还剩65页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
浙教版（2024）九年级上册1.4 二次函数的应用当堂检测题
展开
这是一份浙教版（2024）九年级上册1.4 二次函数的应用当堂检测题，共68页。
一．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
二．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
三．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
四．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
五．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
六．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【考点剖析】
一．抛物线与x轴的交点（共4小题）
1．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，函数的最大值是9
B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9
C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9
D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣9
2．（2023•萧山区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2B．2n＝m2C．4n＝（m+1）2D．2n＝（m+1）2
3．（2023•杭州一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），m＜x1＜x2＜m+1，当x＝m时，y＝P，当x＝m+1时，y＝q，则（ ）
A．p，q至少有一个大于B．p，q都小于
C．p，q至少有一个小于D．p，q都大于
4．（2023春•下城区校级月考）已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x的与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（ ）
A．（a，0）和（b，0）B．（﹣a，0）和（﹣b，0）
C．（c，0）和（d，0）D．（﹣c，0）和（﹣d，0）
二．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
5．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
6．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
三．二次函数与不等式（组）（共6小题）
7．（2023春•鄞州区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
②9a2﹣b2＜0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；
④6≤3n﹣2≤10．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
8．（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范围是 ．
9．（2022秋•诸暨市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则不等式x2+＞0的解为 ．
10．（2023•宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
11．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
12．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
四．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）
13．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
五．二次函数的应用（共6小题）
14．（2022秋•鄞州区校级期末）如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（ ）
A．线段CD的函数表达式为s＝30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
15．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
16．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．
17．（2023•桐柏县二模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A处，正对一门柱CD，距离AC＝12m，足球运动到B的正上方，到达最高点2.5m，此时AB＝10m．球门宽DE＝5m，高CD＝2m．
（1）以水平方向为x轴，A为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
（2）请判断足球能否进球网？并说明理由．
（3）小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E处进入球网．若离A点8m处有人墙GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．
18．（2023•龙游县一模）综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
19．（2023•玉环市二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t（8≤t≤16）之间近似二次函数关系，可满足关系式y＝a（t﹣12）2+c．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
（3）若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
六．二次函数综合题（共3小题）
20．（2023•嵊州市一模）如图，二次函数y＝x2+ax+b的图象与直线y＝﹣x+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为（﹣4，7），点B的坐标为（1，2）．
（1）求二次函数y＝x2+ax+b的表达式；
（2）点M是线段AB上的动点，将点M向下平移h（h＞0）个单位得到点N．
①若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
②若h＝4，线段MN与二次函数的图象有公共点，请求出点M的横坐标m的取值范围．
21．（2023•萧山区模拟）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+2bx+3（a，b是常数，a≠0）．
（1）已知点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+2bx+2的图象与x轴只有1个交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2）在函数y＝ax2+2bx+3图象上，且两点均在x轴上方，若x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围．
22．（2023•萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020秋·九年级统考期末）抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车米时交通灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的路程，那么，此人（ ）
A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为米D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
4．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·浙江台州·统考一模）如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系
6．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A．B．C．4D．
7．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2020秋·浙江·九年级校考阶段练习）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，．以，为边构造矩形，设点的坐标为，则，之间的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·九年级统考期中）已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最大值为D．最小值为
二、填空题
11．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
12．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）某型号无人机着陆后的滑行距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系式满足，则无人机着陆后滑行的最大距离是________米．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为____________．
14．（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为_______，n的值为_______
15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______．
16．（2023秋·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点、，连接、，则当__时，的面积最大．
17．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
18．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为___________时为等腰三角形．
三、解答题
19．（2023·浙江温州·校考二模）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)点是抛物线上的一点，将点A向右平移3个单位恰好落在直线上，求m，n的值．
20．（2023·浙江台州·统考一模）已知二次函数，点与都在该函数的图象上，且．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若点与与直线的距离恒相等，求m的值；
(3)若，求的最小值．
21．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）如图，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)抛物线交y轴于点A，点P在线段上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，，求n的值．
22．（2023·浙江宁波·统考二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式．
(2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？
23．（2023·浙江台州·统考一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．
(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
(3)若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
(2)求直线，曲线的解析式；
(3)求矩形的最大面积．
25．（2023·浙江宁波·校联考三模）已知二次函数和一次函数的图象交于，两点．
(1)求这个二次函数和一次函数的函数关系式；
(2)记点C是与点A关于抛物线对称轴对称的点，求的面积；
(3)直接写出不等式的解．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
第05讲 二次函数的应用（6种题型）
【知识梳理】
一．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
二．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
三．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
四．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
五．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
六．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【考点剖析】
一．抛物线与x轴的交点（共4小题）
1．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，函数的最大值是9
B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9
C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9
D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣9
【分析】根据二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，求出b，c的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：∵二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，
∴，
解得，
∴二次函数y＝x2+bx+c＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∵1＞0，
∴当x＝2时，y有最小值，最小值为﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
2．（2023•萧山区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2B．2n＝m2C．4n＝（m+1）2D．2n＝（m+1）2
【分析】点A、B的纵坐标相同，可以根据对称轴求出b和m的关系，再根据二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，由判别式Δ＝0，得出c和m的关系，再把A点坐标代入函数解析式即可．
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则Δ＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，
