2022-2023学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），则的值为（ ）
A．4B．C．5D．
2．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），则∥
B．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），则⊥
C．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），则∥
D．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），则⊥
3．（4分）已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（ ）
A．x+4y+1＝0或x＝3B．x+4y﹣1＝0或x＝3
C．x+4y+1＝0D．x+4y﹣1＝0
4．（4分）已知向量，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A．（3，﹣1，﹣2）B．（﹣4，2，2）C．（5，1，﹣2）D．（5，﹣2，1）
5．（4分）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4B．20C．0D．24
6．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于a，则•的值为（ ）
A．a2B．2a2C．3a2D．a2
7．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4分）《九章算术•商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（ ）
A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1
B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C
D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11．（5分）直线l：y＝kx﹣k+1过定点为 ．
12．（5分）已知空间向量＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），且⊥，则||＝ ．
13．（5分）若•＝2＝4，且||＝1，则||＝ ，•的最大值为 ．
14．（5分）若直线ax﹣y+2＝0与以点A（1，﹣2），B（4，1）为端点的线段相交，则a的取值范围是 ．
15．（5分）关于曲线C：x4+y2＝1，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C围成的面积大于π；
④曲线C围成的面积小于π．
上述命题中，正确的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知向量＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，4），＝（2，x，﹣4）．
（1）若∥，求；
（2）若，求在方向上的投影的数量．
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（﹣1，﹣2）．
（1）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．
18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．
19．（14分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：∠ACB＝120°；
条件②：|AB|＝2．
20．（14分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（2）求点D到平面PBG的距离；
（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
21．（15分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若•＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
2022-2023学年北京市昌平一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题要求的一项.
1．（4分）已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），则的值为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】利用两点间距离公式直接求解．
【解答】解：A（1，1，1），B（﹣3，1，5），
∴＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），则∥
B．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），则⊥
C．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），则∥
D．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），则⊥
【分析】由题意利用两个向量平行垂直、垂直的性质，两个向量的数量积公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），由＝﹣2，可得∥，故A正确、而B不正确；
若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），由＝≠，可得与 不平行，故C错误；
由•＝2+8+2＝12≠0，可得与 不垂直，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量平行垂直、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
3．（4分）已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（ ）
A．x+4y+1＝0或x＝3B．x+4y﹣1＝0或x＝3
C．x+4y+1＝0D．x+4y﹣1＝0
【分析】先求出直线AB的斜率，由点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），得到直线l与直线AB平行，且直线l过点（3，﹣1），或直线l的方程为x＝3，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：∵点A（1，3）和点B（5，2），∴kAB＝＝﹣，
∵点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），
∴直线l与直线AB平行，且直线l过点（3，﹣1），或直线l的方程为x＝3，
∴直线l的方程为：y+1＝﹣（x﹣3），或x＝3，
整理得：x+4y+1＝0或x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（4分）已知向量，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A．（3，﹣1，﹣2）B．（﹣4，2，2）C．（5，1，﹣2）D．（5，﹣2，1）
【分析】设平面ABC的一个法向量＝（x，y，z），由向量，，列出方程组，能求出结果．
【解答】解：设平面ABC的一个法向量＝（x，y，z），
∵向量，，
∴，取y＝1，得＝（5，1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审，注意法向量的性质的合理运用．
5．（4分）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4B．20C．0D．24
【分析】首先根据垂直得出﹣×＝﹣1从而求出a的值，再由（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0和2x﹣5y+b＝0上求出c和b的值，即可得出结果．
