2022-2023学年北京市十一学校高二(上)期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年北京市十一学校高二(上)期中数学试卷,共18页。
A.B.C.2D.4
2.(3分)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,﹣4),P是双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||=6,则双曲线的标准方程为( )
A.B.
C.D.
3.(3分)双曲线与椭圆的焦点相同,则a等于( )
A.1B.﹣2C.1或﹣2D.2
4.(3分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=ax(a>0)上点M(1,m)到焦点的距离为3,则焦点到y轴的距离为( )
A.8B.4C.2D.1
5.(3分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
6.(3分)已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是直角三角形的三个顶点,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
7.(3分)若k∈R,则“k>3”是“方程﹣=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(3分)若直线y=kx与双曲线x2﹣y2=1的两支各有一个交点,则实数k的取值范围是( )
A.[﹣1,1]B.[﹣1,0)∪(0,1]
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣1,1)
9.(3分)已知抛物线y2=8x,O为坐标原点,过其焦点的直线l与抛物线相交于A,B两点,且|AB|=10,则AB中点M到y轴的距离为( )
A.2B.3C.5D.6
10.(3分)已知双曲线C ,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则线段|MN|等于( )
A.B.C.D.
11.(3分)设点F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数m的一个取值可以为( )
A.0B.1C.2D.3
12.(3分)已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则3e12+e22的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
二、填空题,本题共6小题,每小题4分,共24分.
13.(4分)已知双曲线过点(﹣2,1),则其渐近线方程为 .
14.(4分)设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上任意一点,则△AF1F2的周长为 .
15.(4分)已知抛物线y2=6x的焦点为F,点P为该抛物线上一个动点,点A(3,2),则|PF|+|PA|的最小值为 .
16.(4分)设O为坐标原点,F(2,0),点A是直线x=﹣2上一个动点,连接AF并作AF的垂直平分线l,过点A作y轴的垂线交l于点P,则点P的轨迹方程为 .
17.(4分)设F1,F2是椭圆的左、右焦点,点P在C上,O是坐标原点,且|OP|=3,则△PF1F2的面积为 .
18.(4分)已知曲线C的方程为x2+4|y|=4,则下列说法正确的是 .
①曲线C关于坐标原点对称;
②y的取值范围是[﹣1,1];
③曲线C是一个椭圆;
④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
三、解答题,本题共4小题,共40分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
19.(10分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为0,焦点为F.过点F且斜率为k的直线l与C有两个不同的交点A(4,4),B(x2,y2),过点A作平行于C的对称轴的直线交C的准线于点A1.
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)求证:B,O,A1三点共线.
20.(10分)已知椭圆过定点(﹣2,0),离心率.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)斜率为的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值及此时直线AB的方程.
21.(10分)已知椭圆的长轴长为6,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点A,B为椭圆C的左右顶点,M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线AM交直线x=4于点N,点O为坐标原点,过点O且与直线BN垂直的直线记为l,直线BM交y轴于点P,交直线l于点Q,求证:为定值.
22.(10分)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=6.
(1)求该抛物线C的方程;
(2)已知抛物线上一点M(t,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点?并说明理由.
2022-2023学年北京市十一学校高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题,本题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.(3分)抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是( )
A.B.C.2D.4
【分析】根据抛物线的解析式求出p即可.
【解答】解:由题意得2p=8,得p=4,
所以抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是4.
故选:D.
【点评】本题主要考查抛物线的性质,属于基础题.
2.(3分)已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,﹣4),P是双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||=6,则双曲线的标准方程为( )
A.B.
C.D.
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程,根据双曲线定义得到a=3,得到b2=7,求出双曲线方程.
【解答】解:双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,﹣4),
所以双曲线的焦点在y轴上,且c=4,
设双曲线方程为,
又||PF1|﹣|PF2||=2a=6,故a=3,
故b2=c2﹣a2=16﹣9=7,
故双曲线的标准方程为:.
故选:C.
【点评】本题考查了双曲线的方程和性质,属于基础题.
3.(3分)双曲线与椭圆的焦点相同,则a等于( )
A.1B.﹣2C.1或﹣2D.2
【分析】由双曲线和椭圆的焦点相同可得a+2=4﹣a2,且2>a>0,可得a的值.
【解答】解:因为双曲线与椭圆的焦点相同,
所以a+2=4﹣a2,且2>a>0,
解得a=1,
故选:A.
【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质的应用,属于基础题.
4.(3分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=ax(a>0)上点M(1,m)到焦点的距离为3,则焦点到y轴的距离为( )
A.8B.4C.2D.1
【分析】由抛物线的性质可求得a,从而可得焦点坐标.
