上都不对
【答案】A
【分析】由已知化简可得AP=nAB，即可判断.
【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以OP=(1-n)OA+nOB，即OP-OA=n(OB-OA)，
即AP=nAB，所以AP与AB共线．
又AP，AB有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
故选：A.
变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量AB，CD，满足AB+CD=0，则AB∥CD
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
【答案】ABD
【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】对于A，若b=0，则a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为AB+CD=0，所以AB=-CD，所以AB与CD共线，所以AB∥CD，所以C正确，
对于D，若b=0，a≠0，则不存在λ，使a=λb，所以D错误，
故选：ABD
变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一动点，若BP=λBC+μBB1λ,μ∈0,1，则（ ）

A．若λ=μ，则点P的轨迹为线段BC1
B．若λ+μ=1，则点P的轨迹为线段B1C
C．存在λ,μ∈0,1，使得AP⊥BC
D．存在λ,μ∈0,1，使得AP ∥平面A1B1C1
【答案】ABC
【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可.
【详解】对于A：由BP=λBC+μBB1,λ,μ∈0,1，得点P在侧面BCC1B1内（含边界），
若λ=μ，则BP=λBC+BB1=λBC1λ∈0,1，故点P的轨迹为线段BC1，故A正确；
对于B：若λ+μ=1，则BP=λBC+1-λBB1，所以BP-BB1=λBC-BB1，即B1P=λB1C，
又λ∈0,1，故点P的轨迹为线段B1C，故B正确；
对于C：分别取棱BC,B1C1的中点D,E，连接DE，由题意易证BC⊥平面ADEA1，
当点P在线段DE上时，AP⊥BC，故存在λ,μ∈0,1，使得AP⊥BC，故C正确；
对于D：若使AP ∥平面A1B1C1，则点P必在棱BC上，此时μ=0，故不存在λ,μ∈0,1，
使得AP ∥平面A1B1C1，故D错误.
故选：ABC.

变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.
（1）用a,b,c表示EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【答案】（1）EB=a-23b-c；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB，由此可得答案；
（2）由已知得FB =35EB，由此可得证.
【详解】解：（1）因为A1E=2ED1， AB=a,AD=b,AA1=c，
所以EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=-23b-c+a，
所以EB=a-23b-c；
（2）A1F=23FC.
FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB
=25(CB+BA+AA1)+A1A+AB
=25(-b-a+c)-c+a
=35a-25b-35c=35(a-23b-c)=35EB，
又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.
变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c．求证：B，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.
【详解】因为AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c，
所以BC=AC-AB=2a+3b+c-4a+5b+3c=-2a-2b-2c，
BD=AD-AB=6a+7b+5c-4a+5b+3c=2a+2b+2c，
所以BC=-BD，
所以BC//BD，又B为公共点，
所以B，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
（2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使PA=λPB.
【题型4：向量的数量积】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⋅BC1=（ ）
A．22B．42C．2D．4
【答案】D
【分析】根据向量数量积定义计算即可.
【详解】
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
易知AA1=2，BC1=22
因为AA1=BB1，BB1与BC1的夹角为π4，
所以AA1与BC1的夹角为π4，
AA1⋅BC1=AA1⋅BC1csπ4=2×22×22=4.
故选：D
变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．-1B．0C．1D．不确定
【答案】B
【分析】令AB=a,AC=b,AD=c，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令AB=a,AC=b,AD=c，
则AB·CD+AC·DB+AD·BC，
=a·c-b+b·a-c+c·b-a，
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
故选：B
变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量a,b的夹角为π3,|a|=2,|b|=3，则a⋅(a+3b)= ．
【答案】13
【分析】利用向量数量积运算律即可求得a⋅(a+3b)的值.
【详解】空间向量a,b的夹角为π3,|a|=2,|b|=3，
则a⋅(a+3b)=a2+3a⋅b=a2+3a⋅bcsπ3=22+3×2×3×12=13.
故答案为：13
变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF⋅DC= ．
【答案】-14/-0.25
【分析】得到EF=12BD，利用向量数量积公式求出答案.
【详解】如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AB、AD的中点，
所以EF=12BD，
故EF⋅DC=12BD⋅DC=12BD⋅DCcs120°=-12×12=-14
故答案为：-14
变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则EF⋅BA的值为 .
【答案】14/0.25
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】EF⋅BA=12BD⋅BA=12×1×1×csπ3=14.
故答案为：14
变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，则AB⋅DC1= ．
【答案】2
【分析】根据AB⋅DC1=DC⋅DC1即可得出答案.
【详解】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB=2，∠CDC1=45°，
所以AB⋅DC1=DC⋅DC1=DC⋅DC1cs∠CDD1=2．
故答案为：2.
变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体ABCD-A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=6,点E在棱CC1的延长线上,且C1E=CC1.设AA1=a,AB=b,AD=c.

