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初中数学浙教版（2024）九年级上册3.2 图形的旋转测试题
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这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册3.2 图形的旋转测试题，共76页。
一．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
二．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
三．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
四．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
五．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
六．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
七．利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
【考点剖析】
一．生活中的旋转现象（共1小题）
1．（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 cm．
二．旋转的性质（共9小题）
2．（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．OB．PC．QD．M
3．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．100°
4．（2023•温州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75
5．（2022秋•杭州期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
6．（2023•天台县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，∠CBD＝18°，将矩形ABCD绕对角线中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形A′B′C′D′，当C′，D的距离等于1时，α的值为（ ）
A．36°B．54°C．68°D．72°
7．（2023•长兴县一模）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
8．（2023•仙居县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，点D是边AC的中点．点P为边BC上的一个动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，则AP′的取值范围为 ．
9．（2023•萧山区二模）如图，在正方形ABCD中，，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
10．（2022秋•浦江县月考）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
三．旋转对称图形（共3小题）
11．（2022秋•平阳县校级月考）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．72°
12．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
13．（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有 个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
四．坐标与图形变化-旋转（共8小题）
14．（2022秋•莲都区期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，2）
15．（2022秋•吴兴区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在方格线的格点上，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P的坐标为 ．
16．（2022秋•苍南县期中）如图，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），B的坐标为（1，4），将△ABC沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对应点为B′，点C的对应点为C′，则点C′的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，4）C．（3，1）D．（1，3）
17．（2022秋•衢江区校级期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣1，4）的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，4）B．（4，1）C．（1，﹣4）D．（4，﹣1）
18．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 ．
19．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 ．
20．（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB绕着O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α．
（1）如图1，CD恰好经过点B时，
①求此时旋转角α的度数；
②求出此时点C的坐标；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由．
21．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2022次得到正方形OA2022B2022C2022，则点B2022的坐标是 ．
五．作图-旋转变换（共5小题）
22．（2023•龙游县一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）
23．（2023•温州一模）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
24．（2023•乐清市模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出以AB为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个周长为整数的四边形ACBD；
（2）在图2中画一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．
25．（2022•平阳县一模）如图，在10×8的方格纸巾，请按要求画图．
（1）在图1中画一个格点C，使△ABC为等腰三角形．
（2）在图2中两个格点F，G，使四边形DEFG为中心对称图形，且对角线互相垂直．
26．（2023•温州二模）如图在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，请按要求画出相应格点图形．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的格点三角形△A1B1C（点A，B的对应点分别为 A1，B1）．
（2）画出△ABD，使得S△ABD＝3S△ABC．
六．利用旋转设计图案（共3小题）
27．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
28．（2022秋•定海区校级月考）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
29．（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江金华·统考二模）如图，从图1的正三角形到图2的正三角形，下列变化中不能得到的是（ ）
A．绕某点旋转B．平移C．轴对称D．先平移再轴对称
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60B．90C．120D．180
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼D．小明在荡秋千
7．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
8．（2023·浙江·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
9．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题
11．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
12．（2021秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，点、、、、都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为________．
13．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为______°．
14．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝5，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，等腰三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数为_____．
16．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 _________ ．
17．（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
18．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______．
三、解答题
19．（2022·浙江·九年级专题练习）如图：
（1）矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合？如果可以，请画出对称轴所在的直线，并写出表达式．
（2）矩形A能通过一次旋转变换与矩形B重合？如果可以，请你描述变换过程．
20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在的方格纸中，已知格点线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个以为腰的等腰三角形，再画出该三角形向左平移两个单位后的图形．
(2)在图中画一个以为边的钝角三角形，再画出该三角形绕点顺时针旋转后的图形．
21．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，已知整点，，，请在所给网格区域（含边界）按要求画整点三角形（顶点都是整点）.
(1)在图中将绕点A旋转至，使点或落在坐标轴上.
(2)在图中将平移至，使点B的对应点和点C的对应点落在同一个反比例函数图象上.
22．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
23．（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)，将 BOC绕点O逆时针旋转90度，得到B1OC1．请画出B1OC1，并写出B，C两点的对应点B1，C1的坐标．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围．
25．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图1，正方形中，点为边上的点，若，点为中点，连结．
(1)探索并证明与有怎样的位置和数量关系；
(2)转动至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若，绕着点旋转过程中，请直接写出的取值范围．
第07讲图形的旋转（6种题型）
【知识梳理】
一．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
二．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
三．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
