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初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.1 圆课时训练
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这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.1 圆课时训练，共76页。
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
八．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
九．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
十．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
十一．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
十二．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
十三．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
十四．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．垂径定理（共3小题）
1．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4.2C．5.8D．6
2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
3．（2023•龙湾区一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，以BC的中点H为圆心，HA为半径画弧交CB的延长线于点E．以BE为边向上作正方形BEFG，过点A作AK⊥AE交CD于点K，取EK的中点M，连结MO．已知，则OM的长为（ ）
A．B．C．D．3
二．垂径定理的应用（共2小题）
4．（2022秋•诸暨市期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，OD＝3，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
5．（2023•婺城区模拟）抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
6．（2023•临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
四．圆周角定理（共4小题）
7．（2023•义乌市模拟）如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24°B．30°C．36°D．60°
8．（2022秋•鄞州区期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC＝ cm．
9．（2022秋•浦江县期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
10．（2022秋•越城区校级期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的长．
五．圆内接四边形的性质（共3小题）
11．（2022秋•海曙区期末）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．150°
12．（2022秋•上城区期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）ON＝OM．
13．（2022秋•金华期末）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．
六．点与圆的位置关系（共4小题）
14．（2022秋•温州期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
15．（2022秋•金华期末）已知点P到圆心O的距离为3cm，点P在⊙O内，则⊙O的半径R的取值范围是（ ）
A．R＞3B．R＜3C．0＜R＜3D．R≥3
16．（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
17．（2022秋•杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点B在圆上D．点B在圆外
七．正多边形和圆（共4小题）
18．（2023•杭州二模）如图，在正五边形ABCDE中，若BP＝1，则PE＝（ ）
A．2B．C．D．+1
19．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．
20．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．36°B．45°C．60°D．75°
21．（2023•上虞区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，M是边BC的中点，连结FM交AE于点N，则△FEN的面积为（ ）
A．B．C．D．
八．弧长的计算（共6小题）
22．（2023•金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（ ）
A．2πB．πC．2πD．π
23．（2023•温州二模）一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是 ．
24．（2023•瓯海区模拟）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 m．
25．（2023•武义县一模）如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为 cm．
26．（2023•秀洲区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为 ．
27．（2023•海曙区一模）某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
九．扇形面积的计算（共5小题）
28．（2022秋•杭州期末）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
29．（2022秋•滨江区期末）已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）
A．24B．22C．12D．6
30．（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8B．5π﹣8C．25π﹣64D．50π﹣64
31．（2022秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为点E，连接OC并延长交⊙O于点F，∠CDB＝30°，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•永嘉县二模）一扇形面积是3π，半径为3，则该扇形圆心角度数是 ．
一十．旋转的性质（共8小题）
33．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在线段AB上，则B、D两点间的距离为（ ）
A．B．C．6D．
34．（2023•桐乡市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，将线段AD绕着点A逆时针旋转一定角度得到AE，使AE∥BC，连接ED，EB分别交AC于点M，N．若AC＝10，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
35．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且A，B，E三点在同一条直线上，若∠C＝36°，则旋转角α的度数是（ ）
A．82°B．83°C．84°D．85°
36．（2023•绍兴模拟）如图，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，边AC与A'B'交于点D，若∠A＝28°，∠B＝63°，则∠A'DA＝ ．
37．（2023•拱墅区校级三模）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝ °．
38．（2023•拱墅区校级二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的长．
39．（2023•玉环市二模）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
40．（2023•瓯海区模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（ ）
A．8B．7C．9D．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
3．（3分）如图为一条圆柱形排水管的横截面，已知圆心O到水面的距离OC是3dm，水面宽AB是8dm，排水管的截面的直径是（ ）
A．16dmB．10dmC．8dmD．6dm
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（ ）
A．83°B．84°C．86°D．87°
5．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（ ）
A．140°B．100°C．80°D．40°
6．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．B．4C．5D．6
7．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D有（ ）（点D与点A、B、C均不重合）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（0，3）
9．（3分）如图，∠DCE的顶点C在量角器外圈的160°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，则∠DCE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
10．（3分）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（ ）
A．1+B．+2C．2﹣2D．1+
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1.8cm，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的直径等于 cm．
12．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，OM＝3，BM＝2，则CD的长为 ．
13．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
14．（4分）如图，已知扇形AOB，∠AOB＝120°，半径OA＝4，点E在弧AB上一动点（E与A、B不重合），过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，则△CDE面积的最大值为 ．
15．（4分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝1cm，∠BCD＝22.5°，则⊙O的半径为 cm．
16．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分66分）
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，请用尺规作图法在BC上找一点E，使得点E到AD、CD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（6分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 ；
②⊙D的半径＝ （结果保留根号）；
③的长为 ．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC＝8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段AD的长．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．
21．（9分）如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，求∠ADC的度数．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4：5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求∠BAD的度数．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
25．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
第3章 圆的基本性质全章复习与测试
【知识梳理】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
八．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
九．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
十．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
十一．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
十二．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
十三．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
十四．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．垂径定理（共3小题）
1．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4.2C．5.8D．6
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，
解得：R＝5.8，
即⊙O的半径长是5.8，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【分析】根据垂径定可得AD＝AB＝4，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵半径OC与弦AB垂直于点D，AB＝8，
∴AD＝AB＝4，∠ADO＝90°，
∵OA＝OC＝5，
∴OD＝＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2023•龙湾区一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，以BC的中点H为圆心，HA为半径画弧交CB的延长线于点E．以BE为边向上作正方形BEFG，过点A作AK⊥AE交CD于点K，取EK的中点M，连结MO．已知，则OM的长为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】连接AC，AM，AH，CM，证明△EAB≌△KAD，推出AE＝AK，BE＝DK，利用勾股定理求得AH的长，再先后得到DK、CK、EK的长，利用直角三角形斜边中线的性质求得MA＝MC＝EK＝，利用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：连接AC，AM，AH，CM，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴点O在线段AC上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABE＝90°，
∵AK⊥AE，即∠EAK＝∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠KAD，
∴Δ EAB≌Δ KAD（ASA），
∴AE＝AK，BE＝DK，
∵，点H为BC的中点，