解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
即4n＝（m+1）2．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．
3．（2023•杭州一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），m＜x1＜x2＜m+1，当x＝m时，y＝P，当x＝m+1时，y＝q，则（ ）
A．p，q至少有一个大于B．p，q都小于
C．p，q至少有一个小于D．p，q都大于
【分析】根据题意易得m、m+1到x1和x2的距离至少有一个小于，进而利用二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），且m＜x1＜x2＜m+1，
∴+bx1+c＝0，+bx2+c＝0，
∴＝，
∴m、m+1到x1和x2的距离至少有一个小于，
不妨设|m﹣x1|＜，则有：m2+bm+e＜，即p＜，
∴p，q至少有一个小于．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
4．（2023春•下城区校级月考）已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x的与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（ ）
A．（a，0）和（b，0）B．（﹣a，0）和（﹣b，0）
C．（c，0）和（d，0）D．（﹣c，0）和（﹣d，0）
【分析】将二次函数表示为一般式即可求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝x2﹣（a+b+1）x+ab，函数与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），
∴c+d＝a+b+1，cd＝ab，
∵y＝（x﹣c）（x﹣d）+x＝x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝x2﹣（a+b）x+ab，
则x1+x2＝a+b，x1x2＝ab，
即关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（a，0）、（b，0），
故选：A．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的图象性质及二次函数的图象与x轴的交点坐标的特征，将函数表示为一般式是解题的关键．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
5．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴抛物线的顶点为（0，3），
∴y＝3是函数的最大值，
∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有C．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
6．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；
由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，
故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．
三．二次函数与不等式（组）（共6小题）
7．（2023春•鄞州区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
②9a2﹣b2＜0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；
④6≤3n﹣2≤10．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴b＝﹣2a，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，
即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，
故①正确；
∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，
故②不正确；
∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
∴方程的根为x1＝，x2＝﹣1，
故③正确；
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，
∴2≤c≤3，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝﹣4a，
∵c＝﹣3a，
∴n＝c，
∴≤n≤4，
∴6≤3n﹣2≤10；
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
8．（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范围是 ﹣2≤x≤2 ．
【分析】由图象求出ax2+bx+c≥kx+h的解集，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，
∴由图可知，ax2+bx+c≥kx+h的解集为﹣2≤x≤2，
∴ax2+bx﹣h≥kx﹣c的解集为﹣2≤x≤2，
故答案为：﹣2≤x≤2．
【点评】本题考查二次函数与二次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
9．（2022秋•诸暨市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则不等式x2+＞0的解为 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＜﹣1或x＞2时，抛物线y＝ax2+bx+c在x轴的下方，
∴ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞2，
∵a＜0，
∴不等式x2+＞0的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．
10．（2023•宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求交点坐标，再根据图象求解；
（3）根据平移的规律求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
所以：p＝3，b＝﹣2；
（2）一次函数y1＝x的图象与抛物线y2＝x2﹣2x的图象在同一坐标系中，如图所示：
解得：或，
∴A（3，3），
由图象得；当y1＞y2时，x＜0或x＞3；
（3）∵y2＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴y2＝x2﹣2x的顶点为（1，﹣1），
由题意得：1+m＝﹣1+n，
∴m﹣n＝﹣2．
【点评】本题考查了函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．
11．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）设函数的交点式为y1＝a（x+1）（x+3），化为一般式，比较系数求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函数表达式可设为y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函数表达式为．
∵，
∴其图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
（2）直线y2与抛物线y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根据图象可知：x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
12．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
【分析】（1）设（2，7）为点P，把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中，求得即可；
（2）求得对称轴为直线x＝，故当时取最小值，x＝﹣1时取最大值，据此即可求得y的取值范围；
（3）由题意3a≤3，即可得到5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，从而求得5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，根据二次函数图象上点的坐标特征求得x＝3a时，y最小为9﹣9a2，x＝5时，y最大为34﹣30a，即可得到34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+25，即可求得0≤a≤1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6ax+9＝（x﹣3a）2﹣9a2+9，
∴顶点为（3a，9﹣9a2），
把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中得：4﹣12a+9＝7，
解得：，
∴抛物线的顶点为（，）；
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝x2﹣3x+9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，
∴当﹣1≤x＜3时函数在时取最小值为y＝﹣3×+9＝，
在x＝﹣1时取最大值为y＝1+3+9＝13，
故y的取值范围≤y≤13；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
∵当x≥3，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝3a≤3，即a≤1，
∴5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，
∴x＝3a时，y最小为9﹣9a2，
x＝5时，y最大为34﹣30a，
所以34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+25，解得a≥0，
综上所述0≤a≤1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
四．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）
13．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
【分析】根据剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．
五．二次函数的应用（共6小题）
14．（2022秋•鄞州区校级期末）如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（ ）
A．线段CD的函数表达式为s＝30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【解答】解：A、设线段CD的函数解析式为S＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），
故A错误，不符合题意；
B、25min～50min，王叔叔步行的路程为2000﹣1200＝800（m），
故B错误，不符合题意；
C、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200），
将（5，525）代入S＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200，
解得a＝﹣3，
∴曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），
故C正确，符合题意；
D、在OA段的速度为＝105m/min，在A到B点的平均速度为＝＝45m/min，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．
15．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【分析】根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC＝AE＝ED＝CD＝x，BC＝CF＝FG＝10﹣x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，
∴AC＝AE＝ED＝CD＝x，BC＝CF＝FG＝10﹣x，
S1＝S△EDK＝DE•DK，S2＝S△EAC＝AC•AK，
∵∠EDC＝∠DFG＝90°，
∴ED∥FG，
∴△EDK∽△GFK，
∴＝＝，
∴KD＝•KF，
∵DK+KF+CF＝CD，
∴KF+•KF+10﹣x＝x，
∴KF＝，
∴DK＝，
∴S1＝x•＝x2•，
S2＝x2，
∴＝＝x﹣1，
∴与x的函数关系为一次函数，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．
16．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．
【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝1，
∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣1）2+k，
代入原点得0＝a（0﹣1）2+k，
解得k＝﹣a，
∴h＝a（t﹣1）2﹣a，
令h＝0得a（t﹣1）2﹣a＝0，解得t1＝0，t2＝2，
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得1≤t＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
17．（2023•桐柏县二模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A处，正对一门柱CD，距离AC＝12m，足球运动到B的正上方，到达最高点2.5m，此时AB＝10m．球门宽DE＝5m，高CD＝2m．
（1）以水平方向为x轴，A为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
（2）请判断足球能否进球网？并说明理由．
（3）小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E处进入球网．若离A点8m处有人墙GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣10，2.5），设抛物线的函数表达式为y＝a（x+10）2+2.5，将（0，0），代入求解a值，进而可得结果；
（2）将x＝﹣12代入，求y值，然后和2比大小，进而可得结论；
（3）由题意，设抛物线的函数表达式为．如图，四边形CDEF是矩形，则CF＝DE＝5，在Rt△ACF中，由勾股定理求得AF＝13，将（﹣13，2）代入得，，解得，可得，证明△AGH∽△ACF，则，解得，把代入抛物线解析式，求y值，然后与2.2比大小，进而可得结论．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣10，2.5），设抛物线的函数表达式为y＝a（x+10）2+2.5，
将（0，0）代入得，0＝100a+2.5，解得，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
（2）足球不能进球网，理由如下：
