河南省实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

这是一份河南省实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(解析版)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. B. 0.5C. D.
2. 下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A. 6，8，10B. 0.3，0.4，0.5C. ，，D. 5，11，12
3. 已知是关于、的二元一次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数图象上有两点，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
6. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 0
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 平面直角坐标系内轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
9. 如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米

A. 16B. C. 15D. 14
10. 如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较两数的大小：2___3．（填“＜”或“＞”）
12. 象棋在中国有着三千多年的历史，如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是，“卒”的坐标为，那么“马”的坐标是________．

13. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为________．
14. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
15. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
18. 在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，已知点的坐标为，长为2．

（1）求，的长．
（2）请判断的形状，并说明理由．
19. △ABC在平面直角坐标系中位置如图所示，三点在格点上．

（1）作出关于y轴对称的；
（2）的面积为 ；
（3）在y轴上作点P，使得值最小，并求出点P的坐标．
20. 勾股定理是人类早期发现并证明重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
21. 郑州市政府为民生办实事，将污染多年“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
23. 如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图位置摆放，直角顶点C重合．

（1）直接写出与的关系；
（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；
（3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长．
2023-2024学年河南省实验中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. B. 0.5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、0.5是有理数，不符合题意；
C、是分数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：含π的数，开方开不尽的数和无限不循环小数．
2. 下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A. 6，8，10B. 0.3，0.4，0.5C. ，，D. 5，11，12
【答案】A
【解析】
【分析】要判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此求解即可．
【详解】解：∵，∴6，8，10是勾股数，故A符合题意；
与，，均不是整数，不是勾股数，故B,C不符合题意；
∵，∴不是勾股数，故D不符合题意
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．
3. 已知是关于、的二元一次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于、的二元一次方程，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，一般地，形如且a、b是常数的方程叫做二元一次方程．
4. 下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的运算．根据二次根式的加减和除法法则、二次根式的性质与化简对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不能计算，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意．
故选：C．
5. 函数图象上有两点，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据得出函数值随的增大而减小，再根据，即可比较与的大小关系．
【详解】解：，
随的增大而减小，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
6. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形对称变化，利用轴对称的性质，求出m，n可得答案．
【详解】解：∵，关于y轴对称，
∴，
∴，
故选：B．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解：∵，
∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D
【点睛】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．
8. 平面直角坐标系内轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行于横轴上的点纵坐标相等分析计算即可．
【详解】∵轴，
∴A点与B点纵坐标相同，横坐标之差等于其距离，
B点横坐标，或，
故B点坐标为：或．
故选：D
【点睛】本题考查平行于坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
9. 如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米

A. 16B. C. 15D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，

∵米，米，
∴米，
∴（米），
∴（米）
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
10. 如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明（设），根据勾股定理列出，求得，即可解决问题．
【详解】解：设，
∵矩形沿对角线翻折，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是掌握翻折变换的性质，矩形的性质及勾股定理．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较两数的大小：2___3．（填“＜”或“＞”）
【答案】>
【解析】
【分析】将两个数平方，再根据两个正实数平方大的这个正实数也大比较即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的大小比较．掌握比较实数大小的方法是解题关键．
12. 象棋在中国有着三千多年的历史，如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是，“卒”的坐标为，那么“马”的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系位置确定，根据给定的坐标建立平面直角坐标系可得“马”的坐标．
【详解】解：由“帅”的坐标是，“卒”的坐标为，
那么“马”的坐标是，
故答案为：．

13. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可．
【详解】解：，
得，，
即，
又∵，
∴，
解得．
故答案为：2022．
14. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为-1．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
15. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．

【答案】2或18
【解析】
【分析】分两种情况：①当E点在线段上时，②当E点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可,熟练掌握三角形全等的判定和性质，活用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段上时，如图所示：
∵矩形中，，，与关于直线对称，
∴，，，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵
∴
∵
∴；
②当E点在线段的延长线上，且经过点B时，如图所示：

∵,
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴；
综上所知，的长为2或18，
故答案为：2或18．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题结合完全平方公式和平方差公式，考查了二次根式的混合运算，
（1）先进行乘方运算和去绝对值，然后把化简后合并即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式
17. 下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）加减消元法，第四步
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
【小问1详解】
根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
【小问2详解】
方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，已知点的坐标为，长为2．

（1）求，的长．
（2）请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，利用勾股定理即可求解；
（2）由勾股定理可求得，利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
解：点的坐标为，轴，
，，
，；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
，，轴，
，
由（1）得，
，
，，
，
即，
是直角三角形．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，解题的关键是对勾股定理及其逆定理的掌握与运用．
19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上．

（1）作出关于y轴对称的；
（2）的面积为 ；
（3）在y轴上作点P，使得值最小，并求出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）作图见解析，点P坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查作图---轴对称变换，利用轴对称变换的定义和性质和待定系数法求一次函数解析式：
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求，利用待定系数法求出所在直线解析式，然后求出时y的值即可得出点P的坐标，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明理由．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
△ABC的面积为，
故答案为：；
【小问3详解】
如图所示，点P即为所求，
点B关于y轴的对称点坐标为，
设所在直线解析式为，
则，
解得，
∴所在直线解析式为，
当时，，
∴点P坐标为，
根据轴对称的性质知，
由两点之间线段最短知最小，则最小．
20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②绳索的长为
【解析】
【分析】（1）用含、的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；
（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【小问1详解】
解：由左图可知：，即，
由右图可知：，即．
．
．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
【小问2详解】
解：①在中，
,
,
点表示的数是，
故答案为：；
②，，
．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
21. 郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【答案】（1）21，3000；（2）每棵树苗的原价30元；（3）y2=27x，k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k1和b1的值；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y2=k2x，并说明k2的实际意义；
（4）将x=600代入y1和y2，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】解：（1）由图象可得，
函数y1=k1x+b1，过点（0，3000），（200，7200），
则，
解得：，
故答案为：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
∴每棵树苗的原价是21÷0.7=30（元），
即每棵树苗的原价30元；
（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，
∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9=27（元），
∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，当x=0时，y2=0，
∴y2=27x，
k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（3）可知，y1=21x+3000，y2=27x，
当x=600时，
y1=21×600+3000=15600，y2=27×600=16200，
∵15600＜16200，
∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为
（2）存在，P点的坐标或
（3）点Q的坐标为
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由得：，即可求解．
【小问1详解】
解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴可有，
解得，
∴A点的坐标；
∵一次函数的图象过点和点
则有，
解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
设点，对于一次函数，令，
则有，
解得，
∴点，
根据题意可知：，
解得，
当时，，
当时，，
∴P点坐标或；
【小问3详解】
解：设点，
则，
即，
解得：，
即点Q的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
23. 如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．

（1）直接写出与的关系；
（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；
（3）将按如图3位置摆放，使，，，求的长．
【答案】（1）且
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】对于（1），先证明≌即可得出数量关系，再根据角之间的关系得出位置关系；
对于（2），设交于O，先证明，可得结论；
对于（3），连接，首先证明，利用勾股定理求出线段，再证明≌推出，即可解决问题．
【小问1详解】
结论：且．
理由：如图1中，延长交一点O．

∵和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图2中，设交于O．

由（1）可知≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
【小问3详解】
如图3中，连接，

∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．