浙教版七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第04讲有理数的大小比较(4种题型)(原卷版+解析)

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第04讲 有理数的大小比较（4种题型）【知识梳理】1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【考点剖析】题型一：借助数轴直接比较数的大小例1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，eq \f(1,2)，－1eq \f(1,2)，4，0.【变式1】在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数．5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）【变式2】如图，数轴上依次有四个点M，P，N，Q，若点M，N表示的数互为相反数，则在这四个点中表示的数绝对值最大的点是（ ）A．M B．P C．N D．Q【变式3】（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－，，0.25（2）比较下列各组数的大小①与 ②与题型二：借助数轴间接比较数的大小例2.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　)A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜aC．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b【变式1】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（　　）A． B．1.3 C． D．0.6【变式2】已知，，且，那么将，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（ ）A． B．C． D．题型三：运用法则直接比较大小例3.比较下列各对数的大小：①－1与－0.01； ②与0； ③－0.3与； ④与。【变式1】比较下列各对数的大小：(1)3和－5； (2)－3和－5； (3)－2.5和－|－2.25|； (4)－eq \f(3,5)和－eq \f(3,4).【变式2】用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，，0，―2题型四：有理数的最值问题例4.设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　)A．0，－1，1 B．1，0，－1C．1，－1，0 D．0，1，－1【变式1】在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ）A． B．-3 C．0 D．5【变式2】若实数，，则四个数中最大的数是_______． 【过关检测】一、单选题1．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）下列各数中，在和0之间的数是（   ）A． B． C． D．32．（2023·浙江·七年级假期作业）下列比小的数是（    ）A．2023 B． C． D．3．（2023·浙江·七年级假期作业）在－5，0，－2，4这四个数中，最大的数是（    ）A．4 B．－5 C．0 D．－24．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）某天，有四个城市的平长气温分别具0℃，20℃，-5℃，10℃，其中最低气温是（    ）A．0℃ B．20℃ C．-5℃ D．10℃5．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（　　）A．比大的数是B．C．数轴上表示的点，在原点右边个单位D．有些有理数不能在数轴上表示出来6．（2023·浙江·七年级假期作业）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（    ）A． B． C．0 D．7．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中正确的个数是（   ）一定是负数；只有负数的绝对值是它的相反数；数轴上任意一点都表示有理数；最大的负整数是．A．个 B．个 C．个 D．个8．（2023·浙江·七年级假期作业）四个数，，，中，相反数最小的那个数是（    ）A． B． C． D．9．（2023·浙江·七年级假期作业）下列各数：，，0，，其中比小的数是（   ）A． B． C．0 D．10．（2022秋·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（    ）A． B． C． D．二、填空题11．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）比较大小：______填“”、“”或“”．12．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）比较各对数的大小：__________，__________．13．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）绝对值大于1小于的整数有______个；14．（2023·浙江·七年级假期作业）比较大小：（1）___________；（2）___________．15．（2023·浙江·七年级假期作业）大于但又不大于1的整数是___________．16．（2023·浙江·七年级假期作业）用“”或“”填空：（1）_____0 （2）___ （3）___0（4）_____ （5）______17．（2023·浙江·七年级假期作业）若，，则、的大小关系是_____．18．（2023·浙江·七年级假期作业）比较大小：______三、解答题19．（2023·浙江·七年级假期作业）比较下列各对数的大小．(1)与； (2)与；20．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）试用“”“ ”或“”填空：①　　； ②　　；③　　；（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数、的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为　　；（3）请问，当、满足什么条件时，？21．（2023·浙江·七年级假期作业）用数轴上的点表示下列各数，并把他们用“0.01， ∴―1< ―0.01。(2) 化简：―|―2|=―2，因为负数小于0，所以―|―2| < 0。 (3) 这是两个负数比较大小，∵|―0.3|=0.3，，且 0.3 < ， ∴。 (4) 分别化简两数，得： ∵正数大于负数， ∴说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力；②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法；③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。