∴AB＝CD＝BC＝2+2，BH＝+1，
∴AH＝＝＝AB＝5+，
∵HA＝HE，
∴DK＝BE＝HE＝BH＝4，
∴CK＝CD﹣DK＝2+2﹣4＝2﹣2，
∴CE＝BE+BC＝4+2+2＝2+6，
∴EK＝＝＝，
∵点M是EK的中点，且∠EAK＝ECK＝90°，
∴MA＝MC＝EK＝2，
∵点O为AC的中点，且AC＝＝BC＝+，
∴OM⊥AC，OC＝AC＝+，
由勾股定理得：OM2＝CM2﹣OC2，即OM2＝（2）2﹣（+）2，
解得：OM＝（负值已舍），
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二．垂径定理的应用（共2小题）
4．（2022秋•诸暨市期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，OD＝3，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【分析】根据垂径定理、勾股定理进行计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA＝＝5＝OC，
∴CD＝OC﹣OD＝2，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
5．（2023•婺城区模拟）抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【分析】根据题意画出草图，建立数学模型．根据勾股定理和垂径定理求解．
【解答】解：设该铅球的半径是rcm．
在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，
根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，
解得r＝5，
故2r＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，再进一步根据勾股定理以及垂径定理进行计算是解题关键．
三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
6．（2023•临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接OB，得到∠BOD＝∠COD，由等腰三角形的性质，得到OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，由勾股定理求出AB长，即可求出OE长，得到DC的长．
【解答】解：连接OB，
∵D是弧BC的中点，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，
∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴OB＝AC＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，勾股定理，关键是连接OB构造直角三角形，应用勾股定理解决问题．
四．圆周角定理（共4小题）
7．（2023•义乌市模拟）如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24°B．30°C．36°D．60°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵OE＝OD，DC＝OE，
∴DC＝DO，
∴∠C＝∠DOC，
∴∠ODE＝2∠C，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠OED＝2∠C，
∵∠BOE＝∠C+∠OED，
∴∠C+2∠C＝72°，
解得，∠C＝24°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．
8．（2022秋•鄞州区期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC＝ cm．
【分析】过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，证明△ABC≌△ADE从而得到△ACE的面积等于四边形ABCD的面积，证明△ACE为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出AC．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE．
∵AE⊥AC，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠ACE＝45°
∴AC＝AE
∵∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴S△ABC＝S△ADE，
∴S△ACE＝SABCD＝30，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．
9．（2022秋•浦江县期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据D为的中点，可得OD⊥AC，再由直径随对的圆周角是直角得到BC⊥AC，即可求证；
（2）根据D为的中点，可得OD⊥AC，，则∠AOD＝∠COD，再由平行线的性质求出∠AOD＝∠B＝70°，即可利用圆周角定理求解；
（3）根据勾股定理可得，再根据垂径定理可得AE＝CE，然后根据三角形中位线定理可得OE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴OD⊥AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOD＝∠COD
∵OD∥BC
∵∠AOD＝∠B＝70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA＝OD＝2，
∵D为的中点，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
10．（2022秋•越城区校级期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的长．
【分析】（1）欲求∠DEB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；
（2）利用垂径定理可以得到AC＝BC＝AB＝4，从而得到结论．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×54°＝27°．
（2）∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝8．
【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出AC＝CB＝4是解题关键．
五．圆内接四边形的性质（共3小题）
11．（2022秋•海曙区期末）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．150°
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．
【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，
∵的度数为60°，
∴∠ABE＝∠ADE＝30°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．
解法二：连接DE，利用四边形BCDE是圆内接四边形，解决问题即可．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
12．（2022秋•上城区期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）ON＝OM．
【分析】（1）由AC＝BD得到＝，推出∠AOC＝∠DOB，而∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC，即可证明问题；
（2）由条件可以证明△AON≌△BOM（ASA），即可证明OM＝ON．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴∠AOC＝∠DOB，
∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC，
∴∠1＝∠2；
（2）∵OA＝OC＝OD＝OB，
∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∵∠AOC＝∠DOB，
∴∠A＝∠B，
∵∠1＝∠2，OA＝OB，
∴△AON≌△BOM（ASA），
∴OM＝ON．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，三角形全等，掌握以上知识点是解题的关键．
13．（2022秋•金华期末）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．
【分析】（1）由OA⊥BC于H，先根据垂径定理得到BH＝CH，，再利用圆周角定理得到∠AOB＝60°；
（2）在Rt△OBH中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：（1）如图，
∵OA⊥BC于H，
∴BH＝CH，，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°；
（2）在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，
∴BH＝OH＝，
∴BC＝2BH＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
六．点与圆的位置关系（共4小题）
14．（2022秋•温州期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP＜5．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
15．（2022秋•金华期末）已知点P到圆心O的距离为3cm，点P在⊙O内，则⊙O的半径R的取值范围是（ ）
A．R＞3B．R＜3C．0＜R＜3D．R≥3
【分析】点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r，点P在圆上⇔d＝r，点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断．
【解答】解：∵点P到圆心O的距离为d＝3cm，点P在⊙O内，
∴d＜R，
∴⊙O的半径R的取值范围是R＞3，
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．
16．（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
则BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，，
∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴8＜r＜10．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
17．（2022秋•杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点B在圆上D．点B在圆外
【分析】由r和CA，CB的大小关系即可判断点A和点B与⊙C的位置关系．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．
∴BC＝＝＝4，
∵r＝4，AC＝3＜4，BC＝4，
∴可得点A在⊙C内，点B在⊙C上．
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
七．正多边形和圆（共4小题）
18．（2023•杭州二模）如图，在正五边形ABCDE中，若BP＝1，则PE＝（ ）
A．2B．C．D．+1
【分析】根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出PE2＝BP•（BP+PE），代入求解即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点P，
∴∠ABC＝∠BAE＝108°，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠ABP＝∠AEP＝∠BAP＝∠BCP＝＝36°，
∵∠PAE＝108°﹣36°＝72°，∠APE＝36°+36°＝72°，
∴∠PAE＝∠APE，
∴AE＝PE，
∵∠APB＝∠BAE＝108°，∠ABP＝∠EBA＝36°，
∴△ABP∽△EBA，
∴＝，
∴AB2＝AP•BE，
即PE2＝BP•（BP+PE），
∴PE2＝1×（1+PE），
解得PE＝（取正值），
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程，掌握正多边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
19．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】连接OB，OC，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径是2．
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
20．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．36°B．45°C．60°D．75°
【分析】连接OC，OD，OE，由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COE＝120°是解决问题的关键．
21．（2023•上虞区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，M是边BC的中点，连结FM交AE于点N，则△FEN的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD、BF，根据正六边形的性质可得出GH是三角形BFM的中位线，进而得到GH＝BM＝BC＝，由正六边形的性质可求出AG，BF，利用相似三角形的判定和性质，得出
＝＝，进而得出＝，求出三角形ABF的面积即可．
【解答】解：如图，连接BF，AD交于G，AD交FM于H，由正六边形的对称性可知，ADBF，FG＝BG，AD∥BC∥EF，
∴FH＝HM，
∴GH是△BFM的中位线，
∴GH＝BM＝BC＝，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM＝1，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，∠ABF＝∠AFB＝30°，
∴AG＝AB＝1，BG＝AB＝，
∴AH＝AG+GH＝，
∵AD∥EF，
∴△ANH∽△EHF，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△AEF＝S△ABF＝BF•AG＝，
∴S△EFN＝，
故选：A．
【点评】此题考查的是正多边形和圆，正六边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提，求出AN：NE＝3：4是解决问题的关键．
八．弧长的计算（共6小题）
22．（2023•金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（ ）
A．2πB．πC．2πD．π
【分析】由题目给出的图形可知△AOB为等腰直角三角形，求出扇形的半径及圆心角的弧度数，然后直接代入弧长公式求解．
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴由图可知，，且OA＝2．
由弧长公式可得：扇形OAB的弧长等于＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，考查了学生的读图能力，是基础的计算题．
23．（2023•温州二模）一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是 ．
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解答】解：扇形的弧长＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式．
24．（2023•瓯海区模拟）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 6π m．
