还剩16页未读，
继续阅读
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷
展开
这是一份2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷，共19页。
A．30°B．45°C．90°D．135°
2．（4分）已知两个向量，且，则m+n＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没中靶
4．（4分）点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（ ）
A．B．1C．D．2
5．（4分）圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝2B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1
C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
6．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x+2y＝0B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0
C．x2+y2+4x﹣4y＝0D．x2+y2+2x﹣2y＝0
8．（4分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使EF∥BD
B．三棱锥B1﹣ACE的体积随动点E变化而变化
C．直线EF与AD1所成的角不可能等于60°
D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
10．（4分）如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）直线2x+y﹣1＝0的一个方向向量为 ．
12．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知，，，则的坐标为 ．
13．（5分）已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（5，3），则底边的另一个端点C的轨迹方程为 ．
14．（5分）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点间的直角距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如图是圆A：（x﹣1）2+y2＝1当时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d（C，D）＝ ．若点P为曲线上任一点，则d（O，P）的最大值为 ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点．
（1）求边AC上的高所在直线的方程；
（2）求∠BAC角平分线所在直线的方程．
17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；
（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．
18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出在平面ADD1A1上的投影向量的坐标；
（2）求点B1到平面AED1的距离；
（3）求直线DB1与平面AED1所成角的正弦值．
19．（15分）已知圆C经过点A（0，2）和点B（1，3），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若线段DE的端点D的坐标是（4，3），端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
20．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点．
（1）求证：C1D⊥A1B；
（2）求证：C1D∥平面A1BE；
（3）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（15分）已知直线l1，l2的方程分别是l1：x＝0，l2：3x﹣4y＝0，点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．
（1）若k＝﹣1，且A为线段MN中点，求实数a的值及△AON的面积；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【分析】利用斜率的计算公式即可计算出．
【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα＝﹣1，
∵0°≤α＜180°，∴α＝135°．
故选：D．
【点评】熟练掌握直线的斜率计算公式和正切函数的性质是解题的关键．
2．（4分）已知两个向量，且，则m+n＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】运用向量的共线定理求解．
【解答】解：因为，
所以，λ∈R，
故（2，m，n）＝λ（1，﹣1，2），即，
解得，m+n＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没中靶
【分析】先写出连续射击两次中靶的情况，再利用互斥事件和对立事件的概念进行判断，A∩B＝∅，互斥事件；A∩B＝∅，且A∪B＝基本事件总体，互斥且对立事件．
【解答】解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶；
设事件P：至少一次中靶，则P＝{①，②}，
A选项：事件A：至多一次中靶，则A＝{②，③}，P∩A＝{②}，不互斥，不对立，
B选项：事件B：两次都中靶，则B＝{①}，P∩B＝{①}，不互斥，不对立，
C选项：事件C：只有一次中靶，则C＝{②}，P∩C＝{②}，不互斥，不对立，
D 选项：事件D：两次都没中靶；则D{③}，P∩D＝∅，且P∪D＝{①，②，③}，互斥且对立，
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
4．（4分）点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于．
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，是基础题．
5．（4分）圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝2B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1
C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
【分析】两圆关于（1，0）中心对称，根据圆心关于（1，0）对称与半径相等求解即可．
【解答】解：圆x2+（y+2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1，
设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C（x，y），
则，解得，则C（2，2），
故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：圆的对称，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两直线互相垂直求出a的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论．
【解答】解：当直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直时，
有1×a+（﹣a）（a+2）＝0，即a2+a＝0，解得a＝﹣1或a＝0，
所以“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查两直线垂直的性质、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x+2y＝0B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0