当x＝﹣12时，，
∵2.4＞2，
∴足球不能进球网．
（3）足球能越过人墙，理由如下：
∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点（0，0），
∴设抛物线的函数表达式为．
如图，
由题意知，四边形CDEF是矩形，则CF＝DE＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
∵足球恰好在点E处进入球网，
∴抛物线经过点（﹣13，2），
将（﹣13，2）代入得，，
解得，
∴，
∵GH∥CF，
∴△AGH∽△ACF，
∴，
即，
解得，
把代入得，
，
∵，
∴足球能越过人墙．
【点评】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．（2023•龙游县一模）综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，再根据题意求解即可；
（2）由题意得，令y＝2解出方程即可得到解答；
（3）由题意得，令y＝3解出方程，再进行判断即可得到解答．
【解答】解：（1）由题意得，点O和点A的坐标分别为（0，0）和（20，0），
∵B为函数顶点，
∴B（10，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点B（10，4），
∴y＝a（x﹣10）2+4，
再将O（0，0）代入解析式可得，a（0﹣10）2+4＝0，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意得，令y＝2可得，，
解得，
∴桥拱宽度为：（米）
（3）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
∴当y＝3时，，
解得x1＝15，x2＝5，
∴最大能通行的宽度为：15﹣5＝10（米），
∵两小周宽为4米，
∴10＞4+4＝8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
19．（2023•玉环市二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t（8≤t≤16）之间近似二次函数关系，可满足关系式y＝a（t﹣12）2+c．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
（3）若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【分析】（1）把t＝11，y＝1.31；t＝12，y＝1.08代入解析式，解方程组求出a，c的值；
（2）先根据（1）中a，c值求出函数解析式，再把t＝14代入解析式求出y，再根据直角三角函数求出tanθ的值；
（3）先根据解析式求出y的最大值和最小值，再根据m和y的关系求出m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知t＝11，y＝1.31；t＝12，y＝1.08代入函数解析式得1.08＝a（12﹣12）2+c，
得，
解得，
∴a＝0.23，c＝1.08；
（2）由（1）得函数解析式为y＝0.23（t﹣12）2+1.08，
把t＝14代入y＝0.23（t﹣12）2+1.08，
解得y＝2，
则；
（3）∵y＝0.23（t﹣12）2+1.08，0.23＞0，9≤t≤14，
∴当t＝12时，y取得最小值，y＝0.23（12﹣12）2+1.08＝1.08，
当t＝9时，y取得最大值，y＝0.23（9﹣12）2+1.08＝3.15，
∵旗杆与直杆的长度比为2：1，
∴m：y＝2：1，
∴m＝2y，
∴m的取值范围为1.08×2≤m≤3.15×2，即2.16≤m≤6.3．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键用待定系数法求出函数解析式．
六．二次函数综合题（共3小题）
20．（2023•嵊州市一模）如图，二次函数y＝x2+ax+b的图象与直线y＝﹣x+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为（﹣4，7），点B的坐标为（1，2）．
（1）求二次函数y＝x2+ax+b的表达式；
（2）点M是线段AB上的动点，将点M向下平移h（h＞0）个单位得到点N．
①若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
②若h＝4，线段MN与二次函数的图象有公共点，请求出点M的横坐标m的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），则点N的坐标为（m，﹣m+3﹣h），将点N的坐标代入二次函数解析式可得h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；
②当h＝4时，点N的坐标为（m，﹣m﹣1），把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣4，7），B（1，2）代入y＝x2+ax+b得：，
解得：，
∴该二次函数解析式为y＝x2+2x﹣1；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），则点N的坐标为（m，﹣m+3﹣h）．
把N（m，﹣m+3﹣h）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m+3﹣h＝m2+2m﹣1，
∴h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，﹣4＜m＜1，
∴当m＝﹣时，h的最大值为；
②当h＝4时，点N的坐标为（m，﹣m﹣1），
把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m﹣1＝m2+2m﹣1，
即m2+3m＝0，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵﹣4＜m＜1，
∴﹣4≤m≤﹣3或0≤m≤1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023•萧山区模拟）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+2bx+3（a，b是常数，a≠0）．
（1）已知点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+2bx+2的图象与x轴只有1个交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2）在函数y＝ax2+2bx+3图象上，且两点均在x轴上方，若x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围．
【分析】（1）由二次函数解析式可得抛物线经过（0，3），再通过待定系数法求解．
（2）由抛物线与x轴只有一个交点可得方程ax2+2bx+2＝0的判别式Δ＝0．
（3）将a＝b＝﹣1代入函数解析式，由x1+x2＝﹣1可得x2＝﹣1﹣x1，用含x1的代数式表示y1+y2，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+2bx+3，
∴抛物线经过（0，3），
∴抛物线不经过B（0，2），
将（﹣1，0），（2，3）代入y＝ax2+2bx+3得，
解得，
∴函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）a＝2，b＝2，理由如下：
令ax2+2bx+2＝0，
当抛物线与x轴只有一个交点时，Δ＝4b2﹣8a＝0，
∴b2＝2a，
当a＝2，b＝2时符合题意（答案不唯一）．
（3）a＝b＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
∵x1+x2＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣x1，
∴y1+y2＝﹣（x1）2﹣2x1+3﹣（﹣1﹣x1）2﹣2（﹣1﹣x1）+3＝﹣2x1+7＝﹣2（x1+）2+，
∴y1+y2＜．
当x＝﹣2时，y1+y2＝3，
故3＜y1+y2＜．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
22．（2023•萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入函数解析式求解．
（2）由抛物线的的解析式可得抛物线经过（a+1，a），（1﹣a，a），根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，进而求解．
（3）由y1＝y2可得点A，B关于对称轴对称，由点A坐标可得点A关于对称轴的对称点的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）a＝1时，y＝x（x﹣2）+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）．
（2）∵y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a，
抛物线经过（a+1，a），（1﹣a，a），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
将x＝1代入y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a得y＝（1﹣a﹣1）（1+a﹣1）+a＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∴抛物线顶点纵坐标为﹣（a﹣）2+，其最大值为．
（3）y1＝y2时，点A与点B关于对称轴对称，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，
∴m+1＜1，即m＜0
点A（x1，y1）关于对称轴的对称点A'坐标为（x0，y1），
∵m＜x1＜m+1，x0＝2﹣x1，
∴1﹣m＜x0＜2﹣m，
∵m+2＜x2＜m+3，
∴，
解得﹣1≤m≤0．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020秋·九年级统考期末）抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，得，，则；根据，得，，则，得点是新抛物线对称轴与轴的交点；设点，则，的中点坐标为，则，求出；可得点的坐标，即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴，
∴点是新抛物线对称轴与轴的交点，
设点，
∴，
∵点，
∴的中点坐标为；
∴，
∴，
∴点，
∴平移后的抛物线为：，
∴把点代入，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的两点式，对称轴的性质，平行四边形的性质．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：如图：
根据题意，得，
设抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，即，
解得： 或（舍去），
又，
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车米时交通灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的路程，那么，此人（ ）
A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为米D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
【答案】D
【分析】根据题意得，车与人的间距：，即当s时，d取最小值7，即可得．
【详解】解：根据题意得，车与人的间距：，
即当s时，d取最小值7，
故不能追上汽车，当s时，期间最近距离为7米，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数再实际生活中的应用，解题的关键是理解题意，能够列出车与人的间距．
4．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案．
【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
5．（2023·浙江台州·统考一模）如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】分别用含的代数式表示出、，作差即可得到与的函数关系．
【详解】解：正方形中，，
，
，
，，
由图可知，，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数关系式的判断，找出与的函数关系式是解题关键．
6．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据，得出Q点的纵坐标为．
【详解】解：∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了5个单位，
由题意得，
∵，
∴Q点的纵坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于x的方程是解题的关键．
7．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．
【详解】解：二次函数（为常数）
①∵顶点坐标为且当时，
∴这个函数图象的顶点始终在直线上
故结论①正确，不符合题意；
②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,
令，得，其中
解得：，
∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴
∴或
∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确，不符合题意；
③∵
∴
∵二次函数（为常数）的对称轴为直线
∴点A离对称轴的距离小于点离对称轴的距离
∵，且
∴
故结论③错误，符合题意；
④当时，随的增大而增大，且
∴的取值范围为
故结论④正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
8．（2020秋·浙江·九年级校考阶段练习）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数与x轴交于点，，可知二次函数的对称轴为，即，可判断①；将A、B两点代入消去a得可得c、b的关系，可判断②；函数开口向下，时取得最小值，则时，可判断③；根据图像，设点D坐标为，运用勾股定理求出y，得到顶点D为，设顶点式，将代入即可判断④；由图像知，从而可以判断⑤．
【详解】解：抛物线交轴于，
抛物线对称轴为直线：
故①正确；
②∵交轴于，．
，
消去a得
故②错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是
∴时，二次函数有最小值
∴时，
故③正确；
④∵，，是等腰直角三角形．
设点D坐标为．
则．
解得．
∵点D在x轴下方．
∴点D为．
设二次函数解析式为，过点．
∴．
解得．
故④正确；
⑤由题意可得，
，
．
故是等腰三角形时，只有两种情况，故a的值有2个．
故⑤错误．
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与几何图形结合的综合判断．掌握函数图像基本性质和数形结合思想是解题的关键．
9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，．以，为边构造矩形，设点的坐标为，则，之间的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标，可得出点的坐标，点的坐标，继而确定点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式．
