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    浙教版七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第06讲有理数的减法(6种题型)(原卷版+解析)
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    初中数学浙教版(2024)七年级上册2.2 有理数的减法课时训练

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    这是一份初中数学浙教版(2024)七年级上册2.2 有理数的减法课时训练,共34页。

    一.有理数的减法
    (1)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 即:a﹣b=a+(﹣b)
    (2)方法指引:
    ①在进行减法运算时,首先弄清减数的符号;
    ②将有理数转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变相反数);
    【注意】:在有理数减法运算时,被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.
    二.有理数的加减混合运算
    (1)有理数加减混合运算的方法:有理数加减法统一成加法.
    (2)方法指引:
    ①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式.
    ②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化.
    三、有理数加减法混合运算技巧
    (1)把算式中的减法转化为加法;
    (2)去括号时注意符号,能省掉的“”号要省掉;
    (3)多观察,巧妙利用运算律简便计算.
    【考点剖析】
    题型一:有理数减法法则的直接运用
    例1、 计算:(1)(-32)-(+5); (2)(+2)-(-25).
    【变式1】计算:(1)7.2-(-4.8); (2)-3eq \f(1,2)-5eq \f(1,4).
    【变式2】(1)2-(-3); (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4); (3).
    题型二:有理数减法的实际应用
    例2.上海某天的最高气温为6℃,最低气温为-1℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
    A.5℃ B.6℃ C.7℃ D.8℃
    【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃,那么冷冻室的温度是( )
    A.18℃B.﹣26℃C.﹣22℃D.﹣18℃
    题型三:应用有理数减法法则判定正负性
    例3.已知有理数a<0,b<0,且|a|>|b|,试判定a-b的符号.
    【变式1】若|a|=4,|b|=2,且a+b的绝对值与相反数相等,则a﹣b的值是( )
    A.﹣2B.﹣6C.﹣2或﹣6D.2或6
    题型四:加减混合运算统一成加法运算
    例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式,并用两种读法将它读出来.
    (-13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)
    题型五:有理数的加减混合运算
    例5.计算:(1)-9.2-(-7.4)+9eq \f(1,5)+(-6eq \f(2,5))+(-4)+|-3|;
    (2)-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)-(-12eq \f(2,3))-14+(-11eq \f(2,15));
    (3)eq \f(2,3)-eq \f(1,8)-(-eq \f(1,3))+(-eq \f(3,8)).
    【变式1】计算,能用简便方法的用简便方法计算.
    (1) 26-18+5-16 ; (2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
    (3)
    (4)
    (5) (6)
    【变式2】计算:(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;
    (2)11-12+13-15+16-18+17; (3)
    (4)
    (5); (6)
    题型六:利用有理数加减运算解决实际问题
    例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“+”号表示水位比前一天上升,“-”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位:米).
    (1)本周哪一天河流水位最高,哪一天河流水位最低,它们位于警戒水位之上还是之下,与警戒水位的距离分别是多少?
    (2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升还是下降了?
    【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,向右爬行的路程记为正,向左爬行的路程记为负,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.(单位:cm)
    小虫最后是否回到出发地O?为什么?
    小虫离开O点最远时是多少?
    在爬行过程中,如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻,则小虫一共可以得到多少粒芝麻?
    【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负,某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.
    (1)问收工时距A地多远?
    (2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工时共耗油多少升?
    【过关检测】
    一、单选题
    1.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求,这里表示直径是,和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是,则下面产品合格的是( )
    A.B.C.D.
    2.(2023秋·浙江杭州·七年级统考期末)某地一天中午12时的气温是,14时的气温升高了,到晚上22时气温又降低了,则22时的气温为( )
    A.B.C.D.
    3.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)如果x是有理数,那么下列各式中一定比0大的是( )
    A.B.C.D.
    4.(2022秋·浙江湖州·七年级统考期末)在一次数学活动课上,数学老师将共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上,打乱顺序,然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片,并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上.写出的结果依次是甲:;乙:;丙:1;丁:.那么的值不可能是( )
    A.2B.6C.D.
    5.(2022秋·浙江·七年级校考期中)在数轴上点表示,与相距3.5个单位的点表示( )
    A.5.5和B.和1.5C.1.5D.
