初中数学浙教版(2024)七年级上册2.2 有理数的减法课时训练
展开一.有理数的减法
(1)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 即:a﹣b=a+(﹣b)
(2)方法指引:
①在进行减法运算时,首先弄清减数的符号;
②将有理数转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变相反数);
【注意】:在有理数减法运算时,被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.
二.有理数的加减混合运算
(1)有理数加减混合运算的方法:有理数加减法统一成加法.
(2)方法指引:
①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式.
②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化.
三、有理数加减法混合运算技巧
(1)把算式中的减法转化为加法;
(2)去括号时注意符号,能省掉的“”号要省掉;
(3)多观察,巧妙利用运算律简便计算.
【考点剖析】
题型一:有理数减法法则的直接运用
例1、 计算:(1)(-32)-(+5); (2)(+2)-(-25).
【变式1】计算:(1)7.2-(-4.8); (2)-3eq \f(1,2)-5eq \f(1,4).
【变式2】(1)2-(-3); (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4); (3).
题型二:有理数减法的实际应用
例2.上海某天的最高气温为6℃,最低气温为-1℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
A.5℃ B.6℃ C.7℃ D.8℃
【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃,那么冷冻室的温度是( )
A.18℃B.﹣26℃C.﹣22℃D.﹣18℃
题型三:应用有理数减法法则判定正负性
例3.已知有理数a<0,b<0,且|a|>|b|,试判定a-b的符号.
【变式1】若|a|=4,|b|=2,且a+b的绝对值与相反数相等,则a﹣b的值是( )
A.﹣2B.﹣6C.﹣2或﹣6D.2或6
题型四:加减混合运算统一成加法运算
例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式,并用两种读法将它读出来.
(-13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)
题型五:有理数的加减混合运算
例5.计算:(1)-9.2-(-7.4)+9eq \f(1,5)+(-6eq \f(2,5))+(-4)+|-3|;
(2)-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)-(-12eq \f(2,3))-14+(-11eq \f(2,15));
(3)eq \f(2,3)-eq \f(1,8)-(-eq \f(1,3))+(-eq \f(3,8)).
【变式1】计算,能用简便方法的用简便方法计算.
(1) 26-18+5-16 ; (2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
(3)
(4)
(5) (6)
【变式2】计算:(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;
(2)11-12+13-15+16-18+17; (3)
(4)
(5); (6)
题型六:利用有理数加减运算解决实际问题
例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“+”号表示水位比前一天上升,“-”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位:米).
(1)本周哪一天河流水位最高,哪一天河流水位最低,它们位于警戒水位之上还是之下,与警戒水位的距离分别是多少?
(2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升还是下降了?
【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,向右爬行的路程记为正,向左爬行的路程记为负,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.(单位:cm)
小虫最后是否回到出发地O?为什么?
小虫离开O点最远时是多少?
在爬行过程中,如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻,则小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负,某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.
(1)问收工时距A地多远?
(2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工时共耗油多少升?
【过关检测】
一、单选题
1.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求,这里表示直径是,和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是,则下面产品合格的是( )
A.B.C.D.
2.(2023秋·浙江杭州·七年级统考期末)某地一天中午12时的气温是,14时的气温升高了,到晚上22时气温又降低了,则22时的气温为( )
A.B.C.D.
3.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)如果x是有理数,那么下列各式中一定比0大的是( )
A.B.C.D.
4.(2022秋·浙江湖州·七年级统考期末)在一次数学活动课上,数学老师将共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上,打乱顺序,然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片,并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上.写出的结果依次是甲:;乙:;丙:1;丁:.那么的值不可能是( )
A.2B.6C.D.
5.(2022秋·浙江·七年级校考期中)在数轴上点表示,与相距3.5个单位的点表示( )
A.5.5和B.和1.5C.1.5D.
6.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)某天一潜水员下海,他从水面潜入水下18米,后因海水中的洋流,上升了8米,在洋流过去后,他下潜到预定的水下35米的位置,则该潜水员在洋流过程后,下潜了( )
A.9米B.10米C.17米D.25米
7.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)手机移动支付给生活带来便捷.右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),张老师当天微信收支的最终结果是( )
A.收入19.00元B.支出10元C.支出3.00元D.支出22.00元
8.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)比大1的数( )
A.B.C.D.