四．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
五．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
六．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
七．利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
【考点剖析】
一．生活中的旋转现象（共1小题）
1．（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ 9 cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 6.5 cm．
【分析】作BG⊥OA于G，设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，在Rt△OBG中利用勾股定理求出x，利用OD﹣ON得到DN，连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，求出BD，OM，QM和OQ，证明△OPC∽△OQM，可得OP，可得PN，即可得到C到EF的距离．
【解答】解：如图，作BG⊥OA于G，
设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，
则AG＝0.5cm，BG＝ON＝3.5cm，
∴OG＝OA﹣AG＝x﹣0.5cm，
∵在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，
∴x2＝（x﹣0.5）2+3.52，
解得：x＝12.5，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝12.5cm，
∴DN＝OD﹣ON＝12.5﹣3.5＝9cm．
连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，
∵BN＝OG＝12.5﹣0.5＝12cm，DN＝9cm，
∴DB＝DN2+BN2＝15cm，
又∵∠BOC＝∠BOD，OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM＝DB＝7.5cm，
∴OM＝＝＝10cm，
∵△DNB中，QM∥NB，且M是DB中点，
∴QM＝BN＝6cm，
∴Rt△OQM中，OQ＝＝＝8cm，
又∵CP∥MQ，
∴△OPC∽△OQM，
∴OC/OM＝OP/OQ，
∴＝，
∴OP＝10cm，
∴PN＝OP﹣ON＝10﹣3.5＝6.5cm，
∵CP⊥OD，EF⊥OD，
∴C到EF的距离长等于PN的长，为6.5cm．
故答案为：9；6.5．
【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是读懂题意，结合实际理解旋转门锁的运行原理．
二．旋转的性质（共9小题）
2．（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．OB．PC．QD．M
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
3．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．100°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝70°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2023•温州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75
【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由旋转的性质可知，
∠CAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴50°+2∠ACE＝180°，
解得：∠ACE＝65°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
5．（2022秋•杭州期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
6．（2023•天台县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，∠CBD＝18°，将矩形ABCD绕对角线中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形A′B′C′D′，当C′，D的距离等于1时，α的值为（ ）
A．36°B．54°C．68°D．72°
【分析】根据矩形的性质以及圆周角定理可得出∠COD＝∠DOC′＝∠C′OB′＝2∠CBD＝36°，进而得出∠COC′＝72°即可．
【解答】解：如图，矩形ABCD的外接圆为⊙O，矩形A′B′C′D′的四个顶点也在⊙O上，
∵AB＝CD＝B′C′＝DC′＝2，
∴∠COD＝∠DOC′＝∠C′OB′＝2∠CBD＝36°，
∴∠COC′＝72°，
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，掌握矩形的性质以及旋转的性质是正确解答的前提．
7．（2023•长兴县一模）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
【分析】由旋转的性质可得BG＝BA＝3，由勾股定理可求CG，可求△BGC的面积，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，
∴BG＝BA＝3，
∴CG＝＝＝4，
∴S△BGC＝×BG•GC＝6，
∵MN∥AD，CD∥AB，
∴四边形AMND是平行四边形，MN∥BC，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴S平行四边形BCNM＝2S△BGC＝12，
∴阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S平行四边形BCNM＝15﹣12＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．（2023•仙居县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，点D是边AC的中点．点P为边BC上的一个动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，则AP′的取值范围为 ．
【分析】由“SAS”可证△ADP'≌△HDP，可得AP'＝PH，即可求解．
【解答】解：如图，以AD为直角边，作等腰直角三角形ADH，连接PH，
∴AD＝DH，∠ADH＝90°，
∵将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，
∴DP＝DP'，∠PDP'＝90°＝∠ADH，
∴∠ADP'＝∠PDH，
∴△ADP'≌△HDP（SAS），
∴AP'＝PH，
∵AC＝10，点D是边AC的中点，
∴CD＝AD＝DH＝5，
∵点P为边BC上的一个动点，
∴当PH⊥BC时，PH有最小值为5，
当点P与点C重合时，PH有最大值为5，
∴5≤HP≤5，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（2023•萧山区二模）如图，在正方形ABCD中，，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
【分析】连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【解答】解：如图，连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，，O是BC边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥10﹣2＝8，
∴线段OF的最小值为8，
故选：A．
【点评】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（2022秋•浦江县月考）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
三．旋转对称图形（共3小题）
11．（2022秋•平阳县校级月考）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．72°
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．
故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
12．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
13．（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 B ；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （1）（3）（5） （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有 C 个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可．
（2）旋转对称图形，且有一个旋转角是60度判断即可．
（3）根据旋转图形的定义判断即可．
（4）根据要求画出图形即可．
【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，
故选B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．
故答案为（1）（3）（5）．
（3）命题中①③正确，
故选C．
（4）图形如图所示：
【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四．坐标与图形变化-旋转（共8小题）
14．（2022秋•莲都区期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
15．（2022秋•吴兴区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在方格线的格点上，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P的坐标为 （1，2） ．
【分析】依据旋转的性质可得，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P到对应点的距离相等，因此作出两对对应点连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【解答】解：如图所示，作线段AA'和BB'的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心，
由图可得，点P的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，解决问题的关键是掌握旋转的性质．一般情况，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
16．（2022秋•苍南县期中）如图，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），B的坐标为（1，4），将△ABC沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对应点为B′，点C的对应点为C′，则点C′的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，4）C．（3，1）D．（1，3）
【分析】首先根据点A的平移规律得到C的平移后坐标，再根据旋转规律得到C′的坐标．
【解答】解：∵点A平移至坐标原点O，点A的坐标为（0，3），
∴向下平移三个单位长度，
∴C平移后的坐标为（1，﹣3），
∵平移后再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，
∴点C′的坐标为（3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化中的旋转与平移，正确使用坐标与图形变化的规律是解题的关键．
17．（2022秋•衢江区校级期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣1，4）的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，4）B．（4，1）C．（1，﹣4）D．（4，﹣1）
