2023-2024学年上海市青浦一中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市青浦一中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列函数表达式中，表示反比例函数的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列说法正确的是
A．任何定理都有逆定理
B．真命题的逆命题一定是真命题
C．任何命题都有逆命题
D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题
3．（3分）下列说法中正确的是
A．是二项方程B．是二元二次方程
C．是分式方程D．是无理方程
4．（3分）已知，和点，是双曲线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是
A．B．C．D．无法判断
5．（3分）满足下列条件的中，不是直角三角形的是
A．
B．
C．
D．一个外角等于和它相邻的一个内角
6．（3分）如图长方形中，，，点为边上一点，将△沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则
A．2B．C．D．1
二、填空题：（每题2分，我24分）
7．（2分）方程的根是 ．
8．（2分）函数的定义域是 ．
9．（2分）方程的根是 ．
10．（2分）如图为正比例函数为常数）的图象，那么的取值范围是 ．
11．（2分）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ．
12．（2分）若直角三角形两锐角之差为，则较小的锐角为 ．
13．（2分）△中，，为的中线，，则 ．
14．（2分）△中，，，，则 ．
15．（2分）如图，平分，，，则 ．
16．（2分）如图，垂直平分，，，则△的周长为 ．
17．（2分）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，且是面积为的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是 ．
18．（2分）在△中，，，，则 ．
三、简答题：
19．（5分）解方程：．
20．（5分）解方程组：．
21．（6分）某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离（千米）与行走时间（分钟）的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）此人离开出发地最远距离是 千米；
（2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为 分钟；
（3）由图中线段可知，此人在这段时间内行走的速度是每小时 千米；
（4）此人在120分钟内共走了 千米．
22．（8分）如图所示，一根长2.5米的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为1.5米，设木棍的中点为．此时木棍端沿墙下滑，端沿地面向右滑行．
（1）木棍在滑动的过程中，线段的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求的长；
（2）如果木棍的底端向外滑出0.9米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少距离？
23．（8分）如图，中，平分，且平分，于，于．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
24．（8分）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了80个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多15个，这样一共用6天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？
25．（8分）在平面直角坐标系平面中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在轴上找一点，当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△的面积．
26．（10分）如图，在△中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角△，使，连接．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．
参考答案
一、选择题：（每题3分，共18分）
1．（3分）下列函数表达式中，表示反比例函数的是
A．B．C．D．
解：、是正比例函数，故本选项错误；
、符合反比例函数的定义，故本选项正确；
、不符合反比例函数的定义，故本选项错误；
、是正比例函数，故本选项错误；
故选：．
2．（3分）下列说法正确的是
A．任何定理都有逆定理
B．真命题的逆命题一定是真命题
C．任何命题都有逆命题
D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题
解：不是每个定理都有逆定理，错误，故不符合要求；
真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，错误，故不符合要求；
任何命题都有逆命题，正确，故符合要求；
“在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题，错误，故不符合要求；
故选：．
3．（3分）下列说法中正确的是
A．是二项方程B．是二元二次方程
C．是分式方程D．是无理方程
解：．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；
．是二元三次方程，此选项错误；
．是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；
．是一元二次方程，属于整式方程；
故选：．
4．（3分）已知，和点，是双曲线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是
A．B．C．D．无法判断
解：，
双曲线在一、三象限．
①当时，；
②当时，；
③当时，；
故选：．
5．（3分）满足下列条件的中，不是直角三角形的是
A．
B．
C．
D．一个外角等于和它相邻的一个内角
解：、，，是直角三角形；
、，，是直角三角形；
、，，不是直角三角形；
、一个外角等于和它相邻的内角，每一个角等于，是直角三角形；
故选：．
6．（3分）如图长方形中，，，点为边上一点，将△沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则