C．x2+y2+4x﹣4y＝0D．x2+y2+2x﹣2y＝0
【分析】求出圆心和半径，从而得出圆的方程．
【解答】解：因为M（﹣2，0），N（0，2）的中点为M（﹣1，1），
，即，
所以以线段MN为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2，
化简得x2+y2+2x﹣2y＝0．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8．（4分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【分析】利用向量共面定理求解．
【解答】解：已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（x，1，1），
则，
若点P在平面ABC内，则有，m，n∈R，
即（x﹣1，1，1）＝（m﹣n，m，n），
则，解得x＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的共面定理，属基础题．
9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使EF∥BD
B．三棱锥B1﹣ACE的体积随动点E变化而变化
C．直线EF与AD1所成的角不可能等于60°
D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
【分析】根据立体几何的相关知识对选项进行逐一判断即可．
【解答】解：对于A，因为 BD∥B1D1，E在线段A1C1上运动，当E为A1C1的中点时，EF与B1D1相交，其余情况下，EF与B1D1为异面直线，不可能平行，故A错误；
对于B，，而点E所在的线段A1C1与平面AB1C平行，故点E到平面AB1C的距离保持不变，故三棱锥B1﹣ACE的体积为定值，故B错误；
对于C，当点E为A1C1中点时，△C1EF为等边三角形，此时∠EFC1＝60°，而AD1∥BC1，故此时EF与AD1所成的角为 60°，故C错误；
对于D，当点E 为A1C1中点时，EF∥A1B，而A1B⊥AB1，故EF⊥AB1，由三垂线定理可得，EF⊥AD，故EF⊥平面AB1C1D，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了立体几何的综合，属于中档题．
10．（4分）如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（ ）
A．B．6C．D．
【分析】由题意由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．
【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0）
设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．
作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：
∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，
∴P1，N，M，P2共线，
∵∠P2AB＝∠PAB＝45°，
即P2A⊥OA；
PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P2＝2；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）直线2x+y﹣1＝0的一个方向向量为 （1，﹣2）（答案不唯一） ．
【分析】首先得到其法向量为（2，1），则可直接写出其一个方向向量．
【解答】解：直线2x+y﹣1＝0的法向量为（2，1），
则其一个方向向量为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查方向向量的定义，属于基础题．
12．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知，，，则的坐标为 ．
【分析】利用空间向量线性坐标运算求解即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
又，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（5，3），则底边的另一个端点C的轨迹方程为 x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3）） ．
【分析】根据题意，设另一个端点C的坐标为（x，y），由|AB|＝|AC|，列出方程，化简即可得到结果．
【解答】解：设底边的另一个端点C的坐标为（x，y），则，
化简可得x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0，
因为A，B，C三点构成三角形，所以三点不共线且B，C不重合，
当A，B，C三点共线时，，
由直线的点斜式可得y﹣2＝1×（x﹣4），化简可得x﹣y﹣2＝0，
所以点C的轨迹方程为x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．
故答案为：x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．
【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．（5分）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
【分析】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况，从而得出结果；第二空：第3次由甲射击有两种情况，分类讨论得出结果．
【解答】解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是；
第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中，
故概率是．
故答案为：；．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点间的直角距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如图是圆A：（x﹣1）2+y2＝1当时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d（C，D）＝ ．若点P为曲线上任一点，则d（O，P）的最大值为 ．
【分析】由已知求得D、C的坐标，直接由两点间的直角距离公式求d（C，D）；据对称性，只需讨论点P在第一象限的两类情况，求得d（O，P），取最大值即可．
【解答】解：由图可得，点D（2，0），，∴；
根据对称性，只需讨论点P在第一象限的情况：
当点P在CD上时，设∠PAD＝θ，，则P（1+csθ，sinθ），
∴（当且仅当时取等号）；
当点P不在CD上时，所在圆的圆心坐标，设∠PEC＝α，，
可得，，sinα∈[0，1]，
∴＝，
（当且仅当时取等号）．
综上所述，d（O，P）的最大值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查直角距离、三角换元、三角函数化简求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现创新性和综合性，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点．
（1）求边AC上的高所在直线的方程；
（2）求∠BAC角平分线所在直线的方程．
【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边AC上的高所在直线的斜率，进而得出答案；
（2）由得∠BAC＝60°，可得∠BAC角平分线AE的倾斜角为30°，求出AE的斜率，进而可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），点，
∴边AC所在直线斜率，
∴边AC上的高所在直线BD的斜率，且过点B（2，0）．
∴边AC上的高所在直线的方程为．
（2）由得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，
∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率．
又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），
∴∠BAC角平分线所在直线的方程为．
【点评】本题考查了直线的斜率、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；
（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．
【分析】（1）逐一列举出样本空间；
（2）根据古典概型的公式求解结果；
（3）根据独立性公式判断．
【解答】解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；
（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，
所以．
因为AB＝{（1，3）}，
所以；
（3）因为，
所以事件A和事件B相互独立．
【点评】本题考查列举法、古典概型以及相互独立事件相关知识，属于基础题．
18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出在平面ADD1A1上的投影向量的坐标；
（2）求点B1到平面AED1的距离；
（3）求直线DB1与平面AED1所成角的正弦值．
【分析】（1）依题意A1B1⊥平面ADD1A1，所以在平面ADD1A1上的投影向量为；
（2）求出平面AED1的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；
（3）利用直线与平面所成角的向量公式求解．
【解答】解：（1）依题意：D（0，0，0），B1（1，2，1），A1（1，0，1），
所以，
因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，
所以在平面ADD1A1上的投影向量为，坐标为（1，0，1）．
（2）由题意知，D1（0，0，1），A（1，0，0），E（0，1，0），
所以，．
设平面AED1的法向量为，
则，令x＝1，则y＝1，z＝1，
所以是平面AED1的一个法向量，
因为，
所以B1到平面AED1的距离为＝＝．
（3）设直线DB1与平面AED1所成角为θ，
则＝＝＝．
即直线DB1与平面AED1所成角的正弦值是．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、点到平面的距离、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（15分）已知圆C经过点A（0，2）和点B（1，3），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若线段DE的端点D的坐标是（4，3），端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解；
（2）设出M点坐标，根据题意求解出E点坐标，代入圆C后解得点M的轨迹方程．
【解答】（1）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
故圆心为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；
（2）设点M的坐标是（x，y），点E的坐标是（x0，y0）．
因为点D的坐标是（4，3），且M是线段DE的中点，
所以．
故x0＝2x﹣4，y0＝2y﹣3． ①
因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，
即． ②
把①代入②，得（2x﹣4）2+（2y﹣3）2﹣4（2x﹣4）﹣2（2y﹣3）＝0，
整理，得．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的求法，是中档题．
20．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点．
（1）求证：C1D⊥A1B；
（2）求证：C1D∥平面A1BE；
（3）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证即可；
（2）求出平面A1BE的法向量，证即可；
（3）设点P满足，，求出平面PAB的法向量，平面A1BE的法向量，利用向量夹角公式求解．
【解答】解：（1）证明：因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥平面ABC．又∠ACB＝90°，
所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，AC⊥CB．
故AC，CB，CC1两两垂直．
以C为原点，AC，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1（0，0，2），D（1，1，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），
E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，0，0），
所以．
因为，
所以，即C1D⊥A1B．
（2）证明：设平面A1BE的法向量为，
因为，
则，所以，取x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣2．
所以是平面A1BE的一个法向量．
因为，
所以．又因为C1D⊄平面A1BE，
所以C1D∥平面A1BE．
（3）设点P满足，，
则．
设平面PAB的一个法向量为，
因为
则，所以，取z0＝1，则x0＝λ，y0＝λ．
所以是平面PAB的一个法向量．
由（1）得，是平面A1BE的一个法向量，
则平面PAB与平面A1BE的夹角就是与的夹角或其补角．
若平面PAB与平面A1BE的夹角为60°，则
，
解得．
所以，在棱CC1上存在点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°，
此时．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，线线垂直的证明，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中档题．
21．（15分）已知直线l1，l2的方程分别是l1：x＝0，l2：3x﹣4y＝0，点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．
（1）若k＝﹣1，且A为线段MN中点，求实数a的值及△AON的面积；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由直线l的方程为y＝k（x﹣1）+a，联立方程组分别求得点M，N的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得a的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的a，使得的值与k无关，由（1）求得|OM|，|ON|，得到，进而得到结论．
【解答】解：（1）∵直线 l过点A（1，a），且斜率为k，∴直线l的方程为y＝k（x﹣1）+a，
∵直线l与l1，l2分别交于点M，N，∴，
由，
解得，即M（0，a﹣k），
由，解得，即，
又∵M，N的纵坐标均为正数，
∴，即，
∵，，
若k＝﹣1时，M（0，a+1），，
又∵点A为线段MN中点，
∴解得，
∴，，
∴△AON的面积．
（2）假设存在满足题意的a，使得的值与k无关，
由（1）知：M（0，a﹣k）， 且，
因此|OM|＝a﹣k，，
∴，
∵2﹣k＞0，
∴当a＝2时，为定值，
∴存在实数a＝2，使得的值与k无关．
【点评】本题考查了直线的方程、数形结合方法、方程与不等式的解法、定值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/17 10:06:25；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111
A．30°B．45°C．90°D．135°
2．（4分）已知两个向量，且，则m+n＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没中靶