9.(2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习)若,则括号内的数是( )
A.B.C.D.
10.(2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习)在数1,2,3,4,5,6,7,8前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是0,算式可以列为:.若在数1,2,3……,n前添加“+”,“-”并依次运算,使所得结果可能的最小非负数是0,则数n不可能是( )
A.2020B.2021C.2023D.2024
二、填空题
11.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)如图是小强与他妈妈的对话,小强说:买笔记本花了元……,则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元.
12.(2023秋·浙江金华·七年级校考期末)如图是一台冰箱的显示屏,则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______.
13.(2022秋·浙江·七年级专题练习)若,求的相反数=__.
14.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)如图,数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则A点表示的数为_________________.
15.(2021秋·浙江金华·七年级统考期末)小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式,请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”(不限定个数),使等式成立:___________
16.(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末)整数a、b、c满足,其中且,则的最小值是________.
17.(2022秋·浙江衢州·七年级校考期中)数轴上点对应的数是,那么与相距2个单位长度的点对应的数是______.
18.(2022秋·浙江宁波·七年级统考期中)在数轴上,点M,N分别表示数m,n,则点M,N之间的距离为.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示数a,b,c,d,且,则线段BD的长度为______.
三、解答题
19.(2022秋·浙江·七年级专题练习)邮递员骑车从邮局出发,先向西骑行2km到达A村,继续向西骑行3km到达B村,然后向东骑行9km到达C村,最后回到邮局.
(1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,以1个单位表示1km,在该数轴上表示A,B,C三个村庄的位置;
(2)C村离A村有多远?
(3)邮递员一共骑行了多少千米?
20.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知,求的值.
21.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知a,b、c三数在数轴上的位置如图所示,化简.
22.(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)杭州某公交自行车服务点一共有停车桩20个.某日上午6点整,服务点共停放了14辆公交自行车.6点以后,各时间段存取自行车辆次记录如下表:(单位:辆)
(1)求当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数;
(2)求16点整,该服务点还停放着几辆公交自行车.
23.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)“数形结合”是重要的数学思想.如:表示3与差的绝对值,实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离.进一步地,数轴上两个点A,B所对应的数分别用a,b表示,那么A,B两点之间的距离表示为.利用此结论,回答以下问题:
(1)数轴上和5这两点之间的距离为 .
(2)若x表示一个实数,的最小值为 .
(3)直接写出所有符合条件的x,使得,则x的值为 .
24.(2022秋·浙江·七年级专题练习)计算:
(1)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5﹣(+6) (2)3)+5+(﹣8);
(3)2.7+(﹣8.5)﹣(+3.4)﹣(﹣1.2) (4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2.
25.(2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习)计算:
(1)7﹣(﹣4)+(﹣5) (2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
(3) (4)
26.(2022秋·浙江·七年级专题练习)在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,例如:.
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式;
①______;
②______;
③=______;
(2)用合理的方法计算:;
(3)用简单的方法计算:.
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
0.2
0.81
-0.35
0.13
0.28
-0.36
-0.01
6:00~8:00
8:00~10:00
10:00~12:00
12:00~14:00
14:00~16:00
取车
12
7
11
9
8
存年
6
8
9
9
6
第06讲 有理数的减法(6种题型)
【知识梳理】
一.有理数的减法
(1)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 即:a﹣b=a+(﹣b)
(2)方法指引:
①在进行减法运算时,首先弄清减数的符号;
②将有理数转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变相反数);
【注意】:在有理数减法运算时,被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.
二.有理数的加减混合运算
(1)有理数加减混合运算的方法:有理数加减法统一成加法.
(2)方法指引:
①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式.
②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化.
三、有理数加减法混合运算技巧
(1)把算式中的减法转化为加法;
(2)去括号时注意符号,能省掉的“”号要省掉;
(3)多观察,巧妙利用运算律简便计算.
【考点剖析】
题型一:有理数减法法则的直接运用
例1、 计算:(1)(-32)-(+5); (2)(+2)-(-25).
