2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A卷）

这是一份2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A卷），共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知空间向量＝（0，1，3），＝（x，y，1），若∥，则x，y的值分别为（ ）
A．，0B．0，3C．3，0D．0，
3．（4分）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M＝“甲元件故障”，N＝“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A．M∪NB．M∩NC．D．
4．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，﹣2，3）关于x轴对称的点为（ ）
A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）
C．（﹣1，﹣2，3）D．（﹣1，2，﹣3）
5．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，．点M为A1D1中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．
以下结论中正确的是（ ）
A．图中m的数值为26
B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人
C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数
D．样本数据的第90百分位数为5
7．（4分）已知平面，其中点P0（1，2，﹣1），向量＝（1，1，﹣1），则下列各点中在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
8．（4分）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x．若设事件A＝“x为奇数”，事件B＝“x为偶数”，事件C＝“x为3的倍数”，事件D＝“x≤3”，其中是相互独立事件的是（ ）
A．事件A与事件BB．事件B与事件C
C．事件A与事件DD．事件C与事件D
9．（4分）李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出．已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A（2，2，2）到α的距离为1，且点B（m，0，0）到α的距离为4，则m的值为（ ）
A．2B．1或3
C．2或4D．2或2
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）某校学生共2000人，采用分层随机抽样抽取一个样本量为50的样本，若样本中男生人数为20，则可估计此学校女生人数为 ．
12．（5分）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，若取出的产品全是正品的概率为0.85，则取出至少有1件次品的概率为 ．
13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝AD＝1，AA1＝2，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
14．（5分）已知空间向量＝（1，﹣2，3），则向量在坐标平面Oxz上的投影向量的模是 ．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为线段BC1上的动点．给出下列三个结论：
①三棱锥F﹣AD1E体积为定值；
②存在唯一点F使EF⊥D1F；
③点E到直线AD1的距离是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知空间向量＝（2，﹣2，1），＝（2，﹣1，4），＝（x，5，2）．
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）求|3|；
（Ⅲ）若向量与向量，共面，求实数x的值．
17．（14分）从2名男生（记为A1，A2）和2名女生（记为B1，B2）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）请写出该试验的样本空间Ω；
（Ⅱ）设事件M为“选到1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．
（Ⅲ）若2名男生A1，A2所处年级分别为高一、高二，2名女生B1，B2所处年级分别为高一、高二，设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N发生的概率．
18．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求直线AB1与平面BC1D的距离．
19．（14分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）用分层随机抽样的方法从[80，90），[90，100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90，100]的概率；
（Ⅲ）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1）
20．（15分）某网络平台在2016～2021年销售某种产品的相关数据如下表所示：
注：年退货率＝年退货件数/年销售件数．
（Ⅰ）从2016～2020年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率；
（Ⅱ）网络平台规定：若年退货率不超过千分之一，则该网络平台销售部门当年考核优秀．现有甲、乙两位平台管理人员各从2016～2020年中随机抽取1年进行考察，若甲、乙的选择互不影响，求恰有一人选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率；
（Ⅲ）记该网络平台在2016～2018年，2019～2021年的年销售件数的方差分别为，．若，请写出a的最大值和最小值．（只需写出结论）
21．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝60°，且AD＝DS＝SA＝AB＝2，BC＝3．
（Ⅰ）求直线SB与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段SD上，是否存在一点M，使得平面MAC⊥平面SCD？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．
2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据随机抽样的概率性质即可求解．
【解答】解：该小区每位居民被抽到的可能性为，
故选：B．
【点评】本题考查了随机抽样的概率的求解，属于基础题．
2．（4分）已知空间向量＝（0，1，3），＝（x，y，1），若∥，则x，y的值分别为（ ）
A．，0B．0，3C．3，0D．0，