【详解】∵抛物线与直线交于点，，
将代入，
∴，
∴，
∴，
将将代入，
，
∴，
∴
∵直线的解析式为：，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
将点代入得，
，
∴，之间的关系式是，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．
10．（2022秋·九年级统考期中）已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最大值为D．最小值为
【答案】C
【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，
①若经过点A和点B，
∵，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上，
∴二次函数的图象不能同时经过点A，B；
②∵，，
∴抛物线也不同时经过点B，点C，
③经过点A、点C，如图，
∴
解得，
∴，
当时，，
则点是的顶点，
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为；
而经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，
当时，，
当时，y有最大值，为：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
二、填空题
11．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
【答案】10
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可；
【详解】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
12．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）某型号无人机着陆后的滑行距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系式满足，则无人机着陆后滑行的最大距离是________米．
【答案】
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【详解】解：∵，
∴当时，y有最大值，最大值为1200，
∴无人机着陆后滑行米才能停下来，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出无人机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为____________．
【答案】/2.25米/米/m/米/m
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时得的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：
，
代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：，
令，则．
故水管长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
14．（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为_______，n的值为_______
【答案】
【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线联立方程，令可求出的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得，在抛物线上，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
与直线联立方程，得：
，
整理得：,
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴
解得，；
帮答案为：；．
【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键．
15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______．
【答案】
【分析】如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时m的值和当直线与抛物线有唯一公共点时m的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【详解】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
16．（2023秋·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点、，连接、，则当__时，的面积最大．
【答案】
【分析】依题意，设，根据，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：依题意，设，
∴
∴，
∴当时，的面积最大，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，二次函数的性质，根据题意构造二次函数是解题的关键．
17．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
【答案】18
【分析】由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长．
【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点”，
可知，
把代入得：
，
解得，
由两点间距离公式可求出（米．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握其性质是解决此题的关键．
18．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为___________时为等腰三角形．
【答案】
【分析】首先利用抛物线解析式求出顶点和对称轴，设点，若为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：∵抛物线
∴抛物线顶点F为,其对称轴为：，
∵当时，，，
∴抛物线与x轴交点A、B坐标分别为：，，
∴可设点，则可求得：
，
，
．
i）当时，
有，
解得（与F点重合，舍去），，
∴；
ii）当时，
有，
即，，
∴、．
iii）当时，
有，
解得：，
∴点Q坐标为：．
综上所述，存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．
三、解答题
19．（2023·浙江温州·校考二模）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)点是抛物线上的一点，将点A向右平移3个单位恰好落在直线上，求m，n的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)，
【分析】（1）根据对称轴可设函数解系数为，然后把点代入可求得k，进而问题可求解；
（2）由平移可知平移后点A的坐标为，代入一次函数解析式得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴设函数解系数为，
将代入，解得：，
∴，顶点坐标为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴①，
∵A向右移动3个单位，
∴移动后的A记为，
将代入，得：②，
联立①②，得，
由求根公式，可得：，
∵，
∴，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（2023·浙江台州·统考一模）已知二次函数，点与都在该函数的图象上，且．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若点与与直线的距离恒相等，求m的值；
(3)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得到答案；
（2）由得，，化简得，结合，，从而可得答案；
（3）由，结合点与与直线的距离恒相等，可得在直线的左侧，则在直线的右侧或两点重合在直线上，可得，结合随的增大而减小，可得当时，的最小值为．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴对称轴为直线．
（2）由得，，
化简得，
又∵，，
∴，
∴．
（3）∵，
由（1）（2）可得，点与与直线的距离恒相等，
∴在直线的左侧，则在直线的右侧或两点重合在直线上，
∴，
∵随的增大而减小，
∴当时，的最小值为．
【点睛】本题考查的是抛物线图象的性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解题意，选择合适的解题方法是关键．
21．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）如图，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)抛物线交y轴于点A，点P在线段上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，，求n的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）将点和代入求出a、b即可确定函数表达式，然再用对称轴公式即可解答；
（2）设、、 、，再根据点可得、，再结合可得代关于m的方程，求解方程可得m；进而可得、，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：将点和代入可得：
，解得：，
∴函数表达式为，
对称轴为：．
（2）解：设，，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍弃）
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、确定二次函数的对称轴，二次函数的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
22．（2023·浙江宁波·统考二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式．
(2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当定为160元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560 元
【分析】（1）根据每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，列出函数表达式即可；
（2）设宾馆的利润为w，根据题意，列出二次函数表达式，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得；
（2）设宾馆的利润为w，依题意得
；
，
当时，w有最大值为11560元．
答：当定为 160 元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
23．（2023·浙江台州·统考一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．
(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
(3)若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）设抛物线解析式为，
待定系数法求解析式即可求解；
（2）依题意，抛物线向左平移2个单位得到，令，即可求解．
（3）分别求得经过点，时，求得与轴的交点坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得：
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到
令，解得：，
∴水流不能到达点处，
（3）解：依题意，设水流到达墙面高度为，
设抛物线解析式为
当时，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当时，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
当，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
(2)求直线，曲线的解析式；
(3)求矩形的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)当时，矩形的面积的最大值为
【分析】（1）根据已知条件建立平面直角坐标系，在图中描出相应的点即可；
（2）设直线的解析式为，的解析式为，将点，两点代入即可求出直线的解析式，将点代入反比例函数图像，即可求出的解析式；
（3）设点的横坐标为，则点坐标为，表示出，点坐标为，的面积为，将坐标代入，利用二次函数最大值问题求出最后结果．
【详解】（1）解：如图
（2）设直线的解析式为，将点，代入得直线的解析式为：，
由点得曲线的解析式为：．
（3）如图，设点的横坐标为，则点坐标为，
，
四边形是矩形，
，
点坐标为，
设矩形的面积为，
，
当时，矩形的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标系中描点的问题，涉及到一次函数和反比例函数解析式的求解，二次函数的实际应用，注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，研究其最值是解答本题的关键．
25．（2023·浙江宁波·校联考三模）已知二次函数和一次函数的图象交于，两点．
(1)求这个二次函数和一次函数的函数关系式；
(2)记点C是与点A关于抛物线对称轴对称的点，求的面积；
(3)直接写出不等式的解．
【答案】(1)二次函数的解析式为：；一次函数的解析式为：；
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据题意确定点，结合图象求三角形面积即可；
（3）根据函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下面的部分即可．
【详解】（1）解：将点，分别代入两个函数解析式得：
，，
解得：，，
∴二次函数的解析式为：；一次函数的解析式为：；
（2）二次函数的解析式为：，
当y=0时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∵点C是与点A关于抛物线对称轴对称的点，
∴，
∴的面积为：；
（3）即为二次函数图象在一次函数图象下面的部分，
∴根据函数图象得：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法的应用，三角形的面积，函数图象与不等式的关系，关键是熟练掌握待定系数法，三角形的面积公式，数形结合思想的应用．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
一．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
二．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
三．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
四．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