    6.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)某天一潜水员下海,他从水面潜入水下18米,后因海水中的洋流,上升了8米,在洋流过去后,他下潜到预定的水下35米的位置,则该潜水员在洋流过程后,下潜了( )
    A.9米B.10米C.17米D.25米
    7.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)手机移动支付给生活带来便捷.右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),张老师当天微信收支的最终结果是( )
    A.收入19.00元B.支出10元C.支出3.00元D.支出22.00元
    8.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)比大1的数( )
    A.B.C.D.
    9.(2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习)若,则括号内的数是( )
    A.B.C.D.
    10.(2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习)在数1,2,3,4,5,6,7,8前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是0,算式可以列为:.若在数1,2,3……,n前添加“+”,“-”并依次运算,使所得结果可能的最小非负数是0,则数n不可能是( )
    A.2020B.2021C.2023D.2024
    二、填空题
    11.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)如图是小强与他妈妈的对话,小强说:买笔记本花了元……,则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元.
    12.(2023秋·浙江金华·七年级校考期末)如图是一台冰箱的显示屏,则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______.
    13.(2022秋·浙江·七年级专题练习)若,求的相反数=__.
    14.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)如图,数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则A点表示的数为_________________.
    15.(2021秋·浙江金华·七年级统考期末)小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式,请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”(不限定个数),使等式成立:___________
    16.(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末)整数a、b、c满足,其中且,则的最小值是________.
    17.(2022秋·浙江衢州·七年级校考期中)数轴上点对应的数是,那么与相距2个单位长度的点对应的数是______.
    18.(2022秋·浙江宁波·七年级统考期中)在数轴上,点M,N分别表示数m,n,则点M,N之间的距离为.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示数a,b,c,d,且,则线段BD的长度为______.
    三、解答题
    19.(2022秋·浙江·七年级专题练习)邮递员骑车从邮局出发,先向西骑行2km到达A村,继续向西骑行3km到达B村,然后向东骑行9km到达C村,最后回到邮局.
    (1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,以1个单位表示1km,在该数轴上表示A,B,C三个村庄的位置;
    (2)C村离A村有多远?
    (3)邮递员一共骑行了多少千米?
    20.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知,求的值.
    21.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知a,b、c三数在数轴上的位置如图所示,化简.
    22.(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)杭州某公交自行车服务点一共有停车桩20个.某日上午6点整,服务点共停放了14辆公交自行车.6点以后,各时间段存取自行车辆次记录如下表:(单位:辆)
    (1)求当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数;
    (2)求16点整,该服务点还停放着几辆公交自行车.
    23.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)“数形结合”是重要的数学思想.如:表示3与差的绝对值,实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离.进一步地,数轴上两个点A,B所对应的数分别用a,b表示,那么A,B两点之间的距离表示为.利用此结论,回答以下问题:
    (1)数轴上和5这两点之间的距离为 .
    (2)若x表示一个实数,的最小值为 .
    (3)直接写出所有符合条件的x,使得,则x的值为 .
    24.(2022秋·浙江·七年级专题练习)计算:
    (1)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5﹣(+6) (2)3)+5+(﹣8);
    (3)2.7+(﹣8.5)﹣(+3.4)﹣(﹣1.2) (4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2.
    25.(2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习)计算:
    (1)7﹣(﹣4)+(﹣5) (2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
    (3) (4)
    26.(2022秋·浙江·七年级专题练习)在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,例如:.
    (1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式;
    ①______;
    ②______;
    ③=______;
    (2)用合理的方法计算:;
    (3)用简单的方法计算:.
    星期







    水位变化
    0.2
    0.81
    -0.35
    0.13
    0.28
    -0.36
    -0.01
    6:00~8:00
    8:00~10:00
    10:00~12:00
    12:00~14:00
    14:00~16:00
    取车
    12
    7
    11
    9
    8
    存年
    6
    8
    9
    9
    6
    第06讲 有理数的减法(6种题型)
    【知识梳理】
    一.有理数的减法
    (1)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 即:a﹣b=a+(﹣b)
    (2)方法指引:
    ①在进行减法运算时,首先弄清减数的符号;
    ②将有理数转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变相反数);
    【注意】:在有理数减法运算时,被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.
    二.有理数的加减混合运算
    (1)有理数加减混合运算的方法:有理数加减法统一成加法.
    (2)方法指引:
    ①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式.
    ②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化.
    三、有理数加减法混合运算技巧
    (1)把算式中的减法转化为加法;
    (2)去括号时注意符号,能省掉的“”号要省掉;
    (3)多观察,巧妙利用运算律简便计算.
