2022-2023学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）直线x+y＝0的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
2．（4分）圆（x+2）2+y2＝5关于原点O（0，0）对称的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝5B．x2+（y﹣2）2＝5
C．（x﹣2）2+y2＝5D．x2+（y+2）2＝5
3．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则与向量相等的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）已知直线l：x+ay+2＝0，点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2），若l∥AB，则实数a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
5．（4分）若点M（1，1）为圆C：x2+y2﹣4x＝0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．x+y＝0
6．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，那么（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面A1BCD1
D．平面EFGH∥平面ABCD
7．（4分）已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①直线BC1与DA1所成的角为90°；
②直线BC1与CA1所成的角为90°；
③直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°；
④直线BC1与平面ABCD所成的角为45°．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（ ）
A．平面α与平面β平行
B．平面α与平面β垂直
C．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
二、填空题。共6小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）直线y＝2x与直线y＝2x+1之间的距离等于 ．
12．（5分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于 ．
13．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1﹣D1MN的体积为 ．
14．（5分）已知直线l：kx﹣y+k＝0，若直线l与圆x2﹣2x+y2﹣4y+3＝0在第一象限内的部分有公共点，则k的取值范围是 ．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
16．（5分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，则称点（x，y）是整点．已知直线l：y＝kx+b，下列命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线l，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若k和b都是无理数，则直线l不经过任何整点；
③存在只经过一个整点的直线l；
④存在只经过两个不同整点的直线l．
三、解答题。共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，．
（1）求异面直线BF与DE所成角的大小；
（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．
18．（11分）已知直线l经过两条直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25相交所得弦长为8，求直线l的方程．
19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，点N在棱PC上．
条件①：BC＝2；
条件②：平面PBD⊥平面ABCD．
从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：
（1）判断AB与PB是否垂直，并证明；
（2）若点N为棱PC的中点，点M在直线AN上，且点M到平面BDN的距离为，求线段BM的长；
（3）求直线AC与平面BDN所成角的正弦值的取值范围．
注：若选择①和②分别作答，按选择①给分．
20．（13分）对于平面直角坐标系中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），现定义由点A到点B的“折线距离”ρ（A，B）为ρ（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知A（1，0），B（2，3），求ρ（A，B）；
（2）已知点A（1，0），点B是直线上的一个动点，求ρ（A，B）的最小值；
（3）对平面上给定的两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）＝ρ（A，B）；②ρ（A，C）＝ρ（C，B）．
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．
2022-2023学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）直线x+y＝0的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【解答】解：∵直线x+y＝0的斜率为﹣1，
设直线x+y＝0的倾斜角为α，
又0≤α＜180°，
∴α＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．
2．（4分）圆（x+2）2+y2＝5关于原点O（0，0）对称的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝5B．x2+（y﹣2）2＝5
C．（x﹣2）2+y2＝5D．x2+（y+2）2＝5
【分析】求出圆（x+2）2+y2＝5的圆心（﹣2，0）关于原点的对称点，进而得出结论．
【解答】解：圆（x+2）2+y2＝5的圆心（﹣2，0）关于原点的对称点（2，0），
∴圆（x+2）2+y2＝5关于原点O（0，0）对称的圆的方程为（x﹣2）2+y2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了点关于点的对称点、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则与向量相等的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由空间向量的三角形法则分析可得答案．
