2024-2025学年上海市杨浦区存志学校八年级（上）段测数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区存志学校八年级（上）段测数学试卷（10月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
2．（3分）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
3．（3分）已知，，下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
4．（3分）化简二次根式，结果是
A．B．C．D．
5．（3分）关于的一元二次方程有一根为零，则的值为
A．或3B．3C．D．0
6．（3分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，点、分别落在点、处，如果点、、在同一直线上，那么下列结论错误的是
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共36分）
7．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
8．（3分）比较大小： ．
9．（3分）写出的一个有理化因式 ．
10．（3分）化简 ．
11．（3分）已知是关于的一元二次方程，则 ．
12．（3分）设的整数部分为，小数部分为，则的值是 ．
13．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ．
14．（3分）若等式成立，则的取值范围是 ．
15．（3分）数轴上与1，对应的点分别为，，点关于点的对称点为点，设点表示的数为，则 ．
16．（3分）对于实数，，定义新运算“”： ．
例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两根，则 ．
17．（3分）若，则的值是 ．
18．（3分）如图，已知等腰，，将绕点顺时针旋转，点落在点处，且，联结交于点，如果，那么 度．
三、解答题（共96分）
19．（8分）化简下列各式：
（1）；
（2）．
20．（8分）计算：．
21．（8分）计算：．
22．（8分）计算：．
23．（8分）解不等式：，并求出它的最大整数解．
24．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
25．（8分）用配方法解方程：．
26．（8分）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故．
由，
解得，即．
根据以上方法，求的值．
27．（8分）已知，当分别取1，2，3，，2024时，求所对应值的总和．
28．（8分）已知为非负实数，关于的方程和．
（1）试证：前一个方程必有两个非负实数根；
（2）当取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根．
29．（8分）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
（1）请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用为正整数）表示的等式 ；
（3）请你利用发现的规律，计算：
30．（8分）如图，在△中，，，点为射线上一动点，联结，作，且．
（1）如图1，过点作，垂足为．
①说明：△△．
②联结交于点，说明：是中点．
（2）如图2，联结交于点，若，求证：是的中点．
参考答案
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（3分）在下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
解：．，
整理，得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．，
整理得：，是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．，
整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
2．（3分）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，符合题意；
故选：．
3．（3分）已知，，下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，与不是同类二次根式，不符合题意；
、，与不是同类二次根式，不符合题意；
、，与是同类二次根式，符合题意；
、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：．
4．（3分）化简二次根式，结果是
A．B．C．D．
解：，，
，
，
原式
．
故选：．
5．（3分）关于的一元二次方程有一根为零，则的值为
A．或3B．3C．D．0
解：由题意可知，
解得或，
，
，
．
故选：．
6．（3分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，点、分别落在点、处，如果点、、在同一直线上，那么下列结论错误的是
A．B．C．D．
解：将绕点逆时针旋转，点、分别落在点、处，
，
，，得
，故正确；
是等边三角形，
，故正确，
，，
，
，故正确；
，不一定平分，
不一定等于，
故选：．
二、填空题（每题3分，共36分）
7．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
8．（3分）比较大小： ．
解：，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（3分）写出的一个有理化因式 （答案不唯一） ．
解：的一个有理化因式（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
10．（3分）化简 ．
解：由题意可知，，
，
故答案为：．
11．（3分）已知是关于的一元二次方程，则 ．
解：由题意可知，
解得，
故答案为：．
12．（3分）设的整数部分为，小数部分为，则的值是 5 ．
解：，
，
，
，
的整数部分为，小数部分为，
，
，
原式
．
故答案为：5．
13．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 9 ．
解：由题意得，，
整理得，，
解得，，
当时，，二次根式无意义，
故的值为9．
故答案为：9．
14．（3分）若等式成立，则的取值范围是 ．
解：
，
解得：，
故答案为：，
15．（3分）数轴上与1，对应的点分别为，，点关于点的对称点为点，设点表示的数为，则 ．
解：由题意，点关于点的对称点为点，且数轴上与1，对应的点分别为，，
点表示的数为，即．
，
故答案为：．
16．（3分）对于实数，，定义新运算“”： ．
例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两根，则 3或 ．
解：，是一元二次方程的两个根，
，
解得：或2，
①当，时，；
②当，时，．
故答案为：3或．
17．（3分）若，则的值是 ．
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．（3分）如图，已知等腰，，将绕点顺时针旋转，点落在点处，且，联结交于点，如果，那么 72 度．
解：将绕点顺时针旋转，点落在点处，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：72．
三、解答题（共96分）
19．（8分）化简下列各式：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（8分）计算：．
解：
．
21．（8分）计算：．
解：由题意可得，，，
，，
原式
．
22．（8分）计算：．
解：，，
原式
．
23．（8分）解不等式：，并求出它的最大整数解．
解：由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
满足题意的最大整数解为．
24．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1），
整理得，
开方得，
，；
（2），
整理得，
，
或，
，；
（3），
去分母得，
，
，，，
△，
，
，；
（4）
，
，
，
，
或，
当时，
，
或，
解得，；
当时，△，解得，即，
综上所述，，，．
25．（8分）用配方法解方程：．
解：，
，
，
，
，
解得．
26．（8分）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故．
由，
解得，即．
根据以上方法，求的值．
解：设，
，
，
，
，
．
27．（8分）已知，当分别取1，2，3，，2024时，求所对应值的总和．
解：，
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以当分别取1，2，3，，2024时，所对应的值的总和是．
故答案为：2036．
28．（8分）已知为非负实数，关于的方程和．
（1）试证：前一个方程必有两个非负实数根；
（2）当取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根．
【解答】（1）证明：，
△，
即方程关于的方程一定有两个实数根；
设方程的两根为，，
则根据根与系数的关系得：，，
为非负实数，
，，
由得出方程有同号两个根或有一个根为0；
由，得出方程有两个正实数根或有一个根为0，
所以方程必有两个非负实数根；
（2），
△，
方程的根为，
即方程的根为和1；
当相同的根是时，把代入方程得：，
解得：或或，
为非负实数，
舍去，
符合题意；
当相同的根是1时，把代入方程得：，
解得：；
所以当或0或时，述两个方程有一个相同的实数根．
29．（8分）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
（1）请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用为正整数）表示的等式 ；
（3）请你利用发现的规律，计算：
解：（1）由题意得，；
（2）由题意得，；
（3）
．
30．（8分）如图，在△中，，，点为射线上一动点，联结，作，且．
（1）如图1，过点作，垂足为．
①说明：△△．
②联结交于点，说明：是中点．
（2）如图2，联结交于点，若，求证：是的中点．
【解答】证明：（1）①，，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△；
②如图1，
△△，
，
，
，
，
，
又，
△△，
，即是中点；
（2）如图所示，过点作，垂足为，
同理可证明△△，
，
同理可证明点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点．