【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
【答案与解析】法一:
法二:(1)原式=-32-5=-32+(-5)=-37;(2)原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
【变式1】计算:(1)7.2-(-4.8); (2)-3eq \f(1,2)-5eq \f(1,4).
解析:先根据有理数的减法法则,将减法转化为加法,再根据有理数的加法法则计算即可.
解:(1)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12;
(2)-3eq \f(1,2)-5eq \f(1,4)=-3eq \f(1,2)+(-5eq \f(1,4))=-(3eq \f(1,2)+5eq \f(1,4))=-8eq \f(3,4).
方法总结:进行有理数减法运算时,将减法转化为加法,再根据有理数加法法则进行计算.要特别注意减数的符号.
【变式2】(1)2-(-3); (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4); (3).
【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算.
(1)2-(-3)=2+3=5 (2)原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5
(3)原式=
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
题型二:有理数减法的实际应用
例2.上海某天的最高气温为6℃,最低气温为-1℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
A.5℃ B.6℃ C.7℃ D.8℃
解析:由题意得6-(-1)=6+1=7(℃),故选C.
方法总结:要根据题意列出算式,再运用有理数的减法法则解答.
【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃,那么冷冻室的温度是( )
A.18℃B.﹣26℃C.﹣22℃D.﹣18℃
【分析】根据题意列出算式,再根据有理数的减法法则计算即可,有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
【解答】解:根据题意得:4﹣22=﹣18(℃),
则这台电冰箱冷冻室的温度为﹣18℃.
故选:D.
【点评】此题考查了有理数的减法,弄清题意并掌握有理数的减法法则是解本题的关键.
题型三:应用有理数减法法则判定正负性
例3.已知有理数a<0,b<0,且|a|>|b|,试判定a-b的符号.
解析:判断a,b差的符号,可能不好理解,不妨把它转化为加法a-b=a+(-b),利用加法法则进行判定.
解:因为b<0,所以-b>0.又因为a<0,a-b=a+(-b),所以a与-b是异号两数相加,那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定,因为|a|>|b|,即|a|>|-b|,所以取a的符号,而a<0,因此a-b的符号为负号.
方法总结:此类问题如果是填空或选择题,可以采用“特殊值”法进行判断,若是解答题,可以将减法转化为加法通过运算法则来解答.
【变式1】若|a|=4,|b|=2,且a+b的绝对值与相反数相等,则a﹣b的值是( )
A.﹣2B.﹣6C.﹣2或﹣6D.2或6
【分析】根据绝对值的意义确定a和b的取值,然后代入求值.
【解答】解:∵|a|=4,|b|=2,
∴a=±4,b=±2,
又∵a+b的绝对值与相反数相等,
∴a+b≤0,
∴a=﹣4,b=2或a=﹣4,b=﹣2,
当a=﹣4,b=2时,a﹣b=﹣4﹣2=﹣6,
当a=﹣4,b=﹣2时,a﹣b=﹣4﹣(﹣2)=﹣2,
综上,a﹣b的值为﹣2或﹣6,
故选:C.
【点评】本题考查绝对值,相反数,有理数的减法运算,理解绝对值及相反数的概念,掌握有理数减法运算法则是解题关键.
题型四:加减混合运算统一成加法运算
例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式,并用两种读法将它读出来.
(-13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)
解析:先把加减法统一成加法,再省略括号和加号;读有理式,式子中第一项的符号,要作为这一项的符号读出正负来,式子中的符号就读作加或减.
解:(-13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)=-13+7-21-9+32.
读法①:负13、正7、负21、负9、正32的和;
读法②:负13减去负7减去21减去9加上32.
方法总结:注意掌握括号前是“+”号时,将括号连同它前边的“+”号去掉,括号内各项都不变;括号前是“-”号时,将括号连同它前边的“-”去掉,括号内各项都要变号.
题型五:有理数的加减混合运算
例5.计算:(1)-9.2-(-7.4)+9eq \f(1,5)+(-6eq \f(2,5))+(-4)+|-3|;
(2)-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)-(-12eq \f(2,3))-14+(-11eq \f(2,15));
(3)eq \f(2,3)-eq \f(1,8)-(-eq \f(1,3))+(-eq \f(3,8)).
