2022-2023学年北京市昌平二中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市昌平二中高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），则的值为（ ）
A．4B．C．5D．
3．（5分）已知直线l：x+y+1＝0，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线l的截距为1
②向量是直线l的一个法向量
③过点（1，3）与直线l平行的直线方程为x+y﹣4＝0
④若直线m：x﹣y+1＝0，则l⊥m
A．4B．3C．2D．1
4．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16的位置关系为（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
5．（5分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M是OA的中点，点N在BC上，且＝2，设＝x+y+z，则x，y，z的值为（ ）
A．，，B．，，C．﹣，，D．﹣，，
6．（5分）已知直线l：x+2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4交于A、B两点，求线段AB的中垂线方程（ ）
A．2x﹣y﹣2＝0B．2x﹣y﹣4＝0
C．2x﹣y﹣1＝0D．2x﹣y﹣＝0
7．（5分）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
8．（5分）已知P为椭圆上的点，点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）“方程表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分条件又不必要条件
10．（5分）设F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得•＝﹣1成立的点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）
11．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣3，y，4），若⊥，则y＝ ．
12．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ．
13．（5分）直线y＝mx+2m﹣1经过一定点C，则点C的坐标为 ，以点C为圆心且过原点的圆的方程为 ．
14．（5分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为 ，若，则△PF1F2的面积为 ．
15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2＝1，那么的取值范围是 ．
16．（5分）星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，
①星形线关于y＝x对称
②星形线图像围成的面积小于2
③星形线上的点到x轴，y轴距离乘积的最大值为
④星形线上的点到原点距离的最小值为
上述说法正确的是有 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（14分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3）．
（1）设AC的中点为D，求AC边上的中线BD所在的直线方程；
（2）求BC边上的高所在的直线方程；
（3）求△ABC的面积．
18．（14分）已知点A（1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆记为圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．
19．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
20．（14分）已知椭圆的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|，求m的值．
21．（14分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯xn），xi∈N*，i＝1，2，⋯n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn）∈Sn，给出如下定义：①；②λ（a1，a2，⋯，an）＝（λa1，λa2，⋯，λan）（λ∈R）；③A与B之间的距离为d（A，B）＝．说明：（a1，a2，⋯，an）＝（b1，b2，⋯，bn）的充要条件是ai＝bi（i＝1，2，⋯，n）．
（1）当n＝5时，设A＝（1，2，1，2，5），B＝（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（2）若A，B，C∈Sn，且存在λ＞0，使得，求证：d（A，B）+d（B，C）＝d（A，C）；
（3）记I＝（1，1，⋯，1）∈S20.若A，B∈S20，且d（I，A）＝d（I，B）＝13，求d（A，B）的最大值．
2022-2023学年北京市昌平二中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．（5分）已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，
∵直线，
∴，
∵θ∈[0，π），∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2．（5分）已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），则的值为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】利用两点间距离公式直接求解．
【解答】解：A（1，1，1），B（﹣3，1，5），
∴＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知直线l：x+y+1＝0，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线l的截距为1
②向量是直线l的一个法向量
③过点（1，3）与直线l平行的直线方程为x+y﹣4＝0
④若直线m：x﹣y+1＝0，则l⊥m
A．4B．3C．2D．1
【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为x+y+m＝0，代入点即可判断③，由直线垂直kl•km＝﹣1可判断④．
【解答】解：对于①，令x＝0，则y＝﹣1；令y＝0，则x＝﹣1，故①错误；
对于②，因为直线的方向向量为或，则，所以向量是直线l的一个法向量，故②正确；
