浙教版（2024）九年级上册第1章 二次函数1.1 二次函数练习

这是一份浙教版（2024）九年级上册第1章 二次函数1.1 二次函数练习，共64页。
题型一：利用二次函数的对称性求最短路径
题型二：面积最值问题
题型三：最大利润问题
题型四：线段最值问题
【考点剖析】
题型一：利用二次函数的对称性求最短路径
一、填空题
1．（浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中）如图，抛物线过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为_____
2．（浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确的是 ___．（填序号）
二、解答题
3．（浙江宁波·九年级统考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.
4．（浙江杭州·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
5．（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．
6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(5，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
7．（浙江宁波·校联考一模）如图，抛物线M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，将抛物线M1平移得到抛物线M2：y=ax2+bx+c，M1与M2相交于点B，直线AB交M2于点C（8，m），且AB=BC．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）写出一种将抛物线M1平移到抛物线M2的方法；
（3）在y轴上找点P，使得BP+CP的值最小，求点P的坐标．
8．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
(2)根据图象回答：当x取何值时，？
(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标．
题型二：面积最值问题
一、解答题
1．（2022·浙江·九年级自主招生）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．
(1)写出S与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；
(3)求矩形菜园面积的最大值．
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为．
例如：如图1，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
(1)若，请完成下表．
(2)如图3，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
①若，，，，则______，______．
②若，，，请直接写出与之间的数量关系，并求出当最大时的值．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为．设长为，窗户的总面积为．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若的长不能低于，且，求此时窗户总面积的最大值和最小值．
5．（2023·浙江宁波·统考一模）有一块形状如图1的四边形余料，，，，，，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在上．
(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边在上，设，矩形的面积为y，
①求y关于x的函数表达式．
②求矩形面积y的最大值．
(2)能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
6．（2023·浙江嘉兴·统考一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即．
已知二次函数的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足．

(1)求L（A，B）；
(2)求抛物线的表达式；
(3)已知是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是图像上的两个动点，且，求面积的最大值；
②当时，若函数的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
题型三：最大利润问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，（x为整数）月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？
(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
(1)当时，y与x的函数关系式为 ．
(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装 件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
3．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
(1)当时，求销售该水果的总利润；
(2)设每天销售该水果的总利润为w元．
①求w与x之间的函数解析式：
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．
4．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____，每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____．
(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
(3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
6．（2023·浙江·九年级专题练习）抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量(件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数)，部分对应值如下表:
(1)求与的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
7．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：，销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为
(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?
(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y（元）关于第x（天）的函数关系式．
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?
题型四：线段最值问题
一、解答题
1．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，O为坐标原点，连接OA，二次函数图像从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线与直线x＝6交于点P，顶点为M．
(1)若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式的解集．
(2)二次函数图像平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．
2．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
(1)若，求a的值；
(2)若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
(3)直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
3．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值？
4．（浙江嘉兴·统考二模）如图 1，抛物线 交 x 轴于点 和点B，交 y 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点M在抛物线上，且，求点M的坐标．
(3)如图 2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
5．（2022秋·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B，C，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
6．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图1，折叠矩形纸片，具体操作：①点为边上一点（不与点、重合），把沿所在的直线折叠，点的对称点为点；②将沿所在直线折叠，折痕所在的直线交于点，点的对称点为点．
(1)求证：．
(2)若，，
①点E在移动的过程中，求的最大值；
②如图2，若点C恰在直线上，连接，求的面积．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
每件售价（元）
9
11
13
每天的销售量（件）
105
95
85
重难点专项突破01二次函数的最值（4种题型）
【题型细目表】
题型一：利用二次函数的对称性求最短路径
题型二：面积最值问题
题型三：最大利润问题
题型四：线段最值问题
【考点剖析】
题型一：利用二次函数的对称性求最短路径
一、填空题
1．（浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中）如图，抛物线过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为_____
【答案】
【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，，求出的长度即可．
【详解】解：把点A（1，0），B（3，0），代入抛物线，则
，解得：，
∴；
连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，连接OM，如图：
∵OB=OC=3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵BC=，
∴OM=，
∴点N运动路径的长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
2．（浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确的是 ___．（填序号）
【答案】①③
【分析】①联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，最后问题可求解．
【详解】解：联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2可得：，
其中，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且，开口向下，
∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，
∵点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，
∴，故②错误；
由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：
，故③正确；
当m＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴，
作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，如图所示：
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，知最短，而BC长度一定，
∴此时四边形BCDE的周长为+BC最小，
由两点距离公式可得：，
故④错误；
综上所述：正确的有①③；
故答案为①③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．
二、解答题
3．（浙江宁波·九年级统考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.