【解答】解:抛物线C:y2=ax的准线方程为:,
由抛物线的性质可知:点M(1,m)到焦点的距离等于M(1,m)到准线的距离,
即,得a=8,抛物线方程为y2=8x,
则焦点坐标为(2,0),焦点到y轴的距离为2.
故选:C.
【点评】本题主要考查抛物线的性质,属于基础题.
5.(3分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
【分析】由条件可得,又因为c2=a2+b2,计算得到.
【解答】解:因为双曲线的一条渐近线为y=2x,所以,
所以双曲线C的离心率为.
故选:D.
【点评】本题主要考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
6.(3分)已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是直角三角形的三个顶点,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
【分析】由题意结合向量可得a,b,c之间的关系,进而求出离心率.
【解答】解:由题意可知:椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为B(0,b)、A(a,0)、F(﹣c,0),
则有,
∵,
则,
即ac﹣(a2﹣c2)=0,
则e2+e﹣1=0,
解得或(舍去).
故选:C.
【点评】本题考查了椭圆的性质,重点考查了椭圆离心率的求法,属基础题.
7.(3分)若k∈R,则“k>3”是“方程﹣=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析】根据双曲线定义可知,要使方程表示双曲线k﹣3和k+3同号,进而求得k的范围即可判断是什么条件.
【解答】解:依题意:“方程﹣=1表示双曲线”
可知(k﹣3)(k+3)>0,求得k>3或k<﹣3,
则“k>3”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程.解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况.
8.(3分)若直线y=kx与双曲线x2﹣y2=1的两支各有一个交点,则实数k的取值范围是( )
A.[﹣1,1]B.[﹣1,0)∪(0,1]
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣1,1)
【分析】由双曲线的性质,结合直线与双曲线的位置关系求解即可.
【解答】解:联立,
消y可得(1﹣k2)x2﹣1=0,
由题意可得关于x的一元二次方程有一正根,一负根,
则1﹣k2>0,
即﹣1<k<1,
即实数k的取值范围是为(﹣1,1),
故选:D.
【点评】本题考查了双曲线的性质,重点考查了直线与双曲线的位置关系,属基础题.
9.(3分)已知抛物线y2=8x,O为坐标原点,过其焦点的直线l与抛物线相交于A,B两点,且|AB|=10,则AB中点M到y轴的距离为( )
A.2B.3C.5D.6
【分析】先设出A,B的坐标,根据抛物线的定义求得x1+x2+p=10,求出p,得到AB中点的横坐标,然后推出结果.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义,x1+x2+p=10,
y2=8x,可知p=4,
∴=3,
线段AB的中点P到y轴的距离为:3.
故选:B.
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.解题的关键是利用了抛物线的定义.
10.(3分)已知双曲线C ,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则线段|MN|等于( )
A.B.C.D.
【分析】先由点差法求出直线l的斜率,联立直线l与双曲线的方程,然后结合弦长公式求解即可.
【解答】解:设M(x1,y1),N(x2,y2),
则,
则,
又P(1,2)为线段MN的中点,
则x1+x2=2,y1+y2=4,
即,
即直线l的斜率为1,
即直线l的方程为y=x+1,
联立,
消y可得x2﹣2x﹣3=0,
即x1=﹣1,x2=3,
则.
故选:C.
【点评】本题考查了双曲线的性质,重点考查了直线与双曲线的位置关系,属中档题.
11.(3分)设点F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数m的一个取值可以为( )
A.0B.1C.2D.3
【分析】设点P(x1,y1),根据坐标得到,再结合椭圆的对称性即可得到m的范围.
【解答】解:设点P(x1,y1),根据椭圆方程得,,,
∴,,
∴,
显然,方程最多有两个解,
根据椭圆的对称性可知,要想有四个点,
需要关于x的方程在(﹣2,2)有两个解,
∴根据一元二次函数性质可得m∈(﹣2,1).
故选:A.
【点评】本题考查椭圆的几何性质,方程思想,化归转化思想,属中档题.
12.(3分)已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则3e12+e22的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
【分析】设|PF1|=s,|PF2|=t,由椭圆和双曲线的定义,解方程可得s,t,再由余弦定理,可得a,m与c的关系,结合离心率公式,以及基本不等式,可得所求最小值.
【解答】解:设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,
由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s﹣t=2m,
解得s=a+m,t=a﹣m,
在三角形F1PF2中,∠F1PF2=,
可得4c2=s2+t2﹣2stcs=a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣(a2﹣m2),
即有a2+3m2=4c2,
可得+=4,
即为+=4,
则3e12+e22=(+)(3e12+e22)=(6++)
≥(6+2)=3,当且仅当=,即e22=9e12,取得最小值3.
故选:B.
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质,主要是离心率,考查解三角形的余弦定理,以及基本不等式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
二、填空题,本题共6小题,每小题4分,共24分.