    【考点剖析】
    题型一:有理数减法法则的直接运用
    例1、 计算:(1)(-32)-(+5); (2)(+2)-(-25).
    【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
    【答案与解析】法一:
    法二:(1)原式=-32-5=-32+(-5)=-37;(2)原式=2+25=27
    【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
    【变式1】计算:(1)7.2-(-4.8); (2)-3eq \f(1,2)-5eq \f(1,4).
    解析:先根据有理数的减法法则,将减法转化为加法,再根据有理数的加法法则计算即可.
    解:(1)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12;
    (2)-3eq \f(1,2)-5eq \f(1,4)=-3eq \f(1,2)+(-5eq \f(1,4))=-(3eq \f(1,2)+5eq \f(1,4))=-8eq \f(3,4).
    方法总结:进行有理数减法运算时,将减法转化为加法,再根据有理数加法法则进行计算.要特别注意减数的符号.
    【变式2】(1)2-(-3); (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4); (3).
    【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
    【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算.
    (1)2-(-3)=2+3=5 (2)原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5
    (3)原式=
    【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
    题型二:有理数减法的实际应用
    例2.上海某天的最高气温为6℃,最低气温为-1℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
    A.5℃ B.6℃ C.7℃ D.8℃
    解析:由题意得6-(-1)=6+1=7(℃),故选C.
    方法总结:要根据题意列出算式,再运用有理数的减法法则解答.
    【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃,那么冷冻室的温度是( )
    A.18℃B.﹣26℃C.﹣22℃D.﹣18℃
    【分析】根据题意列出算式,再根据有理数的减法法则计算即可,有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
    【解答】解:根据题意得:4﹣22=﹣18(℃),
    则这台电冰箱冷冻室的温度为﹣18℃.
    故选:D.
    【点评】此题考查了有理数的减法,弄清题意并掌握有理数的减法法则是解本题的关键.
    题型三:应用有理数减法法则判定正负性
    例3.已知有理数a<0,b<0,且|a|>|b|,试判定a-b的符号.
    解析:判断a,b差的符号,可能不好理解,不妨把它转化为加法a-b=a+(-b),利用加法法则进行判定.
    解:因为b<0,所以-b>0.又因为a<0,a-b=a+(-b),所以a与-b是异号两数相加,那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定,因为|a|>|b|,即|a|>|-b|,所以取a的符号,而a<0,因此a-b的符号为负号.
    方法总结:此类问题如果是填空或选择题,可以采用“特殊值”法进行判断,若是解答题,可以将减法转化为加法通过运算法则来解答.
    【变式1】若|a|=4,|b|=2,且a+b的绝对值与相反数相等,则a﹣b的值是( )
    A.﹣2B.﹣6C.﹣2或﹣6D.2或6
    【分析】根据绝对值的意义确定a和b的取值,然后代入求值.
    【解答】解:∵|a|=4,|b|=2,
    ∴a=±4,b=±2,
    又∵a+b的绝对值与相反数相等,
    ∴a+b≤0,
    ∴a=﹣4,b=2或a=﹣4,b=﹣2,
    当a=﹣4,b=2时,a﹣b=﹣4﹣2=﹣6,
    当a=﹣4,b=﹣2时,a﹣b=﹣4﹣(﹣2)=﹣2,
    综上,a﹣b的值为﹣2或﹣6,
    故选:C.
    【点评】本题考查绝对值,相反数,有理数的减法运算,理解绝对值及相反数的概念,掌握有理数减法运算法则是解题关键.
    题型四:加减混合运算统一成加法运算
    例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式,并用两种读法将它读出来.
    (-13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)
    解析:先把加减法统一成加法,再省略括号和加号;读有理式,式子中第一项的符号,要作为这一项的符号读出正负来,式子中的符号就读作加或减.
    解:(-13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)=-13+7-21-9+32.
    读法①:负13、正7、负21、负9、正32的和;
    读法②:负13减去负7减去21减去9加上32.
    方法总结:注意掌握括号前是“+”号时,将括号连同它前边的“+”号去掉,括号内各项都不变;括号前是“-”号时,将括号连同它前边的“-”去掉,括号内各项都要变号.
    题型五:有理数的加减混合运算
    例5.计算:(1)-9.2-(-7.4)+9eq \f(1,5)+(-6eq \f(2,5))+(-4)+|-3|;
    (2)-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)-(-12eq \f(2,3))-14+(-11eq \f(2,15));
    (3)eq \f(2,3)-eq \f(1,8)-(-eq \f(1,3))+(-eq \f(3,8)).