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵空间向量＝（0，1，3），＝（x，y，1），∥，
∴，解得x＝0，y＝．
故选：D．
【点评】本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M＝“甲元件故障”，N＝“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A．M∪NB．M∩NC．D．
【分析】根据事件的关系判断即可．
【解答】解：由图可知，该段电路没有故障则甲没有故障，乙也没有故障，
即表示该段电路没有故障的事件为．
故选：C．
【点评】本题考查事件之间的关系，是基础题．
4．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，﹣2，3）关于x轴对称的点为（ ）
A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）
C．（﹣1，﹣2，3）D．（﹣1，2，﹣3）
【分析】根据一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，求解即可．
【解答】解：∵一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，
∴点（1，﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，2，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查空间中点的对称，属于基础题．
5．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，．点M为A1D1中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果．
【解答】解：连接AM，AC，如图，
∵＝+＝，＝＝＝，
∴＝﹣＝﹣（）++＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的线性运算、长方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（4分）在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．
以下结论中正确的是（ ）
A．图中m的数值为26
B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人
C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数
D．样本数据的第90百分位数为5
【分析】由频率和为1求m，根据条形统计图计算观看比赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位数判断各选项．
【解答】解：由题意8%+10%+m%+26%+10%+6%+2%+2%＝1，m＝36，A错；
不低于3场的人数约为3000×（1﹣8%﹣10%）＝2460，B错；
由已知得中位数是3，
平均数是1×8%+2×10%+3×36%+4×26%+5×10%+6×6%+7×2%+8×2%＝3.56，C正确；
由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错．
故选：C．
【点评】本题考查了条形统计图的应用，属于基础题．
7．（4分）已知平面，其中点P0（1，2，﹣1），向量＝（1，1，﹣1），则下列各点中在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
【分析】先求出，再计算•的值是否为0，求解即可．
【解答】解：A，＝（2，0，2），∵•＝1×2+1×0+（﹣1）×2＝0，故A在平面α内，
对于B，＝（﹣3，3，5），∵•＝1×（﹣3）+1×3+（﹣1）×5≠0，故B不在平面α内，
对于C，＝（﹣4，2，6），∵•＝1×（﹣4）+1×2+（﹣1）×6≠0，故C不在平面α内，
对于D，＝（1，﹣6，9），∵•＝1×1+1×（﹣6）+（﹣1）×9≠0，故D不在平面α内．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的垂直，是基础题．
8．（4分）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x．若设事件A＝“x为奇数”，事件B＝“x为偶数”，事件C＝“x为3的倍数”，事件D＝“x≤3”，其中是相互独立事件的是（ ）
A．事件A与事件BB．事件B与事件C
C．事件A与事件DD．事件C与事件D
【分析】根据相互独立事件的定义若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，逐项计算判断即可．
【解答】解：A＝“x为奇数”，事件B＝“x为偶数”，事件C＝“x为3的倍数”，事件D＝“x≤3”，
由题意知，P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝，
P（AB）＝0≠P（A）P（B），故A错误；
P（BC）＝＝P（B）P（C），故B正确；
P（AD）＝≠P（A）P（D）＝，故C错误；
P（CD）＝≠P（C）P（D）＝，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的定义以及概率的计算，属于中档题．
9．（4分）李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出．已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】逐项分析选项中4次投资的总金额与卖出时收获的金额即可判断．
【解答】解：由于本次投资中没有亏损，所以需要计算判断4次投资的总金额与卖出时收获的金额，两者持平，即为没有亏损，不妨设李明父亲每月只买1份理财产口，
对于A，4次投资的总金额为0.75+1+1.25+1＝4（万元），卖出时收获的金额为4×0.75＝3（万元），显然这属于亏本，故A错误；
对于B，4次投资的总金额为1+1.25+0.75+1.25＝4.25（万元），卖出时收获的金额为4×1＝4（万元），显然这属于亏本，故B错误；
对于C，4次投资的总金额为1.25+1+0.75+1＝4（万元），卖出时收获的金额为4×1＝4（万元），显然这属于没有亏损，故C正确；
对于D，4次投资的总金额为1.25+1+1.25+1＝4.5（万元），卖出时收获的金额为4×1＝4（万元），显然这属于亏本，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查由统计表获取相关信息，属于基础题．
10．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A（2，2，2）到α的距离为1，且点B（m，0，0）到α的距离为4，则m的值为（ ）
A．2B．1或3
C．2或4D．2或2
【分析】由题意将原问题转化为空间中球的位置关系进行计算即可．
【解答】解：由题意可知，满足题意时以点A为球心，半径为1的球与以点B为球心，半径为4的球内切，
则球心距等于半径之差，即：，