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出∠AOA′＝90°，AO＝A′O，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC＝A′C′，CO＝C′O，由A的坐标就可以求出结论．
【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴∠AOA′＝90°，AO＝A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．
∵∠COC′＝90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC＝∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC＝A′C′，CO＝C′O．
∵A（﹣1，4），
∴AC＝1，CO＝4，
∴A′C′＝1，OC′＝4，
∴A′（4，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得△ACO≌△A′C′O是解决问题的关键．
18．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（1，﹣2），
∴PQ＝1，OQ＝2，
∵点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝1，OQ′＝OQ＝2，
∴点P′的坐标为：（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
19．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 （﹣5，4） ．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．
【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
20．（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB绕着O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α．
（1）如图1，CD恰好经过点B时，
①求此时旋转角α的度数；
②求出此时点C的坐标；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据旋转的性质得到OB＝OD，求得∠ABO＝60°＝∠D，得到△BOD是等边三角形根据等边三角形的性质得到∠BOD＝60°，于是得到结论；
②过点C作CE⊥x轴于E，根据等腰三角形的性质得到CO＝AO＝4，求得∠AOC＝60°，求得OE＝2，CE＝6，于是得到C（﹣2，6）；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝90°﹣，求得∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°﹣）＝30°+，根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）①由旋转可知，OB＝OD，
∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°＝∠D，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴旋转角α的度数为60°；
②过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠AOB＝90°，B（0，4），
∴CO＝AO＝4，
∵α＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴OE＝2，CE＝6，
∴C（﹣2，6）；
（2）AC⊥BD，
理由：∵∠AOC＝α，OB＝OD，
∴∠OBD＝90°﹣，
∴∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°﹣）＝30°+，
∴∠PBA+∠PAB＝60°﹣30°+＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AC⊥BD．
【点评】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2022次得到正方形OA2022B2022C2022，则点B2022的坐标是 （1，﹣1） ．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB＝＝，
由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），B6（1，﹣1），…，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
五．作图-旋转变换（共5小题）
22．（2023•龙游县一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1，并写出C1的坐标即可；
（2）根据（1）中C点坐标找出规律即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，C1的坐标（1，4）．
（2）∵C（4，﹣1），C1（1，4），
∴P’（﹣b，a）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
23．（2023•温州一模）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，四边形即为所求作：
；
（2）如图，四边形即为所求作：
．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023•乐清市模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出以AB为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个周长为整数的四边形ACBD；
（2）在图2中画一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．
【分析】（1）利用勾股定理作出，据此即可画出一个周长为整数的四边形ACBD；
（2）根据三角形的面积公式以及平行四边形的性质即可画出一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．
【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求作．
（2）如图，四边形AEBF即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
25．（2022•平阳县一模）如图，在10×8的方格纸巾，请按要求画图．
（1）在图1中画一个格点C，使△ABC为等腰三角形．
（2）在图2中两个格点F，G，使四边形DEFG为中心对称图形，且对角线互相垂直．
【分析】（1）根据等腰三角形的概念作图即可（答案不唯一）；
（2）根据中心对称图形的概念及菱形、正方形的性质作图即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图所示，四边形DEFG即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质、等腰三角形的定义、菱形与正方形的性质．
26．（2023•温州二模）如图在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，请按要求画出相应格点图形．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的格点三角形△A1B1C（点A，B的对应点分别为 A1，B1）．
（2）画出△ABD，使得S△ABD＝3S△ABC．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）由图可得S△ABD＝3S△ABC＝6，结合三角形的面积找出点D的位置即可．
【解答】解：（1）如图，三角形△A1B1C即为所求.
（2）由图可得，S△ABC＝＝2，
∴S△ABD＝3S△ABC＝6．
如图，△ABD1，△ABD2，△ABD3均满足要求．
【点评】本题考查中心对称、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质、三角形的面积是解答本题的关键．
六．利用旋转设计图案（共3小题）
27．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
【分析】画出中心对称图形即可判断
【解答】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．（2022秋•定海区校级月考）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
29．（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解．
【详解】解∶∵是由绕A点旋转得到的，
∴旋转角为，
∵，，
∴，
即旋转角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案．
【详解】解：如图所示：
只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度数是．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键．
4．（2021·浙江金华·统考二模）如图，从图1的正三角形到图2的正三角形，下列变化中不能得到的是（ ）
A．绕某点旋转B．平移C．轴对称D．先平移再轴对称
【答案】A
【分析】根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可
【详解】因为图中为等边三角形，所以通过平移和轴对称可以得到，旋转不能由图1得到图2
故选：A
【点睛】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60B．90C．120D．180
【答案】C
【分析】观察图形可知转子叶片是正三角形，因此可求出旋转角度.
【详解】解：由题意得
360°÷3=120°,
故选：C.
【点睛】此题考查旋转对称图形，熟练运用空间想象能力，找到规律性是解题关键.
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼D．小明在荡秋千
【答案】D
【分析】旋转定义：物体围绕一个点或一个轴做圆周运动，根据旋转定义对各选项进行一一分析即可．
【详解】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；
B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；
C. 电梯从 1 楼到 12 楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；
D. 小明在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查图形旋转运动，掌握旋转定义与特征，旋转中心，旋转方向，旋转角度是解题关键．
7．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
【答案】C
【分析】画出中心对称图形即可判断
【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2023·浙江·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答；
【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形,，，
∴四边形是平行四边形，
，
∴阴影部分的面积，
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点．
9．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当、时，对应的函数值，进行判定即可．
【详解】解：由已知，
则抛物线的顶点为，
由旋转可知，抛物线的顶点为，
则抛物线解析式为：，
由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次，
由可知，
的函数值等于时的函数值，
∴时，，
由可知，
的函数值等于时的函数值，
∴时，，
故可知，点在图像上．
故选：C
【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应的函数解析式以及图像的循环规律．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【详解】A，B，C只能通过旋转得到，D既可经过平移，又可经过旋转得到，故选D.