五．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
六．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【考点剖析】
一．抛物线与x轴的交点（共4小题）
1．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，函数的最大值是9
B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9
C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9
D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣9
2．（2023•萧山区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2B．2n＝m2C．4n＝（m+1）2D．2n＝（m+1）2
3．（2023•杭州一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），m＜x1＜x2＜m+1，当x＝m时，y＝P，当x＝m+1时，y＝q，则（ ）
A．p，q至少有一个大于B．p，q都小于
C．p，q至少有一个小于D．p，q都大于
4．（2023春•下城区校级月考）已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x的与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（ ）
A．（a，0）和（b，0）B．（﹣a，0）和（﹣b，0）
C．（c，0）和（d，0）D．（﹣c，0）和（﹣d，0）
二．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
5．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
6．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
三．二次函数与不等式（组）（共6小题）
7．（2023春•鄞州区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
②9a2﹣b2＜0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；
④6≤3n﹣2≤10．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
8．（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范围是 ．
9．（2022秋•诸暨市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则不等式x2+＞0的解为 ．
10．（2023•宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
11．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
12．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
四．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）
13．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
五．二次函数的应用（共6小题）
14．（2022秋•鄞州区校级期末）如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（ ）
A．线段CD的函数表达式为s＝30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
15．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
16．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．
17．（2023•桐柏县二模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A处，正对一门柱CD，距离AC＝12m，足球运动到B的正上方，到达最高点2.5m，此时AB＝10m．球门宽DE＝5m，高CD＝2m．
（1）以水平方向为x轴，A为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
（2）请判断足球能否进球网？并说明理由．
（3）小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E处进入球网．若离A点8m处有人墙GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．
18．（2023•龙游县一模）综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
19．（2023•玉环市二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t（8≤t≤16）之间近似二次函数关系，可满足关系式y＝a（t﹣12）2+c．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
（3）若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
六．二次函数综合题（共3小题）
20．（2023•嵊州市一模）如图，二次函数y＝x2+ax+b的图象与直线y＝﹣x+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为（﹣4，7），点B的坐标为（1，2）．
（1）求二次函数y＝x2+ax+b的表达式；
（2）点M是线段AB上的动点，将点M向下平移h（h＞0）个单位得到点N．
①若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
②若h＝4，线段MN与二次函数的图象有公共点，请求出点M的横坐标m的取值范围．
21．（2023•萧山区模拟）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+2bx+3（a，b是常数，a≠0）．
（1）已知点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+2bx+2的图象与x轴只有1个交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2）在函数y＝ax2+2bx+3图象上，且两点均在x轴上方，若x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围．
22．（2023•萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020秋·九年级统考期末）抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车米时交通灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的路程，那么，此人（ ）
A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为米D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
4．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·浙江台州·统考一模）如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系
6．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A．B．C．4D．
7．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2020秋·浙江·九年级校考阶段练习）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，．以，为边构造矩形，设点的坐标为，则，之间的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·九年级统考期中）已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最大值为D．最小值为
二、填空题
11．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
12．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）某型号无人机着陆后的滑行距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系式满足，则无人机着陆后滑行的最大距离是________米．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为____________．
14．（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为_______，n的值为_______
15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______．
16．（2023秋·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点、，连接、，则当__时，的面积最大．
17．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
18．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为___________时为等腰三角形．
三、解答题
19．（2023·浙江温州·校考二模）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)点是抛物线上的一点，将点A向右平移3个单位恰好落在直线上，求m，n的值．
20．（2023·浙江台州·统考一模）已知二次函数，点与都在该函数的图象上，且．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若点与与直线的距离恒相等，求m的值；
(3)若，求的最小值．
21．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）如图，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)抛物线交y轴于点A，点P在线段上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，，求n的值．
22．（2023·浙江宁波·统考二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式．
(2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？
23．（2023·浙江台州·统考一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．
(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
(3)若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
(2)求直线，曲线的解析式；
(3)求矩形的最大面积．
25．（2023·浙江宁波·校联考三模）已知二次函数和一次函数的图象交于，两点．
(1)求这个二次函数和一次函数的函数关系式；
(2)记点C是与点A关于抛物线对称轴对称的点，求的面积；
(3)直接写出不等式的解．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
第05讲 二次函数的应用（6种题型）
【知识梳理】
一．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
二．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
三．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
四．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
五．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
六．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【考点剖析】
一．抛物线与x轴的交点（共4小题）
1．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，函数的最大值是9
B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9
C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9
D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣9
【分析】根据二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，求出b，c的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：∵二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，
∴，
解得，
∴二次函数y＝x2+bx+c＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∵1＞0，
∴当x＝2时，y有最小值，最小值为﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
2．（2023•萧山区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2B．2n＝m2C．4n＝（m+1）2D．2n＝（m+1）2
【分析】点A、B的纵坐标相同，可以根据对称轴求出b和m的关系，再根据二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，由判别式Δ＝0，得出c和m的关系，再把A点坐标代入函数解析式即可．
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则Δ＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，
解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
即4n＝（m+1）2．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．
3．（2023•杭州一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），m＜x1＜x2＜m+1，当x＝m时，y＝P，当x＝m+1时，y＝q，则（ ）
A．p，q至少有一个大于B．p，q都小于
C．p，q至少有一个小于D．p，q都大于
【分析】根据题意易得m、m+1到x1和x2的距离至少有一个小于，进而利用二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），且m＜x1＜x2＜m+1，