4．（4分）点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（ ）
A．B．1C．D．2
5．（4分）圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝2B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1
C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
6．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x+2y＝0B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0
C．x2+y2+4x﹣4y＝0D．x2+y2+2x﹣2y＝0
8．（4分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使EF∥BD
B．三棱锥B1﹣ACE的体积随动点E变化而变化
C．直线EF与AD1所成的角不可能等于60°
D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
10．（4分）如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）直线2x+y﹣1＝0的一个方向向量为 ．
12．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知，，，则的坐标为 ．
13．（5分）已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（5，3），则底边的另一个端点C的轨迹方程为 ．
14．（5分）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点间的直角距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如图是圆A：（x﹣1）2+y2＝1当时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d（C，D）＝ ．若点P为曲线上任一点，则d（O，P）的最大值为 ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点．
（1）求边AC上的高所在直线的方程；
（2）求∠BAC角平分线所在直线的方程．
17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；
（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．
18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出在平面ADD1A1上的投影向量的坐标；
（2）求点B1到平面AED1的距离；
（3）求直线DB1与平面AED1所成角的正弦值．
19．（15分）已知圆C经过点A（0，2）和点B（1，3），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若线段DE的端点D的坐标是（4，3），端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
20．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点．
（1）求证：C1D⊥A1B；
（2）求证：C1D∥平面A1BE；
（3）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（15分）已知直线l1，l2的方程分别是l1：x＝0，l2：3x﹣4y＝0，点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．
（1）若k＝﹣1，且A为线段MN中点，求实数a的值及△AON的面积；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
【分析】利用斜率的计算公式即可计算出．
【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα＝﹣1，
∵0°≤α＜180°，∴α＝135°．
故选：D．
【点评】熟练掌握直线的斜率计算公式和正切函数的性质是解题的关键．
2．（4分）已知两个向量，且，则m+n＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】运用向量的共线定理求解．
【解答】解：因为，
所以，λ∈R，
故（2，m，n）＝λ（1，﹣1，2），即，
解得，m+n＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没中靶
【分析】先写出连续射击两次中靶的情况，再利用互斥事件和对立事件的概念进行判断，A∩B＝∅，互斥事件；A∩B＝∅，且A∪B＝基本事件总体，互斥且对立事件．
【解答】解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶；
设事件P：至少一次中靶，则P＝{①，②}，
A选项：事件A：至多一次中靶，则A＝{②，③}，P∩A＝{②}，不互斥，不对立，
B选项：事件B：两次都中靶，则B＝{①}，P∩B＝{①}，不互斥，不对立，
C选项：事件C：只有一次中靶，则C＝{②}，P∩C＝{②}，不互斥，不对立，
D 选项：事件D：两次都没中靶；则D{③}，P∩D＝∅，且P∪D＝{①，②，③}，互斥且对立，
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
4．（4分）点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于．
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，是基础题．
5．（4分）圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝2B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1
C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
【分析】两圆关于（1，0）中心对称，根据圆心关于（1，0）对称与半径相等求解即可．
【解答】解：圆x2+（y+2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1，
设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C（x，y），
则，解得，则C（2，2），
故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：圆的对称，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两直线互相垂直求出a的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论．
【解答】解：当直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直时，
有1×a+（﹣a）（a+2）＝0，即a2+a＝0，解得a＝﹣1或a＝0，
所以“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查两直线垂直的性质、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x+2y＝0B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0
C．x2+y2+4x﹣4y＝0D．x2+y2+2x﹣2y＝0
【分析】求出圆心和半径，从而得出圆的方程．
【解答】解：因为M（﹣2，0），N（0，2）的中点为M（﹣1，1），
，即，
所以以线段MN为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2，