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【解答】解：l＝＝6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了弧长的求法，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式．
25．（2023•武义县一模）如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为 π cm．
【分析】连接OP，OQ，根据圆周角定理求出∠POQ＝60°，再根据弧长公式即可求解．
【解答】解：连接OP，OQ，
∵∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝60°，
∵⊙O的半径为3cm，
∴PQ弧长为：＝π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧长公式．
26．（2023•秀洲区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为 π ．
【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，由圆周角定理得到∠AOC＝80°，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝140°，
∴∠D＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∴的长＝＝π，
故答案为π．
【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
27．（2023•海曙区一模）某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为 2 cm．
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
r＝2cm．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
九．扇形面积的计算（共5小题）
28．（2022秋•杭州期末）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴扇形的面积是：＝12π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．
29．（2022秋•滨江区期末）已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）
A．24B．22C．12D．6
【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可．
【解答】解：，即，解得r＝24．
故选：A．
【点评】此题考查扇形的面积公式，＝，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．
30．（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8B．5π﹣8C．25π﹣64D．50π﹣64
【分析】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可．
【解答】解：连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝6，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
31．（2022秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为点E，连接OC并延长交⊙O于点F，∠CDB＝30°，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，证明∠COB＝∠BOD＝60°，求出OC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴，
∵∠CDB＝30°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵AB⊥CD，
∴，
∴∠COB＝∠AOF＝60°，
∵，
∴OE＝1，OC＝2，
∴S阴＝S扇形OAF﹣S△AOF＝﹣×22＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
32．（2023•永嘉县二模）一扇形面积是3π，半径为3，则该扇形圆心角度数是 120° ．
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，然后根据扇形的面积公式得到3π＝，解关于n的方程即可得到n的值．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
∴3π＝，
∴n＝120．
即扇形圆心角度数为120°．
故答案为120°．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（n为圆心角的度数，R为半径）．
一十．旋转的性质（共8小题）
33．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在线段AB上，则B、D两点间的距离为（ ）
A．B．C．6D．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质得DE和AE的长，最后利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴DE＝BC＝6，AE＝AC＝8，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
∴BE＝2，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
34．（2023•桐乡市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，将线段AD绕着点A逆时针旋转一定角度得到AE，使AE∥BC，连接ED，EB分别交AC于点M，N．若AC＝10，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取BN的中点F，连接DF，证明△ENA∽△BNC，求得，，推出DF是△BAN的中位线，得到，再证明△EMN∽△EDF，据此即可求解．
【解答】解：取BN的中点F，连接DF，
∵AB＝BC，D为AB的中点，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠EAN＝∠C，∠ENA＝∠BNC，
∴△ENA∽△BNC，
∴，
∴，，
∵D为AB的中点，
∴，DF∥AN，
∵MN∥DF，，
∴△EMN∽△EDF，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
35．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且A，B，E三点在同一条直线上，若∠C＝36°，则旋转角α的度数是（ ）
A．82°B．83°C．84°D．85°
【分析】根据△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得∠ADB＝∠B＝∠ADE，设∠B＝x，则∠ADB＝∠ADE＝x，在△BDE中，得x+36°+2x＝180°，可解得∠ADB＝∠ADE＝∠B＝48°，从而α＝84°．
【解答】解：∵△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴∠E＝∠C＝36°，∠BAD＝∠CAE＝α，∠ADE＝∠B，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝∠ADE，
设∠B＝x，则∠ADB＝∠ADE＝x，
∴∠BDE＝2x，
∵A，B，E在同一直线上，
在△BDE中，∠B+∠E+∠BDE＝180°，
∴x+36°+2x＝180°，
解得x＝48°，
∴∠ADB＝∠ADE＝∠B＝48°，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣2x＝84°，
∴α＝84°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能熟练应用三角形内角和定理．
36．（2023•绍兴模拟）如图，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，边AC与A'B'交于点D，若∠A＝28°，∠B＝63°，则∠A'DA＝ 82° ．
【分析】由三角形内角和得∠ACB＝89°，利用旋转的性质得∠CB'D＝63°，CB＝CB'，则∠CB'B＝∠B＝63°，再由三角形内角和定理得到∠BCB'＝54°，即可得到∠B'CD＝35°，利用三角形内角和定理和对顶角相等即可得到答案．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝63°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝89°，
∵，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，
∴∠CB'D＝∠B＝63°，CB＝CB'，
∴∠CB'B＝∠B＝63°，
∴∠BCB'＝180°﹣∠CB'B﹣∠B＝54°，
∴∠B'CD＝∠ACB﹣∠B'CB＝35°，
∴∠A'DA＝∠B'DC＝180°﹣∠B'CD﹣∠CB'D＝82°．
故答案为：82°．
【点评】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质等知识，充分利用旋转的性质是解题的关键．
37．（2023•拱墅区校级三模）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝ 50 °．
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，
∴∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°，
∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠A1OD＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
38．（2023•拱墅区校级二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；
（2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的长．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC
理由如下：∵旋转
∴BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC
∵CE∥AB
∴∠ABC＝∠BCE
∴∠ABC＝∠BEC
（2）如图，过点D作DF⊥CE于点F，
∵旋转
∴AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB
∴∠BCE＝∠ABC
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE
∴△BCE是等边三角形
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°
∴CF＝CD＝2，DF＝CF＝2
在Rt△DEF中，EF＝＝＝8
∴CE＝EF+CF＝10＝BC
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6＝AB
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
39．（2023•玉环市二模）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，求出∠DAE＝∠CAE＝25°，再求出∠DAC的度数即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝25°
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，
∵AE⊥CD，AD＝AC，
∴∠DAE＝∠CAE＝25°，
∴∠DAC＝25°+25°＝50°，
即旋转角度数是50°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出∠DAE＝∠CAE＝25°是解此题的关键．
40．（2023•瓯海区模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（ ）
A．8B．7C．9D．
【分析】过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，首先证明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再证明点F在∠BCP的平分线上，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，则PM＝CM﹣PC＝8﹣x，由△MPF∽△MCG，得到对应边成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠EPF＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠PEF＝90°，
∴∠PEF＝∠DAE，
在△PEF与△DAE中，
，
∴△PEF≌△DAE（AAS），
∴PF＝DE，PE＝AD，
∴PE＝CD，
∴PE﹣CE＝CD﹣CE，
∴PC＝DE，
∵FP⊥CD，
∴∠PCF＝45°，
∴点F在∠BCP的平分线上，
如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，
∵点B关于直线CF的对称点M，
，
∴△BFC≌△MFC（ASA），
∴CM＝BC＝AB＝8，
∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴BG＝CG＝＝4，
设DE＝x，由图1知，
PE＝PC＝DE＝x，
∴PM＝CM﹣PC＝8﹣x，
∵∠BCM＝∠FPM＝90°，
∴PF∥BC，
∴△MPF∽△MCG，
∴，
即，
解得：x＝，
∴CE＝CD﹣DE＝8﹣＝，
∴EG＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP的长大于3．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．
2．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【分析】连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
∵AW＝1，WH＝3，
∴AH＝＝；
∵BQ＝3，QH＝1，
∴BH＝＝；
∴AH＝BH，
同理，AD＝BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH＝AH＝HC，
H为圆心．
则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．
3．（3分）如图为一条圆柱形排水管的横截面，已知圆心O到水面的距离OC是3dm，水面宽AB是8dm，排水管的截面的直径是（ ）
A．16dmB．10dmC．8dmD．6dm
【分析】连接OA，由垂径定理得出AC＝AB，∠OCA＝90°，由勾股定理求出OA，即可得出排水管的截面的直径．
【解答】解：连接OA，
由垂径定理得出AC＝AB＝4dm，∠OCA＝90°，
在Rt△OCA中，OA＝＝5dm，
5×2＝10dm．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（ ）
A．83°B．84°C．86°D．87°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝43°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
5．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（ ）
A．140°B．100°C．80°D．40°
【分析】设∠A的度数为2x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠A的度数为2x，则∠B、∠C的度数分别为4x、7x，
由题意得：2x+7x＝180°，
解得：x＝20°，