∴+bx1+c＝0，+bx2+c＝0，
∴＝，
∴m、m+1到x1和x2的距离至少有一个小于，
不妨设|m﹣x1|＜，则有：m2+bm+e＜，即p＜，
∴p，q至少有一个小于．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
4．（2023春•下城区校级月考）已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x的与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（ ）
A．（a，0）和（b，0）B．（﹣a，0）和（﹣b，0）
C．（c，0）和（d，0）D．（﹣c，0）和（﹣d，0）
【分析】将二次函数表示为一般式即可求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝x2﹣（a+b+1）x+ab，函数与x轴的交点坐标是（c，0）和（d，0），
∴c+d＝a+b+1，cd＝ab，
∵y＝（x﹣c）（x﹣d）+x＝x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝x2﹣（a+b）x+ab，
则x1+x2＝a+b，x1x2＝ab，
即关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣d）+x与x轴的交点坐标是（a，0）、（b，0），
故选：A．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的图象性质及二次函数的图象与x轴的交点坐标的特征，将函数表示为一般式是解题的关键．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
5．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴抛物线的顶点为（0，3），
∴y＝3是函数的最大值，
∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有C．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
6．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；
由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，
故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．
三．二次函数与不等式（组）（共6小题）
7．（2023春•鄞州区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
②9a2﹣b2＜0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；
④6≤3n﹣2≤10．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴b＝﹣2a，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，
即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，
故①正确；
∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，
故②不正确；
∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
∴方程的根为x1＝，x2＝﹣1，
故③正确；
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，
∴2≤c≤3，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝﹣4a，
∵c＝﹣3a，
∴n＝c，
∴≤n≤4，
∴6≤3n﹣2≤10；
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
8．（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范围是 ﹣2≤x≤2 ．
【分析】由图象求出ax2+bx+c≥kx+h的解集，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，
∴由图可知，ax2+bx+c≥kx+h的解集为﹣2≤x≤2，
∴ax2+bx﹣h≥kx﹣c的解集为﹣2≤x≤2，
故答案为：﹣2≤x≤2．
【点评】本题考查二次函数与二次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
9．（2022秋•诸暨市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则不等式x2+＞0的解为 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＜﹣1或x＞2时，抛物线y＝ax2+bx+c在x轴的下方，
∴ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞2，
∵a＜0，
∴不等式x2+＞0的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．
10．（2023•宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求交点坐标，再根据图象求解；
（3）根据平移的规律求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
所以：p＝3，b＝﹣2；
（2）一次函数y1＝x的图象与抛物线y2＝x2﹣2x的图象在同一坐标系中，如图所示：
解得：或，
∴A（3，3），
由图象得；当y1＞y2时，x＜0或x＞3；
（3）∵y2＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴y2＝x2﹣2x的顶点为（1，﹣1），
由题意得：1+m＝﹣1+n，
∴m﹣n＝﹣2．
【点评】本题考查了函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．
11．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）设函数的交点式为y1＝a（x+1）（x+3），化为一般式，比较系数求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函数表达式可设为y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函数表达式为．
∵，
∴其图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
（2）直线y2与抛物线y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根据图象可知：x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
12．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
【分析】（1）设（2，7）为点P，把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中，求得即可；
（2）求得对称轴为直线x＝，故当时取最小值，x＝﹣1时取最大值，据此即可求得y的取值范围；
（3）由题意3a≤3，即可得到5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，从而求得5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，根据二次函数图象上点的坐标特征求得x＝3a时，y最小为9﹣9a2，x＝5时，y最大为34﹣30a，即可得到34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+25，即可求得0≤a≤1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6ax+9＝（x﹣3a）2﹣9a2+9，
∴顶点为（3a，9﹣9a2），
把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中得：4﹣12a+9＝7，
解得：，
∴抛物线的顶点为（，）；
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝x2﹣3x+9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，
∴当﹣1≤x＜3时函数在时取最小值为y＝﹣3×+9＝，
在x＝﹣1时取最大值为y＝1+3+9＝13，
故y的取值范围≤y≤13；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
∵当x≥3，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝3a≤3，即a≤1，
∴5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，
∴x＝3a时，y最小为9﹣9a2，
x＝5时，y最大为34﹣30a，
所以34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+25，解得a≥0，
综上所述0≤a≤1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
四．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）
13．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
【分析】根据剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．
五．二次函数的应用（共6小题）
14．（2022秋•鄞州区校级期末）如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（ ）
A．线段CD的函数表达式为s＝30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【解答】解：A、设线段CD的函数解析式为S＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），
故A错误，不符合题意；
B、25min～50min，王叔叔步行的路程为2000﹣1200＝800（m），
故B错误，不符合题意；
C、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200），
将（5，525）代入S＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200，
解得a＝﹣3，
∴曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），
故C正确，符合题意；
D、在OA段的速度为＝105m/min，在A到B点的平均速度为＝＝45m/min，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．
15．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【分析】根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC＝AE＝ED＝CD＝x，BC＝CF＝FG＝10﹣x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，
∴AC＝AE＝ED＝CD＝x，BC＝CF＝FG＝10﹣x，
S1＝S△EDK＝DE•DK，S2＝S△EAC＝AC•AK，
∵∠EDC＝∠DFG＝90°，
∴ED∥FG，
∴△EDK∽△GFK，
∴＝＝，
∴KD＝•KF，
∵DK+KF+CF＝CD，
∴KF+•KF+10﹣x＝x，
∴KF＝，
∴DK＝，
∴S1＝x•＝x2•，
S2＝x2，
∴＝＝x﹣1，
∴与x的函数关系为一次函数，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．
16．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．
【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝1，
∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣1）2+k，
代入原点得0＝a（0﹣1）2+k，
解得k＝﹣a，
∴h＝a（t﹣1）2﹣a，
令h＝0得a（t﹣1）2﹣a＝0，解得t1＝0，t2＝2，
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得1≤t＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
17．（2023•桐柏县二模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A处，正对一门柱CD，距离AC＝12m，足球运动到B的正上方，到达最高点2.5m，此时AB＝10m．球门宽DE＝5m，高CD＝2m．
（1）以水平方向为x轴，A为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
（2）请判断足球能否进球网？并说明理由．
（3）小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E处进入球网．若离A点8m处有人墙GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣10，2.5），设抛物线的函数表达式为y＝a（x+10）2+2.5，将（0，0），代入求解a值，进而可得结果；
（2）将x＝﹣12代入，求y值，然后和2比大小，进而可得结论；
（3）由题意，设抛物线的函数表达式为．如图，四边形CDEF是矩形，则CF＝DE＝5，在Rt△ACF中，由勾股定理求得AF＝13，将（﹣13，2）代入得，，解得，可得，证明△AGH∽△ACF，则，解得，把代入抛物线解析式，求y值，然后与2.2比大小，进而可得结论．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣10，2.5），设抛物线的函数表达式为y＝a（x+10）2+2.5，
将（0，0）代入得，0＝100a+2.5，解得，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
（2）足球不能进球网，理由如下：
当x＝﹣12时，，
∵2.4＞2，
∴足球不能进球网．
（3）足球能越过人墙，理由如下：
∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点（0，0），
∴设抛物线的函数表达式为．
如图，
由题意知，四边形CDEF是矩形，则CF＝DE＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
∵足球恰好在点E处进入球网，
∴抛物线经过点（﹣13，2），
将（﹣13，2）代入得，，
解得，
∴，
∵GH∥CF，
∴△AGH∽△ACF，
∴，
即，
解得，
把代入得，
，
∵，
∴足球能越过人墙．
【点评】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．（2023•龙游县一模）综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，再根据题意求解即可；