解析:本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法,省略加号后,运用加法运算律,简化运算,求出结果.其中互为相反数的两数先结合;能凑成整数的各数先结合.另外,同号各数先结合;同分母或易通分的各数先结合.
解:(1)-9.2-(-7.4)+9eq \f(1,5)+(-6eq \f(2,5))+(-4)+|-3|=-9.2+7.4+9.2+(-6.4)+(-4)+|-3|=-9.2+7.4+9.2-6.4-4+3=(-9.2+9.2)+(7.4-6.4)-4+3=0+1-4+3=0;
(2)-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)-(-12eq \f(2,3))-14+(-11eq \f(2,15))=-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)+12eq \f(2,3)-14-11eq \f(2,15)=(-14eq \f(2,3)+12eq \f(2,3))+(11eq \f(2,15)-11eq \f(2,15))-14=-2+0-14=-16;
(3)eq \f(2,3)-eq \f(1,8)-(-eq \f(1,3))+(-eq \f(3,8))=eq \f(2,3)-eq \f(1,8)+eq \f(1,3)-eq \f(3,8)=(eq \f(2,3)+eq \f(1,3))+(-eq \f(1,8)-eq \f(3,8))=1+(-eq \f(1,2))=eq \f(1,2).
方法总结:(1)为使运算简便,可适当运用加法的结合律与交换律.在交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.(2)注意同分母分数相加,互为相反数相加,凑成整数的数相加,这样计算简便.(3)当一个算式中既有小数又有分数时,一般要统一,具体是统一成分数还是小数,要看哪一种计算简便.
【变式1】计算,能用简便方法的用简便方法计算.
(1) 26-18+5-16 ; (2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
(3)
(4)
(5) (6)
【答案与解析】
(1) 26-18+5-16
=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法
=(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加
= 31+(-34)=-3
(2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加
=0
(3)
→同分母的数先加
(4)
→统一成加法
→整数、小数、分数分别加
(5)
→统一同一形式(小数或分数),把可凑整的放一起
(6)
→整数,分数分别加
【总结升华】在进行加减混合的运算时,(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算;(2)观察各加数之间的关系,再运用“技巧”适当交换加数的位置,注意交换时各加数的带着符号一起交换.
【变式2】计算:(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;
(2)11-12+13-15+16-18+17; (3)
(4)
(5); (6)
【答案与解析】
(1)观察各个加数,可以发现-3.72与3.72互为相反数,把它们分为一组;
4.18、-2.93与-1.25的和为0,把它们分为一组可使计算简便.
解:-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
=(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
=0+0-1.23=-1.23
(2)把正数和负数分别分为一组.
解:11-12+13-15+16-18+17
=(11+13+16+17)+(-12-15-18)
=57+(-45)=12
(3)仔细观察各个加数,可以发现两个小数的和是-1,两个整数的和是29,三个分数通分后也不难算.故把整数、分数、小数分别分为一组.
解:
(4)3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组;-3.87与3.37的和为-0.5,把它们分为一组;与 易于通分,把它们分为一组;与同分母,把它们分为一组.
解:
(5)先把整数分离后再分组.
解:
注:带分数中的整数与分数分离时,如果这个数是负数,那么分离得到的整数与分数都是负数,例如 .
(6)如果按小数、整数分组,效果似乎不是很好.可先将小数和分数统一后再考虑分组.
解:
【总结升华】计算多个有理数相加时,必须先审题,分析特点,寻找规律,然后再去计算.注意在交换加数的位置时,要连同符号一起交换.
题型六:利用有理数加减运算解决实际问题
例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“+”号表示水位比前一天上升,“-”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位:米).
(1)本周哪一天河流水位最高,哪一天河流水位最低,它们位于警戒水位之上还是之下,与警戒水位的距离分别是多少?
(2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升还是下降了?
解析:(1)先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.理解表中的正负号表示的含义,根据条件计算出每天的水位即可求解;(2)只要观察星期日的水位是正负即可.
