2022-2023学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）直线l：x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
2．（4分）某中学高一年级有200名学生，高二年级有340名学生，高三年级有260名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（ ）
A．10B．13C．17D．26
3．（4分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．7
4．（4分）已知直线l过点（0，1），且与直线x﹣2y+2＝0垂直，则直线l的方程是（ ）
A．x+2y+1＝0B．2x+y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x+y﹣1＝0
5．（4分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从盒子中随机取出两个球，所取球的编号分别记为m，n，则“m+n＝5”的概率（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）直线与圆C：x2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
7．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知圆x2+y2＝4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，则r＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．不确定
10．（4分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足，记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
（1）曲线W为一个圆；
（2）曲线W上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为6；
（3）直线l：kx﹣y+2k+1＝0（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点；
（4）曲线W上存在点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11．（5分）圆C的方程为：x2+y2﹣4x+6y+4＝0，则圆心C的坐标为 ，半径为 ．
12．（5分）椭圆的长轴长是 ，离心率是 ．
13．（5分）已知直线l的一个方向向量，且经过点（1，1），则直线l的方程为 ．
14．（5分）一组数据3，4，5，6，7的方差是 ，若加入一个数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比方差不变，则a的一个取值为 ．
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E，给出下列四个结论：
①△AA1P的面积的最大值为；
②满足使△AA1P的面积为8的点P有且只有两个；
③点P可以是CC1的中点；
④线段A1P的最大值为6．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知圆心坐标为（1，2）的圆C与x轴相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：x+y﹣m＝0与圆C交于A，B两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求m的值．
条件①：|AB|＝2；条件②：∠ACB＝120°．
17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，DD1⊥平面ABCD，AA1＝2，AB＝1，点E在CC1上，且C1E＝3EC．
（1）求证：A1C⊥DE；
（2）求直线DD1与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求二面角E﹣BD﹣A的平面角的余弦值．
18．已知椭圆．
（1）求直线y＝x﹣1被椭圆E截得的弦长；
（2）若直线y＝kx+2与椭圆E相切，求实数k的值．
19．为方便A，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A，B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：
根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：
（1）直接写出a的值，并估算A地区乘客满意程度评分的中位数；
（2）从A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C为抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为“非常满意”且另一名乘客的满意程度等级为“满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C的概率；
（3）设μ1为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，μ2为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，μ为从A，B两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较μ1，μ2，μ的大小．（不需要过程）
20．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC．O为BC中点，且AO⊥平面BCDE．
（1）求点B到平面ADE的距离；
（2）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值．
21．已知椭圆长轴的两个端点分别为A（﹣2，0），B（2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，PB分别交直线x＝﹣6于M，N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．
（ⅰ）求证：直线AP，AN的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断M，B，Q三点是否共线，并说明理由．
2022-2023学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（4分）直线l：x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角和斜率．
【解答】解：直线l：x+y+1＝0的斜率为k＝﹣1，即tanθ＝﹣1，
所以倾斜角为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．（4分）某中学高一年级有200名学生，高二年级有340名学生，高三年级有260名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（ ）
A．10B．13C．17D．26
【分析】根据题意可确定抽样比例，再根据高二人数可解．
【解答】解：因为某中学高一年级有200名学生，高二年级有340名学生，高三年级有260名学生，则总体容量为800，
则抽样比例为，
则高二年级抽取的人数为340×＝17，
故选：C．
【点评】本题考查分层抽样相关知识，属于基础题．
3．（4分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．7