对于③，设与直线l平行的直线方程为x+y+m＝0，因为直线过点（1，3），所以m＝﹣4，所以过点（1，3）与直线l平行的直线方程为x+y﹣4＝0，故③正确；
对于④，直线m：x﹣y+1＝0，直线l：x+y+1＝0，则kl•km＝﹣1，所以两直线垂直，故④正确，
所以结论正确的个数为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
4．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16的位置关系为（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【分析】将圆化为标准方程，找到圆心之间的距离和半径之间的关系即可判断圆与圆的位置关系．
【解答】解：由题知x2+y2﹣2x+4y+1＝0可化为，（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
所以圆心为（1，﹣2），半径为2，（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16，圆心为（4，2），半径为4，
所以圆心之间的距离为，
因为圆心距大于半径差的绝对值，小于半径和，
所以两圆相交．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础他．
5．（5分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M是OA的中点，点N在BC上，且＝2，设＝x+y+z，则x，y，z的值为（ ）
A．，，B．，，C．﹣，，D．﹣，，
【分析】利用向量的加法，，利用中点公式代入．
【解答】解：，
，，
所以＝，
故选：C．
【点评】考查向量的加法原理，向量共线等，基础题．
6．（5分）已知直线l：x+2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4交于A、B两点，求线段AB的中垂线方程（ ）
A．2x﹣y﹣2＝0B．2x﹣y﹣4＝0
C．2x﹣y﹣1＝0D．2x﹣y﹣＝0
【分析】由题意可知，AB的中垂线与l垂直，且过圆心，由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由直线l：x+2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+y2＝4交于A、B两点，
得线段AB的中垂线方程必过圆心，且斜率与直线l的斜率互为负倒数，
∵，∴AB的中垂线的斜率为2，
又过（2，0），∴AB的中垂线方程为y＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣4＝0．
故选：B．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
7．（5分）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】推导出＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），点A到直线BC的距离为：d＝||，由此能求出结果．
【解答】解：∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），
＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），
∴点A到直线BC的距离为：
d＝||
＝1×
＝．
故选：A．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
8．（5分）已知P为椭圆上的点，点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，列出a，c的方程组，进而解出a，c，最后求出离心率．
【解答】解：∵点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，
∴，
∴椭圆的离心率为．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
9．（5分）“方程表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分条件又不必要条件
【分析】根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解．
【解答】解：由方程表示椭圆，则满足条件为：，解得﹣3＜m＜5且m≠1，
所以由﹣3＜m＜5且m≠1，可以推出﹣3＜m＜5，但反过来不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题．
10．（5分）设F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得•＝﹣1成立的点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设P（x0，y0），根据以及点P在椭圆上建立方程组，解得P坐标，即可知道点P的个数．
【解答】解：设P（x0，y），
∵F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
点P为椭圆上任意一点，
∴F1（﹣．，）．F2（，0），，，
∵，
∴（﹣）（）+（﹣y0）2＝﹣1，
即x02+y02＝4①，
又P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，
联立①②得或，
∴使得成立的点的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）
11．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣3，y，4），若⊥，则y＝ 6 ．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵＝（2，﹣1，3），＝（﹣3，y，4），⊥，
∴＝﹣6﹣y+12＝6﹣y＝0，
解得y＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ．
【分析】先建立适当的空间直角坐标系，规定棱长，再求出BC1与AE直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可．
【解答】解：建立坐标系如图，
则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2），
＝（﹣1，0，2），＝（﹣1，2，1），
cs＜＞＝＝．
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
13．（5分）直线y＝mx+2m﹣1经过一定点C，则点C的坐标为 （﹣2，﹣1） ，以点C为圆心且过原点的圆的方程为 （x+2）2+（y+1）2＝5 ．