解:(1)以警戒水位为基准,前两天的水位是上升的,星期一的水位是+0.20米;星期二的水位是+0.20+0.81=1.01米;星期三的水位是+1.01-0.35=+0.66米;星期四的水位是:+0.66+0.13=0.79米;星期五的水位是:0.79+0.28=1.07米;星期六的水位是:1.07-0.36=0.71米;星期日的水位是:0.71-0.01=0.7米;则水位最低的一天是第一天,高于警戒水位;水位最高的是第5天;
(2)+0.20+0.81-0.35+0.13+0.28-0.36-0.01=+0.7米;则本周末河流的水位是上升了0.7米.
方法总结:解此题的关键是分析题意列出算式,采用的数学思想是转化思想,即把实际问题转化成数学问题.
【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,向右爬行的路程记为正,向左爬行的路程记为负,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.(单位:cm)
小虫最后是否回到出发地O?为什么?
小虫离开O点最远时是多少?
在爬行过程中,如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻,则小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成:一是性质符号,表示的爬行的方向,二是绝对值部分,表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义:方向和路程大小;若只把它们的绝对值相加,则最后结果只表示路程的大小.
【答案与解析】
解:(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)
=(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=0
0表示最后小虫又回到了出发点O
答:小虫最后回到了出发地O.
(2) (+5)+(-3)=+2;
(+5)+(-3)+(+10)=+12;
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)=+4;
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)=-2;
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)=+10;
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0.
因为绝对值最大的是+12,所以小虫离开O点最远时是向右12cm;
(3) (cm), 所以小虫爬行的总路程是54 cm,
由 (粒)
答:小虫一共可以得到54粒芝麻.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题,这就需要我们认真观察、大胆分析和设想.
【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负,某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.
(1)问收工时距A地多远?
(2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工时共耗油多少升?
【答案与解析】(1)求收工时距A地多远,应求出已知10个有理数的和,若和为正数,则在A地前面,若和为负数,则在A地后面;距A地的路程均为和的绝对值.
解:(1) (+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)
=[+2+(-2)]+[(-8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(-3)
=0+0+44+(-3)=41(千米);
(2)要求耗油量,需求出汽车共行走的路程,即求各数的绝对值之和,然后乘以0.2升即可.
(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4(升).
答:收工时在A地前面41千米,从A地出发到收工时共耗油13.4升.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题,这就需要我们认真观察、大胆分析和设想.
【过关检测】
一、单选题
1.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求,这里表示直径是,和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是,则下面产品合格的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据题意可得出合格的范围,从而可判断出直径是39.96mm和40.03mm的两根轴是否合格.
【详解】由题意得:合格范围为:到,
而,,
∴A,C,D都不合格,
∵
∴B选项是合格品,
故选:B.
【点睛】本题考查正数和负数的知识,有理数的加减运算的实际应用,注意先求出合格的范围是关键.
2.(2023秋·浙江杭州·七年级统考期末)某地一天中午12时的气温是,14时的气温升高了,到晚上22时气温又降低了,则22时的气温为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据有理数加减计算法则求解即可.
【详解】解:,
∴22时的气温为,
故选C.
【点睛】本题主要考查了有理数加减计算的实际应用,正确计算是解题的关键.
3.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)如果x是有理数,那么下列各式中一定比0大的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据有理数的大小比较法则以及绝对值的性质判断即可.
【详解】解:A.当时,,故本选项不合题意;
B.当时,,故本选项不合题意;
C.∵,
∴,故本选项符合题意;
D.当时,,故本选项不合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了绝对值以及有理数大小比较的方法,熟知有理数比较大小的法则是解题的关键.
4.(2022秋·浙江湖州·七年级统考期末)在一次数学活动课上,数学老师将共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上,打乱顺序,然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片,并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上.写出的结果依次是甲:;乙:;丙:1;丁:.那么的值不可能是( )
A.2B.6C.D.
【答案】C
【分析】设最后剩余两张的数字之和为,得到,得到,当时,,由这十个连续整数中,两数之和最大为7,即可得到结论.
【详解】解:设最后剩余两张的数字之和为,
,
当时,.
这十个连续整数中,两数之和最大为7,
不可能为.
故选:C
【点睛】此题主要考查了有理数的的加减法,读懂题意是解题的关键.