    解析:本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法,省略加号后,运用加法运算律,简化运算,求出结果.其中互为相反数的两数先结合;能凑成整数的各数先结合.另外,同号各数先结合;同分母或易通分的各数先结合.
    解:(1)-9.2-(-7.4)+9eq \f(1,5)+(-6eq \f(2,5))+(-4)+|-3|=-9.2+7.4+9.2+(-6.4)+(-4)+|-3|=-9.2+7.4+9.2-6.4-4+3=(-9.2+9.2)+(7.4-6.4)-4+3=0+1-4+3=0;
    (2)-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)-(-12eq \f(2,3))-14+(-11eq \f(2,15))=-14eq \f(2,3)+11eq \f(2,15)+12eq \f(2,3)-14-11eq \f(2,15)=(-14eq \f(2,3)+12eq \f(2,3))+(11eq \f(2,15)-11eq \f(2,15))-14=-2+0-14=-16;
    (3)eq \f(2,3)-eq \f(1,8)-(-eq \f(1,3))+(-eq \f(3,8))=eq \f(2,3)-eq \f(1,8)+eq \f(1,3)-eq \f(3,8)=(eq \f(2,3)+eq \f(1,3))+(-eq \f(1,8)-eq \f(3,8))=1+(-eq \f(1,2))=eq \f(1,2).
    方法总结:(1)为使运算简便,可适当运用加法的结合律与交换律.在交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.(2)注意同分母分数相加,互为相反数相加,凑成整数的数相加,这样计算简便.(3)当一个算式中既有小数又有分数时,一般要统一,具体是统一成分数还是小数,要看哪一种计算简便.
    【变式1】计算,能用简便方法的用简便方法计算.
    (1) 26-18+5-16 ; (2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
    (3)
    (4)
    (5) (6)
    【答案与解析】
    (1) 26-18+5-16
    =(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法
    =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加
    = 31+(-34)=-3
    (2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
    =[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加
    =0
    (3)
    →同分母的数先加
    (4)
    →统一成加法
    →整数、小数、分数分别加

    (5)
    →统一同一形式(小数或分数),把可凑整的放一起
    (6)
    →整数,分数分别加
    【总结升华】在进行加减混合的运算时,(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算;(2)观察各加数之间的关系,再运用“技巧”适当交换加数的位置,注意交换时各加数的带着符号一起交换.
    【变式2】计算:(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;
    (2)11-12+13-15+16-18+17; (3)
    (4)
    (5); (6)
    【答案与解析】
    (1)观察各个加数,可以发现-3.72与3.72互为相反数,把它们分为一组;
    4.18、-2.93与-1.25的和为0,把它们分为一组可使计算简便.
    解:-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
    =(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
    =0+0-1.23=-1.23
    (2)把正数和负数分别分为一组.
    解:11-12+13-15+16-18+17
    =(11+13+16+17)+(-12-15-18)
    =57+(-45)=12
    (3)仔细观察各个加数,可以发现两个小数的和是-1,两个整数的和是29,三个分数通分后也不难算.故把整数、分数、小数分别分为一组.
    解:
    (4)3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组;-3.87与3.37的和为-0.5,把它们分为一组;与 易于通分,把它们分为一组;与同分母,把它们分为一组.
    解:
    (5)先把整数分离后再分组.
    解:
    注:带分数中的整数与分数分离时,如果这个数是负数,那么分离得到的整数与分数都是负数,例如 .
    (6)如果按小数、整数分组,效果似乎不是很好.可先将小数和分数统一后再考虑分组.
    解:
    【总结升华】计算多个有理数相加时,必须先审题,分析特点,寻找规律,然后再去计算.注意在交换加数的位置时,要连同符号一起交换.
    题型六:利用有理数加减运算解决实际问题
    例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“+”号表示水位比前一天上升,“-”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位:米).
    (1)本周哪一天河流水位最高,哪一天河流水位最低,它们位于警戒水位之上还是之下,与警戒水位的距离分别是多少?
    (2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升还是下降了?
    解析:(1)先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.理解表中的正负号表示的含义,根据条件计算出每天的水位即可求解;(2)只要观察星期日的水位是正负即可.