解得：m＝1或m＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查球与球的位置关系，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）某校学生共2000人，采用分层随机抽样抽取一个样本量为50的样本，若样本中男生人数为20，则可估计此学校女生人数为 1200 ．
【分析】利用分层抽样比例相等得到关于女生人数的方程，解之即可．
【解答】解：设此学校女生人数为x，则样本中女生的人数为50﹣20＝30，
由分层抽样比例相等得，解得x＝1200，
故估计此学校女生人数为1200．
故答案为：1200．
【点评】本题主要考查分层抽样，属于基础题．
12．（5分）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，若取出的产品全是正品的概率为0.85，则取出至少有1件次品的概率为 0.15 ．
【分析】根据题意，分析可得：事件“取出的产品全是正品”和事件“取出至少有1件次品”为对立事件，由对立事件的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，事件“取出的产品全是正品”和事件“取出至少有1件次品”为对立事件，
则取出至少有1件次品的概率P＝1﹣0.85＝0.15，
故答案为：0.15．
【点评】本题考查对立事件的概率性质，注意对立事件的定义，属于基础题．
13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝AD＝1，AA1＝2，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
【分析】由AD1∥BC1，得直线AB1与BC1所成角，即AB1与AD1所成角，在△AB1D1中，用余弦定理解三角形，能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AD1∥BC1，∴直线AB1与BC1所成角，即AB1与AD1所成角，
∵AB＝AD＝1，AA1＝2，∴AB1＝AD1＝，B1D1＝，
在△AB1D1中，由余弦定理得cs∠B1AD1＝＝，
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查长方体的结构特征、余弦定理、异面直线所成角及其余弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知空间向量＝（1，﹣2，3），则向量在坐标平面Oxz上的投影向量的模是 ．
【分析】先求出投影向量，再求向量的模．
【解答】解：当＝（1，﹣2，3），坐标原点为始点时，其终点A（1，﹣2，3）在坐标平面Oxz上的投影坐标为（1，0，3），所以向量＝（1，﹣2，3）在坐标平面Oxz上的投影向量，||＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的模，属于基础题．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为线段BC1上的动点．给出下列三个结论：
①三棱锥F﹣AD1E体积为定值；
②存在唯一点F使EF⊥D1F；
③点E到直线AD1的距离是．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】根据棱柱的结构特征，结合题意，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于①：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵BC1∥AD1，AD1⊂平面AD1E，
∴BC1∥平面AD1E，
又F为线段BC1上的动点，
∴点F到平面AD1E的距离为定值，
又＝h，故①正确；
对于②：由题意可建立以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图所示：
则D1（0，2，2），E（2，0，1），设F（2，y，z），
则＝（2，y﹣2，z﹣2），＝（0，y，z﹣1），
∵EF⊥D1F，即⊥，
∴•＝0，即（2，y﹣2，z﹣2）•（0，y，z﹣1）＝0，
∴y（y﹣2）+（z﹣1）（z﹣2）＝0，
显然满足这个方程成立的y，z的值不唯一，如y＝0，z＝1，即F（2，0，1），
如y＝2，z＝2，即F（2，2，2），故②错误；
对于③：由②得D1（0，2，2），E（2，0，1），A（0，0，0），
∴|AE|＝，|AD1|＝2，|ED1|＝3，
在△AED1中由余弦定理得cs∠D1AE＝＝＝，
∴sin∠D1AE＝＝，
∴点E到直线AD1的距离是|AE|•sin∠D1AE＝×＝，故③正确，
故答案为：①③．
【点评】本题考查棱柱的结构特征、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知空间向量＝（2，﹣2，1），＝（2，﹣1，4），＝（x，5，2）．
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）求|3|；
（Ⅲ）若向量与向量，共面，求实数x的值．
【分析】（Ⅰ）由空间向量的数量积运算求解即可；
（Ⅱ）由空间向量的模的运算求解即可；
（Ⅲ）由向量与向量，共面，则，然后结合空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知空间向量＝（2，﹣2，1），＝（2，﹣1，4），＝（x，5，2），
又，
则2x﹣10+2＝0，
即x＝4；
（Ⅱ）由题意可得，
则|3|＝；
（Ⅲ）由向量与向量，共面，
则，
则（x，5，2）＝（2m，﹣2m，m）+（2n，﹣n，4n），
即，
则，
即实数x的值为．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了向量的模的运算，属基础题．
17．（14分）从2名男生（记为A1，A2）和2名女生（记为B1，B2）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）请写出该试验的样本空间Ω；
（Ⅱ）设事件M为“选到1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．
（Ⅲ）若2名男生A1，A2所处年级分别为高一、高二，2名女生B1，B2所处年级分别为高一、高二，设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用列举法即可求解；（Ⅱ）利用古典概型的概率计算公式即可求解；（Ⅲ）：利用古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）该实验的样本空间Ω为{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{B1，B2}共6种情况，
（Ⅱ）事件M为“选到1名男生和1名女生”共有4种情况，
则所求事件的概率为；
（Ⅲ）事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”共有3种情况，
故所求事件的概率为．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
18．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求直线AB1与平面BC1D的距离．
【分析】（I）结合题意先证明DE∥AB1，再利用线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）利用等体积法求得点A到平面BC1D的距离，即可求得直线AB1与平面BC1D的距离．