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a的值，由椭圆的定义分析可得P到椭圆的两个焦点距离之和为2a＝10，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，设椭圆的两个焦点为F1、F2，
椭圆的方程为圆，其中a＝＝5，
若P为椭圆上一点，则有|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
又由P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为2a﹣3＝7；
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义，关键是由椭圆的标准方程求出a的值．
4．（4分）已知直线l过点（0，1），且与直线x﹣2y+2＝0垂直，则直线l的方程是（ ）
A．x+2y+1＝0B．2x+y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x+y﹣1＝0
【分析】根据题意，设直线l的方程为2x+y+m＝0，将（0，1）代入其中，求出m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l直线x﹣2y+2＝0垂直，设直线l的方程为2x+y+m＝0，
又由直线l过点（0，1），则有1+m＝0，则m＝﹣1，
故直线l的方程为2x+y﹣1＝0，
故选：D．
【点评】本题考查直线垂直与直线一般式方程的关系，涉及直线方程的求法，属于基础题．
5．（4分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从盒子中随机取出两个球，所取球的编号分别记为m，n，则“m+n＝5”的概率（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出所有的取法种数，用列举法求得取出的球的编号之和等于5的取法种数，计算所求的概率值．
【解答】解：因为所有的取法共有4×3＝12种，
取出的球的编号（m，n）之和等于5的取法有（1，4）、（2，3）、（3，2），（4，1）共4种，
所以取出的球的编号之和m+n＝5的概率为P＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了列举法求古典概型概率问题，是基础题．
6．（4分）直线与圆C：x2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【分析】求出圆心到直线的距离，然后与半径作比较即可．
【解答】解：圆C：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，
所以圆心到直线的距离为＝2，与半径相等，
所以直线与圆C：x2+y2＝4的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．
7．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两直线平行的充要条件建立方程，进一步确定a的值，最后判定充分条件和必要条件．
【解答】解：当a＝1时，直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+＝0平行，
当直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+＝0平行，故a（a+1）﹣2＝0，整理得a2+a﹣2＝0，解得a＝1或﹣2，当a＝﹣2时，两直线重合，故a＝1．
所以“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+＝0平行”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：两直线平行的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（4分）已知圆x2+y2＝4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，则r＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由两圆外切，两圆心距等于两圆半径之和即可求出结果．
【解答】解：因为x2+y2＝4圆心坐标为（0，0），半径为2，
圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）圆心坐标（3，4），半径为r，
由两圆外切可得2+r＝＝5，所以r＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆位置关系，属于基础题型．
9．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．不确定
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，的坐标，再由数量积的坐标运算求解．
【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），P（0，1，x）（0≤x≤1），O（，，0），
∴＝（﹣1，1，x）（0≤x≤1），＝（﹣，，0），
∴＝﹣1×（﹣）+1×＝1．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算及数量积运算，考查运算求解能力，是基础题．
10．（4分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足，记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
（1）曲线W为一个圆；
（2）曲线W上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为6；
（3）直线l：kx﹣y+2k+1＝0（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点；
（4）曲线W上存在点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设M（x，y），根据M满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断（1）是否正确；由（1）可知，圆上的点D到（1，1）的距离的范围为[﹣2，+2]，进而可判断②是否正确；确定直线过的定点，判断定点与圆的位置，即可判断（3）是否正确；由椭圆的定义，可知F在椭圆上，再根据椭圆与曲线W的位置关系，即可判断（4）是否正确．
【解答】解：（1）设M（x，y），因为M满足，所以＝，
整理可得：x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，曲线W为一个圆，所以（1）正确；
（2）由（1）可知，点（1，1）在圆（x+2）2+y2＝4的外部，因为（1，1）到圆心（﹣2，0）的距离d＝＝，半径为2，所以圆上的点D到（1，1）的距离的范围为[﹣2，+2]，而6∉[﹣2，+2]，所以（2）不正确；
（3）直线l：kx﹣y+2k+1＝0（k为常数），则y﹣1＝k（x+2），则直线过定点Q（﹣2，1），且点在圆（x+2）2+y2＝4内，则无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点，所以（3）正确；
（4）假设存在这样的点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8，则F在以点B与点（﹣2，0）为焦点，实轴长为8的椭圆上，即F在椭圆上，易知椭圆与曲线W：（x+2）2+y2＝4有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8；所以（4）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了圆、椭圆方程的求法，考查了直线与曲线的位置关系，是中档题．
