数学浙教版（2024）1.3 二次函数的性质一课一练

这是一份数学浙教版（2024）1.3 二次函数的性质一课一练，共65页。
一．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
二．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
三．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【考点剖析】
一．二次函数的性质（共17小题）
1．（2022秋•金东区期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣1
2．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（ ）
A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0 B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0
C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0 D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0
3．（2022秋•西湖区期末）设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（ ）
A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2
C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1
4．（2023•长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
5．（2022秋•温州期末）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，0）B．（0，3）C．（1，0）D．（0，1）
6．（2023•婺城区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到x轴的距离是2
7．（2023•南湖区一模）在同一直角坐标系中，已知函数，y2＝kx+2（k为不等于零的常数）．若函数y2的图象经过y1的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为 ．
8．（2023•鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 ．
9．（2022秋•南浔区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣5，当x＝3时，y＝ ．
10．（2022秋•嵊州市期末）二次函数y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1）的图象上任意二点连线不与x轴平行，则b的取值范围为 ．
11．（2022秋•余姚市期末）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 ．
12．（2023•镇海区校级模拟）直线l1：y＝kx+3与y轴交于点P，直线l1绕点P顺时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共点，则k＝ ．
13．（2022秋•杭州期末）已知0＜m＜3，若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0的自变量x与函数y的部分对应值如表，
则c＝ ，方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
14．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．
15．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 ；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
16．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．
（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．
（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．
17．（2022秋•嘉兴期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣4．
（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）自变量在什么范围内时，y随x的增大而增大．
二．二次函数的最值（共4小题）
18．（2023•江北区一模）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
19．（2022秋•金华期末）二次函数y＝2x2﹣4x的最小值为 ．
20．（2022秋•海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
21．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
三．待定系数法求二次函数解析式（共8小题）
22．（2022秋•温州期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝ ．
23．（2022秋•滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 ．
24．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2+bx+c．当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的取值范围是 ．
25．（2023•鹿城区校级二模）如图，抛物线经过点（﹣2，0）和（0，4）．
​（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）抛物线交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，CP＝nPB，求n的值．
26．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴．
（2）设P（m，y1），Q（m+1，y2）（m＞2）是该二次函数图象上的两点．当m≤x≤m+1时，函数的最大值与最小值的差为5，求m的值．
27．（2023•温州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）已知点A，B在对称轴的异侧，当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为5，设x1，x2的最小值分别为m，n，求m+n的值．
28．（2023•定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
29．（2023•西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
四．二次函数的三种形式（共3小题）
30．（2022秋•义乌市校级月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
31．（2022秋•余杭区校级月考）将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2
32．（2022秋•定海区校级月考）把函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k＝ ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知二次函数的图象和一次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的对称轴在y轴左侧，且B．若，则的对称轴在y轴右侧，且
C．若，则的对称轴在y轴右侧，且D．若，则的对称轴在y轴左侧，且
2．（2023·浙江·模拟预测）设二次函数（a，c是常数，），已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为m，（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为( )
A．17B．19C．21D．24
6．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）已知a为实数，下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
9．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1B．C．﹣D．﹣
10．（2023·统考二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是( )
A．若对称轴为直线，则B．若对称轴为直线，则
C．若对称轴为直线，则D．若对称轴为直线，则
二、填空题
11．（2023春·浙江·九年级开学考试）若关于x的一元二次方程有实数根，且．当时，试比较，2，3的大小，并用“