【答案】（1）；（2）当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；（3）点.
【分析】（1）根据对称轴方程可得，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）根据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.
（3）设直线BQ交y轴于点H，过点作于点，利用勾股定理可求出BC的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为.
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线，B（0，0），
∴点A坐标为（-3，0），
∵C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线与对称轴的交点为，
∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，
∴MA=MB，
∴MB+MC=MA+MC=AC，
∴此时的值最小，
当时，y=-1+3=2，
∴当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（3）如图，设直线交轴于点，过点作于点，
∵B（1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3，BC==，
∴，
∵∠CBQ=45°，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴HM=BM，
∵tan∠OCB=，
∴CM=3HM，
∴BC=MB+CM=4HM=，
解得：，
∴CM=，
∴CH==，
∴OH=OC-CH=3-=，
∴，
设直线BH的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴的表达式为：，
联立直线BH与抛物线解析式得，
解得：（舍去）或x=，
当x=时，y==，
∴点Q坐标为（，）.
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
4．（浙江杭州·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）；（2）M（1，-2）
【分析】（1）把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．
【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-3上，
∴b=-2，
∴抛物线解析式y=x2-2x-3，
∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点D的坐标（1，-4）；
（2）对于y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，
∴B（3，0），
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，
设直线BC的表达式为y=mx+n，则，
解得：，
故直线BC的表达式为y=x-3，
当x=1时，y=-2，故点M（1，-2）．
【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．
5．（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）15；（3）M（2，6）
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；
（2）求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM＋DM＝BM＋D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M 在一条直线上时，BM＋D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，9），
设抛物线的解析式为y＝a（x−2）2＋9，
∵抛物线经过点D（3，8），
∴（3−2）2•a＋9＝8，解得a＝−1，
∴抛物线的函数解析式为y＝−（x−2）2＋9；
（2）令y＝−（x−2）2＋9=0，解得x1=5，x2=-1，
∴A（-1，0），B（5，0），
令x=0，则y=−（0−2）2＋9=5
∴C（0，5）
∴S△ABC===15；
（3）存在，求解过程如下：
∵二次函数y＝−（x−2）2＋9的对称轴为直线x＝2，
∴A（−1，0），B（5，0），
∵点D（3，8）关于对称轴x＝2对称的点的坐标为D'（1，8），
由对称性得：DM＝D'M，
则BM＋DM＝BM＋D'M，
如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM＋DM最短，
设直线BD'的函数解析式为y＝kx＋b，
把（5，0），（1，8）代入y＝kx＋b，
得：，解得，
∴y＝−2x＋10，
取x＝2，则−2×2＋10＝6，
∴M（2，6）．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(5，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)m=4，顶点坐标为(2，9)
(2)P(2，3)
【分析】（1）将点(5，0)，代入，得其解析式，从而求出m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）利用“将军饮马”思路，点A关于抛物线对称轴l对称的点是点B，进而解决问题．
【详解】（1）将点（5，0）代入y=﹣x2+mx+5得，
0=﹣25+5m+5，m=4，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5
y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；
（2）如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，根据其性质有，
PA+PC=PC+PB，
当点C、点P、点B共线时，PC+PB=BC为最小值，即为PA+PC的最小值，
由抛物线解析式为，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为(5，0)，对称轴l为x=2，
设直线BC的解释为y=kx+b，
将点C(0，5)，点B(5，0)，代入y=kx+b得，，
解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，联立方程，
，解得，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(2，3)．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
7．（浙江宁波·校联考一模）如图，抛物线M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，将抛物线M1平移得到抛物线M2：y=ax2+bx+c，M1与M2相交于点B，直线AB交M2于点C（8，m），且AB=BC．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）写出一种将抛物线M1平移到抛物线M2的方法；
（3）在y轴上找点P，使得BP+CP的值最小，求点P的坐标．
【答案】（1）A（-2，0），B（3，5），C（8，10）；（2）由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）P（0，）.
【分析】（1）y=0，即求A；AB=BC，得B（3，），求出直线AB的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m的值，从而确定B与C的坐标；
（2）抛物线平移前后a的值不变，由点B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，求出直线B'C的直线解析式的解析式与y轴交点即为P；
【详解】（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，
∴A（-2，0），
∵AB=BC，C（8，m），
∴B（3，），
设AB直线解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=x+，
∵y=x2-4与y=x+相交于点A和B，
∴x2-x+-4=0，
∴x1+x2==1，
∴m=10，
∴B（3，5），C（8，10）；
（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，
∴a=1，
∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，
由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，
∴B'（-3，5），
设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=x+，
∴P（0，）.