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11．（5分）圆C的方程为：x2+y2﹣4x+6y+4＝0，则圆心C的坐标为 （2，﹣3） ，半径为 3 ．
【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步求出圆的圆心和半径．
【解答】解：圆C的方程为：x2+y2﹣4x+6y+4＝0，整理得（x﹣2）2+（y+3）2＝9．
故该圆的圆心为（2，﹣3），半径为3．
故答案为：（2，﹣3）；3．
【点评】本题考查的知识要点：圆的一般式和标准式之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12．（5分）椭圆的长轴长是 6 ，离心率是 ．
【分析】直接利用椭圆的标准方程求解a，b，c，然后求解离心率即可．
【解答】解：椭圆，可得a＝3，b＝2，则c＝，所以2a＝6，e＝＝．
故答案为：6；．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
13．（5分）已知直线l的一个方向向量，且经过点（1，1），则直线l的方程为 3x﹣y﹣2＝0 ．
【分析】根据直线l的一个方向向量，求出直线l的斜率，再由l经过点（1，1）得到l的方程．
【解答】解：经过点（1，1）的直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为＝3，
故直线l的方程为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．
故答案为：3x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查直线的点斜式方程和一般方程，求出斜率是解题的关键，属于基础题．
14．（5分）一组数据3，4，5，6，7的方差是 2 ，若加入一个数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比方差不变，则a的一个取值为 或 ．
【分析】直接利用方差公式能求出这组数据的方差；求出新的一组数据的平均值，再根据方差公式列方程能求出a的一个值．
【解答】解：一组数据3，4，5，6，7的平均数是：＝5，
则这组数据3，4，5，6，7的方差是：
＝2，
加入一个数a得到一组新数据，这组新数据的平均数为＝，
方差为＝2，
解得a＝．
故答案为：2；或．
【点评】本题考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E，给出下列四个结论：
①△AA1P的面积的最大值为；
②满足使△AA1P的面积为8的点P有且只有两个；
③点P可以是CC1的中点；
④线段A1P的最大值为6．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】先找出P的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解．
【解答】解：设H、G分别为BC、B1C1的中点，连接AH，HG，GA1，
在正方形ABCD中，易证△ABH≅△BCE，
所以AH⊥BE，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以AA1⊥BE，
又AH∩AA1＝A，AH，AA1⊂平面AHGA1，所以BE⊥平面AHGA1，
又BE⊂平面BB1E，
所以平面AHGA1⊥平面BB1E，
又平面AA1P⊥平面BB1E，所以平面AHGA1即为平面AA1P，
又点P在正方体的表面上运动，
故点P在矩形A→H→G→A（除线段AA1）上运动，
又，
对于①，由图可知，当P在线段GH上时，此时△AA1P面积最大，最大值为，故①正确；
对于②，若，则P在AH或A1G上，当AP＝4或A1P＝4时，△AA1P的面积为8，故②正确；
对于③，由图易知，点P不可能在线段CC1，故③错误；
对于④，由图易知，当P与H重合时，此时A1P长度最大，最大值为，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知圆心坐标为（1，2）的圆C与x轴相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：x+y﹣m＝0与圆C交于A，B两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求m的值．
条件①：|AB|＝2；条件②：∠ACB＝120°．
【分析】（1）由圆心坐标为（1，2），且圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离即半径，写出圆的标准方程．
（2）若选①，由弦长，半径，弦心距之间的关系，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m；
若选②，由圆心角为120°解等腰三角形，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m．
【解答】解：（1）圆心坐标为（1，2），因为圆与x轴相切，
所以圆心到x轴的距离等于半径，即r＝2，
圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
（2）若选条件①，设圆心到直线l的距离为d，因为|AB|＝2，
则d＝，
由点到直线的距离公式，，解得m＝3，
若选条件②，设圆心到直线l的距离为d，由∠ACB＝120°，
d＝rcs60°＝1，由点到直线的距离公式，，解得m＝3．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，DD1⊥平面ABCD，AA1＝2，AB＝1，点E在CC1上，且C1E＝3EC．
（1）求证：A1C⊥DE；
（2）求直线DD1与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求二面角E﹣BD﹣A的平面角的余弦值．
【分析】（1）以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DBE的一个法向量，可得A1C⊥平面BDE，再由线面垂直的性质可得答案．
（2）求出平面DBE的一个法向量，利用向量法能求出直线DD1与平面BDE所成角的正弦值．
（3）求出平面ABD的一个法向量和平面DBE的一个法向量，利用向量法能求出平面BDE与平面ABD夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），E（0，2，1），D（0，0，0），A1（2，0，4），C（0，2，0），
∴＝（0，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，﹣4），
设平面BDE的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令z＝2，则＝（1，﹣1，2），
∴A1C⊥平面BDE，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥DE．
（2）D1（0，0，4），＝（0，0，4），
由（1）平面DBE的一个法向量＝（1，﹣1，2），
设直线DD1与平面BDE所成角的正弦值sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝．
（3）由已知为平面ABD的一个法向量，且＝（0，0，4），
由（1）知平面DBE的一个法向量为＝（1，﹣1，2），
∴cs＜，＞＝＝，
