人教B版（2019）高中数学必修第四册 第7～8章 专题01 三角函数、向量的数量积与三角恒等变换 考点串讲课件

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人教B版（2019）高中数学必修第四册010203目 录押题预测题型剖析考点透视10大常考点：知识梳理、思维导图19个题型典例剖析+技巧点拨精选10道期末真题对应考点练考点1 角的概念的推广（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 　端点　⁠旋转所成的图形； （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.端点　     考点2 弧度制的定义和公式（1）定义：长度等于 　半径长　⁠的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；（2）公式提醒　有关角度与弧度的两个注意点①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.半径长　 ｜α｜r　  考点3任意角的三角函数   （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.y　x　考点4 同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；  考点5 诱导公式－sinα cos α　－cosα －tanα 考点5 诱导公式 考点6 同角三角函数关系式的常见变形 ⁠（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）；（3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； 2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）.考点7正弦、余弦、正切函数的图象与性质 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）[－1，1]　[－1，1]　2π　π　奇函数　偶函数　考点7 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 续表[2kπ－π，2kπ]　[2kπ，2kπ＋π]　（kπ，0）　x＝kπ　考点7正弦、余弦、正切函数的图象与性质 提醒　（1）正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调；（2）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.⁠1.对称性与周期 （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.与三角函数的奇偶性相关的结论  常用结论考点8 平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 　｜a｜｜b｜cos θ　⁠叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝ 　｜a｜｜b｜cos θ　⁠. 规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影向量： ｜a｜｜cos θ　｜a｜｜b｜cos θ　（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒　（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/ b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））.已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2　 x1x2＋y1y2　x1y2－x2y1　提醒　（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.考点9 两角和与差的余弦、正弦、正切公式（1）cos（α－β）＝ 　cos αcos β＋sin αsin β　⁠（C（α－β））； （2）cos（α＋β）＝ 　cos αcos β－sin αsin β　⁠（C（α＋β））； （3）sin（α－β）＝ 　sin αcos β－cos αsin β　⁠（S（α－β））； （4）sin（α＋β）＝ 　sin αcos β＋cos αsin β　⁠（S（α＋β））；   cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β　sin αcos β－cos αsin β　sin αcos β＋cos αsin β　   2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　 考点10.二倍角公式考点10.二倍角公式   题型1 象限角与终边相同的角   题型1 象限角与终边相同的角｜练后悟通｜1.象限角的2种判断方法（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.题型2 三角函数值符号的判定  答案　C题型2 三角函数值符号的判定｜解题技法｜三角函数值符号的判断方法　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.题型3 同角三角函数基本关系式的应用    ｜解题技法｜利用同角基本关系式“知一求二”的方法题型3同角三角函数基本关系式的应用 题型4 sin α，cos α的齐次式问题   答案　A题型4 sin α，cos α的齐次式问题 ｜解题技法｜利用“齐次化切”求齐次式值的方法（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.题型5 “sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用   答案　D题型5 “sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用  题型6 诱导公式的应用⁠  题型6 诱导公式的应用 题型7 三角函数的值域（最值）  答案　（1）B　题型7 三角函数的值域（最值）｜解题技法｜求三角函数的值域（最值）的三种类型及解题思路（1）形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.题型8 求三角函数的单调区间【例8】　已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则 （　　） ｜解题技法｜求三角函数单调区间的步骤（1）将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数；（2）把ωx＋φ看作一个整体，再根据y＝sin x和y＝cos x的单调区间及A的正负，列不等式求解.题型8 求三角函数的单调区间题型9 根据三角函数的单调性求参数   题型9 根据三角函数的单调性求参数 题型10 三角函数的周期性  答案　（1）D　题型10 三角函数的周期性｜解题技法｜题型11 三角函数的奇偶性与对称性⁠【例11】函数f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是 （　　） 题型11 三角函数的奇偶性与对称性 题型12 平面向量的模【例12】　 已知向量a，b满足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a与b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝ 　　　　　⁠，｜a－3b｜＝ 　　　　⁠；   题型12 平面向量的模｜解题技法｜求平面向量的模的两种方法题型13 平面向量的夹角【例13】已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb， 若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝ （　　） 答案　（1）C题型13 平面向量的夹角｜解题技法｜求平面向量的夹角的方法题型14 平面向量的垂直   题型14 平面向量的垂直｜解题技法｜有关平面向量垂直的两类题型题型15 角的变换   题型15 角的变换｜解题技法｜三角公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.题型16 名的变换   答案　A题型17 三角函数式的化简⁠  题型17 三角函数式的化简｜解题技法｜三角函数式的化简要遵循“3看”原则题型18 给角求值  答案　C题型18 给角求值｜解题技法｜给角求值问题的基本思路　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：（1）特殊角的三角函数值；（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.题型19 三角恒等变换的综合应用 （1）求f（x）的单调递增区间；    题型19 三角恒等变换的综合应用    3.若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是 （　　）解析：D　由－1≤cos x≤1，且sin（cos x）＞0知0＜cos x≤1，又sin x＜0，∴角x是第四象限角，故选D.  5.若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是 （　　） ⁠6.函数f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是 （　　） 7.已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6， 则cos＜a，a＋b＞＝ （　　） 答案　（2）D⁠  ⁠9.（多选）下列函数中，以4π为周期的函数有 （　　）     答案：1　1        答案：1              课程结束