5.(2022秋·浙江·七年级校考期中)在数轴上点表示,与相距3.5个单位的点表示( )
A.5.5和B.和1.5C.1.5D.
【答案】B
【分析】与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数,据此求解即可.
【详解】解:根据题意可得:
与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数,
,
则表示的数是:和1.5,
故选:B.
【点睛】本题考查了数轴的性质,有理数的加减运算,理解点表示,那么与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数的解题的关键.
6.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)某天一潜水员下海,他从水面潜入水下18米,后因海水中的洋流,上升了8米,在洋流过去后,他下潜到预定的水下35米的位置,则该潜水员在洋流过程后,下潜了( )
A.9米B.10米C.17米D.25米
【答案】D
【分析】根据有理数的加减运算,即可求解.
【详解】解:根据题意得:该潜水员在洋流过程后,下潜了米.
故选:D
【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算的应用,明确题意,准确列出算式是解题的关键.
7.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)手机移动支付给生活带来便捷.右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),张老师当天微信收支的最终结果是( )
A.收入19.00元B.支出10元C.支出3.00元D.支出22.00元
【答案】C
【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解.
【详解】解:(元),即表示支出3元,
故选:C.
【点睛】本题考查了正负数的意义,掌握有理数的加减运算是解题的关键.
8.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)比大1的数( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据有理数的减法运算,逐项判断即可求解.
【详解】解:A、,故本选项不符合题意;
B、,故本选项符合题意;
C、,故本选项不符合题意;
D、,故本选项不符合题意;
故选:B
【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算,熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键.
9.(2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习)若,则括号内的数是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】利用被减数等于减数加上差列式求解即可.
【详解】解:,
故选:C.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算,利用被减数等于减数加上差列出算式是解题的关键.
10.(2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习)在数1,2,3,4,5,6,7,8前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是0,算式可以列为:.若在数1,2,3……,n前添加“+”,“-”并依次运算,使所得结果可能的最小非负数是0,则数n不可能是( )
A.2020B.2021C.2023D.2024
【答案】B
【分析】分是4的倍数,余数为0,1,2,3四种情况求出最小的非负数即可作出判断.
【详解】解:由题意知,,,
当是4的倍数时,结果可能的最小非负数为0;
当除以4余1时,第一个数为1,后面的数的和为0,则结果可能的最小非负数为1;
当除以4余2时,前两个数为1,2,,后面的数的和为0,则结果可能的最小非负数为1;
当除以4余3时,前两个数为1,2,3,,后面的数的和为0,则结果可能的最小非负数为0.
、2024均能被4整除、2023除以4余数为3,2021除4余数为1,
数不可能是2021,
故选:B.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
二、填空题
11.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)如图是小强与他妈妈的对话,小强说:买笔记本花了元……,则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元.
【答案】
【分析】用元减去已知的花销,即可求出剩下部分.
【详解】解:元
故答案是.
【点睛】本题考查了小数的减法,直接计算即可.
12.(2023秋·浙江金华·七年级校考期末)如图是一台冰箱的显示屏,则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______.
【答案】22
【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案.
【详解】解:(℃),
∴变温室与冷冻室的温差为,
故答案为:22.
【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用,正确计算是解题的关键.
13.(2022秋·浙江·七年级专题练习)若,求的相反数=__.
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性求出x和y的值,然后代入求相反数即可.
【详解】解:∵,
∴,
解得.
∴,
∴的相反数是.
故答案为:.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性,相反数,以及有理数的减法,求出x和y的值是解答本题的关键.
14.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)如图,数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则A点表示的数为_________________.
【答案】
【分析】根据点在数轴上移动的规律:左减右加解答即可.
【详解】解:根据题意可得:点A表示的数为:,
故答案为:.
【点睛】本题考查数轴上点的平移规律,解决此题的关键是熟练掌握左减右加,也考查了有理数的加减运算.
15.(2021秋·浙江金华·七年级统考期末)小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式,请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”(不限定个数),使等式成立:___________
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据有理数的加减运算即可求出答案.
【详解】解:,
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】本题考查有理数的加减运算,解题的关键是熟练运用有理数的加减运算.
16.(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末)整数a、b、c满足,其中且,则的最小值是________.