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．
8．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
(2)根据图象回答：当x取何值时，？
(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把，代入，利用待定系数法求解，，再求解点的坐标即可得到答案；
（2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图象可得的取值范围，从而可得答案；
（3）由，关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案．
【详解】（1）把，代入，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
由，
，

∴；
（2） 抛物线与轴交于，，，
抛物线的图象在轴的下方，
结合图象可得：；
（3）∵，，
∴对称轴是直线，
如图，当A、B、P三点共线时，的值最小，
此时点P是对称轴与x轴的交点，即．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
题型二：面积最值问题
一、解答题
1．（2022·浙江·九年级自主招生）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
【答案】12，等腰三角形
【分析】根据已知条件，再表示成，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．
【详解】解：三角形的边长满足，，
，
，
当时，有最大值为12，
此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．
(1)写出S与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；
(3)求矩形菜园面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．
【分析】（1）根据题意得出，然后求面积即可；
（2）利用（1）中结论，直接代入求解即可；
（3）将（1）中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．
【详解】（1）解：设．则，
∴；
（2）由（1）得，
则
解得，（舍去），
∴的长为；
（3）①当时，由（1）得，
∵，
∴时，S的最大值为1250．
②当时，则，S随的增大而增大，
当时，的最大值为；
综上所述，当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为．
例如：如图1，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
(1)若，请完成下表．
(2)如图3，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
①若，，，，则______，______．
②若，，，请直接写出与之间的数量关系，并求出当最大时的值．
【答案】(1)12，8，5
(2)①3，；②；
【分析】（1）根据每次逆时针旋转，旋转次，可回到起点，即可进行解答；
（2）①构造如图所示三角形，则为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得，，，进而得出，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：12，8，5．
（2）①构造如图所示的三角形，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3，．
3，5．5
②如图，构造等边
∴，，，
∵，
∴，
∴，
如图：等边三角形边长为a，高为h，
，
∴等边三角形面积
∴
∴，
∴当最大时，．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为．设长为，窗户的总面积为．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若的长不能低于，且，求此时窗户总面积的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)窗户总面积S的最大值，最小值是
【分析】（1）根据题意和图形可以求得与的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于的不等式，从而求出的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，得
．
即S与x的函数表达式是．
（2）解：根据题意，得
．
解得：．
，
∵，
∴S有最大值，
∵，抛物线的对称轴为直线．
∴当时，S有最大值，此时，
当时，S有最小值，此时，
答：窗户总面积的最大值，最小值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
5．（2023·浙江宁波·统考一模）有一块形状如图1的四边形余料，，，，，，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在上．
(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边在上，设，矩形的面积为y，
①求y关于x的函数表达式．
②求矩形面积y的最大值．
(2)能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
【答案】(1)①；②当时，y取到最大值
(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为
【分析】（1）①由锐角三角函数可求的长，由矩形的面积公式可求解；
②由二次函数的性质可求解；
（2）用分别表示，的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：①如图2，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
②点在线段上，
，
，
当时，的最大值为10；
（2）能，如图1，当点在线段上时，过点D作于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值为，
，
能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．（2023·浙江嘉兴·统考一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即．
已知二次函数的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足．

(1)求L（A，B）；
(2)求抛物线的表达式；
(3)已知是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是图像上的两个动点，且，求面积的最大值；
②当时，若函数的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
【答案】(1)4；
(2)；
(3)①面积最大值为；②．
【分析】（1）根据题干中对于“型距离”的定义，即可求解；
（2）根据二次函数经过点、、三点，所以只要求出点坐标即可：根据点在直线上运动，所以可设点，根据列方程求解出的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线的表达式；
（3）①根据的一边长度固定等于5，所以只要求出顶点到的最大距离即可：由所在的直线过固定点,故直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点到的距离最大，此时就是的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；
②根据，可得函数的解析式：，可知函数的图像是一个开口向下，对称轴是的抛物线，由此可知函数在对称轴上取得最大值，根据可知当时有最小值，最后根据函数的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出的值．
【详解】（1）解：由题意得：
，
；
（2）点在直线上运动，
设点，且
由平面上两点间距离，利用勾股定理得：
即
，
又
二次函数的图像经过，，，
设
代入解析式得：
解方程组得：
抛物线的表达式为；
（3）①
令时，
直线恒过定点
直线的图像是绕点旋转的直线，
当直线时，点到的距离最大，面积也最大，
过点作交直线于点

由点到直线的距离，垂线段最短知：
，
面积的最大值为
②
二次函数的对称轴为
二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值
又
当时，函数值取得最小值
函数的最大值与最小值之和为8
整理得：
解得：
实数的值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“型距离”的理解能力、以及根据“型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．
题型三：最大利润问题
一、解答题
1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，（x为整数）月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？