由图得平面BDE与平面ABD夹角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判断与性质、线面角的正弦值、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．已知椭圆．
（1）求直线y＝x﹣1被椭圆E截得的弦长；
（2）若直线y＝kx+2与椭圆E相切，求实数k的值．
【分析】（1）设直线y＝x﹣1与椭圆E相交于AB两点且A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组可得x1+x2＝，x1x2＝﹣，利用弦长公式可求|AB|；
（2）联立方程可得（1+2k2）x2+8kx+4＝0，利用Δ＝0可求实数k的值．
【解答】解：（1）设直线y＝x﹣1与椭圆E相交于AB两点且A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得3x2﹣4x﹣2＝0．
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∴|AB|＝＝．
（2）由，得（1+2k2）x2+8kx+4＝0，
∵直线y＝kx+2与椭圆E相切，∴Δ＝（8k）2﹣4×（1+2k2）×4＝0，
解得k＝±．
【点评】本题考查利用弦长公式求弦长，考查椭圆的切线斜率的求法，属中档题．
19．为方便A，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A，B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：
根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：
（1）直接写出a的值，并估算A地区乘客满意程度评分的中位数；
（2）从A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C为抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为“非常满意”且另一名乘客的满意程度等级为“满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C的概率；
（3）设μ1为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，μ2为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，μ为从A，B两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较μ1，μ2，μ的大小．（不需要过程）
【分析】（1）根据频率分布直方图可求a与中位数；
（2）分别算出从A、B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率和不满意的概率，利用相互独立事件概率乘法公式可解；
（3）根据平均数的求法可解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.005+0.015+0.03+0.03+a）×10＝1，得a＝0.02，
根据题意，[50，60）的频率为0.005×10＝0.05，[60，70）的频率为0.015×10＝0.15，[70，80）的频率为0.03×10＝0.3，则中位数估计为80，
（2）从A地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.02×10＝0.2，是不满意的概率为（0.005+0.015）×10＝0.2，
从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.015×10＝0.15，是不满意的概率为（0.015+0.02）×10＝0.35，
则P（C）＝0.2×0.5+0.6×0.15＝0.19；
（3）根据题意，μ1＝55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.3+95×0.2＝79.5，
μ2＝55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝75，
又A、B两地区人数比为1：1，则＝77.25，
则μ1＞μ＞μ2．
【点评】本题考查频率分布直方图以及概率相关知识可解．
20．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC．O为BC中点，且AO⊥平面BCDE．
（1）求点B到平面ADE的距离；
（2）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值．
【分析】（1）建系，求平面ADE的法向量，利用空间向量求点到面的距离；
（2）利用空间向量设点Q的坐标，根据空间向量结合线面关系运算求解．
【解答】解：（1）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则A（0，0，），B（，0，0），C（﹣2，0，0），E（2，2，0），D（﹣2，4，0），O（0，0，0），
∴＝（0，2，0），＝（4，﹣2，0），＝（2，2，﹣2），
设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，
令x＝1，则y＝2，z＝3，即＝（1，2，3），
则点B到平面ADE的距离d＝＝．
（2）存在，由（1）得，
设，则Q（﹣），
∴，
若OQ∥平面ADE，则，
∴，解得，则，
故线段AC上存在一点Q，当时，OQ∥平面ADE．
【点评】本题主要考查点到平面的距离，属于中档题．
21．已知椭圆长轴的两个端点分别为A（﹣2，0），B（2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，PB分别交直线x＝﹣6于M，N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．
（ⅰ）求证：直线AP，AN的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断M，B，Q三点是否共线，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用已知建立关系式，由此即可求解；（Ⅱ）（i）求出点P的坐标，求出直线PB，AP的斜率，由此求出直线PB的方程，进而求出点N的坐标，然后求出直线AN的斜率，由此即可证明；（ii）设出直线AP的斜率，易求出点M的坐标，利用（i）求出直线AN的方程，并与椭圆方程联立，求出点Q的坐标，进而求出直线BQ，BM的斜率，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：a＝2，，则c＝，b＝1，
所以椭圆C的方程为：；
（Ⅱ）（i）证明：因为直线PA，PB都存在且不为0，设P（x0，y0），则，，
所以直线PB的方程为：y＝，令x＝﹣6，解得y＝，则点N的坐标为（﹣6，）．
所以直线AN的斜率为，
所以直线AP，AN的斜率之积为＝＝为定值；
（ii）M，B，Q三点共线，理由如下：
设直线AP的斜率为k，易得M（﹣6，﹣4k），
由（i）可知直线AN的斜率为﹣，所以直线AN的方程为y＝﹣，
联立方程，消去x可得：（4+4k2）y2+8ky＝0，
解得，所以点Q的坐标为（），
所以，直线BQ的斜率为，直线BM的斜率为，
因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率，
所以M，B，Q三点共线．
【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三点共线的问题，考查了学生的分析问题的能力以及运算能力，属于中档题．
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