【答案】
【分析】根据题意得出,,,确定,,,或,,,然后分情况讨论求解即可.
【详解】解:,求的最小值,,
∴,,,
∴,,,或,,,
∵,
∴当,,时,,
当,,时,,
当,,时,,
当,,时,,
当,,时,,
当,,时,,
当,,时,,
当,,时,,
∴的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查整式的加减及绝对值的意义,有理数的大小比较,理解题意进行分类讨论是解题关键.
17.(2022秋·浙江衢州·七年级校考期中)数轴上点对应的数是,那么与相距2个单位长度的点对应的数是______.
【答案】或
【分析】此题注意考虑两种情况:当点在A点的左侧时,用减法,当点在A点的右侧时,用加法,即可得出结果.
【详解】解:在A点左边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为;
在A点右边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为.
故答案为:或.
【点睛】本题考查的是数轴,熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.
18.(2022秋·浙江宁波·七年级统考期中)在数轴上,点M,N分别表示数m,n,则点M,N之间的距离为.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示数a,b,c,d,且,则线段BD的长度为______.
【答案】1或7/7或1
【分析】根据,可得点C在点A,B之间,从而得到A,B间的距离为4,再由,可得A、D两点间的距离为,然后分两种情况讨论:当点D在点A的左侧时,当点D在点A的右侧时,即可求解.
【详解】解:∵,
∴点C在点A,B之间,且点A,C两点间的距离为2,B,C两点间的距离为2,
∴A,B间的距离为4,
∵,
∴,
即A、D两点间的距离为,
不妨设,
当点D在点A的左侧时,线段的长度为;
当点D在点A的右侧时,线段的长度为;
综上所述,线段的长度为或.
故答案为:或.
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离,有理数的加减运算,利用分类讨论思想解答是解题的关键.
三、解答题
19.(2022秋·浙江·七年级专题练习)邮递员骑车从邮局出发,先向西骑行2km到达A村,继续向西骑行3km到达B村,然后向东骑行9km到达C村,最后回到邮局.
(1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,以1个单位表示1km,在该数轴上表示A,B,C三个村庄的位置;
(2)C村离A村有多远?
(3)邮递员一共骑行了多少千米?
【答案】(1)答案见解析
(2)6千米
(3)18千米
【分析】(1)根据已知条件在数轴上表示出来即可;
(2)根据题意列出算式,即可得出答案;
(3)根据题意列出算式,即可得出答案.
【详解】(1)解:
(2)解:村离村的距离为;
(3)解:邮递员一共行驶了(千米).
【点睛】本题考查了数轴,有理数的加减的应用,能读懂题意是解此题的关键.
20.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知,求的值.
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性求出,,再代入计算即可.
【详解】∵,,,
∴,,
解得,,
∴.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性有有理数的减法,求出,是解题的关键.
21.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知a,b、c三数在数轴上的位置如图所示,化简.
【答案】
【分析】先根据数轴得到,再作答即可.
【详解】解:由图可知,,
故.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性和根据数轴判断正负,根据数轴得到是解题的关键.
22.(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)杭州某公交自行车服务点一共有停车桩20个.某日上午6点整,服务点共停放了14辆公交自行车.6点以后,各时间段存取自行车辆次记录如下表:(单位:辆)
(1)求当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数;
(2)求16点整,该服务点还停放着几辆公交自行车.
【答案】(1)当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数为次
(2)16点整,该服务点还停放着辆公交自行车
【分析】(1)将取车的次数相加即可求解;
(2)记取车为负,存车为正,根据表格数据相加减即可求解.
【详解】(1)解:,
答:当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数为次;
(2)记取车为负,存车为正,
∵某日上午6点整,服务点共停放了14辆公交自行车,当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数为次.
∴16点整,该服务点还停放着:辆,
答:16点整,该服务点还停放着辆公交自行车
【点睛】本题考查了正负数的意义,有理数的加减运算的应用,根据题意列出算式是解题的关键.
23.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)“数形结合”是重要的数学思想.如:表示3与差的绝对值,实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离.进一步地,数轴上两个点A,B所对应的数分别用a,b表示,那么A,B两点之间的距离表示为.利用此结论,回答以下问题:
(1)数轴上和5这两点之间的距离为 .