【解答】解：（I）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设B1C与BC1交于点E，连接DE，
由于四边形BCC1B1是矩形，则E为B1C的中点，
又D是AC的中点，
∴DE∥AB1，
又AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（Ⅱ）∵AC＝BC＝1，点D为AC的中点．
∴BD⊥AC，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，
∴CC1⊥BD，CC1∩AC，CC1，AC⊂平面CC1A1A，
∴BD⊥平面CC1A1A，∵DC1⊥BD，
又AC＝BC＝1，AC⊥BC，∴CA＝，CD＝BD＝，
∵AA1＝2，∴DC1＝＝，∴＝××＝，
S△ABD＝S△ABC＝，
设A到平面BC1D的距离为d，
由＝，得××2＝××d，
解得d＝．
∴直线AB1与平面BC1D的距离为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查等体积法求点到面的距离，属中档题．
19．（14分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）用分层随机抽样的方法从[80，90），[90，100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90，100]的概率；
（Ⅲ）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1）
【分析】（Ⅰ）根据评率分布直方图可求得[80，90），[90，100]两个区间的人数，再根据分层抽样方式即可求得答案；
（Ⅱ）由古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅲ）设良好的最低分数线为x，根据题意建立关于x的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，样本中[80，90），[90，100]分别有100×0.045×10＝45人，100×0.03×10＝30人，
则按分层抽样[80，90）应抽取人，[90，100）应抽取5﹣3＝2人；
（Ⅱ）由古典概型的概率计算式可得，第二个交流分享的学生成绩在区间[90，100]的概率为；
（Ⅲ）设良好的最低分数线为x，则（90﹣x）×0.045+0.3＝0.6，解得x≈83，
即估计良好的最低分数线为83分．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（15分）某网络平台在2016～2021年销售某种产品的相关数据如下表所示：
注：年退货率＝年退货件数/年销售件数．
（Ⅰ）从2016～2020年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率；
（Ⅱ）网络平台规定：若年退货率不超过千分之一，则该网络平台销售部门当年考核优秀．现有甲、乙两位平台管理人员各从2016～2020年中随机抽取1年进行考察，若甲、乙的选择互不影响，求恰有一人选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率；
（Ⅲ）记该网络平台在2016～2018年，2019～2021年的年销售件数的方差分别为，．若，请写出a的最大值和最小值．（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）分别计算出2016，2017，2018，2019，2020年退货率，即可得出；
（Ⅱ）甲、乙两位平台管理人员的选择相互独立，根据独立事件乘法公式计算；
（Ⅲ）分别计算出s，．列出不等式，即可解出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）分别记pn（n＝2016，2017，2018，2019，2020）表示“2016，2017，2018，2019，2020年退货率”，
由已知得：
p2015＝，p2017＝，p2018＝，
p2019＝，p2020＝．
所以从2016～2020年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率为．
（Ⅱ）由已知，甲、乙两位平台管理人员的选择相互独立，
只有甲选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率为，
只有乙选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率为，
所以恰有一人选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率．
（Ⅲ）该网络平台在2016～2018年的年销售件数的平均值，方差为；
该网络平台在2019～2021年的年销售件数的平均值，方差为＝（10﹣a）2；
由已知，即（10﹣a）2≤2．
所以，7≤a≤13．
所以a的最大值为13，a的最小值为7．
【点评】本题主要考查数据的标准差和方差，属于中档题．
21．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝60°，且AD＝DS＝SA＝AB＝2，BC＝3．
（Ⅰ）求直线SB与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段SD上，是否存在一点M，使得平面MAC⊥平面SCD？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量法即可求解，
（Ⅱ）根据共线以及平面法向量垂直即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点为O，由于△SAD，△ABD为等边三角形，所以SO⊥AD，OB⊥AD，
由于平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，SO⊂平面SAD，
所以SO⊥平面ABCD，OB⊂平面ABCD，所以SO⊥OB，
故建立如图所示的空间直角坐标系；
S（0，0，），D（0，﹣1，0），C（），B（），A（0，1，0），
，，，
设平面SCD的法向量为，
，取x＝2，则，
设直线SB与平面SCD所成角为θ，则，sinθ＝|cs＜＞|＝＝，
（Ⅱ）
设＝（0，﹣λ），0≤λ＜1，
＝（0，1+） ，
设平面MAC的法向量为，
，取x＝4，则，
由平面MAC⊥平面SCD得，故8+3＝，解得，
当λ＝1 时， 不垂直，故不满足平面MAC⊥平面SCD，
综上，故．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
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2016
2017
2018
2019
2020
2021
年销售件数（单位：万件）
6
6
9
10
10
a
年退货件数（单位：件）
65
62
68
80
77
b
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年销售件数（单位：万件）
6
6
9
10
10
a
年退货件数（单位：件）
65
62
68
80
77
b