则∠B＝4x＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．B．4C．5D．6
【分析】如图，连接OA．根据垂径定理，求得AM．再根据勾股定理，再求得半径OA．
【解答】解：如图，连接OA．
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB．
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5．
∴⊙O的半径等于5．
故选：C．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
7．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D有（ ）（点D与点A、B、C均不重合）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】利用正方形的性质以及直角三角形的性质得出符合条件的格点D的个数．
【解答】解：如图所示：图中符合条件的格点D有5个（D，E，F，M，N）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及直角三角形的性质，根据题意得出图形是解题关键．
8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（0，3）
【分析】根据要求画出图形，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知，B′（0，3），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（3分）如图，∠DCE的顶点C在量角器外圈的160°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，则∠DCE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】连接OE、OD，根据角之间的数量关系，得出∠DOE＝60°，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OE、OD，
∵点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理、量角器，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
10．（3分）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（ ）
A．1+B．+2C．2﹣2D．1+
【分析】连接OA、OB、OP，连接BA，并延长至H，使HA＝AB，连接OH，PH，首先说明△AOB是等边三角形，再说明∠HOB＝90°，利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：连接OA、OB、OP，连接BA，并延长至H，使HA＝AB，连接OH，PH，
∵∠APB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∵OA＝AH＝AB，
∴∠HOB＝90°，
∴OH＝OB＝2，
∵点C是BP的中点，A是BH的中点，
∴AC是△PBH的中位线，
∴HP＝2AC，
∵HP≤OH+OP，
∴HP的最大值为2+2，
∴AC的最大值+1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，构造三角形中位线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1.8cm，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的直径等于 3.6 cm．
【分析】根据题意连接OA、OB，由圆周角定理推出∠AOB＝2∠ACB＝60°，从而得到△AOB是等边三角形，进而利用同圆中直径与半径的关系求解即可．
【解答】解：如图，
连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
又OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝1.8cm，
∴⊙O的直径为：2×1.8＝3.6（cm），
故答案为：3.6．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是根据圆周角定理推出∠AOB＝2∠ACB＝60°，通常需要从图形入手，注意运用数形结合的思想方法．
12．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，OM＝3，BM＝2，则CD的长为 8 ．
【分析】连接OC，由垂径定理得CM＝DM，再由勾股定理求出CM＝4，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵OM＝3，BM＝2，
∴OC＝OB＝OM+BM＝5，
∵直径AB⊥CD于点M，
∴CM＝DM，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM＝＝＝4，
∴CD＝2CM＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CM＝4是解题的关键．
13．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 3 ．
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN＝AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC是直径时，最大，
如图，
∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝6，
∴AD＝6，
∴MN＝AD＝3
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
14．（4分）如图，已知扇形AOB，∠AOB＝120°，半径OA＝4，点E在弧AB上一动点（E与A、B不重合），过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，则△CDE面积的最大值为 ．
【分析】连接OE，取OE中点K，连接CK、DK，作EL⊥CD，KM⊥CD，垂足分别为L、M，当点L与M重合时，EL＝EK+KM＝3最大，求出此时的面积即可．
【解答】解：连接OE，取OE中点K，连接CK、DK，作EL⊥CD，KM⊥CD，垂足分别为L、M，
∵EC⊥OA，ED⊥OB，∠AOB＝120°
∴KC＝KD＝KE＝2，∠CED＝60°，
∴∠KCE＝∠KEC，∠KDE＝∠KED，
∠CKD＝∠CKO+∠OKD＝2∠KEC+2∠KED＝120°，
∴∠KDC＝30°，
∴，
∴，，
如图所示，EK+KM≥EL，当点L与M重合时，EL＝EK+KM＝3最大，此时三角形面积最大；最大面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题关键是确定，当高最大时面积最大，利用勾股定理求解即可．
15．（4分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝1cm，∠BCD＝22.5°，则⊙O的半径为 cm．
【分析】连接OB，根据圆周角定理得出∠BOD的度数，再根据弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝1cm得出BE的长，判断出△OBE的形状，再根据勾股定理即可得出OB的长．
【解答】解：连接OB，如图：
∵∠BCD＝22.5°，
∴∠BOD＝45°．
∵弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝1cm，
∴BE＝AB＝，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OB＝＝＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为 5 ．
【分析】由旋转的性质可得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠D＝∠ABG＝90°，由“SAS”可证△GAE≌△FAE，可得EF＝GE，由勾股定理可求解．
【解答】解：由旋转的性质可知：AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠D＝∠ABG＝90°，
∵∠ABG+∠ABE＝180°，
∴点G在CB的延长线上，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°．
又∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°．
∴∠BAG+∠BAE＝45°．
∴∠GAE＝∠FAE．
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝GE＝GB+BE＝DF+2，
∵EF2＝CF2+EC2，
∴（DF+2）2＝（6﹣DF）2+（6﹣2）2，
∴DF＝3，
∴EF＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分66分）
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，请用尺规作图法在BC上找一点E，使得点E到AD、CD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ADC的角平分线交CB于点E，点E即为所求．
【解答】解：如图，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（6分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 （2，0 ） ；
②⊙D的半径＝ 2 （结果保留根号）；
③的长为 π ．
【分析】①结合图形找出D的位置，即可得出D的坐标；
②根据勾股定理求出DB的长即可；
③根据弧长公式计算即可．
【解答】解：①如图：D在AB的垂直平分线EF和BC的垂直平分线MN的交点上，
即D的坐标是（2，0），
②∵B（4，4），
∴AB＝2，
∴⊙D的半径＝＝2；
③＝＝π；
故答案为①（2，0）；②；③．
【点评】本题考查了垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理的应用，以及弧长公式的计算，主要考查学生的理解能力和计算能力．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC＝8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段AD的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得出OE⊥BC，BD＝CD＝BC求出BD的长，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r﹣DE＝r﹣2，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出r的值；
（2）连接AC，根据勾股定理求出AC的长，在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：（1）∵BC＝8，E为的中点，
∴OE⊥BC，BD＝CD＝BC＝×8＝4，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r﹣DE＝r﹣2，
在Rt△OBD中，
OB2＝OD2+BD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5；
答：⊙O的半径为5；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，BC＝8，AB＝2OB＝2×5＝10，
∴AC＝＝＝6，
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝2．
答：线段AD的长为2．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．
【分析】将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，旋转角是90度，可以得到△APP′是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：根据旋转的性质可知将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，则△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′＝3，∠BAC＝∠PAP′＝90°，
在Rt△APP′中，PP′2＝＝＝3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，确定旋转角是解题的关键．
21．（9分）如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，求∠ADC的度数．
【分析】⊙O的直径AB所对的圆周角是直角．⊙O的内接四边形ABCD的对角∠B与∠D的和为180°．
【解答】解：∵AB经过圆心O，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°．
∵∠B＝3∠BAC，
∴∠BAC+3∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴∠B＝67.5°．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣67.5°＝112.5°．
【点评】本题侧重考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4：5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
【分析】（1）欲证明，只需推知∠BAD＝∠CAD即可；
（2）圆心角、弧、弦的关系以及圆内接四边形的对角互补的性质解答．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴．
（2）∵，与的度数之比为4：5，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴∠BAE＝＝50°，∠B＝＝65°，
∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°，
∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°，
∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求∠BAD的度数．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠CBD＝∠ABD＝33°，则∠ABC＝66°，然后根据三角形内角和计算∠BAC的度数；
（2）先根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝33°，然后计算∠BAC+∠DAC即可．
【解答】解：（1）∵，
∴∠CBD＝∠ABD＝33°，
∴∠ABC＝66°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣44°＝70°；
（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
【分析】连接BE、AF，如图，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠AFB＝90°，再利用等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA，则根据等角的余角相等得到∠ABE＝∠BAF，然后根据圆周角定理得到结论．
【解答】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴＝．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
25．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴＝，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长＝××π×6＝π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