【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直
∴﹣×＝﹣1
解得：a＝10
∴直线l1：5x+2y﹣1＝0
∵（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0上
∴5+2c﹣1＝0 解得：c＝﹣2
又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b＝0上
∴2×1+5×2+b＝0
解得：b＝﹣12
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故选：A．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，属于基础题．
6．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于a，则•的值为（ ）
A．a2B．2a2C．3a2D．a2
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．
【解答】解：如图所示，
建立空间直角坐标系：
则A（a，0，0），B（a，a，0），C1（0，a，a），
＝（﹣a，a，a），＝（﹣a，0，a），
∴•＝a2+0+a2＝2a2．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】a＝﹣1时，两条直线不平行．a≠﹣1时，由＝≠，解得a即可判断出结论．
【解答】解：对于两条直线：直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0，对a分类讨论：
a＝﹣1时，两条直线不平行，舍去．
a≠﹣1时，由＝≠，解得a＝1．
∴“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了直线平行、简易逻辑的判定方法分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（4分）《九章算术•商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设点A到平面PBD的距离为h，利用，即可求解．
【解答】解：设点A到平面PBD的距离为h，则四棱锥的体积为：，
∴．
则．
故选：B．
【点评】本题考查了等体积法求距离，属于基础题．
9．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
【分析】由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标（a，0）a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4＝0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），
由题意知圆心到直线3x+4y+4＝0的距离d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为（2，0）
则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝4，化简得x2+y2﹣4x＝0
故选：D．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准式方程，是一道中档题．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（ ）
A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1
B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C
D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△PMN的面积取得最小值时，P为CA1的中点．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P为A1C上的动点，
设P（λ，λ，1﹣λ），其中0≤λ≤1，M（），N（1，0，），
|PM|＝＝，
|PN|＝＝，
∴|PM|＝|PN|，△PMN为等腰三角形，底边|MN|＝，
设底边MN上的高为h，则有h＝＝．
∵3，∴时△PMN的面积取得最小值，
此时P为CA1的中点．
故选：B．
【点评】本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11．（5分）直线l：y＝kx﹣k+1过定点为 （1，1） ．
【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点．
【解答】解：直线l可化为点斜式y﹣1＝k（x﹣1），
所以直线l：y＝kx﹣k+1过定点（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点的求解，属于基础题．
12．（5分）已知空间向量＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），且⊥，则||＝ 2 ．
【分析】由垂直的性质求出x的值，从而可得的坐标，再由模的坐标运算即可求出||．
【解答】解：∵＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），且⊥，
∴•＝﹣8+6+x＝0，
解得x＝2，
∴＝（﹣4，2，2），
∴||＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）若•＝2＝4，且||＝1，则||＝ 2 ，•的最大值为 ﹣2 ．
【分析】根据向量数量积定义及其运算性质计算，再根据余弦函数最值性求解．
【解答】解：因为2＝4，所以||＝2，
因为•＝（）＝•﹣＝•﹣•＝•﹣4＝||•||•cs＜，＞﹣4＝1•2•cs＜，＞﹣4＝2cs＜，＞﹣4≤﹣2，当＜，＞＝0时，等号成立．
所以•的最大值是﹣2，
故答案为：2；﹣2．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
14．（5分）若直线ax﹣y+2＝0与以点A（1，﹣2），B（4，1）为端点的线段相交，则a的取值范围是 [﹣4，﹣] ．
【分析】由题意可得A，B在直线的两侧或其中一点在直线上，由此列关于a的不等式求解．
【解答】解：∵直线ax﹣y+2＝0与以点A（1，﹣2），B（4，1）为端点的线段相交，
∴A，B在直线的两侧或其中一点在直线上，
则[a×1﹣（﹣2）+2]•（a×4﹣1×1+2）≤0，
即（a+4）（4a+1）≤0，解得．
∴a的取值范围是[﹣4，﹣]．
故答案为：[﹣4，﹣]．
【点评】本题考查平面内两直线的位置关系，考查线性规划的应用，属于基础题．
15．（5分）关于曲线C：x4+y2＝1，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C围成的面积大于π；
④曲线C围成的面积小于π．
上述命题中，正确的序号为 ①③ ．
【分析】将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，判断出①对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出②错；由方程上的点的坐标有界判断出③对，④错．
【解答】解：对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，
所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①对；
对于②，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2＝1与原方程不同，故②错；
对于③④，在曲线C上任取一点M（x0，y0），，
∵|x0|≤1，
∴，
∴，即点M在圆x2+y2＝1外，
而圆x2+y2＝1的面积为π，故③对，④错．
故答案为：①③．