【解答】解：根据题意，＝+＝++＝+﹣＝+﹣，
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的加减运算，涉及空间向量加法减法的三角形法则，属于基础题．
4．（4分）已知直线l：x+ay+2＝0，点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2），若l∥AB，则实数a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a 的值．
【解答】解：∵直线l：x+ay+2＝0，点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2），
∴直线AB的斜率为 ＝1，
若l∥AB，则﹣＝1，求得a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．
5．（4分）若点M（1，1）为圆C：x2+y2﹣4x＝0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．x+y＝0
【分析】由的一般方程可得，圆心为C（2，0），由点M为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x＝0的圆心为C（2，0）
根据题意：kCM＝＝﹣1
又kABkCM＝﹣1，
∴kAB＝1，
∴直线AB的方程是x﹣y＝0
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，属基础题．
6．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，那么（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面A1BCD1
D．平面EFGH∥平面ABCD
【分析】A，易知GH∥CD1，若BD1∥GH，则BD1∥CD1，与BD1∩CD1＝D1矛盾；
B，易知EF∥A1B，若BD∥EF，则BD∥A1B，与BD∩A1B＝B矛盾；
C，易知EF∥A1B，FG∥BC，由面面平行判定定理的推论可判断选项C；
D，结合选项C可知，若平面EFGH∥平面ABCD，则平面ABCD∥平面A1BCD1，与平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC矛盾．
【解答】解：选项A，∵G，H分别是棱CC1，C1D1的中点，∴GH∥CD1，
若BD1∥GH，则BD1∥CD1，而BD1∩CD1＝D1，即选项A错误；
选项B，∵E，F分别是棱A1B1，BB1的中点，∴EF∥A1B，
若BD∥EF，则BD∥A1B，而BD∩A1B＝B，即选项B错误；
选项C，∵E，F，G分别是棱A1B1，BB1，CC1的中点，
∴EF∥A1B，FG∥BC，
又EF∩FG＝F，A1B∩BC＝B，且EF、FG⊂平面EFGH，A1B、BC⊂平面A1BCD1，
∴平面EFGH∥平面A1BCD1，即选项C正确；
选项D，由选项C可知，平面EFGH∥平面A1BCD1，
若平面EFGH∥平面ABCD，则平面ABCD∥平面A1BCD1，
而平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，即选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线与面的平行关系，掌握线面、面面平行的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于基础题．
7．（4分）已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可．
【解答】解：当m⊥α时，若m⊥n，则n∥α或n⊂平面α，则充分性不成立，
若n∥α，则m⊥n成立，即必要性成立，
则“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质是解决本题的关键．
8．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①直线BC1与DA1所成的角为90°；
②直线BC1与CA1所成的角为90°；
③直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°；
④直线BC1与平面ABCD所成的角为45°．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据异面直线所成角、线面角的定义作出空间角，然后解三角形即可．
【解答】解：由于DA1∥CB1，BC1⊥CB1，则BC1⊥DA1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，①正确；
由于A1B1⊥平面BCC1，则A1B1⊥BC1，又BC1⊥CB1，则BC1⊥平面CDA1故BC1⊥CA1，故直线BC1与CA1所成的角为90°，②正确；
由于BB1⊥平面BDD1B1，则BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，则A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，由于OB⊥OC1，，则∠OBC1＝30°，③错误；
由于CC1⊥平面ABCD，则直线BC1与平面ABCD所成的角为∠CBC1＝45°，④正确；
故选：C．
【点评】本题考查空间角的基本作法与求法，属于基础题．
9．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用直线与圆相切的性质可得m，n的关系式，再借助均值不等式求解能求出m+n的取值范围．
【解答】解：m，n∈R，直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，
圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心（1，1），半径r＝1，
则＝1，整理得mn＝（m+n）+1，
∵mn≤（）2，
∴（）2≥（m+n）+1，∴（m+n）2﹣4（m+n）﹣4≥0，
解得m+n≤2﹣2或m+n≥2+2，
∴m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆相切的性质、点到直线距离公式、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
10．（4分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（ ）
A．平面α与平面β平行
B．平面α与平面β垂直
C．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
【分析】根据新定义，二面角的概念，数形结合，即可求解．