八．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
九．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
十．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
十一．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
十二．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
十三．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
十四．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．垂径定理（共3小题）
1．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4.2C．5.8D．6
2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
3．（2023•龙湾区一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，以BC的中点H为圆心，HA为半径画弧交CB的延长线于点E．以BE为边向上作正方形BEFG，过点A作AK⊥AE交CD于点K，取EK的中点M，连结MO．已知，则OM的长为（ ）
A．B．C．D．3
二．垂径定理的应用（共2小题）
4．（2022秋•诸暨市期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，OD＝3，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
5．（2023•婺城区模拟）抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
6．（2023•临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
四．圆周角定理（共4小题）
7．（2023•义乌市模拟）如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24°B．30°C．36°D．60°
8．（2022秋•鄞州区期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC＝ cm．
9．（2022秋•浦江县期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
10．（2022秋•越城区校级期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的长．
五．圆内接四边形的性质（共3小题）
11．（2022秋•海曙区期末）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．150°
12．（2022秋•上城区期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）ON＝OM．
13．（2022秋•金华期末）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．
六．点与圆的位置关系（共4小题）
14．（2022秋•温州期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
15．（2022秋•金华期末）已知点P到圆心O的距离为3cm，点P在⊙O内，则⊙O的半径R的取值范围是（ ）
A．R＞3B．R＜3C．0＜R＜3D．R≥3
16．（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
17．（2022秋•杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点B在圆上D．点B在圆外
七．正多边形和圆（共4小题）
18．（2023•杭州二模）如图，在正五边形ABCDE中，若BP＝1，则PE＝（ ）
A．2B．C．D．+1
19．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．
20．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．36°B．45°C．60°D．75°
21．（2023•上虞区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，M是边BC的中点，连结FM交AE于点N，则△FEN的面积为（ ）
A．B．C．D．
八．弧长的计算（共6小题）
22．（2023•金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（ ）
A．2πB．πC．2πD．π
23．（2023•温州二模）一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是 ．
24．（2023•瓯海区模拟）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 m．
25．（2023•武义县一模）如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为 cm．
26．（2023•秀洲区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为 ．
27．（2023•海曙区一模）某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
九．扇形面积的计算（共5小题）
28．（2022秋•杭州期末）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
29．（2022秋•滨江区期末）已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）
A．24B．22C．12D．6
30．（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8B．5π﹣8C．25π﹣64D．50π﹣64
31．（2022秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为点E，连接OC并延长交⊙O于点F，∠CDB＝30°，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•永嘉县二模）一扇形面积是3π，半径为3，则该扇形圆心角度数是 ．
一十．旋转的性质（共8小题）
33．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在线段AB上，则B、D两点间的距离为（ ）
A．B．C．6D．
34．（2023•桐乡市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，将线段AD绕着点A逆时针旋转一定角度得到AE，使AE∥BC，连接ED，EB分别交AC于点M，N．若AC＝10，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
35．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且A，B，E三点在同一条直线上，若∠C＝36°，则旋转角α的度数是（ ）
A．82°B．83°C．84°D．85°
36．（2023•绍兴模拟）如图，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，边AC与A'B'交于点D，若∠A＝28°，∠B＝63°，则∠A'DA＝ ．
37．（2023•拱墅区校级三模）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝ °．
38．（2023•拱墅区校级二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的长．
39．（2023•玉环市二模）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
40．（2023•瓯海区模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（ ）
A．8B．7C．9D．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
3．（3分）如图为一条圆柱形排水管的横截面，已知圆心O到水面的距离OC是3dm，水面宽AB是8dm，排水管的截面的直径是（ ）
A．16dmB．10dmC．8dmD．6dm
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（ ）
A．83°B．84°C．86°D．87°
5．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（ ）
A．140°B．100°C．80°D．40°
6．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．B．4C．5D．6
7．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D有（ ）（点D与点A、B、C均不重合）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（0，3）
9．（3分）如图，∠DCE的顶点C在量角器外圈的160°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，则∠DCE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
10．（3分）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（ ）
A．1+B．+2C．2﹣2D．1+
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1.8cm，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的直径等于 cm．
12．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，OM＝3，BM＝2，则CD的长为 ．
13．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
14．（4分）如图，已知扇形AOB，∠AOB＝120°，半径OA＝4，点E在弧AB上一动点（E与A、B不重合），过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，则△CDE面积的最大值为 ．
15．（4分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝1cm，∠BCD＝22.5°，则⊙O的半径为 cm．
16．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分66分）
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，请用尺规作图法在BC上找一点E，使得点E到AD、CD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（6分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 ；
②⊙D的半径＝ （结果保留根号）；
③的长为 ．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC＝8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段AD的长．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．
21．（9分）如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，求∠ADC的度数．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4：5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求∠BAD的度数．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
25．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
第3章 圆的基本性质全章复习与测试
【知识梳理】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
八．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
九．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
十．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
十一．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
十二．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
十三．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
十四．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．垂径定理（共3小题）
1．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4.2C．5.8D．6
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，
解得：R＝5.8，
即⊙O的半径长是5.8，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【分析】根据垂径定可得AD＝AB＝4，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵半径OC与弦AB垂直于点D，AB＝8，
∴AD＝AB＝4，∠ADO＝90°，
∵OA＝OC＝5，
∴OD＝＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2023•龙湾区一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，以BC的中点H为圆心，HA为半径画弧交CB的延长线于点E．以BE为边向上作正方形BEFG，过点A作AK⊥AE交CD于点K，取EK的中点M，连结MO．已知，则OM的长为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】连接AC，AM，AH，CM，证明△EAB≌△KAD，推出AE＝AK，BE＝DK，利用勾股定理求得AH的长，再先后得到DK、CK、EK的长，利用直角三角形斜边中线的性质求得MA＝MC＝EK＝，利用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：连接AC，AM，AH，CM，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴点O在线段AC上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABE＝90°，
∵AK⊥AE，即∠EAK＝∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠KAD，
∴Δ EAB≌Δ KAD（ASA），
∴AE＝AK，BE＝DK，
∵，点H为BC的中点，
∴AB＝CD＝BC＝2+2，BH＝+1，
∴AH＝＝＝AB＝5+，
∵HA＝HE，
∴DK＝BE＝HE＝BH＝4，
∴CK＝CD﹣DK＝2+2﹣4＝2﹣2，
∴CE＝BE+BC＝4+2+2＝2+6，
∴EK＝＝＝，
∵点M是EK的中点，且∠EAK＝ECK＝90°，
∴MA＝MC＝EK＝2，
∵点O为AC的中点，且AC＝＝BC＝+，
∴OM⊥AC，OC＝AC＝+，
由勾股定理得：OM2＝CM2﹣OC2，即OM2＝（2）2﹣（+）2，
解得：OM＝（负值已舍），
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二．垂径定理的应用（共2小题）