【变式1】比较下列各对数的大小：(1)3和－5；(2)－3和－5；(3)－2.5和－|－2.25|；(4)－eq \f(3,5)和－eq \f(3,4).解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；(4)因为|－eq \f(3,5)|＝eq \f(3,5)，|－eq \f(3,4)|＝eq \f(3,4)，eq \f(3,5)＜eq \f(3,4)，所以－eq \f(3,4)”连接两个以上数时，大数在前，小数在后，不能出现5＞0＜4的式子．解答：2.6＞＞0＞―2＞―4.5。题型四：有理数的最值问题例4.设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　)A．0，－1，1 B．1，0，－1C．1，－1，0 D．0，1，－1解析：因为a是绝对值最小的数，所以a＝0，因为b是最大的负整数，所以b＝－1，因为c是最小的正整数，所以c＝1，综上所述，a、b、c分别为0、－1、1.故选A.方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1.【变式1】在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ）A． B．-3 C．0 D．5【答案】B【分析】根据比较有理数大小的方法，可得答案．【详解】解：－3＜﹣＜0＜5.故最小的数是－3．故选B．【点睛】本题考查了有理数比较大小，掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．【变式2】若实数，，则四个数中最大的数是_______．【答案】a-b【分析】利用a，b的符号，进而得出a+b，a-b，-a+b，-a-b和a的关系，进而得出答案．【详解】解：∵有理数a＞0，b＜0，∴a+b＜a，a-b＞a，-a+b＜b，-a-b＜a，则四个数a+b，a-b，-a+b，-a-b中最大的是：a-b， 故答案为：a-b．【点睛】此题主要考查了有理数比较大小，得出各项与a的关系是解题关键． 【过关检测】一、单选题1．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）下列各数中，在和0之间的数是（   ）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根据有理数的大小比较法则即可判断．【详解】解：∵，∴在和0之间的数是，故选：C．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（2023·浙江·七年级假期作业）下列比小的数是（    ）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可得出结论．【详解】解：，∴比小的数是，故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握正数负数，负数绝对值大的反而小．3．（2023·浙江·七年级假期作业）在－5，0，－2，4这四个数中，最大的数是（    ）A．4 B．－5 C．0 D．－2【答案】A【分析】根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的其值反而小即可求解．【详解】解：∵，∴最大的数是4．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的大小的比较，掌握“正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的其值反而小”是解题的关键．4．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）某天，有四个城市的平长气温分别具0℃，20℃，-5℃，10℃，其中最低气温是（    ）A．0℃ B．20℃ C．-5℃ D．10℃【答案】C【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．【详解】解：∵-5＜0＜10＜20，∴温度最低的是-5℃故选：C．【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．5．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（　　）A．比大的数是B．C．数轴上表示的点，在原点右边个单位D．有些有理数不能在数轴上表示出来【答案】B【分析】根据有理数大小的比较和数轴上点的特点，对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、比大的数是，故本选项错误，不符合题意；B、因为，所以，故选项正确，符合题意；C、数轴上表示的点，在原点左边个单位，故本选项错误，不符合题意；D、所有的有理数能在数轴上表示出来，故本选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题注意考查了数轴和有理数大小的比较，解题的关键是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．6．（2023·浙江·七年级假期作业）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（    ）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根据绝对值的定义分别求出四个数的绝对值，再比大小即可得到答案．【详解】解：∵，∴绝对值最大的数是，故选A．【点睛】本题主要考查了绝对值的定义和有理数比较大小，熟知绝对值的定义是解题的关键：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．7．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中正确的个数是（   ）一定是负数；只有负数的绝对值是它的相反数；数轴上任意一点都表示有理数；最大的负整数是．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】根据正数和负数的定义、负整数的定义、相反数及绝对值的性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【详解】解：①，，故题干的说法错误；②，故题干的说法错误；③数轴上任意一点都表示实数，故题干的说法错误；④最大的负整数是的说法是正确的．故选：A．【点睛】此题主要考查正数和负数的定义，相反数及绝对值的性质和整数的定义，考查的知识点比较全面，是一道基础题．8．（2023·浙江·七年级假期作业）四个数，，，中，相反数最小的那个数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的大小比较，相反数的定义即可求解．【详解】解：四个数，，，中，相反数分别为：∵∴相反数最小的那个数是，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数的定义，熟练掌握有理数的大小比较，相反数的定义是解题的关键．9．