    解:(1)以警戒水位为基准,前两天的水位是上升的,星期一的水位是+0.20米;星期二的水位是+0.20+0.81=1.01米;星期三的水位是+1.01-0.35=+0.66米;星期四的水位是:+0.66+0.13=0.79米;星期五的水位是:0.79+0.28=1.07米;星期六的水位是:1.07-0.36=0.71米;星期日的水位是:0.71-0.01=0.7米;则水位最低的一天是第一天,高于警戒水位;水位最高的是第5天;
    (2)+0.20+0.81-0.35+0.13+0.28-0.36-0.01=+0.7米;则本周末河流的水位是上升了0.7米.
    方法总结:解此题的关键是分析题意列出算式,采用的数学思想是转化思想,即把实际问题转化成数学问题.
    【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,向右爬行的路程记为正,向左爬行的路程记为负,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.(单位:cm)
    小虫最后是否回到出发地O?为什么?
    小虫离开O点最远时是多少?
    在爬行过程中,如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻,则小虫一共可以得到多少粒芝麻?
    【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成:一是性质符号,表示的爬行的方向,二是绝对值部分,表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义:方向和路程大小;若只把它们的绝对值相加,则最后结果只表示路程的大小.
    【答案与解析】
    解:(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)
    =(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=0
    0表示最后小虫又回到了出发点O
    答:小虫最后回到了出发地O.
    (2) (+5)+(-3)=+2;
    (+5)+(-3)+(+10)=+12;
    (+5)+(-3)+(+10)+(-8)=+4;
    (+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)=-2;
    (+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)=+10;
    (+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0.
    因为绝对值最大的是+12,所以小虫离开O点最远时是向右12cm;
    (3) (cm), 所以小虫爬行的总路程是54 cm,
    由 (粒)
    答:小虫一共可以得到54粒芝麻.
    【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题,这就需要我们认真观察、大胆分析和设想.
    【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负,某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.
    (1)问收工时距A地多远?
    (2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工时共耗油多少升?
    【答案与解析】(1)求收工时距A地多远,应求出已知10个有理数的和,若和为正数,则在A地前面,若和为负数,则在A地后面;距A地的路程均为和的绝对值.
    解:(1) (+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)
    =[+2+(-2)]+[(-8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(-3)
    =0+0+44+(-3)=41(千米);
    (2)要求耗油量,需求出汽车共行走的路程,即求各数的绝对值之和,然后乘以0.2升即可.
    (|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4(升).
    答:收工时在A地前面41千米,从A地出发到收工时共耗油13.4升.
    【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题,这就需要我们认真观察、大胆分析和设想.
    【过关检测】
    一、单选题
    1.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求,这里表示直径是,和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是,则下面产品合格的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】根据题意可得出合格的范围,从而可判断出直径是39.96mm和40.03mm的两根轴是否合格.
    【详解】由题意得:合格范围为:到,
    而,,
    ∴A,C,D都不合格,

    ∴B选项是合格品,
    故选:B.
    【点睛】本题考查正数和负数的知识,有理数的加减运算的实际应用,注意先求出合格的范围是关键.
    2.(2023秋·浙江杭州·七年级统考期末)某地一天中午12时的气温是,14时的气温升高了,到晚上22时气温又降低了,则22时的气温为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据有理数加减计算法则求解即可.
    【详解】解:,
    ∴22时的气温为,
    故选C.
    【点睛】本题主要考查了有理数加减计算的实际应用,正确计算是解题的关键.
    3.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)如果x是有理数,那么下列各式中一定比0大的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据有理数的大小比较法则以及绝对值的性质判断即可.
    【详解】解:A.当时,,故本选项不合题意;
    B.当时,,故本选项不合题意;
    C.∵,
    ∴,故本选项符合题意;
    D.当时,,故本选项不合题意;
    故选:C.
    【点睛】此题主要考查了绝对值以及有理数大小比较的方法,熟知有理数比较大小的法则是解题的关键.
    4.(2022秋·浙江湖州·七年级统考期末)在一次数学活动课上,数学老师将共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上,打乱顺序,然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片,并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上.写出的结果依次是甲:;乙:;丙:1;丁:.那么的值不可能是( )
    A.2B.6C.D.
    【答案】C
    【分析】设最后剩余两张的数字之和为,得到,得到,当时,,由这十个连续整数中,两数之和最大为7,即可得到结论.
    【详解】解:设最后剩余两张的数字之和为,

    当时,.
    这十个连续整数中,两数之和最大为7,
    不可能为.