4．（2022秋•诸暨市期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，OD＝3，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【分析】根据垂径定理、勾股定理进行计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA＝＝5＝OC，
∴CD＝OC﹣OD＝2，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
5．（2023•婺城区模拟）抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【分析】根据题意画出草图，建立数学模型．根据勾股定理和垂径定理求解．
【解答】解：设该铅球的半径是rcm．
在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，
根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，
解得r＝5，
故2r＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，再进一步根据勾股定理以及垂径定理进行计算是解题关键．
三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
6．（2023•临安区一模）如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接OB，得到∠BOD＝∠COD，由等腰三角形的性质，得到OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，由勾股定理求出AB长，即可求出OE长，得到DC的长．
【解答】解：连接OB，
∵D是弧BC的中点，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，
∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴OB＝AC＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，勾股定理，关键是连接OB构造直角三角形，应用勾股定理解决问题．
四．圆周角定理（共4小题）
7．（2023•义乌市模拟）如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24°B．30°C．36°D．60°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵OE＝OD，DC＝OE，
∴DC＝DO，
∴∠C＝∠DOC，
∴∠ODE＝2∠C，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠OED＝2∠C，
∵∠BOE＝∠C+∠OED，
∴∠C+2∠C＝72°，
解得，∠C＝24°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．
8．（2022秋•鄞州区期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC＝ cm．
【分析】过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，证明△ABC≌△ADE从而得到△ACE的面积等于四边形ABCD的面积，证明△ACE为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出AC．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE．
∵AE⊥AC，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠ACE＝45°
∴AC＝AE
∵∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴S△ABC＝S△ADE，
∴S△ACE＝SABCD＝30，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．
9．（2022秋•浦江县期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据D为的中点，可得OD⊥AC，再由直径随对的圆周角是直角得到BC⊥AC，即可求证；
（2）根据D为的中点，可得OD⊥AC，，则∠AOD＝∠COD，再由平行线的性质求出∠AOD＝∠B＝70°，即可利用圆周角定理求解；
（3）根据勾股定理可得，再根据垂径定理可得AE＝CE，然后根据三角形中位线定理可得OE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴OD⊥AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOD＝∠COD
∵OD∥BC
∵∠AOD＝∠B＝70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA＝OD＝2，
∵D为的中点，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
10．（2022秋•越城区校级期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的长．
【分析】（1）欲求∠DEB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；
（2）利用垂径定理可以得到AC＝BC＝AB＝4，从而得到结论．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×54°＝27°．
（2）∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝8．
【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出AC＝CB＝4是解题关键．
五．圆内接四边形的性质（共3小题）
11．（2022秋•海曙区期末）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．150°
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．
【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，
∵的度数为60°，
∴∠ABE＝∠ADE＝30°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．
解法二：连接DE，利用四边形BCDE是圆内接四边形，解决问题即可．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
12．（2022秋•上城区期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）ON＝OM．
【分析】（1）由AC＝BD得到＝，推出∠AOC＝∠DOB，而∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC，即可证明问题；
（2）由条件可以证明△AON≌△BOM（ASA），即可证明OM＝ON．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴∠AOC＝∠DOB，
∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC，
∴∠1＝∠2；
（2）∵OA＝OC＝OD＝OB，
∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∵∠AOC＝∠DOB，
∴∠A＝∠B，
∵∠1＝∠2，OA＝OB，
∴△AON≌△BOM（ASA），
∴OM＝ON．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，三角形全等，掌握以上知识点是解题的关键．
13．（2022秋•金华期末）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．
【分析】（1）由OA⊥BC于H，先根据垂径定理得到BH＝CH，，再利用圆周角定理得到∠AOB＝60°；
（2）在Rt△OBH中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：（1）如图，
∵OA⊥BC于H，
∴BH＝CH，，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°；
（2）在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，
∴BH＝OH＝，
∴BC＝2BH＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
六．点与圆的位置关系（共4小题）
14．（2022秋•温州期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP＜5．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
15．（2022秋•金华期末）已知点P到圆心O的距离为3cm，点P在⊙O内，则⊙O的半径R的取值范围是（ ）
A．R＞3B．R＜3C．0＜R＜3D．R≥3
【分析】点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r，点P在圆上⇔d＝r，点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断．
【解答】解：∵点P到圆心O的距离为d＝3cm，点P在⊙O内，
∴d＜R，
∴⊙O的半径R的取值范围是R＞3，
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．
16．（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
则BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，，
∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴8＜r＜10．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
17．（2022秋•杭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点B在圆上D．点B在圆外
【分析】由r和CA，CB的大小关系即可判断点A和点B与⊙C的位置关系．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．
∴BC＝＝＝4，
∵r＝4，AC＝3＜4，BC＝4，
∴可得点A在⊙C内，点B在⊙C上．
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
七．正多边形和圆（共4小题）
18．（2023•杭州二模）如图，在正五边形ABCDE中，若BP＝1，则PE＝（ ）
A．2B．C．D．+1
【分析】根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出PE2＝BP•（BP+PE），代入求解即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点P，
∴∠ABC＝∠BAE＝108°，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠ABP＝∠AEP＝∠BAP＝∠BCP＝＝36°，
∵∠PAE＝108°﹣36°＝72°，∠APE＝36°+36°＝72°，
∴∠PAE＝∠APE，
∴AE＝PE，
∵∠APB＝∠BAE＝108°，∠ABP＝∠EBA＝36°，
∴△ABP∽△EBA，
∴＝，
∴AB2＝AP•BE，
即PE2＝BP•（BP+PE），
∴PE2＝1×（1+PE），
解得PE＝（取正值），
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程，掌握正多边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
19．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】连接OB，OC，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径是2．
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
20．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．36°B．45°C．60°D．75°
【分析】连接OC，OD，OE，由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COE＝120°是解决问题的关键．
21．（2023•上虞区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，M是边BC的中点，连结FM交AE于点N，则△FEN的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD、BF，根据正六边形的性质可得出GH是三角形BFM的中位线，进而得到GH＝BM＝BC＝，由正六边形的性质可求出AG，BF，利用相似三角形的判定和性质，得出
＝＝，进而得出＝，求出三角形ABF的面积即可．
【解答】解：如图，连接BF，AD交于G，AD交FM于H，由正六边形的对称性可知，ADBF，FG＝BG，AD∥BC∥EF，
∴FH＝HM，
∴GH是△BFM的中位线，
∴GH＝BM＝BC＝，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM＝1，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，∠ABF＝∠AFB＝30°，
∴AG＝AB＝1，BG＝AB＝，
∴AH＝AG+GH＝，
∵AD∥EF，
∴△ANH∽△EHF，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△AEF＝S△ABF＝BF•AG＝，
∴S△EFN＝，
故选：A．
【点评】此题考查的是正多边形和圆，正六边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提，求出AN：NE＝3：4是解决问题的关键．
八．弧长的计算（共6小题）
22．（2023•金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（ ）
A．2πB．πC．2πD．π
【分析】由题目给出的图形可知△AOB为等腰直角三角形，求出扇形的半径及圆心角的弧度数，然后直接代入弧长公式求解．
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴由图可知，，且OA＝2．
由弧长公式可得：扇形OAB的弧长等于＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，考查了学生的读图能力，是基础的计算题．
23．（2023•温州二模）一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是 ．
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解答】解：扇形的弧长＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式．
24．（2023•瓯海区模拟）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 6π m．
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【解答】解：l＝＝6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了弧长的求法，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式．
25．（2023•武义县一模）如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为 π cm．
【分析】连接OP，OQ，根据圆周角定理求出∠POQ＝60°，再根据弧长公式即可求解．
【解答】解：连接OP，OQ，