13.(4分)已知双曲线过点(﹣2,1),则其渐近线方程为 x±y=0 .
【分析】由双曲线经过(﹣2,1)可求得a,从而即得渐近线方程.
【解答】解:因为双曲线过点(﹣2,1),
即有,解得或(舍),而,
故渐近线方程,即x±y=0.
故答案为:x±y=0.
【点评】本题主要考查双曲线的性质,属于基础题.
14.(4分)设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上任意一点,则△AF1F2的周长为 16 .
【分析】由椭圆的性质可得|F1F2|=2c,|AF1|+|AF2|=2a,从而可得△AF1F2的周长.
【解答】解:由已知可得a=5,b=4,则c==3,
因为椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上任意一点,
所以|F1F2|=2c=6,|AF1|+|AF2|=2a=10,
所以△AF1F2的周长为|F1F2|+|AF1|+|AF2|=16.
故答案为:16.
【点评】本题主要考查椭圆的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
15.(4分)已知抛物线y2=6x的焦点为F,点P为该抛物线上一个动点,点A(3,2),则|PF|+|PA|的最小值为 .
【分析】利用抛物线的定义,结合抛物线的性质,转化求解即可.
【解答】解:设抛物线的焦点为F,则F(,0),准线方程为x=﹣,
由抛物线定义可知当AP⊥y轴时,|PF|+|PA|取得最小值,最小值为3﹣(﹣)=.
故答案为:.
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属基础题.
16.(4分)设O为坐标原点,F(2,0),点A是直线x=﹣2上一个动点,连接AF并作AF的垂直平分线l,过点A作y轴的垂线交l于点P,则点P的轨迹方程为 y2=8x .
【分析】由题意作等价转换,结合抛物线第一定义可直接写出方程.
【解答】解:如图,
由垂直平分线的性质可得|PA|=|PF|,符合抛物线第一定义,
且抛物线开口向右,焦点坐标为F(2,0),
故p=4,2p=8,
则点P的轨迹方程为y2=8x.
故答案为:y2=8x.
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程,考查运算求解能力,属于基础题.
17.(4分)设F1,F2是椭圆的左、右焦点,点P在C上,O是坐标原点,且|OP|=3,则△PF1F2的面积为 7 .
【分析】由椭圆的方程求出a,b,c的值,再根据|OP|的值推出三角形PF1F2为直角三角形,结合椭圆的定义以及勾股定理即可求解.
【解答】解:由椭圆可得:a=4,b=,c=3,
所以|F1F2|=2c=6,又|OP|=3,所以|OP|=|F1F2|,
所以三角形PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形,
所以PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=4c2=36,
又|PF1|+|PF2|=2a=8,
所以|PF1||PF2|=14,
则三角形PF1F2的面积为S=×|PF1||PF2|=×14=7,
故答案为:7.
【点评】本题考查了椭圆的定义以及直角三角形的性质,考查了学生的运算能力,属于中档题.
18.(4分)已知曲线C的方程为x2+4|y|=4,则下列说法正确的是 ①②④ .
①曲线C关于坐标原点对称;
②y的取值范围是[﹣1,1];
③曲线C是一个椭圆;
④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
【分析】①在曲线C上任取一个点,找到它关于原点对称的点,判断是否也在曲线C上即可.
②把y用x表示,借助x的范围即可得y的取值范围.
③分析曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的即可.
④在第一象限内,分析椭圆的图形与曲线C的图形的位置关系即可判断.
【解答】解:曲线C的方程为x2+4|y|=4,可变为.
①设点A(x0,y0),满足,则点A关于原点对称的点为A'(﹣x0,﹣y0),
因为,所以点A'也在曲线C上,即曲线C关于坐标原点对称.故①正确;
②因为x2≥0,所以,则y的取值范围是[﹣1,1],故②正确;
③y≥0时,曲线C的方程可化为,其中﹣2≤x≤2,y<0时,曲线C的方程可化为,其中﹣2≤x≤2,
所以曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的,不是椭圆.故③不正确;
④当y≥0时,﹣2≤x≤2,设,
则0≤t≤1,,当且仅当t=0或t=1时等号成立,
所以在第一象限内,椭圆的图形在曲线C的上方.
根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部(四个顶点都在曲线C上),
所以曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.故④正确.
故答案为:①②④.
【点评】本题主要考查曲线与方程,涉及椭圆的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
三、解答题,本题共4小题,共40分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
19.(10分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为0,焦点为F.过点F且斜率为k的直线l与C有两个不同的交点A(4,4),B(x2,y2),过点A作平行于C的对称轴的直线交C的准线于点A1.
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)求证:B,O,A1三点共线.
【分析】(Ⅰ)将A(4,4)代入抛物线的方程,解方程可得p,可得所求;
(Ⅱ)求得抛物线的焦点F,由A的坐标可得直线l的方程,与抛物线的方程联立,解得B的坐标,求得A1的坐标,由三点共线的条件,可得证明.