    故选:C
    【点睛】此题主要考查了有理数的的加减法,读懂题意是解题的关键.
    5.(2022秋·浙江·七年级校考期中)在数轴上点表示,与相距3.5个单位的点表示( )
    A.5.5和B.和1.5C.1.5D.
    【答案】B
    【分析】与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数,据此求解即可.
    【详解】解:根据题意可得:
    与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数,

    则表示的数是:和1.5,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了数轴的性质,有理数的加减运算,理解点表示,那么与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数的解题的关键.
    6.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)某天一潜水员下海,他从水面潜入水下18米,后因海水中的洋流,上升了8米,在洋流过去后,他下潜到预定的水下35米的位置,则该潜水员在洋流过程后,下潜了( )
    A.9米B.10米C.17米D.25米
    【答案】D
    【分析】根据有理数的加减运算,即可求解.
    【详解】解:根据题意得:该潜水员在洋流过程后,下潜了米.
    故选:D
    【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算的应用,明确题意,准确列出算式是解题的关键.
    7.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)手机移动支付给生活带来便捷.右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),张老师当天微信收支的最终结果是( )
    A.收入19.00元B.支出10元C.支出3.00元D.支出22.00元
    【答案】C
    【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解.
    【详解】解:(元),即表示支出3元,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了正负数的意义,掌握有理数的加减运算是解题的关键.
    8.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)比大1的数( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】根据有理数的减法运算,逐项判断即可求解.
    【详解】解:A、,故本选项不符合题意;
    B、,故本选项符合题意;
    C、,故本选项不符合题意;
    D、,故本选项不符合题意;
    故选:B
    【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算,熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键.
    9.(2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习)若,则括号内的数是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】利用被减数等于减数加上差列式求解即可.
    【详解】解:,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算,利用被减数等于减数加上差列出算式是解题的关键.
    10.(2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习)在数1,2,3,4,5,6,7,8前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是0,算式可以列为:.若在数1,2,3……,n前添加“+”,“-”并依次运算,使所得结果可能的最小非负数是0,则数n不可能是( )
    A.2020B.2021C.2023D.2024
    【答案】B
    【分析】分是4的倍数,余数为0,1,2,3四种情况求出最小的非负数即可作出判断.
    【详解】解:由题意知,,,
    当是4的倍数时,结果可能的最小非负数为0;
    当除以4余1时,第一个数为1,后面的数的和为0,则结果可能的最小非负数为1;
    当除以4余2时,前两个数为1,2,,后面的数的和为0,则结果可能的最小非负数为1;
    当除以4余3时,前两个数为1,2,3,,后面的数的和为0,则结果可能的最小非负数为0.
    、2024均能被4整除、2023除以4余数为3,2021除4余数为1,
    数不可能是2021,
    故选:B.
    【点睛】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    二、填空题
    11.(2023秋·浙江金华·七年级统考期末)如图是小强与他妈妈的对话,小强说:买笔记本花了元……,则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元.
    【答案】
    【分析】用元减去已知的花销,即可求出剩下部分.
    【详解】解:元
    故答案是.
    【点睛】本题考查了小数的减法,直接计算即可.
    12.(2023秋·浙江金华·七年级校考期末)如图是一台冰箱的显示屏,则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______.
    【答案】22
    【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案.
    【详解】解:(℃),
    ∴变温室与冷冻室的温差为,
    故答案为:22.
    【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用,正确计算是解题的关键.
    13.(2022秋·浙江·七年级专题练习)若,求的相反数=__.
    【答案】
    【分析】先根据绝对值的非负性求出x和y的值,然后代入求相反数即可.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    解得.
    ∴,
    ∴的相反数是.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了绝对值的非负性,相反数,以及有理数的减法,求出x和y的值是解答本题的关键.
    14.(2022秋·浙江温州·七年级校联考期中)如图,数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则A点表示的数为_________________.
    【答案】
    【分析】根据点在数轴上移动的规律:左减右加解答即可.
    【详解】解:根据题意可得:点A表示的数为:,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查数轴上点的平移规律,解决此题的关键是熟练掌握左减右加,也考查了有理数的加减运算.
    15.(2021秋·浙江金华·七年级统考期末)小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式,请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”(不限定个数),使等式成立:___________
    【答案】(答案不唯一)
    【分析】根据有理数的加减运算即可求出答案.
    【详解】解:,
    故答案为:(答案不唯一).