(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】(1)，x的取值范围为（x为整数）
(2)32元
(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元
(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元
【分析】（1）每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为元，销量为件，根据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；
（2）令，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；
（3）结合（2）中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；
（4）将化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．
【详解】（1）解：依题意得：
，
每件首饰售价不能高于40元，
，
（x为整数）．
因此y与x的函数关系式为，x的取值范围为，且x为整数；
（2）解：当时，，
整理得，
解得，，
，
，
当时，．
即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；
（3）解：如图，
由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，
对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，
每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．
（4）解：，
．
，，且x取正整数，
当或7时，y取最大值，，
每件玩具的售价定为：（元）或（元）．
即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润单件利润销量”列出y与x的函数关系式．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
(1)当时，y与x的函数关系式为 ．
(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装 件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)18000元
(3)x为190或200时，w最大，最大值是3800元
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据图象利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；
（3）分类讨论①当时和②当时，结合利润=销售量×（售价−成本）列出w与x的函数关系即可得出答案．
【详解】（1）当时，设y与x的函数关系式为，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）当时，，
∴（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当时，
，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当或200时，w有最大值是：；
②当时，，
当时，w有最大值是：，
∴一次性批发A品牌服装x（）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×（售价−成本）列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．
3．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
(1)当时，求销售该水果的总利润；
(2)设每天销售该水果的总利润为w元．
①求w与x之间的函数解析式：
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．
【答案】(1)元
(2)① ②不能达到，最大值是8100元
【分析】（1）利用每箱利润每箱降低的价格及平均每天的销售量120+20，即可求出结论；
（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为(元)，
平均每天可售出(箱)
总利润为：(元)．
（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，依题意得： w与x之间的函数解析式为
；
②w不能达到8200元；
.
∵，
∴当时，w取到最大值，，
∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．
4．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____，每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____．
(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
(3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)30元或40元
(3)当销售单价定为35元时，最大利润是2250元
【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据（1）得到的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，令求得x即可；
（2）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得，；
则．
故答案为：．
（2）解：令可得，
解得或40．
答：销售单价应定为30元或40元．
（3）解：∵
∴，
∵，
∴当时，w有最大值2250，
∴当销售单价定为35元时，最大利润是2250元．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、一次函数和二次函数的实际应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题关键．
5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y与x之间的函数表达式为．
(2)该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．
(3)当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，再在表中任选两组数据代入计算出k和b的值即可．
（2）依题意列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可．
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为，将表中数据（55，70）、（60，60）代入，得：，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为．
（2）由题意得：，
解得．
答：该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
，
∵，
∴当时，．
答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题目中的数量关系．
6．（2023·浙江·九年级专题练习）抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量(件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数)，部分对应值如下表:
(1)求与的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)13元
(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可；
（3）根据二次函数的性质以及的取值范围进行求解即可．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，，
将，代入得，
解得，
∴，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由题意知，利润，
令，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：由（2）知，
∵，
∴当时，随着的增大而增大，
∴当时，，此时利润最大，
∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：，销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为
(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?
(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y（元）关于第x（天）的函数关系式．
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?