（2）由题意得，令y＝2解出方程即可得到解答；
（3）由题意得，令y＝3解出方程，再进行判断即可得到解答．
【解答】解：（1）由题意得，点O和点A的坐标分别为（0，0）和（20，0），
∵B为函数顶点，
∴B（10，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点B（10，4），
∴y＝a（x﹣10）2+4，
再将O（0，0）代入解析式可得，a（0﹣10）2+4＝0，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意得，令y＝2可得，，
解得，
∴桥拱宽度为：（米）
（3）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
∴当y＝3时，，
解得x1＝15，x2＝5，
∴最大能通行的宽度为：15﹣5＝10（米），
∵两小周宽为4米，
∴10＞4+4＝8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
19．（2023•玉环市二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t（8≤t≤16）之间近似二次函数关系，可满足关系式y＝a（t﹣12）2+c．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
（3）若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【分析】（1）把t＝11，y＝1.31；t＝12，y＝1.08代入解析式，解方程组求出a，c的值；
（2）先根据（1）中a，c值求出函数解析式，再把t＝14代入解析式求出y，再根据直角三角函数求出tanθ的值；
（3）先根据解析式求出y的最大值和最小值，再根据m和y的关系求出m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知t＝11，y＝1.31；t＝12，y＝1.08代入函数解析式得1.08＝a（12﹣12）2+c，
得，
解得，
∴a＝0.23，c＝1.08；
（2）由（1）得函数解析式为y＝0.23（t﹣12）2+1.08，
把t＝14代入y＝0.23（t﹣12）2+1.08，
解得y＝2，
则；
（3）∵y＝0.23（t﹣12）2+1.08，0.23＞0，9≤t≤14，
∴当t＝12时，y取得最小值，y＝0.23（12﹣12）2+1.08＝1.08，
当t＝9时，y取得最大值，y＝0.23（9﹣12）2+1.08＝3.15，
∵旗杆与直杆的长度比为2：1，
∴m：y＝2：1，
∴m＝2y，
∴m的取值范围为1.08×2≤m≤3.15×2，即2.16≤m≤6.3．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键用待定系数法求出函数解析式．
六．二次函数综合题（共3小题）
20．（2023•嵊州市一模）如图，二次函数y＝x2+ax+b的图象与直线y＝﹣x+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为（﹣4，7），点B的坐标为（1，2）．
（1）求二次函数y＝x2+ax+b的表达式；
（2）点M是线段AB上的动点，将点M向下平移h（h＞0）个单位得到点N．
①若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
②若h＝4，线段MN与二次函数的图象有公共点，请求出点M的横坐标m的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），则点N的坐标为（m，﹣m+3﹣h），将点N的坐标代入二次函数解析式可得h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；
②当h＝4时，点N的坐标为（m，﹣m﹣1），把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣4，7），B（1，2）代入y＝x2+ax+b得：，
解得：，
∴该二次函数解析式为y＝x2+2x﹣1；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），则点N的坐标为（m，﹣m+3﹣h）．
把N（m，﹣m+3﹣h）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m+3﹣h＝m2+2m﹣1，
∴h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，﹣4＜m＜1，
∴当m＝﹣时，h的最大值为；
②当h＝4时，点N的坐标为（m，﹣m﹣1），
把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m﹣1＝m2+2m﹣1，
即m2+3m＝0，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵﹣4＜m＜1，
∴﹣4≤m≤﹣3或0≤m≤1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023•萧山区模拟）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+2bx+3（a，b是常数，a≠0）．
（1）已知点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+2bx+2的图象与x轴只有1个交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2）在函数y＝ax2+2bx+3图象上，且两点均在x轴上方，若x1+x2＝﹣1，求y1+y2的取值范围．
【分析】（1）由二次函数解析式可得抛物线经过（0，3），再通过待定系数法求解．
（2）由抛物线与x轴只有一个交点可得方程ax2+2bx+2＝0的判别式Δ＝0．
（3）将a＝b＝﹣1代入函数解析式，由x1+x2＝﹣1可得x2＝﹣1﹣x1，用含x1的代数式表示y1+y2，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+2bx+3，
∴抛物线经过（0，3），
∴抛物线不经过B（0，2），
将（﹣1，0），（2，3）代入y＝ax2+2bx+3得，
解得，
∴函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）a＝2，b＝2，理由如下：
令ax2+2bx+2＝0，
当抛物线与x轴只有一个交点时，Δ＝4b2﹣8a＝0，
∴b2＝2a，
当a＝2，b＝2时符合题意（答案不唯一）．
（3）a＝b＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
∵x1+x2＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣x1，
∴y1+y2＝﹣（x1）2﹣2x1+3﹣（﹣1﹣x1）2﹣2（﹣1﹣x1）+3＝﹣2x1+7＝﹣2（x1+）2+，
∴y1+y2＜．
当x＝﹣2时，y1+y2＝3，
故3＜y1+y2＜．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
22．（2023•萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入函数解析式求解．
（2）由抛物线的的解析式可得抛物线经过（a+1，a），（1﹣a，a），根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，进而求解．
（3）由y1＝y2可得点A，B关于对称轴对称，由点A坐标可得点A关于对称轴的对称点的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）a＝1时，y＝x（x﹣2）+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）．
（2）∵y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a，
抛物线经过（a+1，a），（1﹣a，a），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
将x＝1代入y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a得y＝（1﹣a﹣1）（1+a﹣1）+a＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∴抛物线顶点纵坐标为﹣（a﹣）2+，其最大值为．
（3）y1＝y2时，点A与点B关于对称轴对称，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，
∴m+1＜1，即m＜0
点A（x1，y1）关于对称轴的对称点A'坐标为（x0，y1），
∵m＜x1＜m+1，x0＝2﹣x1，
∴1﹣m＜x0＜2﹣m，
∵m+2＜x2＜m+3，
∴，
解得﹣1≤m≤0．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020秋·九年级统考期末）抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，得，，则；根据，得，，则，得点是新抛物线对称轴与轴的交点；设点，则，的中点坐标为，则，求出；可得点的坐标，即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴，
∴点是新抛物线对称轴与轴的交点，
设点，
∴，
∵点，
∴的中点坐标为；
∴，
∴，
∴点，
∴平移后的抛物线为：，
∴把点代入，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的两点式，对称轴的性质，平行四边形的性质．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：如图：
根据题意，得，
设抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，即，
解得： 或（舍去），
又，
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车米时交通灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的路程，那么，此人（ ）
A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为米D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
【答案】D
【分析】根据题意得，车与人的间距：，即当s时，d取最小值7，即可得．
【详解】解：根据题意得，车与人的间距：，
即当s时，d取最小值7，
故不能追上汽车，当s时，期间最近距离为7米，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数再实际生活中的应用，解题的关键是理解题意，能够列出车与人的间距．
4．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案．
【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
5．（2023·浙江台州·统考一模）如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】分别用含的代数式表示出、，作差即可得到与的函数关系．
【详解】解：正方形中，，
，
，
，，
由图可知，，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数关系式的判断，找出与的函数关系式是解题关键．
6．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据，得出Q点的纵坐标为．
【详解】解：∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了5个单位，
由题意得，
∵，
∴Q点的纵坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于x的方程是解题的关键．
7．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点与点在函数图象上，若，，则；
④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．
【详解】解：二次函数（为常数）
①∵顶点坐标为且当时，
∴这个函数图象的顶点始终在直线上
故结论①正确，不符合题意；
②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,
令，得，其中
解得：，
∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴
∴或
∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确，不符合题意；
③∵
∴
∵二次函数（为常数）的对称轴为直线
∴点A离对称轴的距离小于点离对称轴的距离
∵，且
∴
故结论③错误，符合题意；
④当时，随的增大而增大，且
∴的取值范围为
故结论④正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
8．（2020秋·浙江·九年级校考阶段练习）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数与x轴交于点，，可知二次函数的对称轴为，即，可判断①；将A、B两点代入消去a得可得c、b的关系，可判断②；函数开口向下，时取得最小值，则时，可判断③；根据图像，设点D坐标为，运用勾股定理求出y，得到顶点D为，设顶点式，将代入即可判断④；由图像知，从而可以判断⑤．
【详解】解：抛物线交轴于，
抛物线对称轴为直线：
故①正确；
②∵交轴于，．
，
消去a得
故②错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是
∴时，二次函数有最小值
∴时，
故③正确；
④∵，，是等腰直角三角形．
设点D坐标为．
则．
解得．
∵点D在x轴下方．
∴点D为．
设二次函数解析式为，过点．
∴．
解得．
故④正确；
⑤由题意可得，
，
．
故是等腰三角形时，只有两种情况，故a的值有2个．
故⑤错误．
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与几何图形结合的综合判断．掌握函数图像基本性质和数形结合思想是解题的关键．
9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，．以，为边构造矩形，设点的坐标为，则，之间的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标，可得出点的坐标，点的坐标，继而确定点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式．
【详解】∵抛物线与直线交于点，，
将代入，
∴，
∴，
∴，
将将代入，
，
∴，
∴
∵直线的解析式为：，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
将点代入得，
，
∴，之间的关系式是，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．
10．（2022秋·九年级统考期中）已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为B．最小值为C．最大值为D．最小值为
【答案】C