二、填空题
11．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
【答案】50
【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转至，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键．
12．（2021秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，点、、、、都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为________．
【答案】/
【分析】由是由绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是的大小，然后由图形即可求得答案．
【详解】解：∵是由绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴，
∴旋转的角度是的大小，
∵，
∴旋转的角度为．
故答案为：．
【点睛】此题考查旋转的性质．解题关键是理解是由绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
13．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为______°．
【答案】80
【分析】由旋转的性质可得，则可得，由三角形内角和可求得，从而由旋转性质即可求得结果．
【详解】解：旋转的性质得，，
，
由三角形内角和得，
；
故答案为：80．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．
14．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝5，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__．
【答案】3或13
【分析】首先在Rt△ADE中利用勾股定理求得AE的长，然后分两种情况进行讨论，①当线段AE顺时针旋转时，在直角△ABF1中利用勾股定理求得BF1的长，”进而求得F1C；②同理可以求得旋转到F2时，F2C的长．
【详解】解：∵CD＝DE+EC＝5+3＝8，
∴正方形ABCD的边长是8．
∴在Rt△ADE中，AE＝．
①当线段AE顺时针旋转得到F1点，
∴AF1＝AE＝，
在Rt△ABF1中，BF1＝，
∴F1C＝BC﹣BF1＝8﹣5＝3；
②逆时针旋转得到F2点，同理可得BF2＝5，则F2C＝8+5＝13．
故答案为：3或13．
【点睛】本题考查了图形的旋转，正确理解题意并分两种情况进行讨论是解题的关键．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，等腰三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数为_____．
【答案】45°
【分析】由旋转的性质可得BC=BP=BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，由外角的性质可求∠PAH=135°-90°=45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC=BP=BA，
∴∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA=180°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，
∵，
∴∠CPA=∠AHC+∠PAH=135°，
∴∠PAH=135°-90°=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 _________ ．
【答案】
【分析】先确定，得到，根据旋转性质，得到，轴，计算即可．
【详解】∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
∴，
根据旋转性质，得到，，
∴轴，
作轴，垂足为C，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质，点的坐标，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．
17．（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
【答案】
【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴,
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
18．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______．
【答案】或
【分析】①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出；
②当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论．
【详解】∵为等腰直角三角形，，
，
①当点在点上方时，如图③，
过点作交的延长线于，
当时，可证，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
②当点在点下方时，如图④
同①的方法得，，，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论．
三、解答题
19．（2022·浙江·九年级专题练习）如图：
（1）矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合？如果可以，请画出对称轴所在的直线，并写出表达式．
（2）矩形A能通过一次旋转变换与矩形B重合？如果可以，请你描述变换过程．
【答案】（1）可以，图见详解，；（2）可以，矩形A绕着H点沿顺时针方向旋转90°即可与矩形B重合
【分析】（1）由题意连接对应点的连线并连接对应点的连线的中点即可得到对称轴，进而利用待定系数法即可求得函数表达式；
（2）由题意直接根据旋转变换的图形特征，通过旋转中心、旋转方向以及旋转角度进行描述即可.
【详解】解：（1）可以，对称轴所在的直线如下：
观察图形可得O（0，0），E（2，2）
设对称轴所在的直线的函数表达式为，
将E代入可得，
所以对称轴所在的直线的函数表达式为；
（2）可以，观察图形可知矩形A绕着H点沿顺时针方向旋转90°即可与矩形B重合.
【点睛】本题考查图形的轴对称变换和旋转变换，熟练掌握找对称轴的方法以及利用抽象思维进行分析是解题的关键.
20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在的方格纸中，已知格点线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个以为腰的等腰三角形，再画出该三角形向左平移两个单位后的图形．
(2)在图中画一个以为边的钝角三角形，再画出该三角形绕点顺时针旋转后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据要求画出图形即可．
【详解】（1）解：图形如图所示（答案不唯一）；
（2）图形如图所示（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，已知整点，，，请在所给网格区域（含边界）按要求画整点三角形（顶点都是整点）.
(1)在图中将绕点A旋转至，使点或落在坐标轴上.
(2)在图中将平移至，使点B的对应点和点C的对应点落在同一个反比例函数图象上.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】根据图形旋转和平移、反比例函数的特点即可得到答案．
【详解】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等.
（2）解：画法不唯一，如图3～图5等.
【点睛】本题考查了图形的旋转和图形的平移，涉及到了反比例函数，灵活运用所学知识是解题关键．
22．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到，即可证明．
（2）连接，通过证明得到，进而证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴
∵O为的中点，
∴，
∴．
（2）成立，理由如下：
连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴即
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，即
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握选装前后对应边相等，对应角相等．
23．（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)，将 BOC绕点O逆时针旋转90度，得到B1OC1．请画出B1OC1，并写出B，C两点的对应点B1，C1的坐标．
【答案】见解析，(1，3)，(−1，2)
【分析】找到B、C两点绕点O逆时针旋转90度后的坐标 ，依次连接三点，即得到所画的三角形，从而也可得到点的坐标．
【详解】如图，△B1OC1为所作
点B1，C1的坐标分别为 (1，3)，(−1，2)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转，关键是确定三角形三个顶点旋转后的对应点．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）延长交于点，利用勾股定理求出和，然后代入即可；
（3）取的中点，连接、，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：如下图：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）延长交于点，
∵，
∴，
∵是等边三角形且边长为，等边的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
（3）取的中点，连接、，
∵是等边三角形且边长为，是等边三角形且边长为，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在中，，当、、共线时取等号，
∴，
∴旋转过程中的取值范围是．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
25．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图1，正方形中，点为边上的点，若，点为中点，连结．
(1)探索并证明与有怎样的位置和数量关系；
(2)转动至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若，绕着点旋转过程中，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)仍然成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）延长交于，通过证明可得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，由可得，即；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，通过证明，得到，通过证明，可得，由，可得，从而即可得证；
（3）连接相交于点，根据点的轨迹得到点的轨迹，点的轨迹与交于点、，当点在点时，最小，当点在点时，最大，由正方形的性质可得，由可得，求出，由，，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
证明：如图所示，延长交于，
，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，即，
，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
证明：延长至，使，连接，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接相交于点，点G为BE中点，根据点的轨迹得到点的轨迹，点的轨迹与交于点、，当点在点时，最小，当点在点时，最大，如图所示，
，
令点所在圆的半径为，点所在圆的半径为，则，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题与圆的综合，熟练掌握正方形的性质、三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