(1)试用a,b,c表示向量AE;
(2)求AD⋅BD1.
【答案】(1)AE=2a+b+c
(2)4
【分析】（1）根据题意得CE=2CC1=2AA1,再由空间向量的线性运算即可求解;
（2）先由空间向量的线性运算求得BD1,再根据空间向量的数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为点E在棱CC1的延长线上,且C1E=CC1,
所以CE=2CC1=2AA1,
则AE=AB+BC+CE=AB+BC+2AA1=2a+b+c.
（2）由题意得AA1⋅AD=0,AB⋅AD=0,AD=AA1=2,AB=6,
则BD1=BA+AA1+A1D1=AA1+AD-AB,
所以AD⋅BD1=AD⋅AA1+AD-AB=AD⋅AA1+AD2-AD⋅AB=4.
变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)EF·BA；
(2)EF·BD；
(3)AB·CD.
【答案】(1)1
(2)2
(3)0
【分析】分别将EF，BD，CD转化为AB，AC，AD后根据数量积定义计算即可.
【详解】（1）在正四面体ABCD中，|BD|=|BA|=2,cs〈BD,BA〉=60∘
EF⋅BA=12BD⋅BA=12|BD|⋅|BA|cs〈BD,BA〉=12×2×2cs60°=1
（2）EF⋅BD=12BD⋅BD=12|BD|2=2
（3）AB⋅CD=AB⋅(AD-AC)=AB⋅AD-AB⋅AC= |AB|⋅|AD|⋅cs〈AB,AD〉-|AB||AC|⋅cs〈AB,AC〉
在正四面体ABCD中，|AB|=|AD|=|AC|，cs〈AB,AD〉=cs〈AB,AC〉
故AB⋅CD=0
【方法技巧与总结】
1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由csθ的符号所决定.
2.两个向量的数量积写成a∙b；今后要学到两个向量的外积axb，而ab是两个数的积，书写时要严区分.
3.在数量积中，若 a≠0，且a∙b=0，不能推出（b=0），因为其中csθ有可能为0
4.在实数中，有abc=a(bc)，但是（a∙b）c=a（b∙c
【题型5：利用空间向量求夹角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知a,b是两个空间向量，若|a|=2,|b|=2，|a-b|=7，则cs〈a,b〉＝ .
【答案】18/0.125
【分析】将|a-b|=7两边平方，求出a⋅b的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意得|a|=2,|b|=2，|a-b|=7，
则|a-b|2=7，即a2-2a⋅b+b2=7，则a⋅b=12
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=122×2=18，
故答案为：18
变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，且∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=45°，则直线CD1与直线AD所成角的余弦值为 .
【答案】0
【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案.
【详解】因为A1D1//AD//BC,A1D1=AD=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以CD1//BA1，所以直线CD1与直线AD所成角和直线BA1与直线AD所成的角相等，
又因为BA1=AA1-AB，所以BA1⋅AD=AA1-AB⋅AD=AA1⋅AD-AB⋅AD
=AA1ADcs45∘-ABADcs45∘=0，
所以直线CD1与直线AD垂直，即直线CD1与直线AD所成角的余弦值为0.
故答案为：0.

变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则OE与BF的夹角的余弦值为 ．

【答案】-23
【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解.
【详解】解：设正四面体OABC棱长为1，
设OA=a，OB=b，OC=c，则a=b=c=1，
∵∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，
∴a⋅b=abcs∠AOB=12，b⋅c=bccs∠BOC=12，c⋅a=cacs∠AOC=12.
∵E，F分别为AB，OC的中点，△OAB，△OBC是等边三角形，
∴OE=12a+b，BF=OF-OB=12c-b，OE=BF=32，
∴csOE,BF=OE⋅BFOEBF=12a+b⋅12c-b322
=14a⋅c+14b⋅c-12a⋅b-12b234=-23．
∴OE与BF的夹角的余弦值为-23．
故答案为：-23.
变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知a,b是异面直线，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b，AC⊥b,BD⊥b，且AB=2,CD=1，则a与b所成的角为 ．
【答案】π3
【分析】利用AB=AC+CD+DB，求出AB⋅CD，再应用两向量的夹角公式即可求解.
【详解】设AB,CD=θ，由已知AC⊥b,BD⊥b，
得AC⋅CD=0,BD⋅CD=0，又CD=1，
则AB⋅CD=AC+CD+DB⋅CD
=AC⋅CD+CD⋅CD+DB⋅CD=CD2=1，
又AB=2，∴csθ=AB⋅CDABCD=12×1=12.
又θ∈[0,π]，∴θ=π3.所以异成直线a,b的夹角为π3.
故答案为：π3.
变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA'的长为2，且∠A'AB=∠A'AD=120°. 求：
(1)AC'的长；
(2)直线BD'与AC所成角的余弦值.
【答案】(1)2
(2)33
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）AB2=1,AD2=1,AA'2=4,AB⋅AD=0,
AB⋅AA'=AB⋅AA'cs∠A'AB=-1，AD⋅AA'=AD⋅AA'cs∠A'AD=-1，
因为AC'=AB+AD+AA',
所以
|AC'|=AB+AD+AA'2=AB2+AD2+AA'2+2AB⋅AD+AB⋅AA'+AD⋅AA'
=1+1+4+20-1-1=2.
（2）BD'=BA+BC+BB',
BD'=BA+BC+BB' =BA2+BC2+BB'2+2BA⋅BC+BA⋅BB'+BC⋅BB'
=1+1+4+20+BA⋅BB'cs60∘+BC⋅BB'cs120∘=6,
AC=2,
BD'⋅AC=BA+BC+BB'⋅AB+AD
=-AB2+AB⋅BC+AB⋅BB'+BA⋅AD+BC⋅AD+BB'⋅AD=-1+0-1+0+1-1=-2,
所以cs