【分析】通过分离参数，可求出直线所过定点；求出点C到原点的距离，即为所求圆的半径，可求出圆的方程．
【解答】解：由y＝mx+2m﹣1得y＝m（x+2）﹣1，即y+1＝m（x+2），
由直线的点斜式方程可知，y+1＝m（x+2）是斜率为m，过定点（﹣2，﹣1）的直线，
故点C的坐标为（﹣2，﹣1），
点C到原点O的距离，
即以点C为圆心且过原点的圆的半径，
故以点C为圆心且过原点的圆的方程为：（x+2）2+（y+1）2＝5．
故答案为：（﹣2，﹣1）；（x+2）2+（y+1）2＝5．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
14．（5分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为 10 ，若，则△PF1F2的面积为 ．
【分析】由椭圆的方程可知a，b，c，△PF1F2的周长为2a+2c，即可得到结果．由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|＝6，再由余弦定理得出|PF1||PF2|，再利用三角形面积公式即可得到答案．
【解答】解：由椭圆知，
∵△PF1F2的周长为2a+2c＝10；
∴由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|＝6，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
即，．
故答案为：10；．
【点评】本题考查椭圆的定义及其性质，考查余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2＝1，那么的取值范围是 ．
【分析】问题等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值，再结合图形即可得解．
【解答】解：设，则y＝kx﹣（k+3）表示经过点P（1，﹣3）的直线，k为直线的斜率，
所以求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值，
从图中可知，当过点P的直线与圆相切时取最大值和最小值，
此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在，
由圆心C（2，0）到直线y＝kx﹣（k+3）的距离，解得，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，直线的斜率公式、直线与圆的位置关系的判定，当d＞r时，直线与圆相离，当d＝r时，直线与圆相切，当d＜r时，直线与圆相交，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，解答中熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题．
16．（5分）星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，
①星形线关于y＝x对称
②星形线图像围成的面积小于2
③星形线上的点到x轴，y轴距离乘积的最大值为
④星形线上的点到原点距离的最小值为
上述说法正确的是有 ①②④ ．
【分析】把已知方程中的x与y互换方程不变，判断①；由星形线图像围成的区域在曲线|x|+|y|＝1所围成的内部区域判断②；利用基本不等式求最值判断③④．
【解答】解：对于①，把方程中的x与y互换，方程不变，可得星形线关于y＝x对称，故①正确；
对于②，曲线|x|+|y|＝1所围成的区域面积为2，而，
即星形线图像围成的区域在曲线|x|+|y|＝1所围成的区域内部，
所以星形线图像围成的面积小于2，故②正确；
由，得，当且仅当|x|＝|y|时等号成立，
即星形线上的点到x轴，y轴距离乘积的最大值为，故③错误；
因为＝，
即星形线上的点到原点距离的最小值为，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（14分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3）．
（1）设AC的中点为D，求AC边上的中线BD所在的直线方程；
（2）求BC边上的高所在的直线方程；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）先由中点坐标公式求得D（1，﹣1），再利用点斜式即可求得BD所在的直线方程；
（2）利用直线垂直斜率相乘为﹣1，求得，再利用点斜式即可求得AC边上的高所在的直线方程；
（3）先用点斜式求得直线BC的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式分别求得△ABC的高与底，由此可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3），
所以AC的中点D（1，﹣1），
故，
所以AC边上的中线BD所在的直线方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0；
（2）设BC边长的高为AH，
则kAHkBC＝﹣1，
因为，所以，
所以AC边上的高所在的直线方程为，即x﹣2y+4＝0；
（3）由（2）知kBC＝﹣2，
所以直线BC的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，
所以点A到直线BC的距离，
又，
所以△ABC的面积为．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
18．（14分）已知点A（1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆记为圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出圆心，然后利用两点间的距离公式求出半径，进而可求出结果；
（2）根据几何性质求出弦心距，然后结合点到直线的距离公式即可求出结果．
【解答】解：（1）由A（1，4），B（3，﹣2），得AB的中点坐标为（2，1），即圆心坐标为（2，1），
半径，
故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10．
（2）由，
可得弦心距为，
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
圆心到直线l的距离为2，所以满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y+2＝kx，即kx﹣y﹣2＝0．
圆心C到直线l的距离，解得，
直线l的方程为5x﹣12y﹣24＝0，
故直线l的方程为x＝0或5x﹣12y﹣24＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求解等知识，属于中等题．
19．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理和性质定理能判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）PC∥l．证明如下：