一．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
二．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
三．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
四．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
五．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
六．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
七．利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
【考点剖析】
一．生活中的旋转现象（共1小题）
1．（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 cm．
二．旋转的性质（共9小题）
2．（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．OB．PC．QD．M
3．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．100°
4．（2023•温州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75
5．（2022秋•杭州期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
6．（2023•天台县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，∠CBD＝18°，将矩形ABCD绕对角线中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形A′B′C′D′，当C′，D的距离等于1时，α的值为（ ）
A．36°B．54°C．68°D．72°
7．（2023•长兴县一模）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
8．（2023•仙居县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，点D是边AC的中点．点P为边BC上的一个动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，则AP′的取值范围为 ．
9．（2023•萧山区二模）如图，在正方形ABCD中，，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
10．（2022秋•浦江县月考）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
三．旋转对称图形（共3小题）
11．（2022秋•平阳县校级月考）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．72°
12．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
13．（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有 个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
四．坐标与图形变化-旋转（共8小题）
14．（2022秋•莲都区期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，2）
15．（2022秋•吴兴区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在方格线的格点上，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P的坐标为 ．
16．（2022秋•苍南县期中）如图，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），B的坐标为（1，4），将△ABC沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对应点为B′，点C的对应点为C′，则点C′的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，4）C．（3，1）D．（1，3）
17．（2022秋•衢江区校级期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣1，4）的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，4）B．（4，1）C．（1，﹣4）D．（4，﹣1）
18．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 ．
19．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 ．
20．（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB绕着O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α．
（1）如图1，CD恰好经过点B时，
①求此时旋转角α的度数；
②求出此时点C的坐标；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由．
21．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2022次得到正方形OA2022B2022C2022，则点B2022的坐标是 ．
五．作图-旋转变换（共5小题）
22．（2023•龙游县一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）
23．（2023•温州一模）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
24．（2023•乐清市模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出以AB为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个周长为整数的四边形ACBD；
（2）在图2中画一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．
25．（2022•平阳县一模）如图，在10×8的方格纸巾，请按要求画图．
（1）在图1中画一个格点C，使△ABC为等腰三角形．
（2）在图2中两个格点F，G，使四边形DEFG为中心对称图形，且对角线互相垂直．
26．（2023•温州二模）如图在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，请按要求画出相应格点图形．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的格点三角形△A1B1C（点A，B的对应点分别为 A1，B1）．
（2）画出△ABD，使得S△ABD＝3S△ABC．
六．利用旋转设计图案（共3小题）
27．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
28．（2022秋•定海区校级月考）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
29．（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江金华·统考二模）如图，从图1的正三角形到图2的正三角形，下列变化中不能得到的是（ ）
A．绕某点旋转B．平移C．轴对称D．先平移再轴对称
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60B．90C．120D．180
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼D．小明在荡秋千
7．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
8．（2023·浙江·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
9．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题
11．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
12．（2021秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，点、、、、都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为________．
13．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为______°．
14．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝5，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，等腰三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数为_____．
16．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 _________ ．
17．（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
18．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______．
三、解答题
19．（2022·浙江·九年级专题练习）如图：
（1）矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合？如果可以，请画出对称轴所在的直线，并写出表达式．
（2）矩形A能通过一次旋转变换与矩形B重合？如果可以，请你描述变换过程．
20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在的方格纸中，已知格点线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个以为腰的等腰三角形，再画出该三角形向左平移两个单位后的图形．
(2)在图中画一个以为边的钝角三角形，再画出该三角形绕点顺时针旋转后的图形．
21．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，已知整点，，，请在所给网格区域（含边界）按要求画整点三角形（顶点都是整点）.
(1)在图中将绕点A旋转至，使点或落在坐标轴上.
(2)在图中将平移至，使点B的对应点和点C的对应点落在同一个反比例函数图象上.
22．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
23．（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)，将 BOC绕点O逆时针旋转90度，得到B1OC1．请画出B1OC1，并写出B，C两点的对应点B1，C1的坐标．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围．
25．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图1，正方形中，点为边上的点，若，点为中点，连结．
(1)探索并证明与有怎样的位置和数量关系；
(2)转动至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若，绕着点旋转过程中，请直接写出的取值范围．
第07讲图形的旋转（6种题型）
【知识梳理】
一．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
二．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
三．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
四．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
五．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