【解答】解：如图，设M＝fα（P），则M为过P且垂直平面α的垂足点，
∵Q1＝fβ[fα（P）]＝fβ（M），
∴Q1为过M且垂直平面β的垂足点，
同理，设N＝fβ（P），则N为过P且垂直平面β的垂足点，
又Q2＝fα[fβ（P）]＝fα（N），
∴Q2为过N且垂直平面β的垂足点，
又对任意的P，恒有PQ1＝PQ2，
∴Q1与Q2重合，
∴四边形PMQ1N为矩形，∴∠MQ1N＝90°，
又∠MQ1N为二面角α﹣l﹣β的平面角，
∴平面α与平面β垂直，
故选：B．
【点评】本题考查新定义的应用，二面角的概念，属中档题．
二、填空题。共6小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）直线y＝2x与直线y＝2x+1之间的距离等于 ．
【分析】运用两平行直线的距离公式求解即可．
【解答】解：直线y＝2x与直线y＝2x+1平行，
∵y＝2x⇔2x﹣y＝0，y＝2x+1⇔2x﹣y+1＝0，
∴直线y＝2x与直线y＝2x+1之间的距离等于＝，
故答案为：．
【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
12．（5分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于 4 ．
【分析】三点共线即两向量共线，用向量共线公式得方程解之．
【解答】解：＝（a﹣2，﹣2），＝（﹣2，2），
依题意，向量与共线，
故有2（a﹣2）﹣4＝0，
得a＝4
故答案为4
【点评】考查两向量共线的坐标形式的充要条件．
13．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1﹣D1MN的体积为 1 ．
【分析】利用等体积法，由求棱锥体积即可．
【解答】解：如图，
由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
＝，
又易知D1A1为三棱锥D1﹣A1MN的高，且D1A1＝2，
∴＝×，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查棱锥的体积，属于中档题．
14．（5分）已知直线l：kx﹣y+k＝0，若直线l与圆x2﹣2x+y2﹣4y+3＝0在第一象限内的部分有公共点，则k的取值范围是 [2﹣，3） ．
【分析】求得圆心与半径，作出图形，求得直线定点坐标，利用数形结合思想可求k的取值范围．
【解答】解：由圆x2﹣2x+y2﹣4y+3＝0得圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，
可得圆心C（1，2），半径r＝，
作出圆的图象，
由直线l：kx﹣y+k＝0，得直线l：y＝k（x+1）过定点A（﹣1，0），
当直线如图与圆想切于点M时，直线斜率最小，直线过B时直线斜率最大，
由＝，可得k＝2±，故kAM＝2﹣，
由B（0，3），故kAB＝＝3，
∴k的取值范围是[2﹣，3）．
故答案为：[2﹣，3）．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，属中档题．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．
【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，
∴CC1∥EF，
又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，
∴CC1∥平面D1EF．
∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．
过点C1作C1M⊥D1F，
∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．
∴C1M⊥平面D1EF．
过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．
取C1N＝MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．
可得NP⊥平面D1EF，
在Rt△D1C1F中，C1M•D1F＝D1C1•C1F，得＝．
∴点P到直线CC1的距离的最小值为．
故答案为
【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．
16．（5分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，则称点（x，y）是整点．已知直线l：y＝kx+b，下列命题中正确的是 ①③ .（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线l，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若k和b都是无理数，则直线l不经过任何整点；
③存在只经过一个整点的直线l；
④存在只经过两个不同整点的直线l．
【分析】考虑直线l：y＝x+，可判断①；考虑直线l：y＝x+，可判断②；考虑直线l：y＝x，可判断③；考虑k＝0，y＝b和k≠0，求得直线l的方程，可判断④．
【解答】解：设直线l：y＝x+，直线l不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；
若k和b都是无理数，设直线l：y＝x+，可得直线l经过整点（﹣1，0），故②错误；
设直线l：y＝x只经过一个整点（0，0），故③正确；
若y1＝y2，则k＝0，直线y＝b经过无数个整点；
设两整点（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）是直线l上的两个整点，可得直线l的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），
可得整点（2x2﹣x1，2y2﹣y1）满足直线l的方程，则直线l不只是经过两个整点，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查直线的方程和运用，以及整点的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、解答题。共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，．
（1）求异面直线BF与DE所成角的大小；
（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．
【分析】（1）建系，利用向量法及向量的夹角公式即可求解；
（2）建系，利用向量法及向量夹角公式即可求解．
【解答】解：（1）建系如图，设AB＝1，则根据题意可得：．
∴，
∴，
∴异面直线BF与DE所成角的大小为；
（2）设平面CDE的法向量为，
则
∴取，
又根据题意可得平面ACD的一个法向量为，
∴＝＝，又由图可知二面角A﹣CD﹣E为锐角，