∵∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝60°，
∵⊙O的半径为3cm，
∴PQ弧长为：＝π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧长公式．
26．（2023•秀洲区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为 π ．
【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，由圆周角定理得到∠AOC＝80°，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝140°，
∴∠D＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∴的长＝＝π，
故答案为π．
【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
27．（2023•海曙区一模）某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为 2 cm．
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
r＝2cm．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
九．扇形面积的计算（共5小题）
28．（2022秋•杭州期末）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴扇形的面积是：＝12π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．
29．（2022秋•滨江区期末）已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）
A．24B．22C．12D．6
【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可．
【解答】解：，即，解得r＝24．
故选：A．
【点评】此题考查扇形的面积公式，＝，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．
30．（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8B．5π﹣8C．25π﹣64D．50π﹣64
【分析】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可．
【解答】解：连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝6，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
31．（2022秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为点E，连接OC并延长交⊙O于点F，∠CDB＝30°，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，证明∠COB＝∠BOD＝60°，求出OC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴，
∵∠CDB＝30°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵AB⊥CD，
∴，
∴∠COB＝∠AOF＝60°，
∵，
∴OE＝1，OC＝2，
∴S阴＝S扇形OAF﹣S△AOF＝﹣×22＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
32．（2023•永嘉县二模）一扇形面积是3π，半径为3，则该扇形圆心角度数是 120° ．
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，然后根据扇形的面积公式得到3π＝，解关于n的方程即可得到n的值．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
∴3π＝，
∴n＝120．
即扇形圆心角度数为120°．
故答案为120°．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（n为圆心角的度数，R为半径）．
一十．旋转的性质（共8小题）
33．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在线段AB上，则B、D两点间的距离为（ ）
A．B．C．6D．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质得DE和AE的长，最后利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴DE＝BC＝6，AE＝AC＝8，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
∴BE＝2，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
34．（2023•桐乡市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，将线段AD绕着点A逆时针旋转一定角度得到AE，使AE∥BC，连接ED，EB分别交AC于点M，N．若AC＝10，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取BN的中点F，连接DF，证明△ENA∽△BNC，求得，，推出DF是△BAN的中位线，得到，再证明△EMN∽△EDF，据此即可求解．
【解答】解：取BN的中点F，连接DF，
∵AB＝BC，D为AB的中点，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠EAN＝∠C，∠ENA＝∠BNC，
∴△ENA∽△BNC，
∴，
∴，，
∵D为AB的中点，
∴，DF∥AN，
∵MN∥DF，，
∴△EMN∽△EDF，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
35．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且A，B，E三点在同一条直线上，若∠C＝36°，则旋转角α的度数是（ ）
A．82°B．83°C．84°D．85°
【分析】根据△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得∠ADB＝∠B＝∠ADE，设∠B＝x，则∠ADB＝∠ADE＝x，在△BDE中，得x+36°+2x＝180°，可解得∠ADB＝∠ADE＝∠B＝48°，从而α＝84°．
【解答】解：∵△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴∠E＝∠C＝36°，∠BAD＝∠CAE＝α，∠ADE＝∠B，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝∠ADE，
设∠B＝x，则∠ADB＝∠ADE＝x，
∴∠BDE＝2x，
∵A，B，E在同一直线上，
在△BDE中，∠B+∠E+∠BDE＝180°，
∴x+36°+2x＝180°，
解得x＝48°，
∴∠ADB＝∠ADE＝∠B＝48°，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣2x＝84°，
∴α＝84°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能熟练应用三角形内角和定理．
36．（2023•绍兴模拟）如图，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，边AC与A'B'交于点D，若∠A＝28°，∠B＝63°，则∠A'DA＝ 82° ．
【分析】由三角形内角和得∠ACB＝89°，利用旋转的性质得∠CB'D＝63°，CB＝CB'，则∠CB'B＝∠B＝63°，再由三角形内角和定理得到∠BCB'＝54°，即可得到∠B'CD＝35°，利用三角形内角和定理和对顶角相等即可得到答案．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝63°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝89°，
∵，△A'B'C是将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B旋转后的对应点B'落在边AB上时得到的，
∴∠CB'D＝∠B＝63°，CB＝CB'，
∴∠CB'B＝∠B＝63°，
∴∠BCB'＝180°﹣∠CB'B﹣∠B＝54°，
∴∠B'CD＝∠ACB﹣∠B'CB＝35°，
∴∠A'DA＝∠B'DC＝180°﹣∠B'CD﹣∠CB'D＝82°．
故答案为：82°．
【点评】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质等知识，充分利用旋转的性质是解题的关键．
37．（2023•拱墅区校级三模）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝ 50 °．
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，
∴∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°，
∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠A1OD＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
38．（2023•拱墅区校级二模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝4，AC＝2，求AB的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；
（2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的长．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC
理由如下：∵旋转
∴BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC
∵CE∥AB
∴∠ABC＝∠BCE
∴∠ABC＝∠BEC
（2）如图，过点D作DF⊥CE于点F，
∵旋转
∴AC＝DE＝2，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB
∴∠BCE＝∠ABC
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE
∴△BCE是等边三角形
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°
∴CF＝CD＝2，DF＝CF＝2
在Rt△DEF中，EF＝＝＝8
∴CE＝EF+CF＝10＝BC
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6＝AB
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
39．（2023•玉环市二模）如图，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，点B的对应点是点E，连接CD，若AE⊥CD，则旋转角是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，求出∠DAE＝∠CAE＝25°，再求出∠DAC的度数即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝25°
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，
∵AE⊥CD，AD＝AC，
∴∠DAE＝∠CAE＝25°，
∴∠DAC＝25°+25°＝50°，
即旋转角度数是50°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出∠DAE＝∠CAE＝25°是解此题的关键．
40．（2023•瓯海区模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（ ）
A．8B．7C．9D．
【分析】过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，首先证明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再证明点F在∠BCP的平分线上，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，则PM＝CM﹣PC＝8﹣x，由△MPF∽△MCG，得到对应边成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠EPF＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠PEF＝90°，
∴∠PEF＝∠DAE，
在△PEF与△DAE中，
，
∴△PEF≌△DAE（AAS），
∴PF＝DE，PE＝AD，
∴PE＝CD，
∴PE﹣CE＝CD﹣CE，
∴PC＝DE，
∵FP⊥CD，
∴∠PCF＝45°，
∴点F在∠BCP的平分线上，
如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，
∵点B关于直线CF的对称点M，
，
∴△BFC≌△MFC（ASA），
∴CM＝BC＝AB＝8，
∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴BG＝CG＝＝4，
设DE＝x，由图1知，
PE＝PC＝DE＝x，
∴PM＝CM﹣PC＝8﹣x，
∵∠BCM＝∠FPM＝90°，
∴PF∥BC，
∴△MPF∽△MCG，
∴，
即，
解得：x＝，
∴CE＝CD﹣DE＝8﹣＝，
∴EG＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP的长大于3．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．
2．（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）
【分析】连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
∵AW＝1，WH＝3，
∴AH＝＝；
∵BQ＝3，QH＝1，
∴BH＝＝；
∴AH＝BH，
同理，AD＝BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH＝AH＝HC，
H为圆心．
则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．
3．（3分）如图为一条圆柱形排水管的横截面，已知圆心O到水面的距离OC是3dm，水面宽AB是8dm，排水管的截面的直径是（ ）
A．16dmB．10dmC．8dmD．6dm
【分析】连接OA，由垂径定理得出AC＝AB，∠OCA＝90°，由勾股定理求出OA，即可得出排水管的截面的直径．
【解答】解：连接OA，
由垂径定理得出AC＝AB＝4dm，∠OCA＝90°，
在Rt△OCA中，OA＝＝5dm，
5×2＝10dm．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（ ）
A．83°B．84°C．86°D．87°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝43°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
5．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（ ）
A．140°B．100°C．80°D．40°
【分析】设∠A的度数为2x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠A的度数为2x，则∠B、∠C的度数分别为4x、7x，
由题意得：2x+7x＝180°，
解得：x＝20°，
则∠B＝4x＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．B．4C．5D．6
【分析】如图，连接OA．根据垂径定理，求得AM．再根据勾股定理，再求得半径OA．
【解答】解：如图，连接OA．