六．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
七．利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
【考点剖析】
一．生活中的旋转现象（共1小题）
1．（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ 9 cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 6.5 cm．
【分析】作BG⊥OA于G，设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，在Rt△OBG中利用勾股定理求出x，利用OD﹣ON得到DN，连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，求出BD，OM，QM和OQ，证明△OPC∽△OQM，可得OP，可得PN，即可得到C到EF的距离．
【解答】解：如图，作BG⊥OA于G，
设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，
则AG＝0.5cm，BG＝ON＝3.5cm，
∴OG＝OA﹣AG＝x﹣0.5cm，
∵在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，
∴x2＝（x﹣0.5）2+3.52，
解得：x＝12.5，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝12.5cm，
∴DN＝OD﹣ON＝12.5﹣3.5＝9cm．
连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，
∵BN＝OG＝12.5﹣0.5＝12cm，DN＝9cm，
∴DB＝DN2+BN2＝15cm，
又∵∠BOC＝∠BOD，OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM＝DB＝7.5cm，
∴OM＝＝＝10cm，
∵△DNB中，QM∥NB，且M是DB中点，
∴QM＝BN＝6cm，
∴Rt△OQM中，OQ＝＝＝8cm，
又∵CP∥MQ，
∴△OPC∽△OQM，
∴OC/OM＝OP/OQ，
∴＝，
∴OP＝10cm，
∴PN＝OP﹣ON＝10﹣3.5＝6.5cm，
∵CP⊥OD，EF⊥OD，
∴C到EF的距离长等于PN的长，为6.5cm．
故答案为：9；6.5．
【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是读懂题意，结合实际理解旋转门锁的运行原理．
二．旋转的性质（共9小题）
2．（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．OB．PC．QD．M
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
3．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．100°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝70°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2023•温州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75
【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由旋转的性质可知，
∠CAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴50°+2∠ACE＝180°，
解得：∠ACE＝65°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
5．（2022秋•杭州期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
6．（2023•天台县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，∠CBD＝18°，将矩形ABCD绕对角线中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形A′B′C′D′，当C′，D的距离等于1时，α的值为（ ）
A．36°B．54°C．68°D．72°
【分析】根据矩形的性质以及圆周角定理可得出∠COD＝∠DOC′＝∠C′OB′＝2∠CBD＝36°，进而得出∠COC′＝72°即可．
【解答】解：如图，矩形ABCD的外接圆为⊙O，矩形A′B′C′D′的四个顶点也在⊙O上，
∵AB＝CD＝B′C′＝DC′＝2，
∴∠COD＝∠DOC′＝∠C′OB′＝2∠CBD＝36°，
∴∠COC′＝72°，
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，掌握矩形的性质以及旋转的性质是正确解答的前提．
7．（2023•长兴县一模）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
【分析】由旋转的性质可得BG＝BA＝3，由勾股定理可求CG，可求△BGC的面积，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，
∴BG＝BA＝3，
∴CG＝＝＝4，
∴S△BGC＝×BG•GC＝6，
∵MN∥AD，CD∥AB，
∴四边形AMND是平行四边形，MN∥BC，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴S平行四边形BCNM＝2S△BGC＝12，
∴阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S平行四边形BCNM＝15﹣12＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．（2023•仙居县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，点D是边AC的中点．点P为边BC上的一个动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，则AP′的取值范围为 ．
【分析】由“SAS”可证△ADP'≌△HDP，可得AP'＝PH，即可求解．
【解答】解：如图，以AD为直角边，作等腰直角三角形ADH，连接PH，
∴AD＝DH，∠ADH＝90°，
∵将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，
∴DP＝DP'，∠PDP'＝90°＝∠ADH，
∴∠ADP'＝∠PDH，
∴△ADP'≌△HDP（SAS），
∴AP'＝PH，
∵AC＝10，点D是边AC的中点，
∴CD＝AD＝DH＝5，
∵点P为边BC上的一个动点，
∴当PH⊥BC时，PH有最小值为5，
当点P与点C重合时，PH有最大值为5，
∴5≤HP≤5，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（2023•萧山区二模）如图，在正方形ABCD中，，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
【分析】连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【解答】解：如图，连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，，O是BC边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥10﹣2＝8，
∴线段OF的最小值为8，
故选：A．
【点评】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（2022秋•浦江县月考）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
三．旋转对称图形（共3小题）
11．（2022秋•平阳县校级月考）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．72°
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．
故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
12．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
13．（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 B ；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （1）（3）（5） （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有 C 个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可．
（2）旋转对称图形，且有一个旋转角是60度判断即可．
（3）根据旋转图形的定义判断即可．
（4）根据要求画出图形即可．
【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，
故选B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．
故答案为（1）（3）（5）．
（3）命题中①③正确，
故选C．
（4）图形如图所示：
【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四．坐标与图形变化-旋转（共8小题）
14．（2022秋•莲都区期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
15．（2022秋•吴兴区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在方格线的格点上，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P的坐标为 （1，2） ．
【分析】依据旋转的性质可得，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P到对应点的距离相等，因此作出两对对应点连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【解答】解：如图所示，作线段AA'和BB'的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心，
由图可得，点P的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，解决问题的关键是掌握旋转的性质．一般情况，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
16．（2022秋•苍南县期中）如图，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），B的坐标为（1，4），将△ABC沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对应点为B′，点C的对应点为C′，则点C′的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，4）C．（3，1）D．（1，3）
【分析】首先根据点A的平移规律得到C的平移后坐标，再根据旋转规律得到C′的坐标．
【解答】解：∵点A平移至坐标原点O，点A的坐标为（0，3），
∴向下平移三个单位长度，
∴C平移后的坐标为（1，﹣3），
∵平移后再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，
∴点C′的坐标为（3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化中的旋转与平移，正确使用坐标与图形变化的规律是解题的关键．
17．（2022秋•衢江区校级期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣1，4）的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，4）B．（4，1）C．（1，﹣4）D．（4，﹣1）
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出∠AOA′＝90°，AO＝A′O，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC＝A′C′，CO＝C′O，由A的坐标就可以求出结论．