    【点睛】本题考查有理数的加减运算,解题的关键是熟练运用有理数的加减运算.
    16.(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末)整数a、b、c满足,其中且,则的最小值是________.
    【答案】
    【分析】根据题意得出,,,确定,,,或,,,然后分情况讨论求解即可.
    【详解】解:,求的最小值,,
    ∴,,,
    ∴,,,或,,,
    ∵,
    ∴当,,时,,
    当,,时,,
    当,,时,,
    当,,时,,
    当,,时,,
    当,,时,,
    当,,时,,
    当,,时,,
    ∴的最小值为,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查整式的加减及绝对值的意义,有理数的大小比较,理解题意进行分类讨论是解题关键.
    17.(2022秋·浙江衢州·七年级校考期中)数轴上点对应的数是,那么与相距2个单位长度的点对应的数是______.
    【答案】或
    【分析】此题注意考虑两种情况:当点在A点的左侧时,用减法,当点在A点的右侧时,用加法,即可得出结果.
    【详解】解:在A点左边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为;
    在A点右边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为.
    故答案为:或.
    【点睛】本题考查的是数轴,熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.
    18.(2022秋·浙江宁波·七年级统考期中)在数轴上,点M,N分别表示数m,n,则点M,N之间的距离为.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示数a,b,c,d,且,则线段BD的长度为______.
    【答案】1或7/7或1
    【分析】根据,可得点C在点A,B之间,从而得到A,B间的距离为4,再由,可得A、D两点间的距离为,然后分两种情况讨论:当点D在点A的左侧时,当点D在点A的右侧时,即可求解.
    【详解】解:∵,
    ∴点C在点A,B之间,且点A,C两点间的距离为2,B,C两点间的距离为2,
    ∴A,B间的距离为4,
    ∵,
    ∴,
    即A、D两点间的距离为,
    不妨设,
    当点D在点A的左侧时,线段的长度为;
    当点D在点A的右侧时,线段的长度为;
    综上所述,线段的长度为或.
    故答案为:或.
    【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离,有理数的加减运算,利用分类讨论思想解答是解题的关键.
    三、解答题
    19.(2022秋·浙江·七年级专题练习)邮递员骑车从邮局出发,先向西骑行2km到达A村,继续向西骑行3km到达B村,然后向东骑行9km到达C村,最后回到邮局.
    (1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,以1个单位表示1km,在该数轴上表示A,B,C三个村庄的位置;
    (2)C村离A村有多远?
    (3)邮递员一共骑行了多少千米?
    【答案】(1)答案见解析
    (2)6千米
    (3)18千米
    【分析】(1)根据已知条件在数轴上表示出来即可;
    (2)根据题意列出算式,即可得出答案;
    (3)根据题意列出算式,即可得出答案.
    【详解】(1)解:
    (2)解:村离村的距离为;
    (3)解:邮递员一共行驶了(千米).
    【点睛】本题考查了数轴,有理数的加减的应用,能读懂题意是解此题的关键.
    20.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知,求的值.
    【答案】
    【分析】先根据绝对值的非负性求出,,再代入计算即可.
    【详解】∵,,,
    ∴,,
    解得,,
    ∴.
    【点睛】本题考查了绝对值的非负性有有理数的减法,求出,是解题的关键.
    21.(2022秋·浙江·七年级专题练习)已知a,b、c三数在数轴上的位置如图所示,化简.
    【答案】
    【分析】先根据数轴得到,再作答即可.
    【详解】解:由图可知,,
    故.
    【点睛】本题考查了绝对值的非负性和根据数轴判断正负,根据数轴得到是解题的关键.
    22.(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)杭州某公交自行车服务点一共有停车桩20个.某日上午6点整,服务点共停放了14辆公交自行车.6点以后,各时间段存取自行车辆次记录如下表:(单位:辆)
    (1)求当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数;
    (2)求16点整,该服务点还停放着几辆公交自行车.
    【答案】(1)当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数为次
    (2)16点整,该服务点还停放着辆公交自行车
    【分析】(1)将取车的次数相加即可求解;
    (2)记取车为负,存车为正,根据表格数据相加减即可求解.
    【详解】(1)解:,
    答:当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数为次;
    (2)记取车为负,存车为正,
    ∵某日上午6点整,服务点共停放了14辆公交自行车,当天6:00到16:00点,这个服务点自行车被取用的次数为次.