A．2B．C．D．1
解：设，则，
由折叠性质可知，，，
在△中，，，
，
，
在△中，，
即，
解得．
故选：．
二、填空题：（每题2分，我24分）
7．（2分）方程的根是 ．
解：，
，
，
方程的根是，
故答案为．
8．（2分）函数的定义域是 ．
解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
9．（2分）方程的根是 ．
解：方程两边平方得，，
解方程得，，
经检验是原方程的增根，
所以原方程的根为．
故答案为：．
10．（2分）如图为正比例函数为常数）的图象，那么的取值范围是 ．
解：的图象位于第二、四象限，
，
故答案为：．
11．（2分）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ．
解：，设，
原方程可以化为，
，
故答案为：．
12．（2分）若直角三角形两锐角之差为，则较小的锐角为 ．
解：设其中较小的一个锐角是，则另一个锐角是，
直角三角形的两个锐角互余，
，
，，
故答案为：．
13．（2分）△中，，为的中线，，则 6 ．
解：在△中，，为的中线，
，
，
．
故答案为：6．
14．（2分）△中，，，，则 ．
解：如图所示，由题意可知，△中，，，
故，
，
又，
，
，
故答案为：．
15．（2分）如图，平分，，，则 35 ．
解：，，
，，
平分，
，
，
故答案为：35．
16．（2分）如图，垂直平分，，，则△的周长为 16 ．
解：垂直平分，
，
，，
△的周长，
故答案为：16．
17．（2分）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，且是面积为的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是 ．
解：过点作于点，
设，
是面积为的等边三角形，
，
，
，
这个反比例函数的解析式是：．
故答案为：．
18．（2分）在△中，，，，则 1或7 ．
解：如图，过点作于点，
，
，
设，
则，
在△中，由可得，
解得
当，即时，；
当，即时，；
的长度为1或7，
故答案为：1或7．
三、简答题：
19．（5分）解方程：．
解：方程两边同乘以得：，
即：，
所以，，
经检验，为增根，舍去．
所以原方程的解为．
20．（5分）解方程组：．
解：由得：，
，，
即组成两个方程组：，，
解方程组得：或，
即原方程组的解为：或．
21．（6分）某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离（千米）与行走时间（分钟）的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）此人离开出发地最远距离是 4 千米；
（2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为 分钟；
（3）由图中线段可知，此人在这段时间内行走的速度是每小时 千米；
（4）此人在120分钟内共走了 千米．
解：由图象得：（1）此人离开出发地最远距离是4千米；
（2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为分钟；
（3）分钟小时，
（千米时）
此人在这段时间内行走的速度是每小时4.5千米；
（4）此人在120分钟内共走了（千米）．
故答案为：（1）4，（2）20，（3）4.5，（4）8．
22．（8分）如图所示，一根长2.5米的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为1.5米，设木棍的中点为．此时木棍端沿墙下滑，端沿地面向右滑行．
（1）木棍在滑动的过程中，线段的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求的长；
（2）如果木棍的底端向外滑出0.9米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少距离？
解：（1）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边不变，所以斜边上的中线不变；
米；
（2）在直角中，已知，，
，
则由勾股定理得：，，
，
答：那么木棍的顶端沿墙下滑．
23．（8分）如图，中，平分，且平分，于，于．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接、，
且平分，
，
平分，于，于，
，，
在与中，
，
，
；
（2）解：平分，于，于，
，，
在与中，
，
，
，
，
由（1）知：，
即，
，
，
24．（8分）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了80个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多15个，这样一共用6天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？
解：设接到通知后，王师傅平均每天加工个新产品．
根据题意，得．
，
，．
经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．
答：接到通知后，王师傅平均每天加工55个新产品．
25．（8分）在平面直角坐标系平面中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在轴上找一点，当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△的面积．
解：（1）直线经过点，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数解析式为．
（2）反比例函数的图象经过点，
，
，
设点，
，，
当时，得：，
解得：，
，；
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，，
△的面积
．
26．（10分）如图，在△中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角△，使，连接．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．
解：（1），理由如下：
等腰直角△，，
，
又，
，即，
，，，
△△，
，
如图1.1，记、的交点为，
，，
，
；
（2），，
，
如图2，过作于，
△是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得，，
线段的长为；
（3）解：由翻折的性质可知，，，
，
如图3，过作于，过作于，
，
同理（2）可知，，，
，
，
，，，
△△，
，，
，
由勾股定理得，
线段的长为．