化简得x2+y2+2x﹣2y＝0．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8．（4分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【分析】利用向量共面定理求解．
【解答】解：已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（x，1，1），
则，
若点P在平面ABC内，则有，m，n∈R，
即（x﹣1，1，1）＝（m﹣n，m，n），
则，解得x＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的共面定理，属基础题．
9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使EF∥BD
B．三棱锥B1﹣ACE的体积随动点E变化而变化
C．直线EF与AD1所成的角不可能等于60°
D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
【分析】根据立体几何的相关知识对选项进行逐一判断即可．
【解答】解：对于A，因为 BD∥B1D1，E在线段A1C1上运动，当E为A1C1的中点时，EF与B1D1相交，其余情况下，EF与B1D1为异面直线，不可能平行，故A错误；
对于B，，而点E所在的线段A1C1与平面AB1C平行，故点E到平面AB1C的距离保持不变，故三棱锥B1﹣ACE的体积为定值，故B错误；
对于C，当点E为A1C1中点时，△C1EF为等边三角形，此时∠EFC1＝60°，而AD1∥BC1，故此时EF与AD1所成的角为 60°，故C错误；
对于D，当点E 为A1C1中点时，EF∥A1B，而A1B⊥AB1，故EF⊥AB1，由三垂线定理可得，EF⊥AD，故EF⊥平面AB1C1D，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了立体几何的综合，属于中档题．
10．（4分）如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（ ）
A．B．6C．D．
【分析】由题意由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．
【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0）
设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．
作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：
∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，
∴P1，N，M，P2共线，
∵∠P2AB＝∠PAB＝45°，
即P2A⊥OA；
PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P2＝2；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）直线2x+y﹣1＝0的一个方向向量为 （1，﹣2）（答案不唯一） ．
【分析】首先得到其法向量为（2，1），则可直接写出其一个方向向量．
【解答】解：直线2x+y﹣1＝0的法向量为（2，1），
则其一个方向向量为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查方向向量的定义，属于基础题．
12．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知，，，则的坐标为 ．
【分析】利用空间向量线性坐标运算求解即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
又，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（5，3），则底边的另一个端点C的轨迹方程为 x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3）） ．
【分析】根据题意，设另一个端点C的坐标为（x，y），由|AB|＝|AC|，列出方程，化简即可得到结果．
【解答】解：设底边的另一个端点C的坐标为（x，y），则，
化简可得x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0，
因为A，B，C三点构成三角形，所以三点不共线且B，C不重合，
当A，B，C三点共线时，，
由直线的点斜式可得y﹣2＝1×（x﹣4），化简可得x﹣y﹣2＝0，
所以点C的轨迹方程为x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．
故答案为：x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．
【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．（5分）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
【分析】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况，从而得出结果；第二空：第3次由甲射击有两种情况，分类讨论得出结果．
【解答】解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是；
第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中，
故概率是．
故答案为：；．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点间的直角距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如图是圆A：（x﹣1）2+y2＝1当时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d（C，D）＝ ．若点P为曲线上任一点，则d（O，P）的最大值为 ．
【分析】由已知求得D、C的坐标，直接由两点间的直角距离公式求d（C，D）；据对称性，只需讨论点P在第一象限的两类情况，求得d（O，P），取最大值即可．
【解答】解：由图可得，点D（2，0），，∴；
根据对称性，只需讨论点P在第一象限的情况：
当点P在CD上时，设∠PAD＝θ，，则P（1+csθ，sinθ），
∴（当且仅当时取等号）；
当点P不在CD上时，所在圆的圆心坐标，设∠PEC＝α，，
可得，，sinα∈[0，1]，
∴＝，
（当且仅当时取等号）．
综上所述，d（O，P）的最大值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查直角距离、三角换元、三角函数化简求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现创新性和综合性，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点．
（1）求边AC上的高所在直线的方程；
（2）求∠BAC角平分线所在直线的方程．
【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边AC上的高所在直线的斜率，进而得出答案；
（2）由得∠BAC＝60°，可得∠BAC角平分线AE的倾斜角为30°，求出AE的斜率，进而可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），点，
∴边AC所在直线斜率，
∴边AC上的高所在直线BD的斜率，且过点B（2，0）．
∴边AC上的高所在直线的方程为．
（2）由得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，
∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率．
又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），
∴∠BAC角平分线所在直线的方程为．
【点评】本题考查了直线的斜率、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；
（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．