【点评】本题考查曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知向量＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，4），＝（2，x，﹣4）．
（1）若∥，求；
（2）若，求在方向上的投影的数量．
【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解，然后利用模的定义求解即可；
（2）利用向量垂直的充要条件，求出，然后由向量投影的定义求解即可．
【解答】解：（1）因为∥，所以存在使得，
即（1，2，﹣2）＝λ（2，x，﹣4），
所以，解得x＝4，，
则，
所以＝6；
（2）因为，所以，即﹣4﹣4x﹣16＝0，解得x＝﹣5，
所以，
则在方向上的投影的数量为＝．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，主要考查了空间向量共线的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、向量投影的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（﹣1，﹣2）．
（1）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而得到BC边上的高线斜率，由此能求出BC边上的高线所在的直线方程．
（2）求出|BC|和直线BC的方程，再求出A到直线BC的距离，由此能求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）直线BC的斜率kBC＝＝1．
∴BC边上的高线斜率k＝﹣1，
∴BC边上的高线方程为：y﹣2＝﹣（x+3），
∴BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1＝0．
（2）∵B（4，3），C（﹣1，﹣2），
∴|BC|＝＝5，
由B（4，3），C（﹣1，﹣2）得直线BC的方程为：x﹣y﹣1＝0．
∴A到直线BC的距离d＝＝3，
∴△ABC的面积S＝＝15．
【点评】本题考查直线方程、三角形面积的求法，考查直线的斜率、直线垂直、直线方程、两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是基础题．
18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）利用直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理进行分析证明即可；
（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为两个向量的夹角进行求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，
因为底面ABCD是正方形，
所以AD⊥CD，
因为PD∩CD＝D，
所以AD⊥平面PCD，
又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，
因为底面ABCD是正方形，
所以AD⊥CD，
如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，
因为PD＝4，底面ABCD是边长为2的正方形，
所以P（0，0，4），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（1，1，2），F（0，1，2），
则，
设平面ADE的法向量为，
则有，可得，
所以，
设直线BF与平面ADE所成的角为θ，
则sinθ＝，
所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理的应用，用向量法求解空间角时，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标．
19．（14分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：∠ACB＝120°；
条件②：|AB|＝2．
【分析】（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），半径为r．由题意可得a＝2b，b＝1，r＝|a﹣0|，进一步求得a与r的值，则圆的方程可求；
（Ⅱ）如果选择条件①，由已知求得圆心C到直线l的距离d＝1，再由点到直线的距离公式列式求解m值；
如果选择条件②，同样由已知求得圆心C到直线l的距离d＝1，再由点到直线的距离公式列式求解m值．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），半径为r．
∵圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，∴a＝2b．
又圆C与y轴相切于点（0，1），∴b＝1，r＝|a﹣0|．
∴圆C的圆心坐标为（2，1），r＝2．
则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（Ⅱ）如果选择条件①，
∵∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝2，
∴圆心C到直线l的距离d＝1．
则，解得或．
如果选择条件②，
∵，|CA|＝|CB|＝2，
∴圆心C到直线l的距离d＝1．
则，解得或．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
20．（14分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（2）求点D到平面PBG的距离；
（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
【分析】（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两条异面直线对应的向量，根据两个向量的所成的角确定异面直线所成的角．
（2）计算点到面的距离，需要先做出面的法向量，在法向量与点到面的一个点所成的向量之间的运算，得到结果．
（3）设出点的坐标，根据两条线段垂直，得到两个向量的数量积等于0，解出点到坐标，根据向量的模长之比等于线段之比，得到结果．
【解答】解：（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，4），故E（1，1，0）＝（1，1，0），＝（0，2，4）．
cs＝，
∴GE与PC所成的余弦值为
（2）平面PBG的单位法向量＝（0，±1，0）
∵，
∴点D到平面PBG的距离为||＝|•|＝
（3）设F（0，y，z），则
∵，
∴，
∴y＝，又，即（0，，z﹣4）＝λ（0，2，﹣4），∴z＝1，
故F（0，，1），，，
∴＝3．
【点评】本题考查空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：这样可以减低题目的难度，坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意．
21．（15分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若•＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．
【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．
故由＜1，
故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴y1•y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1
＝•k2+k•+1＝，
由•＝x1•x2+y1•y2＝＝12，解得 k＝1，
故直线l的方程为 y＝x+1，即 x﹣y+1＝0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|＝2．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．
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