2024-2025学年上海市闵行区莘松中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市闵行区莘松中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知，且线段是、的比例中项，那么为
A．B．C．D．
2．（4分）下列四组数中，不能组成比例的是
A．0.2，0.3，0.4，0.6B．2，4，6，8
C．，，5，2D．，，，
3．（4分）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为
A．B．C．D．
4．（4分）如图，已知，，那么下列比例式中错误的是
A．B．C．D．
5．（4分）如图，点是斜边上异于，的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．（4分）如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为
A．B．C．2D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，那么 ．
8．（4分）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米．
9．（4分）上海南站到杭州东站的距离约为190千米，在比例尺为的地图上，这两地的图上距离为 厘米．
10．（4分）如果抛物线的顶点坐标为，那么它的开口方向 ．
11．（4分）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ．
12．（4分）在△中，若厘米，厘米，则这个三角形的重心到的距离是 厘米．
13．（4分）如图，，，，，则 ．
14．（4分）如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，求折痕的长．
15．（4分）已知：在△中，，为斜边上的高，如果，，那么 ．
16．（4分）如图，在△中，，，，延长至点，使△相似于△，则 ．
17．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△的顶点都在格点上，点、、、、、、是△边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△相似，符合题意的三角形共有 个．
18．（4分）如图，已知△中，，，，平分，将△绕着点旋转后，点、的对应点分别记为、，如果点落在射线上，那么的长度为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：如图，点、在△的边上，点在边上，且．
（1）若，，，求的长；
（2）若，求证：．
20．（10分）已知：如图，在△中，，平分，且．求证：．
21．（10分）已知：如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求点到的距离．
22．（10分）如图，在△中，，，点是的中点，联结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点
（1）求的值；
（2）求的值．
23．（12分）如图，已知菱形，点是的中点，于点，联结、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．（12分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标；
（3）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标．
25．（14分）如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点．
（1）如图1，联结，求证：△△，并写出的值；
（2）联结，如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当为边的三等分点时，求的长度．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知，且线段是、的比例中项，那么为
A．B．C．D．
解：，
，
是、的比例中项，
，
，
，
，即，
故选：．
2．（4分）下列四组数中，不能组成比例的是
A．0.2，0.3，0.4，0.6B．2，4，6，8
C．，，5，2D．，，，
解：．由于，即，因此选项不符合题意；
．在2，4，6，8中，不存在两个数的积等于另两个数的积，因此选项符合题意；
．由于，即，因此选项不符合题意；
．由于，因此选项不符合题意；
故选：．
3．（4分）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为
A．B．C．D．
解：根据题意设经过平移后的抛物线为，
其对称轴为直线，
，
，
平移后的抛物线为，
故选：．
4．（4分）如图，已知，，那么下列比例式中错误的是
A．B．C．D．
解：，，
△△，△△，
△△，
，，，．
，，，．
故选：．
5．（4分）如图，点是斜边上异于，的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
解：由于是直角三角形，
过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共3条直线．
故选：．
6．（4分）如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为
A．B．C．2D．
解：四边形是平行四边形，
，
△△，
，
，
，
，
；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，那么 ．
解：由，得
，
，
故答案为：．
8．（4分）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 2 厘米．
解：五角星是正五角星，
厘米，
是线段的黄金分割点，
，即，
解得厘米．
故答案为：2．
9．（4分）上海南站到杭州东站的距离约为190千米，在比例尺为的地图上，这两地的图上距离为 1.9 厘米．
解：190千米厘米，
（厘米），
故答案为：1.9．
10．（4分）如果抛物线的顶点坐标为，那么它的开口方向 上 ．
解：抛物线的顶点坐标为，
解得：
开口向上，
故答案为上．
11．（4分）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ．
解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴，
点与点关于该抛物线的对称轴对称，
，，
解得，
故的值等于，
故答案为：．
12．（4分）在△中，若厘米，厘米，则这个三角形的重心到的距离是 2 厘米．
解：如图，过点作于，
厘米，
△是等腰三角形，
三角形的重心在上，
设高为厘米，
根据勾股定理，，
则，
厘米，
根据三角形的重心性质得，到的距离是：（厘米），
故答案为：2．
13．（4分）如图，，，，，则 3 ．
解：，
（平行线分线段成比例），
，
，
故答案为：3．
14．（4分）如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，求折痕的长．
解：连接．
点与点重合，折痕为，即垂直平分，
，，．
又四边形为矩形，
，，．
设，则，，
在中，由勾股定理得
，且为中点，
，．
．
，
．
同理．
即．
15．（4分）已知：在△中，，为斜边上的高，如果，，那么 ．
解：在△中，，，，
，
，
，
，
，
．
16．（4分）如图，在△中，，，，延长至点，使△相似于△，则 12 ．
解：，△相似于△，
，
，
，
故答案为：12．
17．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△的顶点都在格点上，点、、、、、、是△边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△相似，符合题意的三角形共有 6 个．
解：设网格的边长为1．
则，，．
连接，
，，．
，
△△．
同理可找到△，△，△，△，△和△相似，共6个．
故答案为：6．
18．（4分）如图，已知△中，，，，平分，将△绕着点旋转后，点、的对应点分别记为、，如果点落在射线上，那么的长度为 ．
解：，，，
，
将△绕着点旋转后得△，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
△△，
，
，，
，，
，
，，，
△△，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：如图，点、在△的边上，点在边上，且．
（1）若，，，求的长；
（2）若，求证：．
【解答】（1）解：，
△△，
，
，，，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
20．（10分）已知：如图，在△中，，平分，且．求证：．
【解答】证明：，
，
又，
△△，
，
平分，
，
，
又，
，
．
21．（10分）已知：如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求点到的距离．
解：如图，
（1）过点作于点．
，，，
，，
在△中，，
的垂直平分线交于点，，
，，
在△中，，
，
．
（2）过点作于点，
，，
，
，
，
，，，
．
点到的距离为．
22．（10分）如图，在△中，，，点是的中点，联结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1），，设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
△△，
，
．
（2）△△，
，
，
，
．
23．（12分）如图，已知菱形，点是的中点，于点，联结、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】（1）证明：于点，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
△△，
，
，
，
△△，
，
四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
，
．
24．（12分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标；
（3）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标．
【解答】解（1）抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
，
，
，
即点的坐标为，
又点，
，
解得，
抛物线的函数表达式是；
（2），
，
点在轴上方，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
，
得（舍去）或，
当时，，
点的坐标为；
（3）如图，
设点的坐标为，
易得△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形，
点在点的上方，
，
，
，，，
①如果，则，
，即点，
②如果则，
，
即点．
25．（14分）如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点．
（1）如图1，联结，求证：△△，并写出的值；
（2）联结，如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当为边的三等分点时，求的长度．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，又，
，，
，又，
△△，
；
（2）解：如图2，作于，
则，
△△，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，
四边形是正方形，
，
，
，
，则，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，则，
，
，
，
，
综上所述：或．