【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，
①若经过点A和点B，
∵，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上，
∴二次函数的图象不能同时经过点A，B；
②∵，，
∴抛物线也不同时经过点B，点C，
③经过点A、点C，如图，
∴
解得，
∴，
当时，，
则点是的顶点，
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为；
而经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，
当时，，
当时，y有最大值，为：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
二、填空题
11．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
【答案】10
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可；
【详解】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
12．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）某型号无人机着陆后的滑行距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系式满足，则无人机着陆后滑行的最大距离是________米．
【答案】
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【详解】解：∵，
∴当时，y有最大值，最大值为1200，
∴无人机着陆后滑行米才能停下来，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出无人机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为____________．
【答案】/2.25米/米/m/米/m
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时得的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：
，
代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：，
令，则．
故水管长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
14．（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为_______，n的值为_______
【答案】
【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线联立方程，令可求出的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得，在抛物线上，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
与直线联立方程，得：
，
整理得：,
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴
解得，；
帮答案为：；．
【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键．
15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______．
【答案】
【分析】如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时m的值和当直线与抛物线有唯一公共点时m的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【详解】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
16．（2023秋·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点、，连接、，则当__时，的面积最大．
【答案】
【分析】依题意，设，根据，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：依题意，设，
∴
∴，
∴当时，的面积最大，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，二次函数的性质，根据题意构造二次函数是解题的关键．
17．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
【答案】18
【分析】由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长．
【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点”，
可知，
把代入得：
，
解得，
由两点间距离公式可求出（米．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握其性质是解决此题的关键．
18．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为___________时为等腰三角形．
【答案】
【分析】首先利用抛物线解析式求出顶点和对称轴，设点，若为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：∵抛物线
∴抛物线顶点F为,其对称轴为：，
∵当时，，，
∴抛物线与x轴交点A、B坐标分别为：，，
∴可设点，则可求得：
，
，
．
i）当时，
有，
解得（与F点重合，舍去），，
∴；
ii）当时，
有，
即，，
∴、．
iii）当时，
有，
解得：，
∴点Q坐标为：．
综上所述，存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．
三、解答题
19．（2023·浙江温州·校考二模）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)点是抛物线上的一点，将点A向右平移3个单位恰好落在直线上，求m，n的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)，
【分析】（1）根据对称轴可设函数解系数为，然后把点代入可求得k，进而问题可求解；
（2）由平移可知平移后点A的坐标为，代入一次函数解析式得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴设函数解系数为，
将代入，解得：，
∴，顶点坐标为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴①，
∵A向右移动3个单位，
∴移动后的A记为，
将代入，得：②，
联立①②，得，
由求根公式，可得：，
∵，
∴，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（2023·浙江台州·统考一模）已知二次函数，点与都在该函数的图象上，且．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若点与与直线的距离恒相等，求m的值；
(3)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得到答案；
（2）由得，，化简得，结合，，从而可得答案；
（3）由，结合点与与直线的距离恒相等，可得在直线的左侧，则在直线的右侧或两点重合在直线上，可得，结合随的增大而减小，可得当时，的最小值为．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴对称轴为直线．
（2）由得，，
化简得，
又∵，，
∴，
∴．
（3）∵，
由（1）（2）可得，点与与直线的距离恒相等，
∴在直线的左侧，则在直线的右侧或两点重合在直线上，
∴，
∵随的增大而减小，
∴当时，的最小值为．
【点睛】本题考查的是抛物线图象的性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解题意，选择合适的解题方法是关键．
21．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）如图，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)抛物线交y轴于点A，点P在线段上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，，求n的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）将点和代入求出a、b即可确定函数表达式，然再用对称轴公式即可解答；
（2）设、、 、，再根据点可得、，再结合可得代关于m的方程，求解方程可得m；进而可得、，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：将点和代入可得：
，解得：，
∴函数表达式为，
对称轴为：．
（2）解：设，，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍弃）
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、确定二次函数的对称轴，二次函数的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
22．（2023·浙江宁波·统考二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式．
(2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当定为160元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560 元
【分析】（1）根据每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，列出函数表达式即可；
（2）设宾馆的利润为w，根据题意，列出二次函数表达式，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得；
（2）设宾馆的利润为w，依题意得
；
，
当时，w有最大值为11560元．
答：当定为 160 元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
23．（2023·浙江台州·统考一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．
(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
(3)若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）设抛物线解析式为，
待定系数法求解析式即可求解；
（2）依题意，抛物线向左平移2个单位得到，令，即可求解．
（3）分别求得经过点，时，求得与轴的交点坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得：
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到
令，解得：，
∴水流不能到达点处，
（3）解：依题意，设水流到达墙面高度为，
设抛物线解析式为
当时，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当时，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
当，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
(2)求直线，曲线的解析式；
(3)求矩形的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)当时，矩形的面积的最大值为
【分析】（1）根据已知条件建立平面直角坐标系，在图中描出相应的点即可；
（2）设直线的解析式为，的解析式为，将点，两点代入即可求出直线的解析式，将点代入反比例函数图像，即可求出的解析式；
（3）设点的横坐标为，则点坐标为，表示出，点坐标为，的面积为，将坐标代入，利用二次函数最大值问题求出最后结果．
【详解】（1）解：如图
（2）设直线的解析式为，将点，代入得直线的解析式为：，
由点得曲线的解析式为：．
（3）如图，设点的横坐标为，则点坐标为，
，
四边形是矩形，
，
点坐标为，
设矩形的面积为，
，
当时，矩形的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标系中描点的问题，涉及到一次函数和反比例函数解析式的求解，二次函数的实际应用，注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，研究其最值是解答本题的关键．
25．（2023·浙江宁波·校联考三模）已知二次函数和一次函数的图象交于，两点．
(1)求这个二次函数和一次函数的函数关系式；
(2)记点C是与点A关于抛物线对称轴对称的点，求的面积；
(3)直接写出不等式的解．
【答案】(1)二次函数的解析式为：；一次函数的解析式为：；
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据题意确定点，结合图象求三角形面积即可；
（3）根据函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下面的部分即可．
【详解】（1）解：将点，分别代入两个函数解析式得：
，，
解得：，，
∴二次函数的解析式为：；一次函数的解析式为：；
（2）二次函数的解析式为：，
当y=0时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∵点C是与点A关于抛物线对称轴对称的点，
∴，
∴的面积为：；
（3）即为二次函数图象在一次函数图象下面的部分，
∴根据函数图象得：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法的应用，三角形的面积，函数图象与不等式的关系，关键是熟练掌握待定系数法，三角形的面积公式，数形结合思想的应用．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
相关试卷
初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积练习题： 这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册<a href="/sx/tb_c12233_t7/?tag_id=28" target="_blank">第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积练习题</a>，共65页。
初中数学浙教版（2024）七年级上册第3章 实数3.4 实数的运算练习： 这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册<a href="/sx/tb_c12333_t7/?tag_id=28" target="_blank">第3章 实数3.4 实数的运算练习</a>，共42页。
初中数学浙教版（2024）七年级上册3.3 立方根课后测评： 这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册<a href="/sx/tb_c12335_t7/?tag_id=28" target="_blank">3.3 立方根课后测评</a>，共26页。