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB．
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5．
∴⊙O的半径等于5．
故选：C．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
7．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D有（ ）（点D与点A、B、C均不重合）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】利用正方形的性质以及直角三角形的性质得出符合条件的格点D的个数．
【解答】解：如图所示：图中符合条件的格点D有5个（D，E，F，M，N）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及直角三角形的性质，根据题意得出图形是解题关键．
8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（0，3）
【分析】根据要求画出图形，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知，B′（0，3），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（3分）如图，∠DCE的顶点C在量角器外圈的160°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，则∠DCE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】连接OE、OD，根据角之间的数量关系，得出∠DOE＝60°，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OE、OD，
∵点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理、量角器，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
10．（3分）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（ ）
A．1+B．+2C．2﹣2D．1+
【分析】连接OA、OB、OP，连接BA，并延长至H，使HA＝AB，连接OH，PH，首先说明△AOB是等边三角形，再说明∠HOB＝90°，利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：连接OA、OB、OP，连接BA，并延长至H，使HA＝AB，连接OH，PH，
∵∠APB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∵OA＝AH＝AB，
∴∠HOB＝90°，
∴OH＝OB＝2，
∵点C是BP的中点，A是BH的中点，
∴AC是△PBH的中位线，
∴HP＝2AC，
∵HP≤OH+OP，
∴HP的最大值为2+2，
∴AC的最大值+1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，构造三角形中位线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1.8cm，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的直径等于 3.6 cm．
【分析】根据题意连接OA、OB，由圆周角定理推出∠AOB＝2∠ACB＝60°，从而得到△AOB是等边三角形，进而利用同圆中直径与半径的关系求解即可．
【解答】解：如图，
连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
又OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝1.8cm，
∴⊙O的直径为：2×1.8＝3.6（cm），
故答案为：3.6．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是根据圆周角定理推出∠AOB＝2∠ACB＝60°，通常需要从图形入手，注意运用数形结合的思想方法．
12．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，OM＝3，BM＝2，则CD的长为 8 ．
【分析】连接OC，由垂径定理得CM＝DM，再由勾股定理求出CM＝4，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵OM＝3，BM＝2，
∴OC＝OB＝OM+BM＝5，
∵直径AB⊥CD于点M，
∴CM＝DM，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM＝＝＝4，
∴CD＝2CM＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CM＝4是解题的关键．
13．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 3 ．
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN＝AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC是直径时，最大，
如图，
∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝6，
∴AD＝6，
∴MN＝AD＝3
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
14．（4分）如图，已知扇形AOB，∠AOB＝120°，半径OA＝4，点E在弧AB上一动点（E与A、B不重合），过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，则△CDE面积的最大值为 ．
【分析】连接OE，取OE中点K，连接CK、DK，作EL⊥CD，KM⊥CD，垂足分别为L、M，当点L与M重合时，EL＝EK+KM＝3最大，求出此时的面积即可．
【解答】解：连接OE，取OE中点K，连接CK、DK，作EL⊥CD，KM⊥CD，垂足分别为L、M，
∵EC⊥OA，ED⊥OB，∠AOB＝120°
∴KC＝KD＝KE＝2，∠CED＝60°，
∴∠KCE＝∠KEC，∠KDE＝∠KED，
∠CKD＝∠CKO+∠OKD＝2∠KEC+2∠KED＝120°，
∴∠KDC＝30°，
∴，
∴，，
如图所示，EK+KM≥EL，当点L与M重合时，EL＝EK+KM＝3最大，此时三角形面积最大；最大面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题关键是确定，当高最大时面积最大，利用勾股定理求解即可．
15．（4分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝1cm，∠BCD＝22.5°，则⊙O的半径为 cm．
【分析】连接OB，根据圆周角定理得出∠BOD的度数，再根据弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝1cm得出BE的长，判断出△OBE的形状，再根据勾股定理即可得出OB的长．
【解答】解：连接OB，如图：
∵∠BCD＝22.5°，
∴∠BOD＝45°．
∵弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝1cm，
∴BE＝AB＝，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OB＝＝＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为 5 ．
【分析】由旋转的性质可得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠D＝∠ABG＝90°，由“SAS”可证△GAE≌△FAE，可得EF＝GE，由勾股定理可求解．
【解答】解：由旋转的性质可知：AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠D＝∠ABG＝90°，
∵∠ABG+∠ABE＝180°，
∴点G在CB的延长线上，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°．
又∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°．
∴∠BAG+∠BAE＝45°．
∴∠GAE＝∠FAE．
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝GE＝GB+BE＝DF+2，
∵EF2＝CF2+EC2，
∴（DF+2）2＝（6﹣DF）2+（6﹣2）2，
∴DF＝3，
∴EF＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分66分）
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，请用尺规作图法在BC上找一点E，使得点E到AD、CD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ADC的角平分线交CB于点E，点E即为所求．
【解答】解：如图，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（6分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 （2，0 ） ；
②⊙D的半径＝ 2 （结果保留根号）；
③的长为 π ．
【分析】①结合图形找出D的位置，即可得出D的坐标；
②根据勾股定理求出DB的长即可；
③根据弧长公式计算即可．
【解答】解：①如图：D在AB的垂直平分线EF和BC的垂直平分线MN的交点上，
即D的坐标是（2，0），
②∵B（4，4），
∴AB＝2，
∴⊙D的半径＝＝2；
③＝＝π；
故答案为①（2，0）；②；③．
【点评】本题考查了垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理的应用，以及弧长公式的计算，主要考查学生的理解能力和计算能力．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC＝8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段AD的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得出OE⊥BC，BD＝CD＝BC求出BD的长，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r﹣DE＝r﹣2，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出r的值；
（2）连接AC，根据勾股定理求出AC的长，在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：（1）∵BC＝8，E为的中点，
∴OE⊥BC，BD＝CD＝BC＝×8＝4，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r﹣DE＝r﹣2，
在Rt△OBD中，
OB2＝OD2+BD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5；
答：⊙O的半径为5；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，BC＝8，AB＝2OB＝2×5＝10，
∴AC＝＝＝6，
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝2．
答：线段AD的长为2．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（6分）如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．
【分析】将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，旋转角是90度，可以得到△APP′是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：根据旋转的性质可知将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，则△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′＝3，∠BAC＝∠PAP′＝90°，
在Rt△APP′中，PP′2＝＝＝3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，确定旋转角是解题的关键．
21．（9分）如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，求∠ADC的度数．
【分析】⊙O的直径AB所对的圆周角是直角．⊙O的内接四边形ABCD的对角∠B与∠D的和为180°．
【解答】解：∵AB经过圆心O，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°．
∵∠B＝3∠BAC，
∴∠BAC+3∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴∠B＝67.5°．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣67.5°＝112.5°．
【点评】本题侧重考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4：5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
【分析】（1）欲证明，只需推知∠BAD＝∠CAD即可；
（2）圆心角、弧、弦的关系以及圆内接四边形的对角互补的性质解答．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴．
（2）∵，与的度数之比为4：5，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴∠BAE＝＝50°，∠B＝＝65°，
∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°，
∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°，
∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求∠BAD的度数．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠CBD＝∠ABD＝33°，则∠ABC＝66°，然后根据三角形内角和计算∠BAC的度数；
（2）先根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝33°，然后计算∠BAC+∠DAC即可．
【解答】解：（1）∵，
∴∠CBD＝∠ABD＝33°，
∴∠ABC＝66°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣44°＝70°；
（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
【分析】连接BE、AF，如图，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠AFB＝90°，再利用等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA，则根据等角的余角相等得到∠ABE＝∠BAF，然后根据圆周角定理得到结论．
【解答】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴＝．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
25．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴＝，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长＝××π×6＝π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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