【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴∠AOA′＝90°，AO＝A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．
∵∠COC′＝90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC＝∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC＝A′C′，CO＝C′O．
∵A（﹣1，4），
∴AC＝1，CO＝4，
∴A′C′＝1，OC′＝4，
∴A′（4，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得△ACO≌△A′C′O是解决问题的关键．
18．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（1，﹣2），
∴PQ＝1，OQ＝2，
∵点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝1，OQ′＝OQ＝2，
∴点P′的坐标为：（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
19．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 （﹣5，4） ．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．
【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
20．（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB绕着O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α．
（1）如图1，CD恰好经过点B时，
①求此时旋转角α的度数；
②求出此时点C的坐标；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据旋转的性质得到OB＝OD，求得∠ABO＝60°＝∠D，得到△BOD是等边三角形根据等边三角形的性质得到∠BOD＝60°，于是得到结论；
②过点C作CE⊥x轴于E，根据等腰三角形的性质得到CO＝AO＝4，求得∠AOC＝60°，求得OE＝2，CE＝6，于是得到C（﹣2，6）；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝90°﹣，求得∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°﹣）＝30°+，根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）①由旋转可知，OB＝OD，
∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°＝∠D，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴旋转角α的度数为60°；
②过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠AOB＝90°，B（0，4），
∴CO＝AO＝4，
∵α＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴OE＝2，CE＝6，
∴C（﹣2，6）；
（2）AC⊥BD，
理由：∵∠AOC＝α，OB＝OD，
∴∠OBD＝90°﹣，
∴∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°﹣）＝30°+，
∴∠PBA+∠PAB＝60°﹣30°+＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AC⊥BD．
【点评】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2022次得到正方形OA2022B2022C2022，则点B2022的坐标是 （1，﹣1） ．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB＝＝，
由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），B6（1，﹣1），…，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
五．作图-旋转变换（共5小题）
22．（2023•龙游县一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1，并写出C1的坐标即可；
（2）根据（1）中C点坐标找出规律即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，C1的坐标（1，4）．
（2）∵C（4，﹣1），C1（1，4），
∴P’（﹣b，a）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
23．（2023•温州一模）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，四边形即为所求作：
；
（2）如图，四边形即为所求作：
．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023•乐清市模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出以AB为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个周长为整数的四边形ACBD；
（2）在图2中画一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．
【分析】（1）利用勾股定理作出，据此即可画出一个周长为整数的四边形ACBD；
（2）根据三角形的面积公式以及平行四边形的性质即可画出一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．
【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求作．
（2）如图，四边形AEBF即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
25．（2022•平阳县一模）如图，在10×8的方格纸巾，请按要求画图．
（1）在图1中画一个格点C，使△ABC为等腰三角形．
（2）在图2中两个格点F，G，使四边形DEFG为中心对称图形，且对角线互相垂直．
【分析】（1）根据等腰三角形的概念作图即可（答案不唯一）；
（2）根据中心对称图形的概念及菱形、正方形的性质作图即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图所示，四边形DEFG即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质、等腰三角形的定义、菱形与正方形的性质．
26．（2023•温州二模）如图在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，请按要求画出相应格点图形．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的格点三角形△A1B1C（点A，B的对应点分别为 A1，B1）．
（2）画出△ABD，使得S△ABD＝3S△ABC．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）由图可得S△ABD＝3S△ABC＝6，结合三角形的面积找出点D的位置即可．
【解答】解：（1）如图，三角形△A1B1C即为所求.
（2）由图可得，S△ABC＝＝2，
∴S△ABD＝3S△ABC＝6．
如图，△ABD1，△ABD2，△ABD3均满足要求．
【点评】本题考查中心对称、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质、三角形的面积是解答本题的关键．
六．利用旋转设计图案（共3小题）
27．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
【分析】画出中心对称图形即可判断
【解答】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．（2022秋•定海区校级月考）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
29．（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解．
【详解】解∶∵是由绕A点旋转得到的，
∴旋转角为，
∵，，
∴，
即旋转角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案．
【详解】解：如图所示：
只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度数是．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键．
4．（2021·浙江金华·统考二模）如图，从图1的正三角形到图2的正三角形，下列变化中不能得到的是（ ）
A．绕某点旋转B．平移C．轴对称D．先平移再轴对称
【答案】A
【分析】根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可
【详解】因为图中为等边三角形，所以通过平移和轴对称可以得到，旋转不能由图1得到图2
故选：A
【点睛】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60B．90C．120D．180
【答案】C
【分析】观察图形可知转子叶片是正三角形，因此可求出旋转角度.
【详解】解：由题意得
360°÷3=120°,
故选：C.
【点睛】此题考查旋转对称图形，熟练运用空间想象能力，找到规律性是解题关键.
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼D．小明在荡秋千
【答案】D
【分析】旋转定义：物体围绕一个点或一个轴做圆周运动，根据旋转定义对各选项进行一一分析即可．
【详解】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；
B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；
C. 电梯从 1 楼到 12 楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；
D. 小明在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查图形旋转运动，掌握旋转定义与特征，旋转中心，旋转方向，旋转角度是解题关键．
7．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
【答案】C
【分析】画出中心对称图形即可判断
【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2023·浙江·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答；
【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形,，，
∴四边形是平行四边形，
，
∴阴影部分的面积，
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点．
9．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当、时，对应的函数值，进行判定即可．
【详解】解：由已知，
则抛物线的顶点为，
由旋转可知，抛物线的顶点为，
则抛物线解析式为：，
由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次，
由可知，
的函数值等于时的函数值，
∴时，，
由可知，
的函数值等于时的函数值，
∴时，，
故可知，点在图像上．
故选：C
【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应的函数解析式以及图像的循环规律．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【详解】A，B，C只能通过旋转得到，D既可经过平移，又可经过旋转得到，故选D.