    ∴16点整,该服务点还停放着:辆,
    答:16点整,该服务点还停放着辆公交自行车
    【点睛】本题考查了正负数的意义,有理数的加减运算的应用,根据题意列出算式是解题的关键.
    23.(2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中)“数形结合”是重要的数学思想.如:表示3与差的绝对值,实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离.进一步地,数轴上两个点A,B所对应的数分别用a,b表示,那么A,B两点之间的距离表示为.利用此结论,回答以下问题:
    (1)数轴上和5这两点之间的距离为 .
    (2)若x表示一个实数,的最小值为 .
    (3)直接写出所有符合条件的x,使得,则x的值为 .
    【答案】(1)7
    (2)6
    (3)或3
    【分析】(1)利用数轴直观得出答案.
    (2)x在到4之间值最小,两点之间线段最短.
    (3)x到2到距离之和是7,与9相差2,分到两段中,每段加1,得出结果.
    【详解】(1).
    故答案为:7;
    (2)表示x到和4的距离之和,
    当时,;
    当时,;
    当时,,
    故最小值为6.
    故答案为:6;
    (3)表示x到和4的距离之和等于9,
    时,,
    当时,;
    当时,.
    故答案为或3.
    【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离,绝对值的几何意义,解本题的关键是分段讨论.
    24.(2022秋·浙江·七年级专题练习)计算:
    (1)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5﹣(+6)
    (2)3)+5+(﹣8);
    (3)2.7+(﹣8.5)﹣(+3.4)﹣(﹣1.2)
    (4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2.
    【答案】(1)0.1
    (2)﹣2.5
    (3)﹣8
    (4)﹣1.2
    【分析】(1)先利用去括号法则去掉括号,再利用法则进行有理数的运算;
    (2)先利用去括号法则去掉括号,再利用加法的交换律结合律把同分母分数结合在一起运算;
    (3)先利用去括号法则去掉括号,再利用有理数的加减混合运算法则进行运算;
    (4)先把互为相反数的两个分数结合在一起,然后利用有理数的加减法则计算.
    (1)
    解: 4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5﹣(+6)
    =4.7+8.9﹣7.5﹣6
    =13.6﹣13.5
    =0.1;
    (2)
    解:3)+5+(﹣8)
    =3﹣2+5﹣8
    =3+5﹣2﹣8
    =8.5﹣11
    =﹣2.5;
    (3)
    解:2.7+(﹣8.5)﹣(+3.4)﹣(﹣1.2)
    =2.7﹣8.5﹣3.4+1.2
    =3.9﹣11.9
    =﹣8;
    (4)
    ﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2
    =﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2
    =﹣0.2﹣1
    =﹣1.2.
    【点睛】在进行有理数的加减混合运算时,先去括号,化简成最简形式,然后利用有理数混合运算法则并结合运算定律简便运算,熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键.
    25.(2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习)计算:
    (1)7﹣(﹣4)+(﹣5)
    (2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
    (3)
    (4)
    【答案】(1)6;
    (2)−2;
    (3);
    (4)
    【分析】(1)根据有理数的加减法法则计算即可;
    (2)根据有理数的加减法法则计算即可;
    (3)根据有理数的加减法法则计算即可;
    (4)根据有理数的加法法则计算即可.
    (1)
    解:7-(-4)+(-5),
    =7+4+(-5),
    =11+(-5),
    =6
    (2)
    解:,
    =−2
    (3)
    解:
    (4)
    解:
    【点睛】本题主要考查了有理数的加减法运算,熟练掌握加减法法则是解题的关键,熟练利用加法运算律是简便计算的关键.
    26.(2022秋·浙江·七年级专题练习)在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,例如:.
    (1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式;
    ①______;
    ②______;
    ③=______;
    (2)用合理的方法计算:;
    (3)用简单的方法计算:.
    【答案】(1)①;②;③;
    (2)
    (3)
    【分析】(1)①②③利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可;
    (2)利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可;
    (3)利用规律化简运算即可.
    【详解】(1)①;
    ②;
    ③;
    故答案为:①;②;③;
    (2)原式

    (3)原式
    =.
    【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算,本题是阅读型,正确理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键.
    星期







    水位变化
    0.2
    0.81
    -0.35
    0.13
    0.28
    -0.36
    -0.01
    6:00~8:00
    8:00~10:00
    10:00~12:00
    12:00~14:00
    14:00~16:00
    取车
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    9
    8
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    8
    9
    9
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