【答案】(1)25元
(2)
(3)元
【分析】(1)根据x的值确定其范围，后选择准确的解析式代入计算即可．
(2)根据x的值确定其范围，后选择准确的解析式代入计算即可．
(3)分两种情况，分别确定最值，比较最值，确定计算即可．
【详解】（1）∵，
∴（元）．
（2）∵，
∴（元）．
∴．
（3）当时，
∴（元）．
∴．
∴，
∵，
∴，
即第15天时，利润最大，最大利润为元；
当时，
∴（元）．
∴．
∴y随x的增大而减小，
∴当时，
∴，
即第21天时，利润最大，最大利润为元；
∵，
∴，
∴基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠元．
【点睛】本题考查了分段函数的计算，函数的应用，二次函数的最值，反比例函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，反比例函数的性质是解题的关键．
题型四：线段最值问题
一、解答题
1．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，O为坐标原点，连接OA，二次函数图像从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线与直线x＝6交于点P，顶点为M．
(1)若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式的解集．
(2)二次函数图像平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，或
(2)存在，
【分析】（1）先由点坐标求出所在直线解析式，求出点坐标，由坐标代求出二次函数解析，然后联立两函数方程求解；
（2）用含代数式表示抛物线解析式，将代入可得的长，进而求解．
【详解】（1）解：设直线解析式为，
把代入得，
解得，
，
设点，则，
，即，
抛物线解析式为，
令，解得或，
的解集为或；
（2）存在，理由如下：
，
二次函数解析式为，
把代入得，
，
，
当时，最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到待定系数法确定函数关系式、根据图像解不等式、两点之间的距离公式、二次函数最值等知识，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
2．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
(1)若，求a的值；
(2)若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
(3)直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
【答案】(1)
(2)4，
(3)5
【分析】（1）根据，解得：；
（2）设点，则点，则，即可求解；
（3）直线的表达式为：，故，同理，即可求解．
【详解】（1）解：令，得，解得：，．
∵与x轴交于两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴，，，，
∵，，
解得：；
（2）解：当时，抛物线为，
将点、的坐标代入一次函数表达式可求得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
∴，
∴当时，有最大值4，此时点；
（3）解：由（1）知：、、，
设点，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
故，
同理，直线为，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；
（2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；
（3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴正半轴上，
设抛物线的解析式为，
把点、代入中可得：
，
解得：（舍去）或，
，
抛物线的解析式为：；
（2）把代入中可得：
，
，
点的坐标为；
（3）设的解析式为：，
把点、代入中可得：
，
解得：，
的解析式为：，
点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，
当时，，，
，
当时，，，
，
当时，，，
，
设，，
，
当时，的最大值为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（浙江嘉兴·统考二模）如图 1，抛物线 交 x 轴于点 和点B，交 y 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点M在抛物线上，且，求点M的坐标．
(3)如图 2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)1
【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，即可求出．
（2）根据抛物线的解析式为，求出，然后设，根据，列方程求出解即可得到答案．
（3）设直线AC的解析式为，将，代入，求出直线AC的解析式，接着设，则，然后列出DN与x的函数关系式，最后利用配方法求出解即可．
【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，
得
解得
即抛物线的解析式为．
（2）由（1）得，此抛物线的解析式为
令y=0，得，
设，根据，列方程得
∴，
∴，
∴，
∴或．
解得或0或-1
∴点M的坐标为或或或．
（3）设直线AC的解析式为
将，代入，
得到，
得
∴直线AC的解析式为．
设，
则，
∴，
∴
当x=-1时，DN的有最大值1．
∴DN的最大值为1．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，一次函数的解析式，解一元二次方程等内容，解题关键是学会构建二次函数，利用数形结合的思想解二次函数相关问题，属于中考压轴题．
5．（2022秋·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B，C，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，线段的最大值为
【分析】（1）把已知A，C两点坐标代入解b，c的值，求函数解析式；
（2）求直线得解析式，设D点的横坐标为x，则，化成顶点式求最值．
【详解】（1）解：经过点C，则，
将点A的坐标代入抛物线表达式：，得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由：
令，得：，解得：或，故点，
设直线为，将点B、C的坐标代入得：
，解得：．
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，，
∴当x时，线段最大值为：；
【点睛】本题考查二次函数的解析式和图像上的动点问题、坐标与图形，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图1，折叠矩形纸片，具体操作：①点为边上一点（不与点、重合），把沿所在的直线折叠，点的对称点为点；②将沿所在直线折叠，折痕所在的直线交于点，点的对称点为点．
(1)求证：．
(2)若，，
①点E在移动的过程中，求的最大值；
②如图2，若点C恰在直线上，连接，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①最大值；②的面积为
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）①设，证明，推出，可得利用二次函数的性质求解即可；②如图2中，连接．解直角三角形求出，，，，由翻折的性质可知垂直平分线段，利用面积法可得，用勾股定理求出的长，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如图1中，
由折叠可知，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
（2）解：①设，
，
，
，
，
，
时，有最大值，最大值为．
②如图2中，连接．
由折叠可知，，，，
，
，
，
，
点在直线上，
，，
，
，
，
，
由折叠可知，垂直平分线段，
，
取的交点为，如下图：
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决问题．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
每件售价（元）
9
11
13
每天的销售量（件）
105
95
85