∵D，O分别为PA，AC的中点，∴在△APC中，DO∥PC，
∵DO⊂平面BOD，PC⊄平面BOD，∴PC∥平面BOD，
∵PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面BOD＝l，
∴由线面平行的性质定理得PC∥l．
（Ⅱ）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面APC，
同理，∵AP＝PC，∴PO⊥AC，PO⊥平面ABC，
∴OB，OC，OP三线两两垂直，
∴以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题可知AC＝8，AB＝BC＝4，OA＝OC＝OB＝4，OP＝3，
则A（0，﹣4，0），B（4，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣2，），
则＝（﹣4，0，3），＝（4，0，0），＝（0，﹣2，），
设平面BOD的法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝4，则＝（0，3，4），
设直线PB与平面BOD所成角为θ，
则直线PB与平面BOD所成角的正弦值：
sinθ＝cs＜＞＝＝＝，
∴直线PB与平面BOD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查两直线的位置关系的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（14分）已知椭圆的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|，求m的值．
【分析】（Ⅰ）由已知顶点以及离心率求出a，c的值，进而可以求出b的值，即可求解；
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及韦达定理即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．
由题意得
解得a＝2，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由 得5x2+8mx+4（m2﹣1）＝0，
由Δ＝（8m）2﹣4×5×4（m2﹣1）＞0，解得﹣＜m＜，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
设线段AB的中点为D，
则，，
“|PA|＝|PB|”等价于“PD⊥AB”，
所以，
解得，符合题意，
所以．
【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到弦长公式以及垂直问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21．（14分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯xn），xi∈N*，i＝1，2，⋯n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn）∈Sn，给出如下定义：①；②λ（a1，a2，⋯，an）＝（λa1，λa2，⋯，λan）（λ∈R）；③A与B之间的距离为d（A，B）＝．说明：（a1，a2，⋯，an）＝（b1，b2，⋯，bn）的充要条件是ai＝bi（i＝1，2，⋯，n）．
（1）当n＝5时，设A＝（1，2，1，2，5），B＝（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（2）若A，B，C∈Sn，且存在λ＞0，使得，求证：d（A，B）+d（B，C）＝d（A，C）；
（3）记I＝（1，1，⋯，1）∈S20.若A，B∈S20，且d（I，A）＝d（I，B）＝13，求d（A，B）的最大值．
【分析】（1）当n＝5时，直接利用求得d（A，B）的值．
（2）设A＝{a1，a2，⋯an}，B＝{b1，b2，⋯bn}，C＝{c1，c2⋯cn}，则由题意可得∃λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，⋯n，得出 bi﹣ai与ci﹣bi同为非负数或同为负数，由此计算d（A，B）+d（B，C）的结果，计算d（A，C）的结果，从而得出结论．
（3）设bi﹣ai（i＝1，2⋯，20）中有m（m≤20）项为非负数，20﹣m项为负数，不妨设i＝1，2⋯m时，bi﹣ai≥0，i＝m+1，m+2，⋯，20时，bi﹣ai＜0，利用d（I，A）＝d（I，B）＝13，得到，得到，求出a1+a2+⋯+am≥m，b1+b2+⋯+bm≤13+m，即可得到d（A，B）的最大值．
【解答】解：（1）因为，A＝（1，2，1，2，5），B＝（2，4，2，1，3），
所以d（A，B）＝|1﹣2|+|2﹣4|+|1﹣2|+|2﹣1|+|5﹣3|＝7，
即d（A，B）＝7．
证明：（2）设A＝{a1，a2，⋯an}，B＝{b1，b2，⋯bn}，C＝{c1，c2⋯cn}，
因为∃λ＞0，使，
所以∃λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，⋯n，
所以bi﹣ai与ci﹣bi（i＝1，2，⋯n）同为非负数或同为负数，
所以，
即，故得证．
解：（3），
设bi﹣ai（i＝1，2⋯，20）中有m（m≤20）项为非负数，20﹣m项为负数，且不妨设i＝1，2⋯m时，bi﹣ai≥0i＝m+1，m+2，⋯，20时，bi﹣ai＜0，
所以＝[（b1+b2+⋯+bm）﹣（a1+a2+⋯+am）]+[（am+1+am+2+⋯a20）﹣（bm+1+bm+2+⋯b20）]，
又因为d（I，A）＝d（I，B）＝13，
所以，整理得，
所以＝[（bi+b2+⋯+bm）﹣（a1+a2+…+am）]+[（am+1+am+2+⋯+a20）﹣（bm+1+bm+2+⋯+b20）]＝2[b1+b2+⋯+bm﹣（a1+a2+⋯+am）]，
又因为b1+b2+⋯+bm＝（b1+b2+⋯+b20）﹣（bm+1+bm+2+⋯+b20）≤（13+20）﹣（20﹣m）×1＝13+m，且a1+a2+⋯+am≥m×1＝m，
所以d（A，B）＝2[b1+b2+⋯+bm﹣（a1+a2+⋯+am）]≤2[（13+m）﹣m]＝26，
即d（A，B）≤26，
又对于A＝（1，1，1，⋯，14），B＝（14，1，1，⋯1），有A，B∈S20，且d（I，A）＝d（I，B）＝13d（A，B）＝26，
综上所得，d（A，B）的最大值为26．
【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，以及运算求解能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:47:31；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052