二、填空题
11．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
【答案】50
【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转至，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键．
12．（2021秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，点、、、、都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为________．
【答案】/
【分析】由是由绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是的大小，然后由图形即可求得答案．
【详解】解：∵是由绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴，
∴旋转的角度是的大小，
∵，
∴旋转的角度为．
故答案为：．
【点睛】此题考查旋转的性质．解题关键是理解是由绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
13．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为______°．
【答案】80
【分析】由旋转的性质可得，则可得，由三角形内角和可求得，从而由旋转性质即可求得结果．
【详解】解：旋转的性质得，，
，
由三角形内角和得，
；
故答案为：80．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．
14．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝5，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__．
【答案】3或13
【分析】首先在Rt△ADE中利用勾股定理求得AE的长，然后分两种情况进行讨论，①当线段AE顺时针旋转时，在直角△ABF1中利用勾股定理求得BF1的长，”进而求得F1C；②同理可以求得旋转到F2时，F2C的长．
【详解】解：∵CD＝DE+EC＝5+3＝8，
∴正方形ABCD的边长是8．
∴在Rt△ADE中，AE＝．
①当线段AE顺时针旋转得到F1点，
∴AF1＝AE＝，
在Rt△ABF1中，BF1＝，
∴F1C＝BC﹣BF1＝8﹣5＝3；
②逆时针旋转得到F2点，同理可得BF2＝5，则F2C＝8+5＝13．
故答案为：3或13．
【点睛】本题考查了图形的旋转，正确理解题意并分两种情况进行讨论是解题的关键．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，等腰三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数为_____．
【答案】45°
【分析】由旋转的性质可得BC=BP=BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，由外角的性质可求∠PAH=135°-90°=45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC=BP=BA，
∴∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA=180°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，
∵，
∴∠CPA=∠AHC+∠PAH=135°，
∴∠PAH=135°-90°=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 _________ ．
【答案】
【分析】先确定，得到，根据旋转性质，得到，轴，计算即可．
【详解】∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
∴，
根据旋转性质，得到，，
∴轴，
作轴，垂足为C，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质，点的坐标，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．
17．（2023·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
【答案】
【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴,
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
18．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______．
【答案】或
【分析】①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出；
②当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论．
【详解】∵为等腰直角三角形，，
，
①当点在点上方时，如图③，
过点作交的延长线于，
当时，可证，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
②当点在点下方时，如图④
同①的方法得，，，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论．
三、解答题
19．（2022·浙江·九年级专题练习）如图：
（1）矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合？如果可以，请画出对称轴所在的直线，并写出表达式．
（2）矩形A能通过一次旋转变换与矩形B重合？如果可以，请你描述变换过程．
【答案】（1）可以，图见详解，；（2）可以，矩形A绕着H点沿顺时针方向旋转90°即可与矩形B重合
【分析】（1）由题意连接对应点的连线并连接对应点的连线的中点即可得到对称轴，进而利用待定系数法即可求得函数表达式；
（2）由题意直接根据旋转变换的图形特征，通过旋转中心、旋转方向以及旋转角度进行描述即可.
【详解】解：（1）可以，对称轴所在的直线如下：
观察图形可得O（0，0），E（2，2）
设对称轴所在的直线的函数表达式为，
将E代入可得，
所以对称轴所在的直线的函数表达式为；
（2）可以，观察图形可知矩形A绕着H点沿顺时针方向旋转90°即可与矩形B重合.
【点睛】本题考查图形的轴对称变换和旋转变换，熟练掌握找对称轴的方法以及利用抽象思维进行分析是解题的关键.
20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在的方格纸中，已知格点线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个以为腰的等腰三角形，再画出该三角形向左平移两个单位后的图形．
(2)在图中画一个以为边的钝角三角形，再画出该三角形绕点顺时针旋转后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据要求画出图形即可．
【详解】（1）解：图形如图所示（答案不唯一）；
（2）图形如图所示（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，已知整点，，，请在所给网格区域（含边界）按要求画整点三角形（顶点都是整点）.
(1)在图中将绕点A旋转至，使点或落在坐标轴上.
(2)在图中将平移至，使点B的对应点和点C的对应点落在同一个反比例函数图象上.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】根据图形旋转和平移、反比例函数的特点即可得到答案．
【详解】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等.
（2）解：画法不唯一，如图3～图5等.
【点睛】本题考查了图形的旋转和图形的平移，涉及到了反比例函数，灵活运用所学知识是解题关键．
22．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到，即可证明．
（2）连接，通过证明得到，进而证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴
∵O为的中点，
∴，
∴．
（2）成立，理由如下：
连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴即
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，即
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握选装前后对应边相等，对应角相等．
23．（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)，将 BOC绕点O逆时针旋转90度，得到B1OC1．请画出B1OC1，并写出B，C两点的对应点B1，C1的坐标．
【答案】见解析，(1，3)，(−1，2)
【分析】找到B、C两点绕点O逆时针旋转90度后的坐标 ，依次连接三点，即得到所画的三角形，从而也可得到点的坐标．
【详解】如图，△B1OC1为所作
点B1，C1的坐标分别为 (1，3)，(−1，2)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转，关键是确定三角形三个顶点旋转后的对应点．
24．（2023·浙江宁波·统考一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）延长交于点，利用勾股定理求出和，然后代入即可；
（3）取的中点，连接、，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：如下图：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）延长交于点，
∵，
∴，
∵是等边三角形且边长为，等边的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
（3）取的中点，连接、，
∵是等边三角形且边长为，是等边三角形且边长为，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在中，，当、、共线时取等号，
∴，
∴旋转过程中的取值范围是．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
25．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图1，正方形中，点为边上的点，若，点为中点，连结．
(1)探索并证明与有怎样的位置和数量关系；
(2)转动至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若，绕着点旋转过程中，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)仍然成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）延长交于，通过证明可得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，由可得，即；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，通过证明，得到，通过证明，可得，由，可得，从而即可得证；
（3）连接相交于点，根据点的轨迹得到点的轨迹，点的轨迹与交于点、，当点在点时，最小，当点在点时，最大，由正方形的性质可得，由可得，求出，由，，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
证明：如图所示，延长交于，
，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，即，
，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
证明：延长至，使，连接，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接相交于点，点G为BE中点，根据点的轨迹得到点的轨迹，点的轨迹与交于点、，当点在点时，最小，当点在点时，最大，如图所示，
，
令点所在圆的半径为，点所在圆的半径为，则，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题与圆的综合，熟练掌握正方形的性质、三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
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