【分析】（1）逐一列举出样本空间；
（2）根据古典概型的公式求解结果；
（3）根据独立性公式判断．
【解答】解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；
（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，
所以．
因为AB＝{（1，3）}，
所以；
（3）因为，
所以事件A和事件B相互独立．
【点评】本题考查列举法、古典概型以及相互独立事件相关知识，属于基础题．
18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出在平面ADD1A1上的投影向量的坐标；
（2）求点B1到平面AED1的距离；
（3）求直线DB1与平面AED1所成角的正弦值．
【分析】（1）依题意A1B1⊥平面ADD1A1，所以在平面ADD1A1上的投影向量为；
（2）求出平面AED1的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；
（3）利用直线与平面所成角的向量公式求解．
【解答】解：（1）依题意：D（0，0，0），B1（1，2，1），A1（1，0，1），
所以，
因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，
所以在平面ADD1A1上的投影向量为，坐标为（1，0，1）．
（2）由题意知，D1（0，0，1），A（1，0，0），E（0，1，0），
所以，．
设平面AED1的法向量为，
则，令x＝1，则y＝1，z＝1，
所以是平面AED1的一个法向量，
因为，
所以B1到平面AED1的距离为＝＝．
（3）设直线DB1与平面AED1所成角为θ，
则＝＝＝．
即直线DB1与平面AED1所成角的正弦值是．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、点到平面的距离、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（15分）已知圆C经过点A（0，2）和点B（1，3），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若线段DE的端点D的坐标是（4，3），端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解；
（2）设出M点坐标，根据题意求解出E点坐标，代入圆C后解得点M的轨迹方程．
【解答】（1）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
故圆心为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；
（2）设点M的坐标是（x，y），点E的坐标是（x0，y0）．
因为点D的坐标是（4，3），且M是线段DE的中点，
所以．
故x0＝2x﹣4，y0＝2y﹣3． ①
因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，
即． ②
把①代入②，得（2x﹣4）2+（2y﹣3）2﹣4（2x﹣4）﹣2（2y﹣3）＝0，
整理，得．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的求法，是中档题．
20．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点．
（1）求证：C1D⊥A1B；
（2）求证：C1D∥平面A1BE；
（3）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证即可；
（2）求出平面A1BE的法向量，证即可；
（3）设点P满足，，求出平面PAB的法向量，平面A1BE的法向量，利用向量夹角公式求解．
【解答】解：（1）证明：因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥平面ABC．又∠ACB＝90°，
所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，AC⊥CB．
故AC，CB，CC1两两垂直．
以C为原点，AC，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1（0，0，2），D（1，1，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），
E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，0，0），
所以．
因为，
所以，即C1D⊥A1B．
（2）证明：设平面A1BE的法向量为，
因为，
则，所以，取x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣2．
所以是平面A1BE的一个法向量．
因为，
所以．又因为C1D⊄平面A1BE，
所以C1D∥平面A1BE．
（3）设点P满足，，
则．
设平面PAB的一个法向量为，
因为
则，所以，取z0＝1，则x0＝λ，y0＝λ．
所以是平面PAB的一个法向量．
由（1）得，是平面A1BE的一个法向量，
则平面PAB与平面A1BE的夹角就是与的夹角或其补角．
若平面PAB与平面A1BE的夹角为60°，则
，
解得．
所以，在棱CC1上存在点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°，
此时．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，线线垂直的证明，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中档题．
21．（15分）已知直线l1，l2的方程分别是l1：x＝0，l2：3x﹣4y＝0，点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．
（1）若k＝﹣1，且A为线段MN中点，求实数a的值及△AON的面积；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由直线l的方程为y＝k（x﹣1）+a，联立方程组分别求得点M，N的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得a的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的a，使得的值与k无关，由（1）求得|OM|，|ON|，得到，进而得到结论．
【解答】解：（1）∵直线 l过点A（1，a），且斜率为k，∴直线l的方程为y＝k（x﹣1）+a，
∵直线l与l1，l2分别交于点M，N，∴，
由，
解得，即M（0，a﹣k），
由，解得，即，
又∵M，N的纵坐标均为正数，
∴，即，
∵，，
若k＝﹣1时，M（0，a+1），，
又∵点A为线段MN中点，
∴解得，
∴，，
∴△AON的面积．
（2）假设存在满足题意的a，使得的值与k无关，
由（1）知：M（0，a﹣k）， 且，
因此|OM|＝a﹣k，，
∴，
∵2﹣k＞0，
∴当a＝2时，为定值，
∴存在实数a＝2，使得的值与k无关．
【点评】本题考查了直线的方程、数形结合方法、方程与不等式的解法、定值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/17 10:06:25；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111
相关试卷
2021-2022学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷： 这是一份2021-2022学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷（Word版附解析）： 这是一份北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题Word版含解析docx、北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷： 这是一份2021-2022学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷，共16页。