∴二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线所成角的求解，二面角的求解，向量法的应用，属中档题．
18．（11分）已知直线l经过两条直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25相交所得弦长为8，求直线l的方程．
【分析】（1）联立方程可求交点坐标，设直线l的方程为3x+y+c＝0，代入交点坐标可求直线l的方程；
（2）利用弦长可求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在讨论，当斜率存在时设l：y﹣2＝k（x+2），利用点到直线的距离可求直线方程．
【解答】解：（1）由直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0，
联立方程解得，
所以直线l1与l2交点坐标为（﹣2，2），
∵直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，∴设直线l的方程为3x+y+c＝0，
把点（﹣2，2）代入方程得c＝4，
所以直线l的方程为3x+y+4＝0．
（2）若直线l过点（﹣2，2）且斜率不存在，则l：x＝﹣2满足条件，
若直线l过点（﹣2，2）且斜率存在，设l：y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，
由题意，，
所以，即4x﹣3y+14＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝﹣2或4x﹣3y+14＝0．
【点评】本题考查求直线方程，考查圆中的弦长问题，考查点到线的距离，属中档题．
19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，点N在棱PC上．
条件①：BC＝2；
条件②：平面PBD⊥平面ABCD．
从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：
（1）判断AB与PB是否垂直，并证明；
（2）若点N为棱PC的中点，点M在直线AN上，且点M到平面BDN的距离为，求线段BM的长；
（3）求直线AC与平面BDN所成角的正弦值的取值范围．
注：若选择①和②分别作答，按选择①给分．
【分析】（1）选①由勾股定理证得BD⊥CD，从而证得CD⊥平面PBD，进而由AB∥CD证得结果；选②由面面垂直的性质证得PB⊥平面ABCD，从而证得结果；
（2）建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式解得点M的坐标，进而由两点间距离公式可得BM的长；
（3）由线面角公式得sinα是关于λ的分式型函数，进而用换元法求分式型函数的值域可得结果．
【解答】解：（1）选①：AB⊥PB．
证明：平行四边形ABCD中，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵BC＝2，DC＝AB＝1，
∴△BCD中，，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴BD⊥CD，
又∵PD⊥CD，PD∩BD＝D，PD、BD⊂平面PBD，
∴CD⊥平面PBD，PB⊂平面PBD，
∴CD⊥PB，
又∵AB∥CD，
∴AB⊥PB；
选②：AB⊥PB．
证明：平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PB⊥BD，PB⊂平面PBD．
∴PB⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PB⊥AB；
（2）由（1）知：BA、BD、BP两两垂直，
∴以B为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（0，0，0），D（0，，0），，
∴．
设平面BDN的法向量为＝（x1，y1，z1），
则，
令x1＝2，则y1＝0，z1＝1，此时＝（2，0，1），
∵M在直线AN上，
∴设，
∴，
∴M到平面BDN的距离为，
∴，
∴或，
∴或，
∴或；
（3）∵N在棱PC上，
∴设，
∴，
设平面BDN的法向量为，则
，
∴y2＝0，取，由于，
设直线AC与平面BDN所成角为α，则
，
∴，令t＝λ﹣1∈[﹣1，0]，
当t＝0时，sin2α＝0；
当t∈[﹣1，0）时，；
∵，
∴，
∴．
∴，
综上，．
【点评】本题考查空间点线面的位置关系、空间距离以及线面角，属于中档题．
20．（13分）对于平面直角坐标系中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），现定义由点A到点B的“折线距离”ρ（A，B）为ρ（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知A（1，0），B（2，3），求ρ（A，B）；
（2）已知点A（1，0），点B是直线上的一个动点，求ρ（A，B）的最小值；
（3）对平面上给定的两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）＝ρ（A，B）；②ρ（A，C）＝ρ（C，B）．
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．
【分析】（1）直接利用定义性知识的应用求出折线距离；
（2）首先利用直线的垂直关系进一步求出垂线的直线方程，进一步求出垂足的坐标，最后求出折线距离的最小值；
（3）利用绝对值不等式的应用和折线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）定义由点A到点B的“折线距离”ρ（A，B）为ρ（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
已知A（1，0），B（2，3），
所以ρ（A，B）＝|2﹣1|+|3﹣0|＝4．
解：（2）点A（1，0），点B是直线上的一个动点，所以直线l的垂线的斜率为k＝，
所以经过点（1，0）且斜率为﹣的直线方程为，整理得，
所以，解得，即B（）．
ρ（A，B）的最小值为：．
（3）证明：对平面上给定的两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），由绝对值不等式知：ρ（A，C）+ρ（C，B）＝|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y|≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝ρ（A，B）
当且仅当（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0时等号成立．
【点评】本题考查的知识要点：定义性知识的应用，点到直线的距离公式，绝对值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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