【解答】解:(Ⅰ)将A(4,4)代入抛物线C:y2=2px(p>0)的方程,
可得16=2p•4,
解得p=2,
则抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=﹣1;
(Ⅱ)证明:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),
由A(4,4),F(1,0),可得k==,
所以直线l的方程为y=(x﹣1),
与抛物线y2=4x联立,可得4x2﹣17x+4=0,
解得x1=4,x2=,
则B(﹣1),又A1(﹣1,4),
kOB=﹣4,=﹣4,即kOB=,
所以B,O,A1三点共线.
【点评】本题考查抛物线的方程和性质,以及直线与抛物线的位置关系,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
20.(10分)已知椭圆过定点(﹣2,0),离心率.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)斜率为的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值及此时直线AB的方程.
【分析】(Ⅰ)由题意得出a,b,c后写标准方程;
(Ⅱ)待定系数法设直线方程,与椭圆方程联立后由韦达定理表示|AB|弦长与△OAB面积,转化为函数求最值.
【解答】解:(Ⅰ)依题意可得,
所以可解得a=2,b=1,,
所以椭圆C的标准方程为.
(Ⅱ)设直线AB的方程为,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,消去y得,化简得x2+2mx+2m2﹣2=0,
所以x1+x2=﹣2m,,Δ=2﹣m2>0即m2<2,
所以==,
又原点O到直线AB的距离,
所以==1,
当且仅当m2=2﹣m2即m=±1时取等号,
所以,△AOB面积的最大值为1,此时直线AB的方程为.
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,圆锥曲线中的最值与范围问题,直线与圆锥曲线的位置关系,韦达定理及其应用等知识,属于中等题.
21.(10分)已知椭圆的长轴长为6,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点A,B为椭圆C的左右顶点,M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线AM交直线x=4于点N,点O为坐标原点,过点O且与直线BN垂直的直线记为l,直线BM交y轴于点P,交直线l于点Q,求证:为定值.
【分析】(1)根据椭圆的性质,可得2a=6,且tan30°==,求解即可得出答案;
(2)由(1)得椭圆C的标准方程为+=1,则A(﹣3,0),B(3,0),设M(m,n)(m≠±3),则+=1,根据直线方程的性质,分别表示出P、Q点坐标,利用=,即可证明结论.
【解答】解:(1)由题意得2a=6,则a=3,
又短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,
∴tan30°==,解得b=,
∴椭圆C的标准方程为+=1;
(2)证明:由(1)得椭圆C的标准方程为+=1,则A(﹣3,0),B(3,0),
设M(m,n)(m≠±3),则+=1,即m2+3n2=9,
则直线AM的方程为y=(x+3),
令x=4,则y=,即N(4,),
则直线BN的斜率为kBN=,
又kBN•kl=﹣1,则kl=﹣,则直线l的方程为y=﹣x,
则直线BM的方程为y=(x﹣3),则P(0,﹣),
联立直线l与直线BM的方程得,即(x﹣3)=﹣x,解得x=,即Q(,﹣),
∴===,
故为定值.
【点评】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合应用,考查转化思想和方程思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
22.(10分)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=6.
(1)求该抛物线C的方程;
(2)已知抛物线上一点M(t,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点?并说明理由.
【分析】(1)利用点斜式设直线直线AB的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求|AB|,再根据|AB|=6解得p=2.
(2)先设直线DE方程x=my+t,与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简MD⊥ME,得t=4m+8或t=﹣4m+4,代入DE方程可得直线DE过定点(8,﹣4).
【解答】解:(1)抛物线的焦点,∴直线AB的方程为:.
联立方程组,消元得:,
∴.
∴
解得p=2.
∴抛物线C的方程为:y2=4x.
(2)由(1)可得点M(4,4),可得直线DE的斜率不为0,
设直线DE的方程为:x=my+t,
联立,得y2﹣4my﹣4t=0,
则Δ=16m2+16t>0①.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=﹣4t.
∵MD•ME=(x1﹣4,y1﹣4)•(x2﹣4,y2﹣4)=x1x2﹣4(x1+x2)+16+y1y2﹣4(y1+y2)+16
=
==t2﹣16m2﹣12t+32﹣16m=0
即t2﹣12t+32=16m2+16m,得:(t﹣6)2=4(2m+1)2,
∴t﹣6=±2(2m+1),即t=4m+8或t=﹣4m+4,
代入①式检验均满足Δ>0,
∴直线DE的方程为:x=my+4m+8=m(y+4)+8或x=m(y﹣4)+4.
∴直线过定点(8,﹣4)(定点(4,4)不满足题意,故舍去).
【点评】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.
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