（2023·浙江·七年级假期作业）下列各数：，，0，，其中比小的数是（   ）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】求出，再根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．【详解】解：∵，∴，∴比小的数是，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．10．（2022秋·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数比较大小的方法即可求解．【详解】A、，而，故选项错误；B、，而，故选项错误；C、 ，故选项正确；D、 ，而，故选项错误；故选C．【点睛】本题考查了有理数大小的比较及绝对值等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．二、填空题11．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）比较大小：______填“”、“”或“”．【答案】【分析】有理数大小比较的法则：两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，熟练掌握两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键．12．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）比较各对数的大小：__________，__________．【答案】 【分析】根据负数小于0小于正数，负数中，绝对值大的数反而小，据此作答即可．【详解】∵，∴，∵，，∵，∴，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了有理数的大小的比较，掌握负数小于0小于正数，负数中，绝对值大的数反而小，是解答本题的关键．13．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）绝对值大于1小于的整数有______个；【答案】6【分析】根据绝对值的意义即可找出绝对值大于1小于的整数即可．【详解】解：绝对值大于1小于的整数有：；，共6个故答案为：6．【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义及有理数的大小比较，找出所有符合条件的整数是解题的关键．14．（2023·浙江·七年级假期作业）比较大小：（1）___________；（2）___________．【答案】 【分析】（1）根据负数都小于0比较即可；（2）先根据相反数和绝对值进行计算，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．【详解】解：（1）；（2），，，，∵，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．15．（2023·浙江·七年级假期作业）大于但又不大于1的整数是___________．【答案】，，0，1【分析】直接根据有理数的大小比较即可得出答案．【详解】解：大于但又不大于1的整数是，，0，1，故答案为：，，0，1．【点睛】本题考查了有理数大小比较的应用，熟知有理数的大小比较方法：正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，是解本题的关键．16．（2023·浙江·七年级假期作业）用“”或“”填空：（1）_____0（2）___（3）___0（4）_____ （5）______【答案】 【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3），故答案为：；（4）∵，∴，故答案为：；（5），∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，化简绝对值和化简多重符号，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小是解题的关键．17．（2023·浙江·七年级假期作业）若，，则、的大小关系是_____．【答案】【分析】先根据有理数比较大小的方法求出，再由即可得到．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，正确求出是解题的关键．18．（2023·浙江·七年级假期作业）比较大小：______【答案】【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：；；∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．三、解答题19．（2023·浙江·七年级假期作业）比较下列各对数的大小．(1)与；(2)与；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据绝对值的性质，计算出，，在比较两个正数的大小即可；（2）两个负数比较大小，先计算其绝对值，绝对值大的反而小，由此即可求解．【详解】（1）解：，，∵，∴．（2）解：∵，，且，∴．【点睛】本题主要考查绝对值的性质，数轴的特点，掌握绝对值的性质，数轴上数的特点是解题的关键．20．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）试用“”“ ”或“”填空：①　　；②　　；③　　；（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数、的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为　　；（3）请问，当、满足什么条件时，？【答案】（1）①；②；③＜；（2）≤；（3）①当，②，③，④，时．【分析】（1）先计算，再比较大小即可；（2）根据（1）的结果，进行比较即可；（3）根据（1）的结果，可发现，当、同号时，．【详解】解：（1）①，，；②，，；③，，；故答案为：；（2）；故答案为：；（3）①当，②，③，④，时．【点睛】本题考查了有理数的大小比较及绝对值的知识，解题的关键是注意培养自己由特殊到一般的总结能力．21．（2023·浙江·七年级假期作业）用数轴上的点表示下列各数，并把他们用“19>18>14>13>6>5，答：最远处离出发点A有23千米.【点睛】本题考查正数和负数的实际应用和有理数的大小比较，解题的关键是掌握正数和负数的实际应用和有理数的大小比较.25．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：①在数轴上分别表示出数， ，②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可；（2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可．【详解】解：（1）∵，，，在数轴上表示如下图，（2）①∵，∴，在数轴上分别表示数，如下图；②由数轴可得：．【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键．两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0