(2)若x表示一个实数,的最小值为 .
(3)直接写出所有符合条件的x,使得,则x的值为 .
【答案】(1)7
(2)6
(3)或3
【分析】(1)利用数轴直观得出答案.
(2)x在到4之间值最小,两点之间线段最短.
(3)x到2到距离之和是7,与9相差2,分到两段中,每段加1,得出结果.
【详解】(1).
故答案为:7;
(2)表示x到和4的距离之和,
当时,;
当时,;
当时,,
故最小值为6.
故答案为:6;
(3)表示x到和4的距离之和等于9,
时,,
当时,;
当时,.
故答案为或3.
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离,绝对值的几何意义,解本题的关键是分段讨论.
24.(2022秋·浙江·七年级专题练习)计算:
(1)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5﹣(+6)
(2)3)+5+(﹣8);
(3)2.7+(﹣8.5)﹣(+3.4)﹣(﹣1.2)
(4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2.
【答案】(1)0.1
(2)﹣2.5
(3)﹣8
(4)﹣1.2
【分析】(1)先利用去括号法则去掉括号,再利用法则进行有理数的运算;
(2)先利用去括号法则去掉括号,再利用加法的交换律结合律把同分母分数结合在一起运算;
(3)先利用去括号法则去掉括号,再利用有理数的加减混合运算法则进行运算;
(4)先把互为相反数的两个分数结合在一起,然后利用有理数的加减法则计算.
(1)
解: 4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5﹣(+6)
=4.7+8.9﹣7.5﹣6
=13.6﹣13.5
=0.1;
(2)
解:3)+5+(﹣8)
=3﹣2+5﹣8
=3+5﹣2﹣8
=8.5﹣11
=﹣2.5;
(3)
解:2.7+(﹣8.5)﹣(+3.4)﹣(﹣1.2)
=2.7﹣8.5﹣3.4+1.2
=3.9﹣11.9
=﹣8;
(4)
﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2
=﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2
=﹣0.2﹣1
=﹣1.2.
【点睛】在进行有理数的加减混合运算时,先去括号,化简成最简形式,然后利用有理数混合运算法则并结合运算定律简便运算,熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键.
25.(2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习)计算:
(1)7﹣(﹣4)+(﹣5)
(2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
(3)
(4)
【答案】(1)6;
(2)−2;
(3);
(4)
【分析】(1)根据有理数的加减法法则计算即可;
(2)根据有理数的加减法法则计算即可;
(3)根据有理数的加减法法则计算即可;
(4)根据有理数的加法法则计算即可.
(1)
解:7-(-4)+(-5),
=7+4+(-5),
=11+(-5),
=6
(2)
解:,
=−2
(3)
解:
(4)
解:
【点睛】本题主要考查了有理数的加减法运算,熟练掌握加减法法则是解题的关键,熟练利用加法运算律是简便计算的关键.
26.(2022秋·浙江·七年级专题练习)在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,例如:.
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式;
①______;
②______;
③=______;
(2)用合理的方法计算:;
(3)用简单的方法计算:.
【答案】(1)①;②;③;
(2)
(3)
【分析】(1)①②③利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可;
(2)利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可;
(3)利用规律化简运算即可.
【详解】(1)①;
②;
③;
故答案为:①;②;③;
(2)原式
;
(3)原式
=.
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算,本题是阅读型,正确理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键.
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
0.2
0.81
-0.35
0.13
0.28
-0.36
-0.01
6:00~8:00
8:00~10:00
10:00~12:00
12:00~14:00
14:00~16:00
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初中数学浙教版(2024)七年级上册第3章 实数3.4 实数的运算练习: 这是一份初中数学浙教版(2024)七年级上册<a href="/sx/tb_c12333_t7/?tag_id=28" target="_blank">第3章 实数3.4 实数的运算练习</a>,共42页。
初中数学浙教版(2024)七年级上册3.3 立方根课后测评: 这是一份初中数学浙教版(2024)七年级上册<a href="/sx/tb_c12335_t7/?tag_id=28" target="_blank">3.3 立方根课后测评</a>,共26页。
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